Lehrskript 2011 Kap.01

Fachrechnen für Bauberufe
Fachrechnen für Bauberufe
1 Arithmetik – Algebra
2 Proportionalität
3 Trigonometrie
4 Planimetrie
5 Stereometrie
6 Allgemeines Rechnen
Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
Inhaltsverzeichnis
1
Allgemeines .......................................................................................................................... 3
1.1
Runden, Fehlerrechnung, Genauigkeit ...................................................................................... 6
1.2
Zahlensysteme ...................................................................................................................... 8
2
Addieren ............................................................................................................................... 9
2.1
Regeln.................................................................................................................................. 9
3
Subtrahieren ....................................................................................................................... 10
3.1
Regeln................................................................................................................................ 10
4
Rechnen mit Klammern, Vermischte Aufgaben......................................................................... 11
4.1
Regeln................................................................................................................................ 11
4.2
Übungen ............................................................................................................................. 12
5
Multiplizieren....................................................................................................................... 14
5.1
Regeln................................................................................................................................ 14
6
Dividieren / Bruchrechnen..................................................................................................... 16
6.1
Regeln: .............................................................................................................................. 16
6.2
Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (kgV)............................................................... 18
6.3
Regeln zum Bruchrechnen..................................................................................................... 19
7
Potenzieren ......................................................................................................................... 22
7.1
Allgemeines ........................................................................................................................ 22
7.2
Regeln zum Potenzieren ....................................................................................................... 24
8
Radizieren (Wurzelziehen) .................................................................................................... 27
8.1
Allgemeines ........................................................................................................................ 27
8.2
Regeln zum Radizieren ......................................................................................................... 28
9
Gleichungen und Formeln ..................................................................................................... 31
9.1
Bestimmungsgleichungen ..................................................................................................... 32
9.2
Formeln .............................................................................................................................. 36
9.3
Gleichungen mit mehreren Variablen ...................................................................................... 37
10
Rechnen mit Einheiten und Grössen ....................................................................................... 39
11
Textgleichungen und vermischte angewandte Aufgaben ............................................................ 40
11.1
Übungen ............................................................................................................................. 41
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1-1: SI – Einheiten ............................................................................................................ 3
Abbildung 1-2: Strecke-Zeit-Masse ..................................................................................................... 4
Bemerkung
Ausgabe 2011
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Fachrechnen für Bauberufe
1
Arithmetik-Algebra
Allgemeines
Einheiten und Grössen
Jede physikalische Grösse ist das Produkt aus Zahlenwert und Einheit.
Beispiel:
Ein Gebäude hat eine Länge l = 12.00 m.
l
12.00
m
Grösse
Zahlenwert
Einheit
Beim Rechnen haben wir es in der Regel nicht ausschliesslich mit Zahlenwerten zu tun, sonder mit
physikalischen Grössen. Die Einheiten gehören also unbedingt zu einer Rechnung und zum Resultat.
Regeln zum Rechnen mit physikalischen Grössen:
Regel:
Beispiel:
Physikalische Grössen können nur addiert,
bzw. subtrahiert werden, wenn die Einheiten gleich sind.
2 m + 8 m – 5 m = (2 + 8 – 5)m = 5 m
Man addiert, bzw. subtrahiert, die Zahlenwerte und behält die Einheit bei oder wählt
eine gemeinsame Einheit.
3.50 m + 30 cm = 3.50 m + 0.30 m = 3.80 m
(sehen Sie auch Kapitel 10, „Rechnen mit Einheiten und Grössen“)
SI – Einheiten (système international d’unités)
Die zum technischen und physikalischen Rechnen benötigten Einheiten basieren auf dem
internationalen Einheitensystem (SI – Einheiten)
Wir unterscheiden zwischen:
Basiseinheiten
Algebraischen Einheiten
Basisgrösse
Symbol
Basiseinheit
Zeichen
Fläche
A
Quadratmeter m2
Länge
(Strecke)
M
Meter
M
Volumen
V
Kubikmeter
m3
Masse
m
Kilogramm
kg
Dichte
Kilogramm
pro Kubikmeter
kg/m3
Zeit
T
Sekunde
S
Geschwindigkeit
v
Meter pro
Sekunden
m/s
Temperatur
T
Celsius
°
Beschleunigung
a
Meter pro
Sekunde im
Quadrat
m/s2
Abbildung 1-1: SI – Einheiten
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Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
Abhängigkeit von Strecke - Zeit - Masse
Volumen V
Dichte
3
[m ]
m
V
Fläche A
kg
m3
Leistung
2
[m ]
W
t
p
J
s
W
Arbeit
W
F s
[J]
Strecke s
Zeit t
Masse m
[m]
[s]
[kg]
Geschwindigkeit
v
s
t
m
s
Beschleunigung
a
v
t
Kraft
m
s2
F
m a
[N]
Druck
p
F
A
N
m2
Impuls
Abbildung 1-2: Strecke-Zeit-Masse
p
m s kg m
t
s
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Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
Dezimale Vielfach und Teile von Einheiten
Die ausschliessliche Verwendung der SI – Einheiten führt beim Rechnen meistens zu
ungewohnten Zahlenwerten.
Abhilfe:
Man wendet die Vielfachen und Teile, dargestellt durch vereinbarte Symbole
= Vorsätze, auch auf SI – Einheiten an.
(sehen Sie auch Kapitel 7, „Rechnen mit Potenzen“)
Faktor, mit dem die
Einheit
multipliziert wird.
Vorsatz
Name
Symbol
Faktor, mit dem die
Einheit
multipliziert wird.
Vorsatz
Name
Symbol
1018
Exa
E
10-18
atto
A
1015
Peta
P
10-15
femto
f
1012
Tera
T
10-12
piko
p
109
Giga
G
10-9
nano
n
106
Mega
M
10-6
mikro
103
Kilo
K
10-3
milli
m
102
Hekto
H
10-2
zenti
c
101
Deka
da
10-1
dezi
d
Wie bereits erwähnt, können physikalische Grössen nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie
die gleichen Einheiten aufweisen. Das führt dazu, dass oft Einheiten umgerechnet werden müssen.
Beispiele:
0.5 m
0.07 kN
50 cm
70 N
500 mm
Übungen:
Rechnen Sie folgende Einheiten um:
1.
0.221 km
in _______________ m
in _________________ dm
2.
8'000 l
in _______________ dm3
in _________________ m3
3.
2.4 kg/dm3
in _______________ kg/m3
in _________________ t/m3
4.
25 N/mm2
in _______________ N/cm2
in _________________ kN/m3
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Fachrechnen für Bauberufe
1.1
Arithmetik-Algebra
Runden, Fehlerrechnung, Genauigkeit
Beim Rechnen mit Zahlenwerten ist zu unterscheiden zwischen genauen Zahlenwerten und
genäherten (gerundeten) Zahlenwerten. Im formalen Rechnen (reine Mathematik) ist mit
genauen Zahlen zu rechnen. In der Praxis jedoch ist es unsinnig, mit beliebigen Kommastellen
zu rechnen.
Im Normalfall werden Zwischenresultate eine Stelle genauer berechnet als das Endresultat. Viele
Taschenrechner nehmen, bei entsprechender Eingabe, diese Resultate genau mit. Je nach Ausführung des Rechners können hier kleine Differenzen im Resultat entstehen.
Regel „5/4-Rundung:
Die Ziffern 0, 1, 2 , 3 und 4 werden abgerundet.
42.372
42.37
Die Ziffern 5, 6, 7 , 8 und 9 werden aufgerundet.
42.375
42.38
Schliesslich ist beim Runden auch die Grösse des Betrages massgebend. Die Differenz zwischen dem
genauen Betrag und der Rundung wird als absoluter Fehler bezeichnet. Dieser ist bei der
Fehlerbetrachtung jedoch nicht so wichtig wie der relative Fehler.
Das bedeutet, dass beim Vergleich die Grösse des Betrages berücksichtigt wird.
Um den relativen Fehler zu erhalten, muss man also den absoluten Fehler durch den genauen Wert
dividieren. Oft wird dieser Wert in % angegeben.
Beispiel:
Folgende Zahlen sollen gerundet werden:
absoluter Fehler:
relativer Fehler:
1.73433
1.73
1.73433 1.73
0.00433
in %:
0.00433
100
1.73433
0.25%
173' 433
173' 400
173' 433 173' 400
33
in %:
33
100
173' 433
0.02%
Dieses Beispiel zeigt, dass die Angabe der Genauigkeit nicht in Kommastellen anzugeben ist,
sondern mit der gewünschten Genauigkeit in %.
