Fachdeutsch• Mathematik 1 - Užsienio kalbų institutas

UNIVERSITӒT VILNIUS
INSTITUT FÜR FREMDSPRACHEN
Fachdeutsch•
Mathematik 1
Text- und Übungsheft
Zusammengestellt von Virginija Jūratė Pukevičiūtė
Vilnius
2014
Apsvarstė ir rekomendavo leidybai Vilniaus universiteto Užsienio kalbų instituto Vokiečių
kalbos katedra (2012-12-13; protokolo Nr. 4) ir Vilniaus universiteto Užsienio kalbų instituto
Taryba (2013-05-24; protokolo Nr. 5)
Recenzentai
Doc.dr. Vita Banionytė
Lekt. Violeta Paliukonienė
ã Virginija Jūratė Pukevičiūtė, 2014
ã Vilniaus universitetas, 2014
ISBN 978-609-459-337-6
2
Vorwort
„Fachdeutsch • Mathematik 1“ ist ein Text- und Übungsheft für StudentenInnen der
physischen Wissenschaften mit Mittelstufenkenntnissen in Deutsch, was Niveau B2 des
„Gemeinsamen Europäischen Referenzrahmens“ entspricht. Das vorgelegte Heft hat zum Ziel,
die sprachlichen Fähigkeiten zu vertiefen:
·
Leseverstehen und Interpretation der originalen fachorientierten Texte;
·
Erlernen des themenbezogenen Wortschatzes und praktische Einübung der neu
erworbenen Kenntnisse;
·
Vervollkommnung der grammatischen Kenntnisse im Kontext der fachorientierten
Literatur;
·
Erweiterung der schriftlichen und mündlichen Fähigkeiten aufgrund der in den Texten
aktuellen Themen.
Das Text- und Übungsheft besteht aus 2 Lektionen zu bestimmten Themen aus dem
Bereich der Mathematik, die mit mehreren Lesetexten sowie zahlreichen lexikalischen und
grammatischen Aufgaben entfaltet werden. Die Lesetexte werden aus verschiedenen zu den
didaktischen Zwecken dienenden Internetseiten entnommen.
Zusätzliche kurze themabezogene Texte in Form von C-, Cloze-Aufgaben usw. können
den Studierenden bei der besseren Beherrschung des neuen Wortschatzes behilflich sein. Die
Lernenden haben Möglichkeit, die Wörter oder Wortgruppen zum aktuellen Thema mithilfe der
ABC-, Mind-Mapping-Methode u. a. zu wiederholen und einzuüben.
„Fachdeutsch • Mathematik 1“ stellt auch die Aufgaben zur Erweiterung der sprachlichen
Kompetenz der StudentenInnen im Rahmen der fachbezogenen Literatur zur Verfügung, d. h.
die Besprechung der in den Texten aktuellen Themen mithilfe der Bilder, Tabellen und
Grafiken. Um die schriftlichen Fertigkeiten der Lernenden zu vertiefen, wird es empfohlen, die
Fragen zu den Texten schriftlich zu beantworten, die Sätze zu beenden sowie die kurzen
Textannotationen zu schreiben.
Während der Vorbereitung des Text- und Übungsheftes wurden die Materialien mit den
Studierenden der Fachbereiche Mathematik, Statistik, Ökonometrie, Informatik, Finanzen- und
Versicherungsmathematik mehrmals erprobt, korrigiert und ergänzt.
3
Inhaltsverzeichnis
Lektion 1. Teilgebiete der Mathematik
5
Logik, Mengenlehre, Algebra und Topologie
6
Analysis
14
Algebra
22
Geometrie
31
Geschichte der Geometrie
39
Lektion 2. Begriffe der Mathematik
47
Mengen
48
Darstellung von Mengen
56
Axiome
64
Euklid und sein Axiomensystem
72
Beweise in der Mathematik
81
Direkte Beweise
91
Aussagen
100
Berühmte mathematische Sätze und Vermutungen
108
Quellenverzeichnis
116
4
Lektion 1. Teilgebiete der Mathematik
?—
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff „Mathematik“? Ergänzen Sie das
Assoziogramm.
rechnen
Mathematik
Zahl
2. Was denken Sie über die von CARL FRIEDRICH GAUß gerne zitierte Aussage.
Begründen Sie Ihre Meinung.
ë
ë
Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften,
und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.
3. Wiederholen Sie die Wörter, die mit dem Thema Arithmetik verbunden sind. Füllen Sie
die Lücken aus.
Abziehen • Brüchen • ganzen • natürliche • Primzahlen • Pythagoräern • Rest •
5
Teilen • Teilgebiet • Vervielfachen • Zahlentheorie • Zusammenzählen
Die Arithmetik ist ein ____________ der Mathematik. Die Arithmetik wurde von den
______________ begründet und in Buch VII-IX von EUKLIDS Elementen erstmals
gesammelt. Sie umfasst vor allem das Rechnen mit den Zahlen, also die Grundrechenarten
Addition (_____________), Subtraktion (____________), Multiplikation (_____________),
Division (___________) sowie die zugehörigen Rechengesetze. Zur Arithmetik gehören auch
die Gesetze der Teilbarkeit der ____________ Zahlen sowie die Division mit __________.
