Übungsblatt 5

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2007
Übungsblatt 5
Themen: Diskrete Zufallsgrössen, Binomialverteilung
Abgabetermin: Mittwoch, 25. April, bzw. Freitag, 27. April, bei der Übungsleiterin oder beim
Übungsleiter in der jeweiligen Übungsstunde.
Diskrete Zufallsgrössen
Aufgabe 58 (◦). Der gemischte Chor «Sangesfreude» besteht aus 20 Damen und 10
Herren. An der Fahnenweihe eines befreundeten Chores darf eine Viererdelegation teilnehmen. Die Präsidentin bestimmt, dass sie (natürlich) mitgeht und dass die übrigen
drei TeilnehmerInnen auszulosen seien. Die Zufallsgrösse X bezeichnet die Anzahl der
Frauen in dieser Delegation. Geben Sie die Verteilung von X a) tabellarisch, b) mit dem
Graphen der Verteilungsfunktion an. c) Wie gross ist P[2 ≤ X ≤ 3]?
Aufgabe 59 (3 Punkte). Zufallsgrössen werden oft durch einen umgangssprachlichen
Satz beschrieben. Hier ein paar Beispiele:
a) Die Zufallsgrösse X sei die Anzahl Kirschen in einer Konservendose mit Abtropfgewicht 250 g.
b) Die Zufallsvariable Y sei die Fahrzeit eines Trams der Linie 14 vom HB bis zum Milchbuck.
c) Die Zufallsgrösse Z sei die Anzahl der pro volle Stunde ins Parkhaus Irchel einfahrenden Autos.
Beschreiben Sie in den drei Fällen ein passendes Zufallsexperiment und geben Sie den
Ergebnisraum Ω sowie die Abbildungen X : Ω → R, Y : Ω → R und Z : Ω → R in
Worten an.
Aufgabe 60 (4 Punkte). Die diskrete Verteilung einer Zufallsgrösse X ist durch die
folgende Tabelle gegeben:
xi -2
-1
2
4
5 7
pi 0.2 0.1 0.1 0.1 0.3 a
a) Wie gross ist a? b) Zeichnen Sie den zugehörigen
Graphen der Verteilungsfunktion.
c) Berechnen Sie P[X ≤ 0]. d) Berechnen Sie P e ≤ X ≤ 2π (e ist Eulers Zahl).
e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P |X| ≥ 2 . f) Geben Sie eine entsprechende
Tabelle für die Zufallsgrösse Y := (X − 1)2 an.
Aufgabe 61 (3 Punkte). Zur Fussball-Weltmeisterschaft sammeln viele Kinder (und
noch mehr Erwachsene) Panini-Fussballbildchen. Ein Umschlag mit 5 Bildchen kostet 90
Rappen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Umschlag mindestens ein Konterfei eines
Fussballers aus der Schweiz enthält, beträgt 12%. Ein Kind verfügt über 6 Franken und
kauft am Kiosk nacheinander Umschläge, bis entweder ein Schweizer Fussballer (d. h.
dessen Bild) auftaucht oder bis das Geld aufgebraucht ist.
a) Stellen Sie die Verteilung der Zufallsgrösse X: «Anzahl gekaufter Umschläge» in einer
Tabelle dar. b) Wie gross ist P (X ≤ 4)?
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Aufgabe 62 (4 Punkte). Wir würfeln mit zwei unverfälschten Würfeln. Die Zufallsgrösse
D sei der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen. Geben Sie die Verteilung von D
an durch a) eine Tabelle, b) das Stabdiagramm, c) den Graphen der Verteilungsfunktion.
Aufgabe 63 (4 Punkte). In einer Vase sind 5 rote und 3 weisse Kugeln. Sie dürfen
nacheinander 3 Kugeln ziehen. Pro gezogene rote Kugel erhalten Sie Fr. 2.–, pro weisse
Fr. 4.–. Dabei gilt aber die Regel, dass eine rote Kugel vor dem nächsten Zug wieder in
die Vase zurückgelegt wird, während eine weisse auf dem Tisch liegen bleibt. Geben Sie
die Verteilung der Zufallsgrösse «Gewinn» in Form einer Tabelle an.