Übungen zu „Runden, Fehlerrechnungen“
1.
Runden Sie die folgenden Zahlen nach der 5/4- Rundung auf Hunderstel:
a)
25.774
______________
e)
0.000784
_______________
b)
0.3278
______________
f)
0.989
_______________
c)
0.0458
______________
g)
0.0914
_______________
d)
0.01347 ______________
h)
204.777
_______________
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Fachrechnen für Bauberufe
2.
Arithmetik-Algebra
Eine Näherungsformel für das Volumen eines Kegelstumpfes lautet:
r1
V
r2
2
2
h
r1 , r2
h
Radien der parallelen Kreisflächen
Höhe des Kegelstumpfes
Für die genaue Berechnung gilt:
V
1
3
h r12
r1 r2
r22
Berechnen Sie jeweils das Volumen mit Hilfe der Näherungsformel und der genauen Formel
(ohne Kommastellen) und ermitteln Sie den relativen Fehler in Prozent! (auf 2 Kommastellen)
.1
r1
8.0 cm
r2
6.2 cm
h
11.6 cm
.2
r1
5.7 cm
r2
3.1 cm
h
7.30 cm
Berechnungsgang:
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Fachrechnen für Bauberufe
1.2
Arithmetik-Algebra
Zahlensysteme
Im täglichen Rechnen verwenden wir das Zehnersystem. Es verwendet die Grundzahl (oder Basis)
10.
Das Dezimalsystem ist heute das weltweit verbreiteteste Zahlensystem. Da aber die
elektronische Datenverarbeitung mit anderen Zahlensystemen rechnet, dem dualen und
hexadezimalen, wird hier kurz auf das duale- und das hexadezimale Zahlensystem hingewiesen.
Das duale oder binäre (lateinisch: aus zwei Einheiten bestehend) Zahlensystem verwendet
lediglich die Ziffern „0“ und „1“. Alle Zahlen werden als Potenzen der Basis 2 dargestellt.
vom Dezimalsystem ins Dualsystem
Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die
Divisionsmethode am Beispiel 41(10) beschrieben:
41 : 2 = 20
Rest 1
20 : 2 = 10
Rest 0
10 : 2 = 5
Rest 0
5:2= 2
Rest 1
2:2= 1
Rest 0
1:2= 0
Rest 1
Die entsprechende Dualzahl erhält man, indem
man die errechneten Reste von
unten nach oben liest: 101001(2).
vom Dualsystem ins Dezimalsystem
Um aus einer Dualzahl eine Dezimalzahl zu ermitteln, werden die Zweierpotenzen addiert, bei
denen in der Dualzahl die Ziffer 1 steht.
Beispiel: 1010(2) . Es wird von rechts nach links gerechnet:
Die Produkte, die durch eine Null als Stelle zustande gekommen sind, hätten nicht errechnet
werden müssen, können aber zur besseren
Übersicht notiert werden.
0 · 20 = 0
1
1·2 =2
0 · 22 = 0
1 · 23 = 8
Übungen:
1.
Die folgenden Dezimalzahlen sind als Dualzahlen anzugeben
24 ______________
Übungen:
2.
Die Summe der Produkte ergibt 10(10).
30 ___________
100 ____________
250 ___________
Die folgenden Dualzahlen sind als Dezimalzahlen anzugeben
10101 ____________
1010101 ______
11111111 _______
1110 __________
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Fachrechnen für Bauberufe
2
2.1
Arithmetik-Algebra
Addieren
Regeln
Regel:
Zahlenbeispiel:
Algebraisches
Bespiel
Die Glieder einer Additionsaufgabe heissen Summanden. Mehrere
Summanden bilden eine Summe.
3+5=8
Summe
Nur Zahlen mit gleichen Variablen
können summiert werden. Man
addiert bei gleichartigen Summanden die Beizahlen.
a+b
=c
(a, b)
(c)
= Summanden
= Summe
Beizahlen
5a + 2b + 6a + b =
5a + 6a + 2b + b = 11a + 3b
(5, 2, 6, 1)
= Beizahlen
Die Summen dürfen vertauscht
werden.
Kommutativgesetz
3+5=5+3
a+b=b+a
Einzelne Glieder können zu Teilsummen zusammengefasst werden.
(2 + 5) + 3 =
7
+ 3 = 10
(a + b) + c
=d
2 + (5 + 3) =
2+
8
= 10
a + (b + c)
=d
Additionen können grafisch auf
einem Zahlenstrahl dargestellt
werden.
3x + 6x = 9x
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6x
3x
9x
Übungen:
Addieren von gleichartigen und ungleichartigen Zahlen
1.
2x + 15x + x + 3x =
_______
2. 19ab + 13ab + 6ab+17ab =
3.
19a + 17a + 3x + 6x + 4x =
_______
4. 6y + 3x + 5a + 3x + 6a +10y = ________
5.
10.2bx + 9.6ax + 0.8bx + 0.1ax = _______
6. 7x1 + 8x1 + 4x2 + 29x2 +4 =
________
________
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Fachrechnen für Bauberufe
3
3.1
Arithmetik-Algebra
Subtrahieren
Regeln
Regel:
Zahlenbeispiel:
Algebraisches Bespiel
Die Glieder einer Subtraktionsaufgabe heissen Minuend und
Subtrahend.
Diese bilden eine Differenz
7-3=4
Differenz
Nur Zahlen mit gleichen Variablen
können subtrahiert werden. Man
subtrahiert die Beizahlen
a-b
=c
(a)
(b)
= Minuend
= Subtrahend
Beizahlen
8a - 2b - 5a
8a - 5a - 2b
Die Zahlen und Buchstaben dürfen vertauscht werden.
9-7=-7+9
a-b=-b+a
Ist der Subtrahend grösser als
der Minuend. Ist die Differenz
negativ
x
7–9=-2
a–b=c
-5
-4
-3
=
= 3a - 2b
Wert für c ist negativ
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4x
2x
6x
Übungen:
1. 16a – 15a
=
2. 12x – 5x
=
3.
36ax – ax
=
4. 7a – 4a – a
=
5. 8ab – 3ab - ab
=
6.
10.8x – 0.9x
=
7. 11.4x – 0.3x – 1.6x
=
8. 47a – 58a
=
9.
15ab – 28ab
=
10. 19d – 21d
=
11. 18x – 50x
=
12. 12.7ax – 12.8ax
=
13. 8a – 5a – 3b
=
14. 8b – 3c – 9b
=
15. 102ax – 3.1a – 193ax =
16. x –20x
=
17. 96.7c – 43.8c – 4.9c =
18. 3.5m – 15dm
=
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Fachrechnen für Bauberufe
4
4.1
Arithmetik-Algebra
Rechnen mit Klammern, Vermischte Aufgaben
Regeln
Wie wir bei den Beispielen auf dem Zahlenstrahl gesehen haben, muss bei der Addition und der
Subtraktion zwischen Vorzeichen (positiver oder negativer Zahlenwert) und Rechenzeichen
(Operationszeichen) unterschieden werden.
Die Klammer dient dazu, Vor- und Rechenzeichen zu trennen, oder eine Reihenfolge in der
Berechnung festzulegen.
Beispiel:
4
.2
0(a
)
1
.7
0(b
)
x
Zahlenbeispiel:
Algebraisches Bespiel
x = 4.20 – 1.70 – 1.20
x=a–b–c
x = 4.20 – (1.70 + 1.20)
x = a – (b + c)
1
.2
0(c
)
Bei Berechnungen mit verschiedenen Operationen ist die Punkteregel zu beachten:
Punkt – Operationen (Multiplikation, Division) müssen vor den Strich – Operationen (Addition,
Subtraktion) ausgeführt werden!
c = 3 (0.80 + 0.40)
c = 3 (a + b)
c = 3 1.20 = 3.60
c = 3a + 3b
Wird die Klammer nicht gesetzt,
erhalten wir gemäss Punkteregel
ein falsches Resultat
c = 3 0.80 + 0.40
c=3 a+b
c = 2.40 + 0.40 = 2.80
c = 3a + b
Regel:
Zahlenbeispiel:
Algebraisches Bespiel
Steht ein Pluszeichen vor der
Klammer, so kann man diese
weglassen.