Weiter zu erwähnen ist das Rechnen mit ____________. Der Fundamentalsatz der Arithmetik
besagt: Jede __________ Zahl größer als 1 ist ein (bis auf die Reihenfolge) eindeutiges Produkt
von ____________. Die Arithmetik leitet zur _____________ über, die sich im weitesten Sinn
mit der Charakteristik der Zahlen beschäftigt.
&
I. Lesen Sie den Text 1 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
Abstand, der, "e
atstumas
Grundlage, die, n
pagrindas, esmė
allgegenwärtig
bendras, visuotinis
herausbilden, sich,
susiformuoti
Anstoß, der, "e
postūmis, paskata
Höhepunkt, der, e
viršūnė
Aufbau, der, -
sandara
Lösbarkeit, die, -
išsprendžiamumas
aufblühen, vi
suklestėti
meistern, vt
įveikti
aufweisen, vt
parodyti, atskleisti
Querverbindung, die, en
jungtis, jungė
ausgehend von+D.
remiantis kuo
Stetigkeit, die, -
tolydumas
bedürfen, vt, G.
reikėti ko
Trennungseigenschaft, die,
atskyrimo
Betrag, der, "e
suma
en
ypatumas
Beweis, der, e
įrodymas
überraschend
netikėtas
bezüglich + G.
dėl ko
Umgang, der, "e
ryšys
einführen, vt
įvesti
unhaltbar
nepagrįstas
6
emanzipieren, sich,
išsivaduoti iš ko
Verallgemeinerung, die, en apibendrinimas
Ergänzung, die, en
papildymas
versagt bleiben
čia: nepavykti
erweisen, vt
įrodyti
vertreiben, vt
atsisakyti ko
Gleichung, die, en
lygtis
Vollständigkeit, die, -
pilnumas
Grenzen setzen
nubrėžti ribas
widerspruchsfrei
nepriekaištingas
Grundbegriff, der, e
pagrindinė sąvoka
Zusammenhang, der, "e
ryšys
1. Logik, Mengenlehre, Algebra und Topologie
Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge Zusammenhang zwischen ihren
Teilgebieten, der sich in vielen, häufig auch überraschenden Querverbindungen zeigt und der
jeder Systematik Grenzen setzt.
Logik und Mengenlehre
Die Mathematik hat immer der Logik bedurft, doch dauerte es
sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen befasste. Es war die
Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung
mit der Topologie entwickelt, genauer mit den „Paradoxien des
Unendlichen“ (BERNARD BOLZANO), wie man sie im Umgang mit
den reellen Zahlen erlebte.
Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies
zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und
geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem „Paradies der Mengenlehre“ (DAVID
HILBERT) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen.
Als sich die „naive“ Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der
mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm zwischen LEIBNIZ und FREGE versagt
geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die
einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer
Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen Mitteln (GÖDEL) zu
untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren
widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander.
7
Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der
Mathematik herausgebildet, unter anderem gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme.
Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der
Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie
entwickelte.
Algebra
In der modernen Algebra, wie sie seit den 1920er Jahren gelehrt wird, entwickelt man
ausgehend von einer Menge mit nur einer „inneren Operation“ (Magma genannt) nacheinander
die algebraischen Grundstrukturen der Monoide, Gruppen, Ringe und Körper, die
allgegenwärtig sind, unter anderem, weil die verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen
aufweisen. Eng verbunden sind damit Polynome und Moduln/Ideale.
Die Lineare Algebra hat Moduln als Gegenstand. Im
einfachsten Fall sind dies Vektorräume, d. h. Moduln über
Körpern, meistens
oder
. Dies sind die Räume der
klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch
wesentlich kompliziertere Situationen. Die multilineare
Algebra dehnt die Untersuchung auf das Tensorprodukt und
verwandte Erscheinungen aus. Ein enger Zusammenhang
besteht zur Ringtheorie und Homologischen Algebra; eine
klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie.
Die GALOIS-Theorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik im 19. Jahrhundert und
Anfang der Körpertheorie. Ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen
Gleichungen untersucht sie Körpererweiterungen (und erfindet dabei die Gruppentheorie).
Topologie
Die Topologie ist ein großes und grundlegendes Gebiet mit vielen Anwendungen.
Anstöße kamen aus der Analysis (Reelle Zahlen), der frühen Algebraischen Topologie, der
Funktionentheorie (riemannsche Flächen).
