Verbindung der vier Grundrechenarten bei natürlichen Zahlen

Verbindung der vier Grundrechenarten bei natürlichen Zahlen
1. Gegeben ist folgender Term:
25345 + 4325 − 3254 + 1237 − 9876
(a) Berechne den Wert des Terms.
(b) Wie verändert sich das Ergebnis, wenn alle Zahlen um 7 verkleinert werden?
(c) Wie verändert sich das Ergebnis, wenn alle Plusglieder um 3 vergrößert und
alle Minusglieder um 4 verkleinert werden?
Lösung: (a) 17777, (b) Ergebnis ist um 7 kleiner.
(c) Ergebnis ist um 17 größer.
2. Erkläre den (oder die) Fehler in folgender Aufgabe und verbessere die Aufgabe!
[(198 − 76) + 51] − 35 = 198 − 76 = 122 + 51 = 173 − 35 = 138
Lösung:
[(198 − 76) + 51] − 35 = [122 + 51] − 35 = 173 − 35 = 138
3. Berechne:
(a) (34 + 2719) : 35 − 14
(b) (162 − 254) + 172
Lösung: (a) 66
(b) 291
4. Stelle einen Term auf und berechne seinen Wert:
Subtrahiere von der Differenz der Zahlen 2736 und 138 die doppelte Summe aus
dem Quotienten der Zahlen 7470 und 18 und der Zahl 95.
Lösung: (2736 − 138) − 2 · (7470 : 18 + 95) = · · · = 1578
5. Berechne geschickt unter Verwendung von Rechengesetzen:
192 + (308 + 74) + (117 + 916) + 403
Lösung: (192 + 308) + (74 + 916) + (117 + 403) = 500 + 990 + 520 = 2010
1
6. Berechne den Wert des folgenden Terms:
[2135 − 172 · 5 + (810 − 153) : 9] + 83
Lösung: 1275
7. Stelle mit den Zahlen 25, 9, 8 und 5 verschiedene Terme auf und berechne sie. Bei
mindestens drei Termen soll das Ergebnis zwischen 100 und 120 liegen.
Lösung: Z. B. 25 · 5 − 9 − 8 = 108, (25 + 8 − 9) · 5 = 120, (25 + 9) · (8 − 5) = 102
8. Korrigiere, falls erforderlich?
(a) 5 · 12 = 60
(b) 9 − 3 : 3 = 2
(c) 8 − 2 : 2 = 7
(d) 32 + 19 = 41
Literatur: PM 4/43, Jg. 2001
Lösung: (a)
(b)
(c)
(d)
OK
9−3 : 3=8
OK
32 + 19 = 51
9. Korrigiere, falls erforderlich?
(a) 3 · 4 + 2 = 14
(b) 5 + 5 · 2 = 20
(c) 8 − 4 : 2 = 4
Literatur: PM 4/43, Jg. 2001
Lösung: (a) OK
(b) 5 + 5 · 2 = 15
(c) 8 − 4 : 2 = 6
10. Welche der Aussagen sind falsch? Gib jeweils eine Begründung an!
(a) Alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar.
(b) Alle ungeraden Zahlen sind durch 3 teilbar.
2
(c) Für die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 und 5 gilt immer, dass die Summe zweier Zahlen
größer ist als die Summanden.
Literatur: PM 3/43. Jg. 2001
Lösung: (a) OK
(b) Gegenbeispiel: 7 ist eine ungerade Zahl und nicht durch 3 teilbar.
(c) Gegenbeispiel: 0 + 1 = 1 ist nicht größer, sondern nur gleich 1.
11. Ersetze die Sternchen durch Zahlen, so dass eine richtige gelöste Aufgabe entsteht!
(a) ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ = 1
(b) (∗ + 6)2 = 4 ∗
(c) 4 ∗ + ∗ ∗ 3 = ∗ ∗ 02
Literatur: PM 3/43. Jg. 2001
Lösung: (a) 1000 − 999 = 1
(b) (1 + 6)2 = 49
(c) 49 + 953 = 1002
12. Stelle jede der Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 mit Hilfe von genau vier Vieren und unter
Verwendung von Operationszeichen und Klammern dar.