5 + (2 + 4 – 7)
=
5+2+4–7
=
a
+
b
8
0 4
0 a b
c
a
b
a + (b + c – d) =
5 + (-1) = 5 – 1 = 4
a+ b + c – d
Ein Minuszeichen vor der Klammer verändert alle Rechenzeichen
in der Klammer.
5 - (2 + 4 – 7)
a - (b + c – d) =
5-2-4+7
=
5 - (-1) = 5 + 1 = 6
a-b-c+d
Bei mehreren Klammern von innen nach aussen auflösen
5 - {2 + [ 4 - (7 + 3)]} =
a - {b + [ c - (d + e)]} =
5 – {2 + [ 4 – 7 – 3]} =
a – {b + [ c – d – e]} =
5 – {2 + 4 – 7 – 3} =
a – {b + c – d – e}
5–2–4+7+3
a–b–c+d+e
=
=9
=
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Fachrechnen für Bauberufe
4.2
4.2.1
4.2.2
Arithmetik-Algebra
Übungen
Pluszeichen / Minuszeichen vor einer Klammer
1.
x + 7 + (2x + 5)
=
2.
30x + (5x – 2y)
=
3.
0.2a + (5b + 0.5a) – b
=
4.
(2a – 2b) + (3a + 4b) + (5a – 6b)
=
5.
(8x – 3y) + 9z + (y + 4x – 3z)
=
6.
2a + 4b – (4a – 5b)
=
7.
6a – 2b + 5c – (-7b + 4c)
=
8.
50x – (20y + 24z) + (20x + 23y) – (45x + 11z – 32y)
=
Klammern in Klammern, vermischte Aufgaben
1.
25a – [36b – (19a – 11b) – 12a]
=
2.
18a – [(14a – 8b + 2c) – (8a + 12b – 3c)]
=
3.
a + b + c + d – [(d + a) – (b + c – a)]
=
4.
11a – [(5a + 3b) – 5b – (4a + 5b)]
=
5.
6m + 5n – (8p + 6q) – [5m – 3n + (7p + 4q)]
=
6.
(x – y) + {z + [2x – 3y + (2z – 3x) + p] – y}
=
7.
7 – {[(26x + 37y – 25z) + 19y – 16a] – 8x + 9z + 6}
=
8.
[(-3cd + 5) – 25] – [18 – (7 +3cd)] + [6 – (ay + 10) – (3ay – 9)]
=
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Fachrechnen für Bauberufe
Aufgaben aus der Praxis
1. Beim Ausmessen eines Sockels in einem Neubau ermitteln Sie folgende Masse:
5.20 m + 7.0 m + 350 cm + 7.80 m + 30 cm + 0.80 m + 0.5 m
Abzüge: 120 cm, 0.50 m, 50 cm
Berechnen Sie die Länge des Sockels.
y
2. Berechnen Sie die Masse x und y in Meter
3
0
2
.2
0
x
3
.7
0
3
0
7
.8
0
x
3. Berechnen Sie die Masse x, y, z:
a)
mit Hilfe der Variablen a, b
b)
wenn a = 5.80 m, b = 0.35 m
b
a
b
a
y
mit Hilfe der Variablen
b)
wenn a = 80 mm, b = 65 mm, c = 43 mm
c
5. Berechnen Sie den Umfang des Gebäudes:
mit Hilfe der Variablen
b)
wenn a = 4.00 m, b = 5.00 m
c)
wenn a = 3.80 m, b = 4.00 m
b
c
b
2a
a
a)
2a
3b
2b
a)
z
2a
b x b
4. Berechnen Sie den Umfang U des Stahlprofils
und die Stegbreite x:
b
4a
4.2.3
Arithmetik-Algebra
8a
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Fachrechnen für Bauberufe
5
5.1
Arithmetik-Algebra
Multiplizieren
Regeln
Regel:
Zahlenbeispiel:
Algebraisches Bespiel
Faktor mal Faktor gleich Produkt
2 5 = 10
x y=z
Faktoren dürfen vertauscht werden
3 4 5=4 3 5
a b c=b a c
5 3 4=5 4 3
5a 4b 3c = 60abc
3 4 5
a b c
Kommutativgesetz
Einzelne Faktoren dürfen zu
Teilprodukten zusammengefasst
werden.
= (3 4) 5
= (a b) c
3 (4 5) = (3 4) 5
a (b c) = (b a) c
2 5
Assoziativgesetz
Haben zwei Faktoren gleiche
Vorzeichen, so wird das Produkt
positiv
a x
= ax
(-2) (-5) = 10
= 10
(-a) (-x)
= ax
3 (-8)
= -24
a (-x)
= -ax
(-3) 8
= -24
(-a) x
= -ax
+ mal + = +
-
mal -
=+
Haben zwei Faktoren ungleiche
Vorzeichen, so wird das Produkt
negativ
+ mal -
=-
mal + = -
Ein Klammerausdruck wird mit
einem Faktor multipliziert, indem
man jedes Glied der Klammer
mit dem Faktor multipliziert.
7 (4 + 5)
= 63
a (b + 2b)
= 3ab
7 4+7 5
= 63
a b + a 2b
= 3ab
Ein Klammerausdruck wird mit
einem Klammerausdruck multipliziert, indem man jedes Glied der
einen Klammer mit jedem Glied
der anderen Klammer multipliziert.
(3 + 5) (10 – 7) = 24
(a + 2a) (b + c) =
3 10 + 3 -7 +
3a (b + c)
Generell gilt:
3 0=0
a 0
10 a 0 b
3 5 + 3 6 = 3 (5 + 6)
3a + 3b
= 3 (a + b)
au + bu – cu
= u (a + b – c)
5 10 + 5 -7
= 24
a b + a c + 2a b + 2a c
= 3ab + 3ac
Ist in einem Produkt mindestens
ein Faktor Null, so ist das ganze
Produkt Null
Zerlegen in Faktoren:
Aus einer Summe kann der gemeinsame Faktor ausgeklammert
werden, indem man den Faktor
vor die Summe stellt und die
Klammern beibehält.
= 3ab + 3ac
=0
=0
Seite 14 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
5.1.1
Arithmetik-Algebra
Übungen
Folgende Ausdrücke sind zu multiplizieren:
a)
( -6) (+12)
=
d)
(-1) (-1)
=
g)
(-118) (+0.5)
=
b)
(+15) (-15)
=
e)
(-0.38) (-11.7)
=
h)
(-0.5) (-0.5) (-0.5) =
c)
(-120) (+6.5) =
f)
(-21.3) (-18.5)
=
i)
(-9.5) (+9.5) (-9.5) =
j)
7a 6
=
m) -0.4c 5d
=
p)
a b (-5c)
=
k)
3a 2b
=
n)
0.75a 0.5b
=
q)
5a 0.5b 8c
=
l)
5x 7y
=
o)
4
5
b
=
r)
x (-y)
=
g)
(a – 5) (6 + b) =
Folgende Klammerausdrücke sind zu multiplizieren:
a)
6 (a + b)
=
d)
(x + 8) (a + 20) 3 =
b)
2a (5a + 3b) =
e)
(4 + 2a - 3c) (12 – 2d – 5b) – [(12d – 6b) 9a]
c)
(3x – 2y) a
f)
(3x + 4y) (6a + 9b) =
=
=
Folgende Faktoren sind zu zerlegen:
a)
bx - b
=
d)
(a –b) x +(a – b) y
=
b)
ax – 4az + 5ay
=
e)
(4n + 3m) b + 4n + 3m
=
c)
am + bm – cm + xm
=
f)
(4a – 2b) (x + y) – (3a + 4b) (x +y) =
Seite 15 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
6
6.1
Arithmetik-Algebra
Dividieren / Bruchrechnen
Regeln:
Regel:
Zahlenbeispiel:
Dividend : Divisor
= Quotient
Zähler
= Quotient
: Nenner
10 : 2 =
10
2
5
Ein Klammerausdruck wird durch
einen Wert (Zahl, Buchstabe,
Klammerausdruck) dividiert,
indem man jedes Glied in der
Klammer durch diesen Wert
dividiert.
(16 – 4) : 4 =
Beim Dividieren dürfen Zähler
und Nenner (Dividend und Divisor) nicht vertauscht werden.