Zunächst werden die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer
Konstruktion eingeführt. Die eng verbundenen Grundbegriffe sind „Zusammenhang“,
„Stetigkeit“ und „Grenzwert“. Weitere wichtige Themen sind „Trennungseigenschaften“ und
„Kompaktheit“. Uniforme Räume haben eine Topologie, die (in Verallgemeinerung metrischer
Räume) über eine Art von Abstand definiert ist. Hier kann man CAUCHY-Filter definieren und
8
damit den Begriff der Vollständigkeit und die Methode der Vervollständigung eines
topologischen Raumes.
Topologische Gruppen, Ringe und Körper sind die entsprechenden algebraischen
Objekte, die zusätzlich mit einer Topologie versehen sind, bezüglich derer die Verknüpfungen
(d. h. bei Ringen und Körpern Addition und Multiplikation) stetig sind. Ein historisch und
praktisch wichtiges Beispiel sind die reellen Zahlen: sie werden durch Vervollständigung der
rationalen Zahlen Q bezüglich der Topologie, die vom Standardbetrag herkommt, konstruiert.
Man kann jedoch auch für eine fest gewählte Primzahl p den so genannten p-adischen Betrag
einführen, dann ergibt sich als Vervollständigung der Körper der p-adischen Zahlen. Für diesen
interessiert sich beispielsweise die Zahlentheorie.
http://de.wikipedia.org/wiki/Teilgebiete_der_Mathematik
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Warum begannen die Mathematiker, sich für die Logik zu interessieren?
_____________________________________________________________________________
2. Was ist wichtig bei der Untersuchung der axiomatischen Theorien?
_____________________________________________________________________________
3. Welche Strukturen weisen die Zahlmengen auf?
_____________________________________________________________________________
4. Wie kann man die Vektorräume erklären?
_____________________________________________________________________________
5. Welche Begriffe dominieren in der Topologie?
_____________________________________________________________________________
6. Womit beschäftigt sich grundsätzlich die Zahlentheorie?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
9
1. Notieren Sie zu jedem Substantiv das ihm zugrunde liegende Verb und Präposition (wenn
es nötig ist).
die Beschäftigung
sich beschäftigen mit +D.
das Verhältnis
_______________
der Zusammenhang
____________________
die Ergänzung
_______________
der Umgang
____________________
die Struktur
_______________
die Herrschaft
____________________
der Gegenstand
_______________
das Gebilde
____________________
die Erscheinung
_______________
das Interesse
____________________
der Anfang
_______________
die Formalisierung
____________________
der Anstoß
_______________
der Beweis
____________________
die Analysis
_______________
die Operation
____________________
die Kategorie
_______________
die Untersuchung
____________________
die Konstruktion
_______________
der Aufbau
____________________
der Abstand
_______________
2. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter.
Ähnliches - Arbeit - auf - bedeutet - Beweistechniken - der - die - durch - echte empfundene - erlernen - Gebiet - Informatik - Studium - zu
Man muss sagen, dass sich das ______(1) der mathematischen Logik sehr von dem ______(2)
philosophischen oder der "Alltags-Logik" unterscheidet. ______(3) mathematische Logik
befasst sich damit, exakte ______(4) zu analysieren und in ein System ______(5) bringen,
damit sie übersichtlicher werden. Die ______(6) Unendlichkeit der Möglichkeiten für Beweise
und ______(7) zeigt sich in Wahrheit als Endliches. ______(8) die Axiomatisierung der
mathematischen Logik können ______(9) "theorem-proving" Maschinen gebaut werden. Das
______(10), dass Computer einem auch die geistige ______(11) abnehmen oder zumindest
erleichtern werden. Beim ______(12) der mathematischen Logik muss man sich ______(13)
eine formale Ebene begeben und Formalisierungstechniken ______(14). Ohne diese Techniken
wäre beispielsweise die ______(15) heute längst nicht so weit.
10
3. Übersetzen Sie ins Litauische.
· der enge Zusammenhang zwischen den
_________________________________
_________________________________
Teilgebieten
· sich als unhaltbar erweisen
_________________________________
· Beweise als Folgen elementarer Operationen
_________________________________
_________________________________
darstellen
· die Untersuchung auf etwas ausdehnen
_________________________________
· die Kategorie der topologischen Räume und
_________________________________
Verfahren zu ihrer Konstruktion einführen
_________________________________
_________________________________
· die Methode der Vervollständigung eines
_________________________________
topologischen Raumes
4. Wie steht das im Text?
1. Das kann man als den Anfang der heutigen Mathematik erwähnen.
_____________________________________________________________________________
2. Die Mathematiker begannen mehr und mehr Aufmerksamkeit auf Logik zu schenken.
_____________________________________________________________________________
3. Die Entstehung der neuen Bereiche in der Mathematik zeugt von der Entwicklung und
Bedeutung dieser Wissenschaft.