Aufgabe 64 (4 Punkte). In einem Käfig sind n weibliche und n männliche Meerschweinchen. Ihr Geschlecht ist aber nicht ohne weiteres erkennbar. Sie wählen gleichzeitig und
zufällig zwei Tiere aus. Die Zufallsgrösse Xn bezeichnet die Anzahl der Männchen in der
Auswahl.
a) Berechnen Sie pn := P[Xn = 1]. b) Bestimmen Sie den Grenzwert limn→∞ pn .
Aufgabe 65 (4 Punkte). Ein Beispiel einer diskreten Zufallsgrösse X, welche unendlich
viele Werte annimmt: Die Zufallsgrösse X nimmt die Werte k = 0, 1, 2, 3, . . . mit den
Wahrscheinlichkeiten P[X = k] = c/3k an.
a) Wie gross muss c sein, damit durch diese Festsetzung tatsächlich eine Zufallsgrösse
gegeben ist? b) Wie gross ist P[1 < X < 4]?
Die Binomialverteilung
Aufgabe 66 (◦). Eine unverfälschte Münze wird zehnmal geworfen. Man spricht von
einem Wechsel, wenn das Bild (Kopf K oder Zahl Z) eines Wurfs vom vorangehenden
Wurf verschieden ist, d. h. wenn ein Paar KZ oder ZK vorkommt. Beispielsweise hat die
Folge
ZKKKZKZZKK
fünf Wechsel. Die Zufallsgrösse W bezeichnet die Anzahl der Wechsel. a) Geben Sie die
Verteilung von W an. b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wechsel?
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Wechsel?
Aufgabe 67 (2 Punkte). Sei X binomialverteilt mit Parametern n und p. Berechnen
Sie unter Verwendung einer Tabelle zur Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit P[3 <
X ≤ 5], wenn a) n = 5 und p = 0.3, b) n = 9 und p = 0.8.
Hinweis. Die folgenden fünf Aufgaben löst man zweckmässigerweise nach folgendem Schema:
1. Formuliere die Aufgabe unter Verwendung einer Zufallsgrösse.
2. Bestimme die Verteilung der Zufallsgrösse.
3. Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit den zur Verteilung gehörenden Formeln.
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Aufgabe 68 (3 Punkte). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mensch Blutgruppe 0+
hat, beträgt 36.7%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben von 7 zufällig ausgewählten
Personen weniger als die Hälfte die Blutgruppe 0+?
Aufgabe 69 (3 Punkte). Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt beträgt 51.3%. Sie
untersuchen Familien mit 5 Kindern. In wievielen Prozent der Familien erwarten Sie 3
Mädchen und 2 Knaben?
Aufgabe 70 (3 Punkte). Eine unverfälschte Münze wird 12-mal geworfen. Sie gewinnen,
wenn 6-, 7- oder 8-mal Kopf erscheint. Wie gross ist Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit?
Aufgabe 71 (3 Punkte). Eine Firma verkauft Blumenzwiebeln in Packungen zu 6 Stück.
Sie garantiert, dass höchstens eine dieser Zwiebeln nicht keimt. Nun ist es so, dass aufgrund langjähriger Erfahrung 10% aller Zwiebeln nicht keimen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erfüllt eine gekaufte Packung die angegebene Garantie nicht?
Aufgabe 72 (5 Punkte). Rote und weisse Kugeln werden zufällig in Schachteln mit je
6 Stück abgefüllt. Die Farbe der einzelnen Kugeln wird mit einem Zufallsmechanismus
bestimmt, der bewirkt, dass 40% der Kugeln rot sind.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die Kugeln in einer Schachtel alle dieselbe Farbe?
b) Wie viele Schachteln muss man mindestens auswählen, damit unter diesen mit einer
Wahrscheinlichkeit > 90% mindestens eine Schachtel mit 5 oder 6 roten Kugeln ist?
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