Lernzettel Nr. 2

Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
Die Magnetische Flussdichte einer langgestrecktenSpule angeben
-
Die magnetische Flussdicte in einer langgeogenen Spule ist abhängig von der
Stromstärke, der Länge und der Anzah der Windungen
-
𝐵 ~ 𝐼; 𝐵~𝑛 𝐴𝑛𝑧𝑎𝑕𝑙𝑑𝑒𝑟 𝑊 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 ; 𝐵~ 𝑙
-
Als Gleichung lässt sich also formulieren: 𝐵 = 𝑘 ∗
-
Das k ist dabei eine Konstante, die auch magnetische Feldkonstante genannt wird und als
𝜇0 geschrieben wird
1
𝑛∗𝐼
𝑙
Die magnetische Feldstärke einer langgestreckten Spule bestimmen
-
Der eben in der Gleichung erhaltene Quotient
-
Ihr wird das Symbol H zugeordnet
𝑛∗𝐼
gibt
𝑙
die Feldstärke an
Einen Versuch zur Bestimmung der magnetischen Feldkonstante beschrieben und auswerten
-
-
Zunächst wird die Abhängigkeit der magnetischen Flussdichte zur Stromstärke, zur
Länge, bzw zur Anzahl der Spulenwicklungen durch das einbringen einer Probeladung
untersucht und in Diagrammen dargestellt
Nun sucht man sich eine feste magnetische Flussdichte den dazugehörigen
Stromstärkewert . Dann wird zudem selben Wert der magnetischen Flussichte auch die
Länge der Spule und die Anzahl der Windungen suchen. Diese kann man dann in die
umgeformte Gleichung
-
𝑘=
𝐵 ∗𝑙
einsetzen und
𝑛∗𝐼
erhält k mit der Einheit 1
𝑇∗𝑚
𝐴
Einen Vergleich der Möglichkeiten für Feldstärkemessungen von Feldern durchführen
-
Man kann die Feldstärke entweder von im Feld selber messen, also durch die Kraft, die
auf geeignete Indikatoren wirkt
Oder von außen, durch die felderzeugenden Größen
Den Zusammenhang zwischen magnetischer Feldstärke und magnetischer Flussdichte angeben
Die magnetische Flussdichte ist definiert durch: 𝐵 = 𝜇0 ∗
Dabei ist die magnetische Feldstärke 𝐻 =
𝑛∗𝐼
.
𝑙
𝑛∗𝐼
.
𝑙
Dies gilt für eine langgezogene Spule.
Die magnetische Feldstärke lässt sich durch zwei
verschiedene physikalische Größen berechnen: die magnetische Flussdicht B und die magnetische
Feldstärke H. Die magnetische Feldstärke benutzt man zur Berechnung mit elektrischen Strömen
(also I) und die magnetische Flussdichte wird zur Berechnung der Lorenzkraft (𝐹𝑒𝑙𝑒𝑘𝑟𝑜𝑛 = 𝐵 ∗ 𝑒 ∗ 𝑣
herangezogen. Die beiden Feldgrößen sind über die magnetische Feldkonstante (Permeabilität)
verbunden, also: 𝜇0=𝐵 . Dabei ist diese materialabhängig.
𝐻
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1
Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
Die Kapazität eines Kondensators definieren und ihre Maßeinheit angeben
-
-
Die Kapazität beschreibt das Vermögen, bei einer bestimmten angelegten Spannung eine
bestimmte Anzahl von Ladungen aufzunehmen.
Aus einem Versuch, indem ein Kondensator mit eine bestimmten Spannung aufgeladen
worden ist und dann die Ladung über ein Ladungsmessgerät gemessen wurde, ergab sich
bei graphischer Auswertung eine Null-Punkt-Gerade
Daraus lässt sich schießen, dass die Ladung proportional zur angelegten Spannung ist,
also 𝑄 ~ 𝑈
Als Gleichung lässt sich schreiben, 𝑄 = 𝑘 ∗𝑈
-
Formt man diese nach k um, so erhält man 𝑘 =
-
Diese bestimmte Konstante k ist die Kapazität des Kondensators und hat das
-
-
physikalische Symbol C:
𝑄
𝑈
𝐶 𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚 𝑏
1 𝑉 𝑜𝑙𝑡
𝑄
𝑈
𝐶=
-
Als Einheit von C gilt: 𝐶 =
= 1𝐹 𝑎𝑟𝑎𝑑
-
Somit folgt, dass die Kapazität eine der Kerngrößen des Kondensators ist.
Die Flächenladungsdichte definieren und deren Maßeinheit angeben
-
Die Flächenladungsdichte beschreibt das Verhältnis von Ladungen auf einer Fläche
-
𝔊 =
𝑄
𝐴
Den Zusammenhang zwischen Flächenladungsdichte und der elektrischen Feldstärke darstellen
-
Bekannt ist die Formel für die Flächenladungsdichte, nämlich 𝔊 =
die Gleichung für die elektrische Feldstäke, nämlich 𝐸 =
-
𝑈
𝑑
𝑄
𝐴
⟺ 𝑄 = 𝐴 ∗ 𝔊 und
⟺ 𝑈 = 𝐸 ∗𝑑
Nun benötigt man eine 3. Gleichung, in der sowohl eine Größe der ersten, als auch eine
Größe der zweiten Gleichung vorkommt. Hierfür bietet sich die zuvor ermittelte
Gleichung zur Bestimmung der Kapazität an, nämlich 𝐶 =
𝑄
𝑈
-
Diese Gleichung wird noch nach 𝑄 = 𝐶 ∗ 𝑈 umgeformt, bevor man hier die anderen
Gleichungen einsetzt.