21
3
16 : 4 – 4 : 4
4–1
Algebraisches Bespiel
=
a
b
c
(a + b) : c =
a
c
b
c
a:b
=
=3
a b
b
a b
b b
a
1
b
(16 – 4) : 4 = 12 : 4 = 3
3
21
16a
3b
3b
16a
Das Kommutativgesetz gilt nicht!
Der Bruchstrich fasst Ausdrücke
in gleicher Weise zusammen wie
eine Klammer.
3 4
2
Ist in einer Summe oder einer
Differenz jedes Glied durch den
gleichen Faktor teilbar, so kann
dieser Faktor ausgeklammert
werden.
28 + 14 = 7 4 + 7 2
ax – ay = a x – a y
7 (4 + 2)
a (x – y)
Haben Zähler und Nenner (Dividend und Divisor) gleiche Vorzeichen, so wird der Quotient positiv.
15
15 : 3 5
3
a
b
+ geteilt durch +
= +
-
= +
geteilt durch -
Haben Zähler und Nenner (Dividend und Divisor) ungleiche Vorzeichen, so wird der Quotient
negativ.
+ geteilt durch -
= -
-
= -
geteilt durch +
a b
h
h (a b)
2
2
(3 4) : 2
15
3
15 : 3 5
15
3
15 : 3
15
15 : 3
3
5
5
a:b
a
b
a
b
a
b
a: b
a:b
a: b
a
b
a
b
a
b
Seite 16 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
6.1.1
Arithmetik-Algebra
Übungen
Die Ergebnisse sind zu berechnen und auf 2 Dezimalstellen zu runden.
a)
b)
c)
560
7
112
16
78
3
=
d)
=
e)
=
f)
108
6
=
g)
( 2.5) ( 3.8)
4
=
132
11
=
h)
10.6
3.5 ( 4.5)
=
76
4
=
i)
( 31.6) ( 4.8)
=
3.3 ( 2.8)
Die gegebenen Ausdrücke sind zu dividieren.
a)
42a : 6
b)
4ab :
c)
(35abc
d)
(96x
e)
(18ax : (9ac
f)
(16xy
g)
=
1
a
2
=
28abc
64y
32xz
5x
: 3x
y
21abc) : 7bcd
16z) : ( 16)
36ad
24by
18ax)
48bz) : (4y
=
=
=
8z) =
=
Seite 17 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen (ggT)
Die Ermittlung des ggT wird bei der Durchführung von Divisionen benötigt.
Der ggT ist die grösste Zahl, die in mehreren Faktoren enthalten ist. Um diese Zahl zu finden,
zerlegt man die Zahlen in Primfaktoren.
Den ggT erhält man aus dem
Produkt aller gemeinsamen
Primfaktoren der
Zahlen.
2
3
48
= 2 2 2 2
3
84
= 2 2
3
120
= 2 2 2
3
ggT
= 2 2 3 = 12
Variablen werden als Primzahlen 60abcx
behandelt, welche sich nicht
120ax
weiter in Faktoren zerlegen las140abx
sen.
ggT
6.2
2
3
5
= 2 2
3
= 2 2 2
3
= 2 2
5
7
7
5
7
a
b
c
x
5
a
b
c
x
5
a
5
7
x
a
b
x
= 2 2 5 a x = 20ax
Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (kgV)
Die Ermittlung des kgV wird bei Bruchrechnungen bei der Ermittlung des Hauptnenners,
beziehungsweise zum „Gleichnamigmachen“ von verschiedenen Brüchen verwendet.
18
Das kgV ist die kleinste Zahl, in
der mehrere Zahlen als Faktoren
enthalten sind.
12
kgV = 36
2
Um das kgV zu finden, zerlegt
man die Zahlen in ihre Primfaktoren. Von jeder vorkommenden
Zahl sucht man dann die grösste
Anzahl heraus.
6
3
18
= 2
3
6
= 2
3
= 2 2
3
12
kgV
3
= 2 2 3 3 = 36
Eine Zahl ist Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selber ohne Rest teilbar ist.
z.b: 2, 3, 5, 7, 11......(Die 1 ist keine Primzahl)
Seite 18 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
6.3
Arithmetik-Algebra
Regeln zum Bruchrechnen
Das Erweitern und Kürzen von Brüchen
Regel:
Zahlenbeispiel:
Algebraisches Bespiel
Beim Erweitern werden Zähler
und Nenner mit der gleichen Zahl
multipliziert.
1
4
a
b
Beim Kürzen werden Zähler und
Nenner mit der gleichen Zahl
dividiert.
6
24
Summen oder Differenzen im
Zähler oder Nenner sind vor
dem Kürzen oder Erweitern zu
berechnen.
18 24
260 20
1 6
4 6
6
24
6:6
24 : 6
1
4
6
280
a c
b c
ac
bc
3
140
c
b
ac
bc
(a c) : c
(b c) : c
a
b
b
c
kann nicht gekürzt werden!
Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Regel:
Zahlenbeispiel:
Algebraisches Bespiel
Gleichnamige Brüche
werden addiert oder subtrahiert, indem man Zähler
addiert oder subtrahiert
und den Nenner unverändert lässt.
5
8
2
8
1
8
5
a
3
a
5
2
8
1
5
3
a
1
2
2
3
Bei ungleichnamigen
Brüchen muss zuerst der
Hauptnenner gebildet werden. Der Hauptnenner ist
der kleinste gemeinsame
Nenner, in dem die Nenner
aller Brüche ganzzahlig
enthalten sind.
3
4
6
8
3
4
a
b
?
c
d
7
a
7
9
a
?
Hauptnenner ist 12
Hauptnenner ist b d
1 6
2 6
a d c b
b d
6
12
2 4
3 4
8
12
3 3
4 3
9
12
6
8 9
12
ad bc
bd
5
12
Seite 19 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
Das Multiplizieren von Brüchen
Regel:
Eine ganze Zahl wird mit einem
Bruch multipliziert, indem man
den Zähler des Bruches mit der
ganzen Zahl multipliziert. Der
Nenner bleibt unverändert.
Ein Bruch wird mit einem anderen
Bruch multipliziert, indem man
Zähler mit Zähler und Nenner mit
Nenner multipliziert.
Gemischte Zahlen werden miteinander multipliziert, indem man sie
erst in unechte Brüche verwandelt
und dann Zähler mit Zähler und
Nenner mit Nenner multipliziert.
Zahlenbeispiel:
2
3
4
8
3
4 2
3
2
3 2
5 7
2
Algebraisches Bespiel
6
a
b
6a
b
2
3
3 2
5 7
1
3
3
7 3
3 1
a c
b d
6
35
a c
b d
ac
bd
7 3
7
31
Das Dividieren und Umwandeln von Brüchen
Regel:
Ein Bruch wird durch eine ganze
Zahl dividiert, indem man den
Nenner mit der ganzen Zahl multipliziert. Der Zähler bleibt unverändert.
Eine ganze Zahl wird durch einen
Bruch dividiert, indem man sie
mit dem Kehrwert des Bruches
multipliziert.
Zahlenbeispiel:
1
:3
4
5:
3
4
1
4 3
1
12
4
3
20
3
5
Algebraisches Bespiel
a
:5
b
6
2
3
10 :
a
5b
y
x
10
y
x
Den Kehrwert erhält man, indem
man Zähler und Nenner vertauscht.
Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert, indem man
den Bruch im Zähler mit dem
Kehrwert des Bruches im Nenner
multipliziert.
3 3
:
4 5
Ein gemeiner Bruch wird in einen
Dezimalbruch verwandelt, indem
Zähler mit Nenner dividiert wird.
3
8
3 5
4 3
15
12
5
4
a c
:
b d
a d
b c
ad
bc
3 : 8 0.375
Seite 20 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
6.3.1
Arithmetik-Algebra
Übungen
Die folgenden Brüche sind zu addieren bzw. zu subtrahieren:
a)
1 5
5 6
b)
3
4 3
9 12
5
7
=
c)
13.5 6.5
42.8 12.8
3
7 2
4
5
9
4
8 3
5
=
d)
5y
4x 4y
48 12
50
x y
3x 3y
=
2x
7x 7y
=
Die folgenden Brüche sind zu multiplizieren:
a)
3
1 ;
4
2
7 ;
7
b)
5a a x 14ax
7x 15a a x
12
1
3
jeweils mit 5
c)
1
;
6
7
;
16
9
23
c)
2
7 ;
5
7
8 ;
9
14
jeweils mit
1
3
jeweils mit
3
5
Die folgenden Brüche sind zu dividieren:
a)
6
;
7
12
;
15
27
35
b)
am an ax ay
:
m
x
jeweils mit 7
1
6
=
Die folgenden Brüche sind zu vereinfachen:
a)
1
4ab : a
2
=
c)
55ay 66by
45ax 54bx
=
b)
5x
: 3x
y
=
d)
2ab 3ay 2bx 3xy
2ab 3ay 2bx 3xy
=
Die folgenden Doppelbrüche sind zu vereinfachen:
a)
18de
5f
12d
15fg
=
b)
34a
24d
51b
60d
=
Seite 21 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
Allgemeines
Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren kann abgekürzt geschrieben werden. Die
abgekürzte Schreibweise nennt man Potenz; der Rechenvorgang wird als Potenzieren
bezeichnet.