Literatur: PM 3/43. Jg. 2001
Lösung: Z. B.: 1 = (4 + 4) : (4 + 4), 2 = 4 : 4 + 4 : 4; 3 = (4 · 4 − 4) : 4, 4 = 4 · (4 − 4) + 4,
5 = 44−4 + 4
13. Berechne: 4 · 4 + 4 · 2 + 4 · (2 + 2)
Lösung: 40
14. (a) Berechne folgenden Term durch Nebeneinanderrechnen:
3595 + [2385 − 8 · 125]
(b) Löse folgende Gleichung:
(15 · 12) + (137 − 48) − x = 8 · 25;
(c) Gib die Lösungsmenge für folgende Gleichung an:
x3 · (x − 12) · (x2 + 16) · (x3 − 8) = 0;
(d) Gib die Lösungsmenge folgender Ungleichung an:
50 < x2 < 100;
3
Lösung: (a)
(b)
(c)
(d)
4980
x = 69
L = {2; 12}
L = {8; 9}
15. Berechne:
(a) 1293 · 20109
(b) 72 + (22 )3 + 152
Lösung: (a) 26 000 937
(b) 338
16. Berechne das Produkt 473 · 9998 vorteilhaft. Schreibe auch den Namen und die
Formel des dabei verwendeten Gesetzes hin!
Lösung: 473 · (10 000 − 2) = 4 730 000 − 946 = 4 729 054, Distributivgesetz
17. (a) Für die Addition und die Multiplikation haben wir je zwei Rechengesetze kennengelernt, ein Weiteres für die Verknüpfung von Addition und Multiplikation.
Schreibe die Namen und die Formeln der drei Rechengesetze hin!
(b) Berechne vorteilhaft unter Anwendung der Rechengesetze aus Teilaufgabe (a):
893 · 428 + 893 · 571 =
Lösung: (a) Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz
(b) 893 · (428 + 571) = 893 · 999 = 893 · (1000 − 1) = 893 000 − 893 = 892 107
18. (a)
28 − 5 · 33
Lösung: (a) 14 641
19. Berechne:
Lösung: (a) 12
2
=
(b)
28 − 3 · 43
2
=
(b) 4096
(a) 30 − 3 · 23 + 2 · 3
(b) 17
(b) 34 − 43
(c) 2647 − 3 · 23+2·3
(c) 1111
20. (a) Berechne folgende Summen: 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, 1 + 3 + 5 + 7 + 9,
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
(b) Finde mit Hilfe der berechneten Summen ein mathematisches Gesetz!
4
(c) Erkläre das mathematische Gesetz!
Lösung: (a) 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64
(b) Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen, erhält man als Wert der Summe die Zahl
n2 .
(c) 1 + 3 = 2 · 2
1 + 3 + 5 = (1 + 5) + 3 = 2 · 3 + 3 = 3 · 3
1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 7) + (3 + 5) = 2 · (2 · 4) = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 9) + (3 + 7) + 5 = 2 · (2 · 5) + 5 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = (1 + 11) + (3 + 9) + (5 + 7) = 3 · (2 · 6) = 62
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 =
(1 + 13) + (3 + 11) + (5 + 9) + 7 = 3 · (2 · 7) + 7 = 72
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 =
(1 + 15) + (3 + 13) + (5 + 11) + (7 + 9) = 4 · (2 · 8) = 82
21. (500 − 5 · 34 ) : (212 − 37 − 2 · 54 − 73 − 172 − 23 ) =
Lösung: (500 − 5 · 81) : (4096 − 2187 − 1250 − 343 − 289 − 8) = 95 : 19 = 5
22. (a) Schreibe die Formel des Distributivgesetzes hin.
(b) Untersuche an einem geeigneten Beispiel, ob das Assoziativgesetz der Division
gilt.
(c) Berechne vorteilhaft:
99998 · 572
Lösung: (a) a · (b + c) = a · b + a · c
(b) 32 : 8 : 2 = 2, 32 : (8 : 2) = 8, d. h. das Assoziativgesetz gilt nicht
(c) (100 000 − 2) · 572 = 57 200 000 − 1144 = 57 198 856
23. (a) Berechne 35 − 53 − 2 · 32 .
(b) In dem Rechenausdruck aus Teilaufgabe (a) ist jetzt ein Klammerpaar so zu
setzten, dass der Wert des Ausdrucks möglichst groß wird. Die Reihenfolge
der Zahlen darf dabei nicht verändert werden. Mindestens zwei Versuche mit
Ergebnis!
Lösung: (a) 100
(b) (35 − 5)3 − 2 · 32 = 2383 − 18 = 13 481 272 − 18 = 13 481 254
(35 − 53 − 2 · 3)2 = 1122 = 12 544
(35 − 53 − 2) · 32 = 116 · 9 = 1044
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