Es ergibt sich: 𝐴 ∗ 𝔊 = 𝐶 ∗ 𝐸 ∗ 𝑑
-
Teilt man nun noch durch die Fläche A, so erhält man: 𝔊 =
-
Man kann also feststellen, dass die Flächenladungsdichte proportional zur elektrischen
Feldstärke ist.
-
Die Konstante
-
D.h.
-
𝐶∗𝑑
𝐴
𝐶∗𝑑
𝐴
𝐶∗𝑑
𝐴
∗𝐸
hängt dabei von den zu beeinflussenden Größen des Kondensators ab.
gibt die Bauart des Kondensators an.
Dieser Quotient aus Kapazität, Entfernung der Kondensatorplatten und der Fläche wird
auch elektrische Feldkonstante genannt und mit ℇ𝑜 bezeichnet
Für alle elektrischen Felder, also auch die, die nicht durch einen Kondensator erzeugt
werden gilt der Zusammenhang: 𝔊 = ℇ𝑜 ∗ 𝐸
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2
Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
Die Abhängigkeit der Kapazität von den Kondensatorabmessungen deduktiv ermitteln
𝐶∗𝑑
𝐴
= ℇ𝑜 ist bekannt
-
Die Formel zur Berechnung der elektrischen Feldkonstante
-
Nun lässt sich diese zunächst einmal nach C, also der Kapazität umformen: 𝐶 = ℇ𝑜 ∗
-
Hieraus kann man sehen, dass die Kapazität sich proportional zur Fläche des
Kondensators verhält  also je größer der Kondensator ist, desto größer ist auch die
Kapazität
Außerdem lässt sich feststellen, das sich C und d antiproportional zueinander verhalten
 also je größer die Distanz zwischen den beiden Kondensatorplatten ist, desto kleiner
wird die Kapazität.
-
𝐴
𝑑
Den Einfluss von Materie auf das elektrische Feld und auf die Kapazität von Kondensatoren
beschreiben
-
-
Beim hineinbringen eines Isolators in ein elektrisches Feld eines Kondensator, wird die
Kapazität des Kondensators erhöht
Dieses beruht auf Ladungspolaristationen im Isolator. Dabei gleichen sich die Ladungen, die
auf dem Isolator sind, teilweise mit denen auf dem Kondensator aus und dies hat einen
Spannungsabfall zur Folge
Man sagt auch, dass die Oberflächenladung einen Teil der auf dem Kondensator befindlichen
Ladung Q an sich bindet
𝑄
-
Ein Dielektrikum erhöht somit die Kapazität des Kondensators, da 𝐶 = 𝑈 gilt: je kleiner die
-
Spannung, desto mehr Ladung passt auf den Kondensator – genau dies ist beim
Dieelektrikum der Fall.
Die Kapazität erhöht sich dabei um den Faktor 𝜀𝑟 die Dielektrizitätszahl
Die Bedeutung der Dielektrizitätszahl ermitteln
-
Das Verhältnis der Kapazität eines Kondensators mit Dielektrikum ( C ) zu einem Kondensator
ohne Dielektrikum (𝐶0 ) nennt man Dielektrizitätszahl
o
-
-
𝜀𝑟 =
𝐶
𝐶0
Es folgt somit, dass die Kapazität eines Kondensators folgendermaßen definiert ist:
𝐴
𝐶 = 𝜀𝑟 ∗ 𝜀𝑜 ∗
𝑑
Die Dielektrizitätszahl ist dabei eine vom Isolator stoffabhängige Größe
Die Energie des elektrischen Feldes eines Plattenkondensators deduktiv herleiten
-
Die Grundfrage lautet: wie viel energie kann in einem Kondensator gespeichert werden.
Energie ist definiert als:
∆𝐸 = 𝑊 = 𝐹 ∗𝑑 [𝐾 𝑟𝑎𝑓𝑡∗𝑆𝑡𝑟𝑒𝑐𝑘𝑒] wobei Arbeit Energie im Übergang ist
Es gilt:
∆𝑊
𝑈=
∆𝑄
∆𝑊 = 𝑈 ∗ ∆𝑄
∆𝐸 = 𝑈 ∗ ∆𝑄
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PHYSIX
Wenn man sich nun vorstellt, dass die Spannungsquelle Energie aufbrinegn muss, um eine Ladung
von einre Kondensatorplatte zur anderen Bringen, erhält man die Gesamtenergie durch
Aufsummieren der Energien. Dieses ist möglich, da ja Energie = Arbeit = Kraft * Strecke und durch die
obige Umformung Energie = Spannung *Ladung. Das Aufsummieren dieser Energien wird ermöglicht
durch: lim 𝑖𝑈𝑖 ∗ ∆𝑄 . Die Teilenergien werden also mit zunehmender Spannung immer größer
𝑖→ ∞
(deshalb iunendlich).