_____________________________________________________________________________
4. Als ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik spielt die Mengenlehre eine bedeutende Rolle.
_____________________________________________________________________________
5. Man kann solche Strukturen überall treffen.
_____________________________________________________________________________
6. Die Topologie beruht auf verschieden Gebieten der Mathematik.
_____________________________________________________________________________
7. Diese Objekte verfügen über eine Topologie.
_____________________________________________________________________________
11
5. Übersetzen Sie ins Deutsche.
· begalinės aibės
_______________
· skaičių vyravimas
_______________
· sudominti ką nors
_______________
· neprieštaringa sandara
_______________
· panašūs reiškiniai
_______________
· įvairios skaičių aibės
_______________
· esminė sritis
_______________
· algebros lygčių išsprendimas
_______________
· apibrėžti išsamumo
_______________
· tampriai susijusios
_______________
sąvoką
· remiantis sąsajomis
· siekiant ištirti matematikos
priemonėmis
_______________
_______________
_______________
pagrindinės sąvokos
_______________
_______________
· aiškus ir akivaizdus
_______________
6. Bilden Sie aus den Relativsätzen die Partizipialattribute.
☞ Präsens
ó Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d
Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) ó Partizip II
(būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma
Z.B.
Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge Zusammenhang zwischen ihren Teilgebieten,
der sich in vielen Querverbindungen zeigt.
Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge, sich in vielen Querverbindungen zeigende
Zusammenhang zwischen ihren Teilgebieten.
1. Dies war zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft
der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Die Mengenlehre findet heute Ergänzung in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger
Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.
_____________________________________________________________________________
12
_____________________________________________________________________________
3. Topologische Gruppen, Ringe und Körper sind die entsprechenden algebraischen Objekte,
die zusätzlich mit einer Topologie versehen sind.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zur Texterschließung.
Ordnen Sie die Textteile in der richtigen Reihenfolge an.
Richtige Reihenfolge: D __ __ __ __ __ __ __
A
„der aus den Axiomen logisch abgeleitete Satz“. Teilweise werden dann auch die
Axiome
B
als Theoreme der Theorie bezeichnet. In der Mathematik spricht man statt vom
Theorem oder Lehrsatz oft auch
C
bewiesenen Satz. In einer axiomatisch-deduktiven Theorie bedeutet Theorem in
einem engeren Sinn
D
Der Ausdruck Theorem (von griechisch theorema ‚Angeschautes‘), auch Lehrsatz,
ist mehrdeutig. Er bezeichnet allgemein einen Lehrsatz,
E
ein Naturgesetz oder Physikalisches Gesetz. Im Unterschied zur Mathematik spielt
hier der Bezug zur Wirklichkeit eine
F
eine Lehrmeinung oder den Bestandteil einer wissenschaftlichen Theorie; spezieller
„die erklärten Sätze (Aussagen, Normen) eines Systems“ bzw. die in einer Theorie
bewiesene Aussage resp. einen
G
einfach vom Satz. Damit er als wahr anerkannt wird, muss er aus den Axiomen der
Theorie mit den Schlussregeln der Theorie bewiesen werden. In der Physik nennt
man einen Lehrsatz auch
H
entscheidende Rolle. Der Lehrsatz muss durch Experimente als adäquat
nachgewiesen werden.
V. Aufgabe zum mündlichen Ausdruck.
13
Schauen Sie das Bild mit den Teilgebieten der Mathematik an. Für welche Teilgebiete der
Mathematik interessieren Sie sich am meisten? Begründen Sie Ihre Meinung. Besprechen
Sie das in der Gruppe.
&
I. Lesen Sie den Text 2 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
Abbildung, die, en
atvaizdis
Hauptsatz, der, “e
pagrindinė teorema
Ableitung, die, en
išvestinė
Infinitesimalrechnung,
nykstamųjų dydžių
ankommen, vt, auf+A.
priklausyti nuo ko
die,
skaičiavimas
ausrechnen, vt
apskaičiuoti
kompatibel
suderinimas
bestimmbar
nustatomas
krummlinig
kreivinis
14
betrachten, vt
nagrinėti, stebėti
Mannigfaltigkeit, die, en
daugdara
darstellbar
atvaizduojamas
Massepunkt, der, e
matavimo taškas
definieren, vt
apibūdinti
Reihe, die, n
progresija, seka
ermöglichen, vt
suteikti galimybę
Sprung, der, “e
šuolis
erschließen, vt
atskleisti
stückweise
palaipsnis
erweisen, sich,
atsiskleisti
verallgemeinern, vt
apibendrinti
Exponentialfunktion,
rodiklinė funkcija
Volumen, das, -
apimtis
Wahrscheinlichkeit, die,
tikimybė
die,
Forderung, die, en
reikalavimas
zugrunde liegen
būti pagrindu
Gewand, das, e
čia: išvaizda
zurückgelegt
nueitas, įveiktas
Grenzwert, der,
riba, ribinė reikšmė
zusätzlich
papildomas
2. Analysis
Die Analysis ist ein zentrales Thema der Mathematik. Sie beschäftigt sich in erster Linie
mit der Differenzial- und Integralrechnung. Um die Theorie systematisch studieren zu
können, muss man sich jedoch zunächst über Begriffe wie Zahlen, Funktionen, Reihen und
Potenzreihen die beiden wichtigsten Begriffe Grenzwert und Stetigkeit erschließen. Der
Grenzwertbegriff ermöglicht es davon zu sprechen, dass sich gewisse Dinge (z. B.