Eine Potenz besteht aus der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten (Hochzahl).
Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss.
Exponent
5 5 5=5
3
= 125 (Potenzwert)
Basis
Fläche des Quadrates
2
S
A = s s = s2
2
5
5
S
Beispiele:
S
A = 5 mm 5 mm = (5 mm)2
A = 25 mm2
S
5
Volumen des Würfels
3
V = s s s = s3
3
S
V = 5 mm 5 mm 5 mm = (5 mm)3
5
5
7.1
Potenzieren
S
7
Arithmetik-Algebra
V = 125 mm3
S
S
5
5
Auch Produkte, Brüche oder Klammerausdrücke können die Basis von Potenzen sein.
Beispiele:
Binome:
Produkt:
(5a)2 = 5a 5a
= 25a2
(5a)2 = 52 a2
=5 5 a a
Bruch:
33
b3
Klammer:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
3 3 3
1
b b1 b1
= 25a2
27
b3
(a + b)2
= a2+2ab+b2
(a - b)2
= a2-2ab+b2
(a + b)(a - b)
= a2- b2
Seite 22 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
Potenzen mit negativen Exponenten
Eine Potenz, die im Nenner steht, kann auch
mit einem negativen Exponenten im Zähler
geschrieben werden.
<
1
W
e
r
t
e
>
1
1 1 1
1 1
01
0
01
0
0
0
1
0
0
01
0
01
0
Umgekehrt kann eine Potenz mit negativem
Exponenten im Zähler, als Potenz mit positivem Exponenten im Nenner geschrieben
werden.
Beispiele:
31
21
11
01
11
21
3
1
0
0
0
0
0
0
0
1
42
4 2
15 3
1
153
km
15km h 1 15
h
1
an
a n
1
min
min 1
g (kW h) 1
g
kWh
Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen)
Potenzen mit der Basis 10 werden häufig als verkürzte Schreibweise für sehr
kleine oder sehr grosse Zahlen verwendet. Werte grösser 1 können als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit positivem
Exponenten, Werte kleiner 1 als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten dargestellt werden.
Die Zahl vor der Zehnerpotenz wird
meist im Bereich zwischen 1 und 10
angegeben.
Beispiele:
4'200'000
0.0000042
= 4.2 1'000'000 =
4.2 106
= 4.2 0.000 001 =
4.2 10-6
Merke:
Man schreibt also 4.2 106 und nicht
0.42 107 oder 42 105.
Zehnerpotenzen
Schreibweise als
ausgeschriebene Zahl
Zehnerpotenz Vorsatz bei
Einheiten
1'000'000.00
106
100'000.00
105
10'000.00
104
1'000.00
Mega
M
103
Kilo
K
100.00
102
Hekto
ha
10.00
101
Deka
da
1.00
100
0.1
10-1
dezi
d
0.01
10-2
centi
c
0.001
10-3
milli
m
0.0001
10-4
0.00001
10-5
0.000001
10-6
mikro
Seite 23 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
7.2
Arithmetik-Algebra
Regeln zum Potenzieren
Beim Rechnen mit Potenzen sind besonders die folgenden Regeln zu beachten:
Regel:
Zahlenbeispiel:
Algebraisches Bespiel
Formel
Potenzen dürfen
nur addiert oder
subtrahiert werden, wenn sie
sowohl denselben
Exponenten als
auch dieselbe
Basis haben.
2 52
a3
axn
Potenzen mit gleicher Basis werden
multipliziert, indem man die Exponenten addiert
und die Basis beibehält.
Potenzen mit gleichen Exponenten
werden multipliziert, indem man
ihre Basen multipliziert und den
Exponenten beibehält.
Potenzen mit gleicher Basis werden
dividiert, indem
man ihre Exponenten subtrahiert
und ihre Basis
beibehält.
Potenzen mit gleichen Exponenten
werden dividiert,
indem man ihre
Basen dividiert
und den Exponenten beibehält.
4 52
52
2
2
32
1
32
1
32
3
35
oder:
3
7
4
n
d
dn
n
3 d
3
dn
x x x x x x
bxn
xn
a b
a
xn
ax
n
xm xn
xm
xn yn
xy
n
x6
oder:
3
3
x4 x2
2 3
x
4 2
x6
35
42 62
4 6
2
6x2 3y2
18x2 y2
18 x y
242
576
43
42
4 4 4
4 4
4
oder:
m3
m2
n
2
m m m
m m
m
xm
xn
xm
n
an
bn
a
b
n
oder:
43 4
41
2
x4 x2
3 3 3 3 3
3
2a3
6 52
4
32 33
2
a3
2
43
2
4
152
32
5 5
15
3
2
2
5
m3
m2
m1
m
a3
b3
a
b
m3
3
2
25
Seite 24 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
Regel:
Zahlenbeispiel:
Werden Potenzen
mit einem Faktor
multipliziert, so
muss zuerst die
Potenz berechnet
werden.
6 103
Algebraisches Bespiel
Formel
6 1' 000
6 ' 000
7 10
Jede Potenz mit
dem Exponenten
Null hat den Wert
1.
7.2.1
Arithmetik-Algebra
104
104
1
2
7
100
104
4
0.07
100
m n
0
a0
1
1
Übungen
Die Ausdrücke sind in Potenzform zu schreiben resp. Auszurechnen.
a)
4a 2a a
=
b)
2.5m 6m 1.3m
=
c)
16dm 2dm 4dm
=
d)
6a 5b 1
b
2 3a 5
=
e)
0.5cm
1
3
cm
cm =
10
4
f)
22
;23
;24
g)
32
h)
101
;103
;0.52
;33
;43
Die Zahlen sind in Zehnerpotenzen zu verwandeln.
a)
100
;1000
;0.01
b)
1' 647 ' 978
c)
0.033
;0.756
;0.0021
d)
1
10
;
33
100
Die folgende Abmessung ist in m umzuwandeln.
12
a)
Durchmesser eines Atomkerns
d
10
cm
b)
Durchmesser eines Atomkerns
d
3 10 8 cm
Seite 25 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
Die folgenden Zahlen sind in Zehnerpotenzen umzuformen.
a)
Lichtgeschwindigkeit
c = 299'790'000 m/s
=
b)
Umfang des Äquators
U = 40'076'594 m
=
c)
Oberfläche der Erde
O = 510'100'933 km2
=
Die Potenzen sind zu addieren bzw. zu multiplizieren.
a)
5b3
7b3
b)
9m3
c)
15x 4 y
3x2 y3
5x 4 y
d)
2.6a2
5.9a3
3.1a3
9n3
3b3
12n3
5m3
n3
19.7a2
a3
Die Potenzen sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren.
a)
42 43
b)
a5 a4
d)
0.5b3 1.3b2
e)
441x6
g)
493
73
h)
6.8a2
0.17a2
21x2
c)
2x2 4x
5x3
f)
51a4b3
17a2b3
i)
4a
x
ax
Die Potenzen sind zu vereinfachen.
a)
a7 a 6
b)
x
5
d)
x2
x4
e)
y3
y5
x6
3
c)
z
f)
xm
xn
z
2
Seite 26 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
8
8.1
Arithmetik-Algebra
Radizieren (Wurzelziehen)
Allgemeines
Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Eine Wurzel besteht aus
dem Wurzelzeichen, dem Radikanden und dem Wurzelexponenten. Der Radikand steht unter dem
Wurzelzeichen; aus dieser Zahl wird die Wurzel gezogen. Der Wurzelexponent steht über dem
Wurzelzeichen und gibt an, in wie viel gleiche Faktoren der Radikand aufgeteilt werden soll.