Man erhält daraus:
𝑄 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚 𝑡
𝑊 =
𝑈 𝑑𝑄 | 𝑑𝑎 𝑈 =
0
𝑄 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚 𝑡
0
1
𝐶
𝑄
𝐶
𝑄
𝑑𝑄
𝐶
𝑄 𝑔𝑒𝑠𝑚 𝑎𝑡
𝑄 𝑑𝑄
0
1 𝑄2
… .0 → 𝑄 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚 𝑡
𝐶 2
1 (𝑄 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚 𝑡 )2
[
− 0]
𝐶
2
1(𝑄 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚 𝑡 )2
𝑄
|𝑑𝑎 = 𝑈 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑡:
2𝐶
𝐶
1
𝑊 = 𝑄 ∗ 𝑈 |𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑎 𝑄 = 𝑈 ∗ 𝐶 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑡, 𝑑𝑎𝑠𝑠:
2
1
𝑊 = 𝑈2 ∗𝐶
2
Es folgt somit in der Übersicht:∆𝐸 = 𝑊 =
Mit 𝑎) 𝑊
=1
𝐶2
𝐶
𝑉
1 𝑄2
2 𝐶
1
2
1
2
= 𝐶 ∗𝑈2 = 𝑄 ∗𝑈
= 1𝐶 ∗𝑉 = 1𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒
1𝑉𝑜𝑙𝑡= 1
𝐶
∗ 𝑉 2 = 1𝐶 ∗ 𝑉 = 1𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒
𝑉
𝑏) 𝑊
=1
𝑐) 𝑊
= 1𝐶 ∗ 𝑉 = 1 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒
𝐽
𝐶
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
Einen Versuch zur Entladung eines Kondensators beschreiben
Die Spannungsquelle wird an einen Stromkreislauf
angeschlossen. Der Kondensator wird durch
umlegen des Schalters entweder aufgeladen oder
entladen, welches über einen Widerstand
funktioniert. Der Spannungsabfall wird dann am
Kondensator aufgenommen und in einem Diagramm
dargestellt.
U2
V
U1
U3
Den funktionalen Zusammenhang der zeitlichen
Veränderung der Spannung am Kondensator beim Entlade- und Aufladevorgang aus Messwerten
induktiv ermitteln:
Zur Bearbeitung dieser Aufgabe müssen die von Herrn Gehrmann ausgeteilten Diagramme
herangezogen werden:+
Entladevorgang:
-
-
-
Aus dem Diagramm kann man entnehmen, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt.
Die generelle Form dieser Funktion lautet:
o 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑒𝑐∗𝑥 , wobei c=m, also die Steigung
Ziel ist es, dies zu beweisen und die Funktion in die Form Y=b+m*x zu bringen, also in eine
Geradengleichung um proportionalitäten feststellen zu können.
UMFORMUNG ZUR LINEARISIERUNG:
o 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑒𝑐∗𝑥 |𝑙𝑛
o ln 𝑦 = ln 𝑎 + ln 𝑒𝑐∗𝑥
o ln 𝑦 = ln 𝑎 + ln 𝑐 ∗ 𝑥 + ln 𝑒
o ln 𝑦 = ln 𝑎 + ln 𝑐 ∗ 𝑥
o Dies entspricht der Form y=b+m*x
Nach ziehen des natürlichen Logarithmus wird das Diagramm erneut aufgezeichnet:
Aus:
wird:
y
ln y
t/ms
-
t/ms
Man ermittelt nun die Steigung der Geraden an einer Stelle, welche man in der Gleichung für
c einsetzt. Den Wert für a erhält man, indem man für t=x Null einsetzt und somit einfach den
ersten Wert zum Zeitpunkt 0 nimmt, da dann ec*= =1 dort steht. Somit ist a gleich der Wert y
zum Zeitpunkt 0.
Aufladevorgang:
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
-
Das Diagramm wird ähnlich linearisirt,nur,dass m an als „neue“ x-Achse die Spannung zum
Zeitpunkt 0 nimmt,da das D iagram m eine „gespiegelte“ e-Funktion darstellt:
Neue 0-Achse
Bestimmung dieser Länge als y-Achsenwert
-
Die Linearisierung und Ermittlung der empirischen Funktion erfolgt wie oben beschrieben.
Die Differentialgelichung für den Entlade- und Aufladevorgang beim Kondensator aufstellen und dazu
eine Lösungsfunktion entwickeln
Entladevorgang
Notwendige Vorüberlegungen:
-
-
-
Nach dem Prinzip der Maschenregel ist die
Spannung folgendermaßen beschrieben:
𝑈1 = 𝑈 𝑅 + 𝑈 𝐶
Bei der Entladung ist U1 =0, da der
U1
Kondensator ja entladen werden soll und
somit keine Netzspannung mehr vorhanden
sein darf.