Funktionswerte) beliebig genau annähern und der Stetigkeitsbegriff bedeutet, dass es in der
betrachteten Funktion keine großen Sprünge gibt. Messen Sie beispielsweise die Temperatur, so
ist es nicht möglich, dass es von einer Sekunde zur anderen plötzlich einen Unterschied von
mehreren Grad gibt. Die Temperatur verändert sich stetig. Hat man sich diese Begriffe erst
einmal erarbeitet, so kommt man zur Differenzial- und Integralrechnung.
In der Differenzialrechnung geht es vornehmlich um die
Berechnung der Ableitung (Steigung) einer Funktion. Beschreibt
eine Funktion z. B. die Bewegung eines Massepunktes (also die
zurückgelegte Strecke in einer bestimmten Zeiteinheit), so gibt die
Ableitung dessen Geschwindigkeit an.
Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Flächen- bzw. Volumenberechnung, auch
unter krummlinigen Kurven (beispielsweise die Fläche eines Teiches). In der Theorie gelangt
man schließlich zum Hauptsatz der Differenztial- und Integralrechnung, der besagt, dass
15
Integrale über Stammfunktionen ausgerechnet werden können, und der somit die beiden,
zunächst unabhängig voneinander entwickelten Theorien miteinander verbindet.
Die Analysis untersucht differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen
Räumen, von den Zahlkörpern R und C bis zu Mannigfaltigkeiten und HILBERT-Räumen (und
darüber hinaus). Sie war schon die Mathematik der Naturwissenschaften des 17. und 18.
Jahrhunderts
und
ist
es
immer
noch.
Im
Mittelpunkt
der
Analysis
steht
die
Infinitesimalrechnung:
Ø Die Differenzialrechnung beschreibt mithilfe der Ableitung eine Funktion „im Kleinen“;
Ø Integralrechnung und die Theorie der Differenzialgleichungen ermöglichen es
umgekehrt, aus der Ableitung auf die Funktion zu schließen.
Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um
die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch
Differenzialgleichungen
und
Potenzreihen
gegebene
spezielle
Funktionen ergänzt. Betrachtet man Funktionen, die den komplexen
Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach
komplexer Differenzierbarkeit auf, die weit reichende Folgen hat.
Solche Funktionen sind immer analytisch, d. h. im kleinen durch
Potenzreihen darstellbar. Ihre Untersuchung heißt Funktionentheorie,
sie gehört zu den großen Leistungen des 19. Jahrhunderts.
Wie man die Erdoberfläche stückweise, oder wie man sagt, „lokal“ oder „im kleinen“
durch ebene Karten darstellen kann, definiert man Mannigfaltigkeiten als HAUSDORFFRäume zusammen mit einem Atlas aus kompatiblen Karten, die eine Umgebung eines jeden
Punktes in einen gewissen Modellraum abbilden. Mit einigen zusätzlichen Annahmen
hinsichtlich der Karten kann man „Analysis auf Mannigfaltigkeiten“ betreiben. Heute liegt der
Cartansche
Differenzialformenkalkül
der
Übertragung
analytischer
Begriffe
auf
Mannigfaltigkeiten zugrunde; dabei kommt es darauf an, die neuen Begriffe „intrinsisch“, das
heißt unabhängig davon zu definieren, welche konkrete Karten man zu ihrer Realisation
benutzt. Für einen Großteil der Begriffe kann man das, wenngleich es nicht immer einfach ist
und zu einer Reihe neuer Begriffsbildungen führt. Als ein Beispiel sei der Satz von STOKES
genannt, der den Fundamentalsatz der Analysis verallgemeinert. Eine wichtige Rolle spielt
diese Theorie in anderem Gewande, als Vektoranalysis und RICCI-Kalkül in der Physik.
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind auch Gegenstand der algebraischen Topologie; mit
16
zusätzlichen Strukturen sind unter anderem riemannsche Mannigfaltigkeiten Thema der
Differenzialgeometrie.