Wurzelexponent
2
16
4
Wert der Wurzel
Radikand
Eine Wurzelrechnung kann auch in Potenzschreibweise dargestellt werden. Der Radikand
erhält im Exponenten eine Bruch. Der Zähler entspricht dem Exponenten des Radikanden,
der Nenner entspricht dem Wurzelexponenten.
9
Beispiel:
2
9
1
9
1
2
n
a
n
a1
1
an
Quadratwurzel
2
16 (sprich Quadrat- Wurzel aus 16 oder Wurzel aus 16) bedeutet, man sucht eine Zahl, die mit
sich selbst multipliziert den Wert 16 ergibt.
16
Beispiel:
4, denn 4 4=16
Der Wurzelexponent 2 wird meistens weggelassen.
2
42
4 4
16
4
2
16
16
2
a
2
2
a2
a1
a
Kubikwurzel
27 (sprich Kubikwurzel- Wurzel aus 27 oder 3. Wurzel aus 27) bedeutet, man sucht eine Zahl,
die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert 27 ergibt.
3
Beispiel:
3
27
3, denn 3 3 3=27
3
a
3
3
a3
a1
a
Seite 27 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
8.2
Arithmetik-Algebra
Regeln zum Radizieren
Regel:
Zahlenbeispiel:
Algebraisches Bespiel
Formel
Wurzeln dürfen
nur dann addiert
oder subtrahiert
werden, wenn
sie gleiche Exponenten und
Radikanden haben.
Man addiert
(subtrahiert) die
Faktoren und
behält die Wurzel bei.
2
6
8 m
a m
(2
3)
Ist der Radikand
ein Produkt, so
kann die Wurzel
entweder aus
dem Produkt
oder aus jedem
einzelnen Faktor
gezogen werden.
Ist der Radikand
eine Summe
oder eine Differenz, so kann
nur aus dem
Ergebnis die
Wurzel gezogen
werden.
Ist der Radikand
eine Quotient
(Bruch), so kann
die Wurzel aus
dem Quotienten
oder aus Zähler
und Nenner getrennt gezogen
werden.
3
6
6
9 16
5
144
6
12
oder:
9 16
3 4
9
9
12
16
52
42
25
16
9
25
(8
3 m
3) m
3
a b
3
a
3
3
a
4
a
b
5 m
(a
b m
b) m
n
a b
n
a
n
a
b
n
a
n
b
b
16
25
5
9
3
0.36
0.6
b
3
4
4
a
b
(a
b)
b
n
n
a
n
b
(a
b)
oder:
9
25
9
25
3
5
0.6
Seite 28 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
8.2.1
Arithmetik-Algebra
Übungen
1.
1.1
Die Wurzeln sind zu berechnen, bzw. vereinfacht darzustellen.
169
3
(a b)2
1.2 a 8m3
2.
Berechnen Sie
x2
2.2
Berechnen Sie
c2
25
49
225
16
3
0.008
9c2
4b2
x = 10 m,
y = 7.5 m
2.3
x = 0.48cm,
y = 0.36cm
3.2
b = 1.5 m, c = 2.5 m
3.3
b = 0.16dm, c = 0.20dm
Die Wurzelausdrücke sind zu addieren bzw. zu subtrahieren.
a
4.1
5.
1.21
b2 ; für
3.1 b = 12, c = 15
4.
1000
y2 ; für
2.1 x = 8, y = 6
3.
3
121
a
4.2 2 m
4.3 2m b
7 m
3n b
4.4 5 9
3 9
4.5 c c
2 c
Die Ausdrücke sind teilweise zu radizieren und dann zusammenzufassen.
5.1 2 a
5.2 7
5.3 4
3
3 a
5 3a
54
3
3
16
14
16
3
4 5a
2
5
75
49
5
3
27a
128
12
8
10
2 45a
3
192
3
4
147
192
45
3
25
Seite 29 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
6.
Die Ausdrücke sind teilweise zu multiplizieren bzw. zu dividieren. (ohne Taschenrechner)
6.1
4
6.2
42
6.3
5a
6.4
16 49
6.5
4x2 y2
7.
Arithmetik-Algebra
9
32
7
6.8
7ax
20a
6.9
3 6
2 3
6.14
6.10
3
3
6.15
3
ab2
6.16
3
16
6.11
28a
81
8
42x
6.7
6.12
7a
7x
6.13
3
7a2
48x
48x
6x
24x
a
b
a
3
3
a2 b
4
Die Wurzelausdrücke sind zu berechnen.
7.1
a3 x
b
c3 x
a
7.7
x6
a2
7.8
ab2
7.9
7.2
3
a3 x
7.3
3
a2 b
3
7.4
a b
7.5
4x2
9
3
9y2
16
a b
3
3
5
2
4 21' 313 mm2
0.7m
2
(0.9m)
6.3
7.10
7.11
20
3
m
min
4 2a
3
2
19
0.26m
2
m
min
2
2
2
Seite 30 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
8
Arithmetik-Algebra
Gleichungen und Formeln
Mathematische und naturwissenschaftliche Gesetze und Zusammenhänge lassen sich durch
Gleichungen und Formeln darstellen.
Es gibt eine Vielzahl verschiedener Gleichungsarten, insbesondere im Bereich der
Bestimmungsgleichungen (nach Art der Berechnung wie zum Beispiel lineare, quadratische,
Exponential- oder Proportionalitätsgleichungen).
Die folgende Aufstellung gibt einen grundsätzlichen Überblick über die Gleichungsarten:
Gleichungsart
Beispiel:
Grössengleichungen (Formeln) stellen die
Beziehung zwischen Grössen dar.
v
d n
v
ks J2 R 3
1. Zahlenwertgleichungen geben die
Beziehung von Zahlenwerten und
Grössen wieder.
1
2
gilt nur für:
2. Zahlenwertgleichungen geben die
Beziehung von Zahlenwerten und
Grössen wieder.
P
v Geschwindigkeit
in m/s
ks Rauhigkeitswert
in -----
R Hydr. Radius
in m
h
g
100
gilt nur für:
P hydr. Druck
in bar
h Tiefe
in m
Dichte
in kg/dm3
g Erdbeschleunigung 9.81m/s2
Bestimmungsgleichungen sind
algebraische Gleichungen, bei denen Werte
bestimmter Variablen zu berechnen sind.
x
3
8
x
x
8
5
3
3
Der Wert von x ist durch die übrigen
Grössen 3 und 8 eindeutig bestimmt.
Seite 31 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
8.1
Arithmetik-Algebra
Bestimmungsgleichungen

Man kann eine Gleichung mit einer
Waage im Gleichgewicht vergleichen
(= wahre Aussage)

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, zwischen denen ein Gleichheitszeichen steht

Eine Gleichung bleibt eine wahre Aussage, wenn man beide Seiten auf gleiche
Weise verändert
2
8
=
Term 1
+ 1
Term 2
5 +
5+
15
2
= 7
2 -2
=
7–2
5
=
5
Bei den Bestimmungsgleichungen wird der Wert der Variablen (meistens x) berechnet, indem durch
Umformung der Variablen x auf der linken Seite alleine steht und positiv ist.
Für die Umformung gelten die Rechenregeln der entsprechenden Rechenart.
Die Richtigkeit der Lösung kann überprüft werden, indem der x- Wert in die Anfangsgleichung
eingesetzt wird.
Eine richtige Lösung führt zu einer wahren Aussage.
Beispiel:
2 (x – 3) + 4
=
7–x
1.
Ausmultiplizieren (Klammern beseitigen)
2x–6+4
=
7–x
2.
Zusammenfassen
2x–2
=
7–x
3.
Die Variable X auf eine Seite bringen
2x–2+x
=
7
4.
Die Variable X zusammenfassen
3x -2
=
7
5.
Die Variable x isolieren
3x
=
7+2
6.
Nach der Variablen X auflösen
=
9
3
7.