Eine wichtige Beziehung für die Verwendung
lautet:
∆𝑄
𝑄 ′ 𝑡 = lim
=𝐼𝑡
∆𝑡→ ∞ ∆𝑡
Somit ist also die Ableitung der Ladung gleich der Stromstärke
UC
V
UR
Aufstellung der Differentialgleichung:
𝑈1 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐶 |𝑑𝑎 𝑈𝑅 = 𝑅 ∗𝐼 𝑢𝑛𝑑 𝑈𝐶 =
𝑄
𝑓𝑜𝑙𝑔𝑡:
𝐶
1
𝑄 (𝑡)|𝑑𝑎 𝐼 𝑡 = 𝑄 ′(𝑡)
𝐶
1
0 = 𝑅 ∗𝑄 ′ 𝑡 + 𝑄 (𝑡)| ∗𝐶
𝐶
0 = 𝑅𝐶 ∗ 𝑄 ′ 𝑡 + 𝑄 (𝑡)| − 𝑄 (𝑡)
− 𝑄 𝑡 = 𝑅𝐶 ∗ 𝑄 ′ 𝑡 ÷ 𝑄 𝑡 ÷ 𝑅𝐶
1
𝑄′ 𝑡
𝑓′ 𝑥
−
=
|𝑎𝑛𝑤 𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑟𝑒𝑔𝑒𝑙
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑓 𝑥 + 𝐾
𝑅𝐶 𝑄 𝑡
𝑓𝑥
1
𝑄′ 𝑡
−
𝑑𝑡 =
𝑑𝑡 |𝑑𝑎 𝑑𝑄 = 𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑄 𝑡
0 = 𝑅 ∗𝐼 𝑡 +
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
−
−
1
1
𝑑𝑡 =
𝑅𝐶
1
𝑑𝑄
𝑄 𝑡
1
∗𝑡+ 𝐾 = ln 𝑄 𝑡 |𝑒 ↑
𝑅𝐶
𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡+𝐾 = 𝑒ln 𝑄
𝑡
| 𝑑𝑎 𝑒𝐾 𝑖𝑟𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑍𝑎𝑕𝑙𝑖𝑠𝑡: 𝐾
1
𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡 ∗ 𝐾 = 𝑄 𝑡 |𝐾 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚 𝑚 𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑖𝑡= 0
1
𝑄 0 = 𝑒− 𝑅𝐶 ∗0 ∗ 𝐾
𝑄 0 = 1 ∗𝐾
1
∴ 𝑄 𝑡 = 𝑄 0 ∗ 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡 |𝑑𝑎 𝑄 = 𝐶 ∗𝑈
1
𝑄 𝑡 = 𝐶 ∗ 𝑈1 ∗ 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡
Ladungsverlauf zum Zeitpunkt t am
Kondensator --- LADUNG
Zur deduktiven Entwicklung zur Spannung, Ladung und Stromstärke, siehe nächster
Punkt.
Aufladevorgang
Notwendige Vorüberlegungen:
-
UC
Nach dem Prinzip der Maschenregel gilt:
𝑈1 = 𝑈 𝑅 + 𝑈 𝐶
Allerdings ist diesmal bei der Aufladung U1
nicht Null, da ja Spannung benötigt wird zum
Aufladen.
V
U1
UR
Aufstellen der Differentialgleichung:
𝑈1 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐶 |𝑑𝑎 𝑈 =
𝑄
𝐶
𝑄1
𝑄𝐶 𝑡
= 𝑅 ∗ 𝐼(𝑡)
|𝑄1 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡, 𝑑𝑒𝑠𝑤 𝑒𝑔𝑒𝑛 𝑛𝑖𝑐𝑕𝑡 𝑧𝑒𝑖𝑡𝑎𝑏𝑕ä𝑛𝑔𝑖𝑔
𝐶
𝐶
𝑄1
𝑄𝐶 𝑡
= 𝑅 ∗𝑄′ 𝑡 +
| ∗𝐶
𝐶
𝐶
𝑄1 = 𝑅𝐶 ∗ 𝑄 ′ 𝑡 + 𝑄 𝐶 𝑡 |𝑑𝑒𝑟/𝑑𝑡
0 = 𝑅𝐶 ∗𝑄 ′′ 𝑡 + 𝑄 ′𝐶 𝑡 |𝑑𝑎 𝐼 𝑡 = 𝑄 ′(𝑡)
0 = 𝑅𝐶 ∗𝐼′ 𝑡 + 𝐼𝐶 (𝑡)| ÷ 𝐼′(𝑡)
0 = 𝑅𝐶 +
− 𝑅𝐶 =
−
𝐼𝐶 𝑡
| − 𝑅𝐶
𝐼′ 𝑡
𝐼𝐶 𝑡
|𝐾 𝑒𝑕𝑟𝑤 𝑒𝑟𝑡, 𝑢𝑚 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑟𝑒𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑧𝑢𝑤 𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛
𝐼′ 𝑡
1
𝐼′ 𝑡
=
|
𝑅𝐶 𝐼𝐶 𝑡
𝑑𝑡
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
−
1
𝑑𝑡 =
𝑅𝐶
𝐼′ 𝑡
𝑑𝑡|𝑑𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼
𝐼𝐶 𝑡
−
1
𝑑𝑡 =
𝑅𝐶
1
𝑑𝐼 |𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑒𝑛 𝑚 𝑒𝑕𝑟𝑒𝑟𝑒 𝑆𝑐𝑕𝑟𝑖𝑡𝑡𝑒 𝑎𝑢𝑓 𝑒𝑖𝑛𝑚 𝑎𝑙, 𝑠𝑖𝑒𝑕𝑒 𝑣𝑜𝑟𝑕. 𝑆𝑒𝑖𝑡𝑒
𝐼𝐶 𝑡
1
𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡 ∗𝐾 = 𝐼𝑐(𝑡)| 𝑢𝑚 𝐾 𝑧𝑢 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚 𝑚 𝑒𝑛, 𝑤 𝑖𝑒 𝑜𝑏𝑒𝑛 𝑣𝑜𝑟𝑔𝑒𝑕𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑑 𝑚 𝑎𝑛 𝑒𝑟𝑕ä𝑙𝑡:
1
𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡 ∗ 𝐼(0) = 𝐼𝑐(𝑡)|einsetzten in Maschenregel, um Aufladespannung zu erhalten:
Die funktionalen Zusammenhänge der zeitlichen Veränderungen von Spannung, Ladung und
Stromstärke beim Entlade- und Aufladevorgang eines Kondensators deduktiv ermitteln
Entladevorgang:
Aus obriger Rechnung für die Entladung entnimmt man:
1. LADUNG: Ladungsverlauf zu jedem Zeitpunkt t am Kondensator bei der Entladung:
1
𝑄 𝑡 = 𝐶 ∗𝑈1 ∗𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡
2. SPANNUNG: Spannungsverlauf zu jedem Zeitpunkt t am Kondensator bei der Entladung:
1
𝑄 𝑡 = 𝐶 ∗𝑈1 ∗𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡| ÷ 𝐶
1
𝑄 𝑡
𝑄
= 𝑈1 ∗𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡|𝑑𝑎 𝑈 = 𝑔𝑖𝑙𝑡 𝑠𝑜𝑚 𝑖𝑡:
𝐶
𝐶
1
𝑈 𝑡 = 𝑈1 ∗ 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡
3. STROMSTÄRKE: Stromstärkeverlauf zu jedem Zeitpunkt t am Kondensator bei der Entladung:
1
𝑄 𝑡 = 𝐶 ∗𝑈1 ∗𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡|𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛 , 𝑑𝑎 𝐼 𝑡 𝑗𝑎 𝑄 ′ 𝑡 𝑖𝑠𝑡
𝑄 ′ 𝑡 = 𝐶 ∗ 𝑈1 ∗ −
𝑄′ 𝑡 = −
1
1
∗ 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡
𝑅𝐶
1
𝑈1
𝑈
∗ 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡|𝑑𝑎 = 𝐼 𝑈𝑁 𝐷 𝑑𝑎 𝑄 ′ 𝑡 = 𝐼 𝑡 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑡:
𝑅
𝑅
1
𝐼 𝑡 = − 𝐼1 ∗ 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
Aufladevorgang
Aus obriger Rechnung entnimmt man:
1. StOMSTÄRKE: Stromstärkeverlauf zu jedem Zeitpunkt t am Kondensator für die Aufladung:
1
𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡 ∗𝐼(0) = 𝐼𝑐(𝑡)
2. SPANNUNG: Spannungsverlauf zu jedem Zeitpunkt t am Kondensator für die Aufladung:
𝑈𝐶 𝑡 = 𝑈1 − 𝑅 ∗ 𝐼(𝑡)|𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧𝑡𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑓ü𝑟 𝐼(𝑡)
1
𝑈𝐶 𝑡 = 𝑈1 − 𝑅 ∗ 𝐼 0 ∗𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡|𝑑𝑎 𝑅 ∗𝐼(0) = 𝑈1
1
𝑈𝐶 𝑡 = 𝑈1 − 𝑈1 ∗𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡|𝑎𝑢𝑠𝑘𝑙𝑎𝑚 𝑚 𝑒𝑟𝑛
1
𝑈𝐶 𝑡 = 𝑈1 ∗(1 − 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡)
3. LADUNG: Ladungsverlauf zu jedem Zeitpunkt t am Kondensator für die Aufladung:
1
𝑈𝐶 𝑡 = 𝑈1 ∗(1 − 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡)| 𝑑𝑎 𝐶 =
𝑄
𝑄
⇒ 𝑈=
𝑈
𝐶
1
𝑄
𝑡 = 𝑈1 ∗ 1 − 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡 | ∗ 𝐶
𝐶𝐶
1
𝑄 𝐶 𝑡 = 𝐶 ∗ 𝑈1 ∗ (1 − 𝑒− 𝑅𝐶 ∗𝑡)
Aus der Entladekurve die Halbwertzeit ermitteln
-
Die Halbwertzeit beschreibt die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat.