Aus der uralten Frage nach Maß und Gewicht erwuchs erst Anfang des 20. Jahrhunderts
unter Aufnahme topologischer Begriffe die Maßtheorie, die dem gegenwärtigen, sehr
leistungsfähigen Integralbegriff und seinen Anwendungen zugrunde liegt, aber auch der
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Ungefähr zur selben Zeit entwickelte sich aus dem Studium von Integral- und
Differenzialgleichungen die Funktionalanalysis als das Studium von Funktionenräumen und
von deren Abbildungen (Operatoren). Die ersten Beispiele solcher Räume waren die HILBERTund BANACHräume. Sie erwiesen sich als der Untersuchung mit algebraischen wie
topologischen Instrumenten zugänglich, und eine umfangreiche Theorie nahm hier ihren
Ursprung.
Angewandte Analysis: Oft besitzen wir keine geschlossene Funktionsbeschreibung von
Vorgängen, die auf dem Computer simuliert werden sollen. Geometrische Formen in der
Computergrafik, die nicht durch Kreise oder Ellipsen zu beschreiben sind, müssen
mathematisch modelliert werden und auf dem Computer realisierbar sein. Wie berechnen wir
mithilfe des Computers ein Integral? Viele Integrale sind nicht durch eine elementare
Stammfunktion bestimmbar - oder wir kennen wiederum nur diskrete Wertepaare einer zu
integrierenden Funktion. Die Lösung für dieses Problem stellen die Quadraturformeln dar.
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/analysis/analysis.html?print=1
http://de.wikipedia.org/wiki/Teilgebiete_der_Mathematik
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Womit beschäftigt sich die Analysis?
_____________________________________________________________________________
2. Wie konnte man zur Differenzial- und Integralrechnung kommen?
_____________________________________________________________________________
3. Was untersucht man mithilfe der Integralrechnung?
_____________________________________________________________________________
17
4. Warum zählt man die bestimmten Funktionen zu den analytischen?
_____________________________________________________________________________
5. Auf welche Weise kann man die Erdoberfläche in Einzelheiten darstellen?
_____________________________________________________________________________
6. Wie entstand die Maßtheorie?
_____________________________________________________________________________
7. Wie kann die Analysis ihre Anwendung in unserem Leben finden?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff „Analysis“? Ergänzen Sie das
Assoziogramm.
Rechnung
Integral
Analysis
Reihen
2. Bilden Sie aus dem Verb das ihm zugrunde liegende Substantiv.
studieren
das Studium
darstellen
_______________
ermöglichen
________________
abbilden
_______________
sprechen
________________
definieren
_______________
messen
________________
spielen
_______________
bedeuten
________________
erwachsen
_______________
beschreiben
________________
entwickeln
_______________
untersuchen
________________
simulieren
_______________
ergänzen
________________
beweisen
_______________
verbessern
_______________
drängen
18
3. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter.
aufbauen - der - der - die - Differenzierbarkeit - eine - entwickelt - großer - in Mathematik - mit - mit - sind - umfasst - und - und - Zielmenge
Die Analysis ist ein Teilgebiet der ______(1), dessen Grundlagen von G. W. Leibniz ______(2)
I. Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander ______(3) wurden. Die
grundlegende Analysis befasst sich ______(4) Grenzwerten von Folgen und Reihen, sowie
______(5) Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, ______(6) und Integration. Die
Methoden der Analysis ______(7) in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von ______(8)
Bedeutung. Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in ______(9) Analysis auf
Funktionen mit Definitions- und ______(10) in den komplexen Zahlen ist Bestandteil
______(11) Funktionentheorie. Neben der Differenzial- und Integralrechnung ______(12) die
Analysis weitere Gebiete, welche darauf ______(13). Dazu gehören die Theorie der
gewöhnlichen ______(14) partiellen Differenzialgleichungen, die Variationsrechnung, die
Vektoranalysis, ______(15) Maß- und Integrationstheorie und die Funktionalanalysis.
______(16) ihrer Wurzeln hat auch die Funktionentheorie ______(17) der Analysis.
4. Übersetzen Sie ins Litauische.
· um die Theorie systematisch studieren zu können
_______________________________
· es gibt in der betrachteten Funktion keine großen
_______________________________
_______________________________
Sprünge
· die Berechnung der Ableitung einer Funktion
_______________________________
· über Stammfunktionen ausgerechnet werden
_______________________________
· durch Differenzialgleichungen und Potenzreihen
_______________________________
_______________________________
ergänzt werden
· die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit
_______________________________
· die neuen Begriffe definieren
_______________________________
· differenzierbare Mannigfaltigkeiten
_______________________________
· sich zugänglich erweisen
_______________________________
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5. Übersetzen Sie ins Deutsche.
· išsiskirti iš ko
________________
· pastoviai keistis
_______________
· išlenktos kreivės
________________
· nepriklausomai besi-
_______________
· apibrėžiamas
________________
vystančios teorijos
_______________
· analizės esmė
________________
· didžiulis pasiekimas
_______________
· atvaizduoti žemėlapiais
________________
· papildomos prielaidos
_______________
· apibūdinti nepriklauso-
________________
· esminis analizės teiginys
_______________
________________
· reikšminga teorija
_______________
· pagal matą ir svorį
________________
· procesų apibūdinimas
_______________
· priartėti prie ko
________________
· problemos sprendimas
_______________
mai nuo ko
6. Transformieren Sie die Sätze nach dem Beispiel.
☞
sein + Adjektiv mit Sufix –bar c Modalverb + Infinitiv Passiv
Z.B.