Kontrolle ob die Aussage wahr ist
Die Aussage ist richtig denn
x
2 (3 – 3)+ 4
=
4 =
3
7–3
4
Seite 32 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
Übersicht
Arithmetik-Algebra
„ Umformen von Gleichungen“
Zahlenbeispiel
Algebraisches
Bespiel
Anwendungsbeispiel
x
a
b
x
27
3x
6x
22
3x
x
a
b
x
3x
27
6x
3x
22
3x
22
3x
3x
Addieren
x
7
18
x
7
18
x
18
x
11
7
x
7
a
b
4x
a
4x
3x
27
x
x
27
27
27
3x
22
22
27
27
22
x
27
5
Subtrahieren
y
5
y
5
9
5
y
9
5
5
14
y
c
y
c
y
d
c
c
d
c
c
d
x
2
x
13
1
2
1
x
2
x
2
1
13
1
13
2
13
x
2
2
15
Multiplizieren
6 x
23 6
a x
b
6 x
6
23
6
5
3
6
ax
a
b
a
x
b
a
x
a
Dividieren
y
3
y 3
3
7
y
c
y c
c
3
7 3
y
21
d
9
x
9
x
c
d c
y
cd
3
x
3
9
3x
9
3
3x
3
x
3
x
x
3
Potenzieren
x
3
3
64
3
x
c
3
3
3 3
x
3 3
4
3
3
x3
3
43
3
x3
3
c3
x
4
x
c
x3
3x
c3
Radizieren
x
x
2
12
x
2
12
144
2
x
x
2
m
x
2
m
2
m
2
15 x
15 x
15
2
3 x
2
3 x
x
3
x
2
x
6
Seite 33 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
8.1.1
Arithmetik-Algebra
Übungen
Lösen Sie nach x auf:
1.
x + 25
=
40
2ab – nx
= ax – 2bn
2.
79 + x
=
130
10.
9.
2n – nx
= mx – 2m
3.
12 + x
=
21
11.
4m + nx – 2n
= 2mx
4.
27x –21 =
27 + 3x
12.
cx – 17nx + 85dn =
5.
8x – 17 =
7x –20
13.
6bc –2bx
= 15ac –5ax
6.
7.5
=
x – 13.1
14.
39bn – 3bx
= 7ax – 91an
7.
3
=
10x – 7
15.
45 – 15x
= 9bx – 27b
8.
7.3 x
=
87.6
16.
4rx
= 4mr + 6sx – 6ms
5cd
Zahlengleichungen mit Brüchen; Variable steht im Zähler
6 13 10x
17.
x
5
18.
x
12
0.4
27.
7
19.
7x
3
14
28.
4
20.
x
3
6
29.
5x
4
2
3
7x
6
30.
x
18
x
3
x
9
18
2x
21.
22.
23.
24.
x
17
16
3
15
2x
26.
40
x
12
31.
3 3
7
2 50x
7
4
18
5
14 5 3x
9
2 41 7x
17
4
4
3
50
8x
3
3x
3
32.
5
2
8x 7
6
6
33.
7
2
x
2
3
2x 3
9
x
1
14x 3
10
3
5x 1
8
Seite 34 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
34.
3
x
2
35.
a
36.
37.
38.
3
c
x
b
19 x
4
x
1
3x
4
2
2 9
3
x
abx
m
abx
n
x
a n
n x a
1
x
a
10x 6
7
41.
cx
ab
42.
2x
1 x
43.
2x2 6
1 x2
2x 2
x 1
44.
cx
c2
45.
mx
2mn
46.
4a
2ab
x
2a2
x
47.
a x
b2
b x
a2
c x
a
2a x
c
18
x
2x
5x
1
a n
n
9b
3x
19
x
3
4
dx
ab
c
2x2 6
1 x2
2
dx
1
x
3c
6c
3
x
5x
m n
mn
40.
d
3
7
2b
4c
a
2 5x
12c2
4c2 x2
6c
2x
3
4
5
3
39.
48.
Arithmetik-Algebra
1
c
1
16
2x 2
d2
2cd
m2
8
x
nx
n2
x
cx
a
Seite 35 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
8.2
Arithmetik-Algebra
Formeln
Alle Formeln sind Gleichungen, die technische oder naturwissenschaftliche Zusammenhänge
beschreiben.
Für die Umformung gelten die Regeln der Gleichungslehre:

Auf beiden Seiten immer die gleichen Veränderungen vornehmen.

Die gesuchte Grösse muss bei der Lösung allein auf der linken Seite stehen und positiv sein.
Im Gegensatz zur Bestimmungsgleichung kann bei den Formeln jede der Variablen die gesuchte Grösse
sein:
U = 2(a +b)
Seiten a und b bekannt, Umfang U gesucht.
Umformen nach a
Umfang U und Seite b bekannt, Seite a gesucht
U
U
2
U
b
2
2
a b
b
a b b
U
b
2
a
8.2.1
2 a b
Übungen
Die folgenden Formeln sind nach den einzelnen Grössen umzustellen:
6.
V
F
3
7.
A
M
F F
1 B
8.
V
9.
A
1.
L
l la
2.
F
1
F
2
3.
F
A
4.
U
d
a
c
11.
sin
12.
v
l b h
13.
F a
1
F b
2
l
1
14.
A
D d
4
A h
d h
2
l
2 b
s
t
Seite 36 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
8.3
Arithmetik-Algebra
Gleichungen mit mehreren Variablen
Gleichungen mit mehreren Variablen können nur dann gelöst werden, wenn zwei oder
mehrere wahre, nicht identische Aussagen über die Variablen vorliegen.
Beispiel:
15x + 2y = 126
3x – 4y = 12
bedeutet
„und“
Zum Lösen der Gleichungen stehen verschiedene Methoden zur Verfügung:
1.
Additionsmethode
Man multipliziert eine oder beide
Gleichungen so mit Zahlen, dass
beim anschliessenden Addieren
entsprechender Glieder eine Variable
wegfällt. Die entstehende Gleichung mit einer
Variablen wird wie üblich gelöst
15x + 2y
=
126
4y
=
12
30x + 4y
=
252
=
12
=
264
=
8
3x -
3x -
4y
33x
x
Um die zweite Variable zu finden, setzt man die
die ausgerechnete Variable in eine der
beiden Gleichungen ein und rechnet sie aus!
3x
-
4y
=
12
3 8 -
4y
=
12
=
3
=
126
=
12
y
2.
l 2
l+
l x=8
Gleichsetzungsmethode
Die beiden Gleichungen werden nach
einer Variablen umgeformt.
15x + 2y
3x -
4y
x
x
Die beiden umgeformten Gleichungen
werden einander gleichgesetzt und wie unter
1. beschrieben weiterbearbeitet.
126 2y
15
12 4y
3
126 2y
15
12
126 2y
5 12 4y
y
3
3
x
x
4y
12
4 3
3
24
3
8
Seite 37 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
3.
Arithmetik-Algebra
Einsetzungsmethode
Man rechnet die eine Variable aus der einen
Gleichung aus und setzt sie dann in die
andere Gleichung ein.
15x + 2y
3x -
4y
=
126
=
12
12
x
4y
3
5 12 4y
15
60
Die zweite Variable wird durch rückläufiges
Einsetzen ausgerechnet.
x
8.3.1
12
2y
126
2y
126
20y 2y
y
12
4y
3
126
3
4 3
3
x
24
3
8
Übungen
1.
2x
2y
20
^ 2x
2y
4
1
x
4.
1
^
2x
x 12
7 y
7.
1
2
1
12
x 13
11 y
2x
10
4
x
6x
9y
42
^ 2x
4y
16
^
10.
1
y
1
2y
34 2y
18 y
2.
x
^ 2x
14x
5.
^ 3x
y
2y
6
y
2
y
65
214
32
4
3x 2y 10
8.
3x y
16
^ x y 20
11.
5x
2y
27.2
^ 5x
4y
20.4
18x
3.
2y
y
3
^ 3x
5
x
2
6.
22
^
x
3
^3 x
12.
10
10
y
3
11
y
2
2
x
9.
12
10
55
3
y
1
0
2 y
3
2x
2y
2m
2n
^x
y
m
n
2x
1
Seite 38 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
9
Arithmetik-Algebra
Rechnen mit Einheiten und Grössen
Wie bereits in Kapitel 1.1 erwähnt, besteht jede physikalische Grösse aus dem Produkt des Zahlenwertes und der Einheit. Bei der Berechnung von physikalischen Grössen ist dementsprechend der Zahlenwert und die Einheit mit zu berücksichtigen.
Beispiel:
Dichte
m
= 1.2 kg/dm3
Volumen V = 3.5 m3
1.2kg 3.5m3
1dm3
V
Die Lösung ist so nicht sinnvoll !!
Um dies Berechnung durchzuführen, sind zuerst die gleichen Volumeneinheiten zu bestimmen.