In unserem Fall ist also die Zeit gesucht, in der sich die Spannung, des sich entladenden
Kondensators halbiert hat
𝑈
𝑉
𝑈1
1
𝑈
2 1
𝑡
𝑚𝑠
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𝑡1
2
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
-
In diesem Beispiel muss man wie folgt vorgehen:
a) Man sucht sich einen beliebigen Punkt auf der Funktion, in unserm Fall 𝑈1
b) Nun halbiert man den U-Wert und findet den U- für einen weiteren Punkt
c) Zu diesem U-Wert sucht man nun den dazugehörigen t-Wert
1
d) Die Halbwertzeit ist dann die Differenz der beiden t-Werte von 𝑈1 und 2 𝑈1
Bestimmung der Halbwertzeit mit Hilfe der e-Funktion
-
Die Halbwertzeit lässt sich auch aus der bereits bekannten Formel für die Entladung
herleiten.
Hierbei gehen wir nicht über die Spannung, sondern über die Stromstärke, was jedoch
später keinen Einfluss auf die Halbwertzeit hat
−
1
∗ 𝑇1
𝑅𝐶
2
-
𝐼 𝑇1 = 𝐼0 ∗ 𝑒
-
Wird 𝐼0 als Startwert gesetzt, so lässt sich das 𝐼 𝑇1
-
2
Somit folgt:
1
𝐼
2 0
−
= 𝐼0 ∗ 𝑒
auch als
2
1
∗ 𝑇1
𝑅𝐶
2
−
1
2
-
Diese Gleichung teilt man durch 𝐼0 und erhält: = 𝑒
-
Logerithmiert man dies, so erhält man: 𝑙𝑛 2 = −
1
1
𝑅𝐶
und bekommt: 𝑇1 =
1
− 𝑙𝑛 2
1
𝑅𝐶
1
𝐼
2 0
schreiben
1
∗ 𝑇1
𝑅𝐶
2
∗ 𝑇1
2
-
Man eilt durch −
-
Dies kann man nun noch vereinfachen indem man das Logarithmengesetz für Brüche
anwendet
Es ergibt sich: 𝑇1 = − R ∗C ∗ ln1 − ln2
-
Da 𝑙𝑛1 = 0 ist, lässt sich dies noch weiter vereinfachen: 𝑇1 = − 𝑅 ∗ 𝐶 ∗ (− 𝑙𝑛2)
-
Letztendlich bleibt also 𝑇1 = 𝑅 ∗ 𝐶 ∗ 𝑙𝑛2 stehen.
-
Mit dieser Formel lässt sich nun die Halbwertzeit berechnen.
2
∗𝑅 ∗𝐶
2
2
2
Den prinzipiellen Aufbau des Elektronenstrahlerzeugungsteils einer braunschen Röhre beschreiben
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
-
-
-
-
-
-
-
Am einen Ende des im Vakuum befindlichen Aufbaus befindet sich eine Glühwendel.
Wenn durch diese ein hoher Strom fließt, sie also heiß wird, werden durch den
glühelektrischen Effekt Elektronen aus dem Draht herausgeschossen
Diese werden im folgenden durch eine mit einer positiven Spannung versehenen
Kondensatorplatte beschleunigt. Zusätzlich können sie auch durch eine hinter dem Draht
befindliche Kathode beschleunigt werden.
Mit Hilfe einer negativen trichterförmigen Metallplatte werden die Elektronen zu einem
dünnen Strahl fokussiert.
Dieser Elektronenstrahl hat nun eine feste Geschwindigkeit und Richtung. In der
braunschen Röhre würde dieser Elektronenstrahl nun auf einem Schirm mit Hilfe eines
Sulfates sichtbar gemacht werden.
Im Falle eines Oszilloskops befinden sich nun noch 2 weitere Kondensatoren in der
Röhre. An beide kann nun eine Spannung angelegt werden, sodass dazwischen ein
homogenes elektrisches Feld entsteht.
Trifft nun der Elektronenstrahl in dieses Feld, so erfahren die Elektronen eine Kraft und
werden daher in die Richtung der positiven Kondensatorplatte, also der Anode
abgelenkt.
Da dies mit zwei Kondensatoren geschieht, die jeweils senkrecht zueinander stehen,
kann der Elektronenstrahl sowohl vertikal, als auch horizontal abgelenkt werden, was
eine Verschiebung des Auftreffens auf dem Schirm zur Folge hat.
Durch diesen Auftreffpunkt und die Verschiebung dessen ist es möglich, Spannungen zu
messen.
Den glühelektrischen Effekt (Edison-Effekt) beschreiben und deuten
-
Bei der Erhitzung eines Drahtes werden aus diesem Elektronen ausgesandt
Durch den erhöhten Elektronenfluss wird das Metall heiß und die Atome geraten mehr in
Schwingung.
Bei dieser Schwingung werden ziellos Elektronen aus dem Metall geschleudert.
Diese Elektronen kann man sich zu nutze machen, indem man versucht, sie zu steuern,
bzw. sie in eine bestimmte Richtung zu beschleunigen. Dies passiert mitpositv, bzw.
negativ geladenen Metallplatten.
