Klausur Spieltheorie

Klausur Spieltheorie (WS 2014/2015)
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Prof. Klaus M. Schmidt
Klausur Spieltheorie
Die Klausur dauert 90 Minuten. Insgesamt können 90 Punkte erreicht werden.
Bearbeiten Sie alle Aufgaben! Als Hilfsmittel dürfen Sie nur einen nichtprogrammierbaren Taschenrechner und Zeichenmaterial verwenden. Die Bedingungen zweiter
Ordnung müssen Sie nicht überprüfen. Viel Erfolg!
Aufgabe 1
(30 Punkte)
Betrachten Sie das folgende Spiel:
Spieler 1
T
M
B
Spieler 2
l
m
1, 2
0, 1
0, 0
b, b
−1, 5 −1, 5
r
5, −1
5, −1
a, a
a) Wie lautet die Menge der Spieler, I?
b) Wie lautet der Menge der reinen Strategien von Spieler 1, S1 ?
c) Wie lautet die Nutzenfunktion von Spieler 1, u1 ?
Seien nun 1 ≤ a ≤ 10 und b = 4.
d) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a alle strikt dominierten Strategien!
e) Sei Rationalität common knowledge. Führen Sie in Abhängigkeit von a die
iterierte Elimination strikt dominierter Strategien durch!
f) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien in Abhängigkeit
von a!
g) Für welche Werte von a werden alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien pareto-dominiert? Begründen Sie kurz intuitiv, warum im Gleichgewicht in
diesen Fällen die Spieler ihre Strategien nicht so wählen, dass sie die jeweils
pareto-dominierende Allokation erreichen!
Seien nun a = 4 und 1 ≤ b ≤ 10.
h) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte, in denen beide Spieler jeweils zwei
Aktionen mit einer strikt positiven Wahrscheinlichkeit wählen!
Das obige Spiel werde nun zweimal hintereinander gespielt. Der gemeinsame Diskontfaktor betrage δ = 1. Es gelte weiterhin a = 4 und 1 ≤ b ≤ 10.
i) Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht in reinen Strategien, in dem Spieler
1 in der ersten Runde B spielen wird? Falls nein, begründen Sie kurz, warum
nicht! Falls ja, geben Sie eine solche gleichgewichtige Strategienkombination
an und berechnen Sie, wie hoch b mindestens sein muss, um das von Ihnen
angegebene Gleichgewicht zu stützen!
j) Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht in reinen Strategien, in dem Spieler
1 in der zweiten Runde auf dem Gleichgewichtspfad B spielen wird? Falls nein,
begründen Sie kurz, warum nicht! Falls ja, geben Sie eine solche gleichgewichtige
Strategienkombination an und berechnen Sie, wie hoch b mindestens sein muss,
um das von Ihnen angegebene Gleichgewicht zu stützen!
Klausur Spieltheorie (WS 2014/2015)
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Prof. Klaus M. Schmidt
Aufgabe 2
(30 Punkte)
Betrachten Sie folgende Wettbewerbssituation: Es gibt zwei Läden, Eiskaltes Eis (E)
und Freezing Frozen Yogurt (F), die den Münchner Markt für potenziell milchhaltige
kalte Desserts bedienen. Die Nachfrage xi beträgt für Unternehmen i ∈ {E, F }
xi = 60 − 20pi + 10pj ,
wobei pi der von Laden i gewählte Preis sei und pj , j 6= i der vom anderen Laden
gewählte Preis. Nehmen Sie an, dass die variablen Kosten der Läden c = 0 betragen.
Die Läden wählen die Preise gleichzeitig.
a) Stellen Sie die Gewinnfunktion πE (pE , pF ) für Laden E auf!
b) Stellen Sie die Reaktionsfunktion p∗E (pF ) für Laden E auf!
c) Welche Preis setzt der Laden F im Nash-Gleichgewicht im statischen Fall? Welchen Gewinn erzielt er dabei?
Das Spiel werde nun unendlich oft wiederholt.
d) Berechnen Sie den Gewinn, die Läden zusammen maximal pro Periode erzielen
können (wenn der Diskontfaktor δ nahe genug bei 1 liegt)!
e) Geben Sie eine teilspielperfekte Strategienkombination an, bei dem beide Läden
zusammen diesen Gewinn pro Periode erzielen (wenn der Diskontfaktor δ nahe
genug bei 1 liegt)!
f) Berechnen Sie den Diskontfaktor δ, der mindestens notwendig ist, um das von
Ihnen angegebene teilspielperfekte Gleichgewicht zu stützen!
g) Berechnen Sie den Diskontfaktor δ̂, der mindestens notwendig ist, um das von
Ihnen angegebene teilspielperfekte Gleichgewicht zu stützen, wenn die Läden
ihre Gewinne und mögliche Abweichung des anderen Ladens nicht direkt am
Ende der Periode beobachten können, sondern erst am Ende der übernächsten
Periode!
Klausur Spieltheorie (WS 2014/2015)
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Prof. Klaus M. Schmidt
Aufgabe 3
(30 Punkte)
Betrachten Sie folgendes Markteintrittsspiel: Spieler 1 muss entscheiden, ob er in den
Markt eintritt (E) oder nicht (NE). Spieler 2 muss gleichzeitig entscheiden, ob er ein
neues Produkt einführt (P) oder nicht (NP). Dabei kann Spieler 2 niedrige oder hohe
Kosten haben. Spieler 2 kennt diese Kosten, Spieler 1 weiß nur, dass die Kosten mit
Wahrscheinlichkeit s niedrig sind und mit Wahrscheinlichkeit 1 − s hoch.
Das Spiel sieht wie folgt aus:
Falls Spieler 2 niedrige Kosten hat:
Spieler 2
P
NP
Spieler 1
E
-2,3 2,1
N E 0,5 0,3
Falls Spieler 2 hohe Kosten hat:
Spieler 2
P
NP
Spieler 1
E
-2,0 2,1
N E 0,4 0,3
a) Begründen Sie (kurz), warum Spieler 2 in jedem Bayesianischen Nash-Gleichgewicht
immer das neue Produkt einführt, wenn er niedrige Kosten hat!
b) Zeigen Sie, dass es für s = 32 ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht gibt, in
dem Spieler 2 auch das neue Produkt einführt, wenn er hohe Kosten hat!
c) Wie hoch darf s höchstens sein, damit ein solches Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
existiert?
2
3
d) Zeigen Sie, dass es für s =
in reinen Strategien gibt!
e) Zeigen Sie, dass es für s =
reinen Strategien gibt!
1
3
kein weiteres Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
ein weiteres Bayesianisches Nash-Gleichgewicht in
f) Wie hoch darf s höchstens sein, damit dieses Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
existiert?
g) Bestimmen Sie für s = 13 ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht, in welchem
nicht nur reine Strategien benutzt werden!
h) Bestimmen Sie den erwarteten Gewinn für Spieler 1 in diesem Bayesianischen
Nash-Gleichgewicht! (Sie können dies unabhängig davon tun, ob Sie Teilaufgabe
g) gelöst haben.)
Betrachten Sie nun folgende Variation des obigen Spiels: Bevor Spieler 1 entscheiden kann, ob er in den Markt eintritt oder nicht, muss er zuerst Kontakte zu
potenziellen Zulieferern aufnehmen. Dies kostet ihn K ≥ 0 und ist von Spieler 2
beobachtbar. Anschließend wird obiges Spiel gespielt.
i) Argumentieren Sie, wieso Spieler 1 für s =
tiven Kosten K profitieren kann!
1
3
unter Umständen von strikt posi-