1'200
oder
9.1.1
V
kg
m3
1'200kg 3.5m3
1m3
m
3'500dm3
1.2kg 3'500dm3
1dm3
m
4'200kg
4'200kg
Übungen
Berechnen Sie die Volumen in cm3:
1.
312dm3
3
3.
5'234mm3 5
0.101m3
2.37cm3
5
2.
2.374dm3 7 370cm3
4.
12m3
4
4'569dm3
3
6.
2.81m3
439.6dm3
Berechnen Sie die Volumen in Litern l:
5.
743dm3
62.4cm3
1.23m3
23.6dm3
73'246cm3
93.7dm3
In den folgenden Aufgaben sind die Zahlenwerte und Einheiten soweit wie möglich zu
vereinfachen:
7.
10.
13.
15
N
mm2
24kN
kN
2 7
cm2
9.81
25mm2
8.
12N 100m
80m
1' 000kg 3
11.
m
kg
0.87
6.5dm 120dm2
s2
dm3
m
s2
kg m
4 ' 400
s2
9.
0.5km 3' 600
15h
12.
180mm 22.5
360
14.
12 2 ' 094mm3
125mm
Seite 39 von 43
Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
10 Textgleichungen und vermischte angewandte Aufgaben
In der Praxis stellt sich ein mathematisches Problem in der Regel nicht in Form einer fertigen
Rechnung dar, sondern eher in Text- oder Skizzenform. Eine solche Aufgabe muss daher als
erstes in die mathematische Form gebracht werden.
Beispiel:
Wie heisst die Zahl, deren Sechsfaches gleich dem Siebenfachen der um zwei
verminderten Zahl ist?
Vorgehen:
1.
Setzen Sie für die gesuchte Grösse
eine Variable (in der Regel x).
Gesuchte Zahl sei
x
2.
Legen Sie die Grundmenge für
die Variable fest.
G = Q (rationale Zahlen)
3.
Schreiben Sie alle in der Aufgabe
vorkommenden Grössen auf.
Sechsfaches der Zahl
Siebenfaches der um
2 verminderte Zahl
4.
Stellen Sie die Gleichung auf.
6x
= 7 (x-2)
5.
Lösen Sie die Gleichung
6x
-x
= 7x – 14
= -14
6x
7 (x-2)
x
6.
Überprüfen Sie die Richtigkeit
der gefundenen Lösung.
= 14
6 14 = 7 12
84
= 84
Die Aussage ist also wahr!
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Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
10.1 Übungen
1.
Eine Treppe erhält 20 Stufen. Würde jede Stufe 1.6 cm höher gemacht, könnten 2 Stufen
gespart werden.
Wie hoch wird eine Stufe? (Resultat in cm auf 2 Stellen)
2.
Drei Gemeinden A, B und C haben für den Unterhalt einer Strasse jährlich zusammen Fr.
6'450.00 zu bezahlen. Gemeinde A zahlt Fr. 500.00 mehr als B und nur Fr. 200.00
weniger als C.
Welcher Betrag zahlt jede Gemeinde? (auf ganze Fr. runden)
3.
In einer Bauunternehmung arbeiten auf der Baustelle A 1/2, auf der Baustelle B 1/4 und auf
der Baustelle C 1/7 der gesamten Belegschaft. Im Büro beschäftigt der Betrieb noch
3 Mitarbeiter.
Wie viele Angestellte hat dieser Betrieb?
4.
Die Länge einer rechtwinkligen Bauparzelle ist um 10.30 m länger als die Tiefe. Der
Umfang der Bauparzelle misst 103 m.
Wie gross ist die Parzellenfläche? (Resultat in m2 auf 2 Stellen)
5.
Von einem Eisenstab schneiden wir 10 gleich lange Stücke ab und es verbleibt ein
Reststück von 30 mm Länge. Schneidet man dagegen Stücke ab, die 5 mm kürzer sind,
erhalten wir 12 Stücke und ein Reststück von 10 mm.
Wie lang sind die Schnittstücke in beiden Fällen?. (Resultate in mm!)
6.
Ein Fundamentpfahl von 8 m Länge befindet sich 5 mal weniger tief im Grundwasser als
im trockenen Erdreich und dieser Teil ist 2.5 mal länger als der sichtbare, herausragende
Pfahlkopf.
In welche Masse teilt sich die Pfahllänge auf?
7.
Ein 6.3 m langer Fahnenmast wurde im Sturmwetter geknickt. Die Spitze des herabhängenden Teils ist 90 cm vom Boden entfernt.
In welcher Höhe liegt der Bruch?
8.
In einem viereckigen Grundstück ist jeder Winkel halb so gross wie der Vorangehende.
Wie gross sind die vier Winkel?
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Fachrechnen für Bauberufe
9.
Arithmetik-Algebra
Ein rechteckiger Garten von 3'000 m2 Fläche hat eine Länge von 75 m. Er soll in der Länge um
15 m verkürzt werden.
Wie breit muss er werden, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?
10. Ein quadratischer Bauplatz soll in der einen Richtung um 50 m, in der anderen um 20 m
verlängert werden. Die Fläche des Bauplatzes vergrössert sich dadurch um 50'000 m2.
Wie gross ist das neue Terrain? (Länge l und Breite b auf ganze m!)
11. In einem Rechteck ist die lange Seite 3.5 mal so lang wie die kurze. Verkürzt man jede Seite um
2 m, so wird der Flächeninhalt um 320 m2 kleiner.
Wie gross sind die Seiten des verkleinerten Rechtecks? (Länge l und Breite b auf m)
12. Eine Treppe mit 18 Steigungen bei einer Stufenhöhe von 18 cm soll durch eine Treppe mit 22
Steigungen ersetzt werden.
Bestimmen Sie die neue Stufenhöhe. (Resultat in cm auf 2 Stellen)
13. Für das Einzäunen eines rechtwinkligen Grundstücks braucht man 330 m Maschendraht.
Der Unterschied zwischen der Länge und der Breite des Grundstücks beträgt 15 m.
Berechnen Sie die Abmessungen. (Länge l und Breite b auf ganze m)
14. Ein Balken mit quadratischem Querschnitt soll durch einen Balken mit rechteckigem
Querschnitt ersetzt werden. Die Querschnittsfläche muss gleich bleiben. Die Masse des neuen
Balkens sind um 2 cm kürzer und um 3 cm länger als die des alten Balkens.
Bestimmen Sie die neuen Balkenmasse. (Resultate in cm!)
15. In einem trapezförmigen Grundstück von 896 m2 Fläche und 28 m Tiefe (=Trapezhöhe)
verhalten sich die beiden parallelen Grenzen a : c wie 3 : 5.
Wie lang sind diese Grenzen?. (Resultate auf ganze m)
16. Von zwei Körpern mit den Volumen V1 = 0.9 m3 und V2 = 1.8 m3 hat der erste eine Dichte
von 3.7 kg/dm3.
Wie gross ist die Dichte des zweiten, wenn beide zusammen 4.5 t wiegen?
17. Ein rechteckiges Betonelement (Dichte = 2.47t/m3) mit der Masse m= 3'600 kg ist 10 cm
stark.
Die Seitenlängen verhalten sich wie 2:3.
Berechnen Sie die Abmessungen dieses Elementes. (Resultat im m auf ½ cm genau)
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Fachrechnen für Bauberufe
Arithmetik-Algebra
18. Rohrbündel
Berechnen Sie die Abstände der
Rohrachsen in Bezug auf die
Mitte des Rohrbündels.
z
z
z
Alle Zwischenabstände z
betragen 80 mm.
Masse a, b, c und d in mm.
Ø
1’’ = 1 Zoll = 25.4mm
(Resultate auf mm genau!)
1 ’’
2 ’’
c
2 ’’
b
a
e/2
3 ’’
c
e/2
e
19. Treppenberechnung
Die Treppe der untersten Höhe a ist einläufig. Auf der Höhe b gibt es drei gleiche Läufe. Die Höhe
c wird in zwei gleichen Läufen überwunden.
Die gewünschte Steigungshöhe liegt bei 17.5 cm.
Berechnen Sie :
1.
die Masse OK – OK (a, b und c)
2.
die Höhenkoten
3.
die genauen Tritthöhen für die verschiedenen Treppenläufe.
(Resultate in m auf ½ cm genau)
-1.90
b/3
b
h1
a
h2
b/3
+3.40
b/3
c/2
c
h3
c/2
+6.29
-0.80
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