Geradlinige Bewegungen durch Bewegungsgesetz beschreiben
a) Gleichförmige Bewegung
- Unter einer gleichförmigen Bewegung versteht man eine Bewegung, die zu jedem
Zeitpunkt die selbe Geschwindigkeit hat.
- Dabei gelten folgende Gesetze:
1. 𝑠 𝑡 = 𝑣0 ∗ 𝑡
2. 𝑣 𝑡 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
3. 𝑎 𝑡 = 0
b) Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
- Unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung versteht man eine Bewegung die
über den gesamten Zeitraum gleichmäßig beschleunigt, also immer schneller wird.
- Dabei gelten folgende Gesetze:
1. 𝑠 𝑡 =
1
2
𝑎 ∗ 𝑡2
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
2. 𝑣 𝑡 = 𝑎 ∗ 𝑡
3. 𝑎 𝑡 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
Das Unabhängigkeitsgesetz für Bewegungen nennen
-
Das Unabhängigkeitsgesetz gilt, wenn man eine überlagerte Bewegung, also eine
Bewegung, die auf unterschiedlichen Kräften beruht, beispielsweise der Wurf, bei dem
der Gegenstand mit einer konstanten Bewegung aus der Hand fliegt und gleichzeitig
durch die Erdanziehungskraft beschleunigt wird, betrachtet, so kann man jede dieser
Bewegungen einzeln erfassen und berechnen und dann später eine Addition der
Bewegungen durchführen, wobei man Richtung und Länge beachten muss, um die
vollständige Bewegung zu erhalten.
Die Gleichung der Bahnkurve des Elektronenstrahls inerhalb der Ablenkplatten herleiten
y
-------------------------------------------
P(P ; y(P))
x
++++++++++++++++++++++++
P
B
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
-
-
Innerhalb der Ablenkplatten wird der Elektronenstrahl normaler weise gerade auf der xAchse fliegen, also:
X(t)=v0*t [s(t)=v0*t, also das Gesetz der gleichförmigen Bewegung]
Allerdings wird der Elektronenstrahl beschleunigt und zwar zur Anode hin. Dieses geschieht
entlang der y-Achse und wird beschrieben durch:
1
𝑦 𝑡 = 2 𝑎 ∗ 𝑡2 , es handelt sich hierbei um eine gleichmäßige Beschleunigung, da das
Elektron über den gesamten Zeitraum an Geschwindigkeit gewinnt. Dabei ist a die
Beschleunigung, die abhängig ist von der elektrischen Feldstärke und ausgedrückt wird
durch:
𝐹 = 𝑚 ∗𝑎|𝑀 𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛𝑏𝑒𝑠𝑐𝑕𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔
Allgemein gilt, dass die Beschleunigung definiert ist, indem eine Kraft auf eine Masse gilt. In
unserem Fall ist diese Kraft, die elektrische Feldkraft die gegeben ist durch:
𝐹𝑒𝑙 = 𝐸 ∗ 𝑄
Durch einsetzen erhält man:
𝐸 ∗ 𝑄 = 𝑚 ∗𝑎|𝑢𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑐𝑕 𝑎, 𝑑𝑎 𝑤 𝑖𝑟 𝑗𝑎 𝑑𝑖𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑐𝑕𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑤 𝑖𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑜𝑙𝑙𝑒𝑛
𝐸 ∗𝑄
𝑈
𝑎=
|𝑑𝑎 𝐸 = 𝑒𝑟𝑕ä𝑙𝑡 𝑚 𝑎𝑛:
𝑚
𝑑
𝑈 ∗𝑄
𝑎=
|𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑖𝑛 𝐹𝑜𝑟𝑚 𝑒𝑙𝑓ü𝑟 𝑑𝑖𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑐𝑕𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑒𝑛𝑡𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑟 𝑦 − 𝐴𝑐𝑕𝑠𝑒:
𝑚 ∗𝑑
1 𝑈 ∗𝑄
𝑦𝑡 =
∗𝑡2
2 𝑚 ∗𝑑
Diese Funktion drückt die Gleichung der Bahnkurve innerhalb der Ablenkplatten aus. Da man ein tt
hat, handelt es sich um eine Parabel. Unter Betrachtung der Anfangsgeschwidigkeit erhält man:
𝑦𝑡 =
𝑦𝑥 =
1 𝑈 ∗𝑄
𝑥(𝑡)
∗𝑡2 |𝑑𝑎 𝑡=
2 𝑚 ∗𝑑
𝑣0
1 𝑈 ∗𝑄 𝑥2
2 𝑚 ∗𝑑 𝑣0 2
Die Gleichung der Bahnkurve des Elektronenstrahls außerhalb der Ablenkplatten
Außerhalb der Ablenkplatten findet keine vertikale Beschleunigung mehr statt und es handelt sich
also nur noch um eine gleichförmige Bewegung. Dafür wird das Elektron also ab dem Punkt P
(Ausflugpunkt aus den Ablenkplatten)nicht mehr beschleunigt und fliegt in gerade Bahn weiter. Diese
Gerade lässt sich z.B. mit Hilfe der Punkt-Steigungsform errechnen:
𝑦 𝑥 = 𝑚 𝑥 − 𝑃 + 𝑦(𝑃)|𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧𝑡𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝐹𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑛
1. Bestimmung der Steigung m:
𝑦𝑥 =
1 𝑈 ∗𝑄 𝑥2
|𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛, 𝑢𝑚 𝑆𝑡𝑒𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑧𝑢 𝑒𝑟𝑕𝑎𝑙𝑡𝑒𝑛
2 𝑚 ∗𝑑 𝑣0 2
𝑦′ 𝑃 =
𝑈 ∗𝑄 𝑃
𝑚 ∗𝑑 𝑣0 2
Es wird die Steigung am Punkt P benötigt, da diese die Steigung der Geraden
wiedergibt.