Die wichtigsten Begriffe sind erschließbar.
Die wichtigsten Begriffe können erschlossen werden.
1.
Die Abbildungen sind differenzierbar. c _______________________________________
2.
Die Funktionen sind ergänzbar. c ____________________________________________
3.
Die Funktionen sind darstellbar. c ____________________________________________
4.
Die neuen Begriffe sind definierbar. c _________________________________________
5.
Geometrische Formen sind modellierbar. c _____________________________________
6.
Geometrische Formen sind realisierbar. c ______________________________________
7.
Viele Integrale sind bestimmbar. c ____________________________________________
7. Bilden Sie aus den konjunktionslosen Nebensätzen die Nebensätze mit der Konjunktion
und dann die Präpositionalkonstruktionen.
20
☞
ein konjunktionsloser Satz c Nebensatz mit Konjunktion wenn c Präposition bei
Z.B.
Messen Sie die Temperatur, so ist es nicht möglich, …...
Wenn Sie die Temperatur messen, so ist es nicht möglich, …...
Bei der Messung der Temperatur ist es nicht möglich, …...
1. Hat man sich diese Begriffe erst einmal erarbeitet, so kommt man zur Differenzial- und
Integralrechnung.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Beschreibt eine Funktion die Bewegung eines Massepunktes, so gibt die Ableitung dessen
Geschwindigkeit an.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Beschreibt man mithilfe der Ableitung eine Funktion „im Kleinen“, so spricht man über die
Differenzialrechnung.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4. Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich
die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weit reichende Folgen hat.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zum schriftlichen Ausdruck.
Schreiben Sie eine Annotation zum Text, indem Sie die folgenden Sätze ergänzen.
Der Text heißt ________________________________
Er besteht aus ______________ Teilen.
21
Im ersten Teil handelt es sich um__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Im zweiten Teil werden ______________ behandelt .
_____________________________________________________________________________
Der dritte Teil befasst sich mit____________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Abschließend geht es um ________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
&
I. Lesen Sie den Text 3 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
befassen, sich, mit+D.
lösen, vt
išspręsti
Berechnungsvorschrift, apskaičiavimo
Menge, die, n
aibė
die, en
taisyklė
Präzisierung, die, -
patikslinimas
beweisen, vt
įrodyti
unterteilen, vt
suskirstyti
einbinden, vt
įpinti, įjungti
Verknüpfung, die, en
ryšys, kompozicija
Einführung, die, en
įvedimas
Vervollständigung, die, -
papildymas
ganzzahlig
sveikasis
Winkel, der, -
kampas
gleichartig
vienarūšis
zerfallen, vi
susiskaidyti
Hintergrund, der, “e
fonas
zerlegen, vt
suskaidyti
Kantenlänge, die, n
briaunos ilgis
užsiimti kuo
22
3. Algebra
Ursprünglich befasste sich die Algebra mit dem Lösen algebraischer Gleichungen, d. h.
der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen mit rationalen oder ganzzahligen
Koeffizienten. In diesem Zusammenhang mussten immer neue Möglichkeiten entwickelt
werden, was unter anderem auch zur Einführung der imaginären Zahlen führte. Wenn man z. B.
die Nullstellen der Gleichung x² + 1 = 0 bestimmen will, reichen die reellen Zahlen nicht mehr
aus, da das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv (oder Null) ist und man nie auf Null
kommt, wenn man zu einer nicht-negativen Zahl eins addiert. Durch die Einführung der
komplexen Zahlen, die sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, und der Hilfe
der Analysis war es dann auch möglich, den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen. Er
besagt, dass in den komplexen Zahlen jede Gleichung in Linearfaktoren zerfällt, d.h. die Anzahl
der Nullstellen mit dem Grad der Gleichung übereinstimmt. Auch versuchte man allgemeine
Lösungen durch Radikale für Gleichungen zu finden. Jedem dürfte noch aus der Schule die pqFormel ein Begriff sein, die einem eine Berechnungsvorschrift zum Lösen quadratischer
Gleichungen liefert. Gleichartige Formeln wurden auch zum Lösen von Gleichungen dritten und
vierten Grades gefunden. Eines der interessantesten Ergebnisse der Algebra jedoch ist es, dass
es unmöglich ist, allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen höheren Grades (Grad > 4) zu
finden.