2. Einsetzen in Punkt-Steigungsform:
© Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
∗𝑄 𝑃
1 𝑈 ∗𝑄 𝑃 2
𝑥
−
𝑃
+
∗𝑑 𝑣0 2
2 𝑚 ∗𝑑 𝑣0 2
∗𝑄 𝑃 ∗ 𝑥 𝑈 ∗ 𝑄 𝑃 2 1 𝑈 ∗ 𝑄 𝑃 2
𝑈 ∗𝑄
−
+
|
∗𝑃 𝑎𝑢𝑠𝑘𝑙𝑎𝑚 𝑚 𝑒𝑟𝑛
2
2
2
∗𝑑 𝑣0
𝑚 ∗ 𝑑 𝑣0
2 𝑚 ∗ 𝑑 𝑣0 𝑚 ∗ 𝑑 ∗ 𝑣02
𝑈 ∗𝑄
1
𝑦𝑥 =
2 ∗𝑃 𝑥 − 𝑃 + 2 𝑃
𝑚 ∗𝑑 ∗𝑣0
𝑈 ∗𝑄
𝑃
𝑦𝑥 =
2 ∗ 𝑃(𝑥 − 2 )
𝑚 ∗𝑑 ∗𝑣0
Diese Gleichung drückt die Funktion der Geraden außerhalb der Ablenkplatten aus.
𝑈
𝑚
𝑈
𝑦𝑥 =
𝑚
𝑦𝑥 =
Die Gleichung für die Vertikalablenkung des Elektronenstrahls auf dem Oszilloskopschirm begründet
herleiten
Bisher wurde nur die Gleichung für die Ablenkung innerhalb der Ablenkplatten berechnet, sowie die
Geradengleichung außerhalb der Ablenkplatten. Um den kompletten Bahnverlauf anzugeben muss x
ersetzt werden gegen den kompletten Weg, den das Elektron zurücklegt, also x=(P+B)
Man erhält somit:
𝑈 ∗𝑄
𝑃
𝑦𝑥 =
∗𝑃((𝑃 + 𝐵) − )
𝑚 ∗𝑑
2
𝑈 ∗𝑄
𝑃
𝑦𝑥 =
∗𝑃(𝐵 + )
𝑚 ∗𝑑
2
Diese Funktion stellt also nun die Ablenkung des Elektronenstrahls auf dem Oszilloskopschirm an.
Die Geschwindigkeit von Elektronen im Kathodenstrahl berechnen über Energiebetrachtung
-
-
Das Elektron, welches sich im Kathodenstrahl befindet trifft in das homogene elektrische
Feld des Kondensators. Auf die Ladung des Elektrons wirkt dabei eine Kraft, nämlich
𝐹 = 𝑞 ∗𝐸
Ist die Feldstärke E konstant, so gilt auch das Massenbeschleunigungsgesetz 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎
-
Daraus ergibt sich: 𝑎 =
-
Für F lässt sich nun das oben ermittelte Produkt einsetzen, also 𝑎 =
-
Bei einem Elektron, das ja eine konstante Masse und Ladung hat, gilt also, das es in
einem konstanten elektrischen Feld gleichmäßig beschleunigt wird.
Wenn das Elektron nun eine Strecke der Länge d innerhalb des Kondensators zurücklegt,
so muss dabei eine Arbeit geleistet werden, also Energie aufgewendet werden.
Für die Arbeit gilt zunächst: 𝑊 = 𝐹 ∗𝑑
Das F lässt sich in diesem Feld wiederum durch 𝐹 = 𝑞 ∗𝐸 darstellen
Daraus folgt dann: 𝑊 = 𝑞 ∗ 𝐸 ∗ 𝑑
-
𝐹
𝑚
𝑞∗𝐸
𝑚
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Lernzettel Nr. 2
PHYSIX
𝑈
-
Da 𝐸 = 𝑑 ⟺ 𝑈 = 𝐸 ∗ 𝑑 kann das 𝐸 ∗ 𝑑 durch U ersetzt werden, also 𝑊 = 𝑞 ∗ 𝑈
-
Die Arbeit an der Ladung lässt sich auch in Form von Bewegung darstellen, wobei gilt:
𝑊 =
1
2
𝑚 ∗ 𝑣2
-
Nun kann man die Arbeit gleichsetzen und erhält: 𝑞 ∗𝑈 =
-
Nun muss man nach v umformen und erhält:
𝑣=
1
2
𝑚 ∗ 𝑣2
𝑄
2 𝑚 ∗𝑈
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