Al-Hwarizmi
Leonardo Fibonacci Niccolo Tartaglia
Geronimo Cardano
Isaac Newton
Auch konnten mithilfe der ALGEBRA drei der ältesten Probleme gelöst werden, mit
denen sich die Mathematiker schon seit langer Zeit befasst hatten:
1. Das Delische Problem: Gegeben sei ein Würfel mit Kantenlänge 1. Ist es möglich mit
Zirkel und Lineal die Kantenlänge a =
3
2 eines Würfels mit doppeltem Volumen zu
konstruieren?
23
2. Die Quadratur des Kreises: Ist es möglich, mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit dem
gleichen Flächeninhalt, wie der eines Kreises mit Radius 1 zu konstruieren?
3. Die Winkeldreiteilung: Gegeben sei ein beliebiger Winkel. Ist es möglich, mit Zirkel und
Lineal diesen Winkel in drei gleich große Winkel zu zerlegen?
Alle diese Fragen konnten negativ beantwortet werden. Somit ist z.B. bewiesen, dass
die Quadratur des Kreises unmöglich ist, auch wenn es bis heute noch Leute gibt, die das nicht
glauben wollen.
Inzwischen befasst sich die Algebra jedoch nicht mehr nur damit, Lösungen
algebraischer Gleichungen zu finden, sondern mit der Theorie der Verknüpfungen auf einer
Menge. Eine derartige Struktur einer Menge mit einer Verknüpfung nennt sich dann
algebraische Struktur. Mit Hinzunahme besonderer Anforderungen an diese algebraischen
Strukturen kommt man zu Begriffen wie Gruppe, Körper oder Vektorraum, deren
Untersuchungen ein wichtiges Teilgebiet der Algebra bilden. Durch die Bildung
unterschiedlicher Strukturen lässt sich auch die Algebra in verschiedene Teilgebiete unterteilen:
Die lineare Algebra behandelt vorwiegend die Theorie der Vektorräume über
Körpern, die Körpertheorie, wie der Name schon sagt, die Theorie allgemeiner Körper und
Körpererweiterungen, die Gruppentheorie und daneben gibt es noch weitere Bereiche (z.B.
Ringtheorie, homologische Algebra, ...). Auch wird die Algebra in vielen anderen Gebieten
eingebunden. In der Logik (Boolesche Algebra) oder der Zahlentheorie spielt sie eine wichtige
Rolle.
Leonhard Euler
C.F. Gauss
Niels H. Abel
Evariste Galois
Enrico Betti
Dass die Aufgabe der Algebra ursprünglich im Lösen von Gleichungen bestand, steckt
schon in ihrem Namen, der aus dem Werk al-kitab al-muhtasir fi hisab al-gabr wa-l-muqabala
(Das kurz gefasste Buch über Rechnen mit Ergänzen und Zusammenfassen von Ausdrücken)
von dem arabischen Gelehrten AL-HWARIZMI (ca. 780-850) aus dem 9. Jahrhundert stammt.
Aus dem Ausdruck al-gabr im Titel wurde später Algebra. Sich mit algebraischen Problemen zu
befassen, wurde jedoch schon im alten Ägypten und bei den Griechen begonnen. Die meisten
algebraischen
Methoden
entstanden
hierbei
24
aus
einem
geometrischen
Hintergrund.
Weiterentwickelt wurde die Theorie dann zunächst hauptsächlich in China, Indien und der
arabischen Welt, und erst im Mittelalter beschäftigte man sich in Europa wieder mit der
Algebra. Hier ist als wichtigster Vertreter LEONARDO VON PISA (ca. 1170-1250), der auch
unter dem Namen LEONARDO FIBONACCI bekannt ist, zu nennen. Im 16. Jahrhundert fand
NICCOLO TARTAGLIA (1499-1557) dann die heute unter dem Namen Cardanosche Formel
bekannte Lösung für Gleichungen dritten Grades und LUDOVICO FERRARI (1522-1569) die
für Gleichungen vierten Grades. Auch ISAAC NEWTON (1643-1727) und LEONARD
EULER (1707-1783) leisteten wichtige Arbeiten. Für den bis heute unbewiesenen
Fundamentalsatz lieferte CARL-FRIEDRICH GAUß (1777-1855) gleich vier voneinander
unabhängige Beweise, deren erster aus dem Jahre 1799 Gegenstand seiner Dissertation war.
Im Jahre 1824 war es NIELS HENRIK ABEL (1802-1829), der beweisen konnte, dass
Gleichungen fünften Grades nicht durch Radikale gelöst werden können. Den bedeutendsten
Beitrag des 19. Jahrhundert zur Weiterentwicklung lieferte jedoch EVARISTE GALOIS (18111832) durch die systematische Entwicklung einer Theorie, die heute unter dem Namen
GALOIS-Theorie bekannt ist. Mithilfe dieser Theorie war es nun einfach zu beweisen, dass
generell Gleichungen höheren als vierten Grades nicht durch Radikale lösbar sind. Dies ist auch
ENRICO BETTI (1823-1892) zu verdanken ist, der ab 1851 eine erste Präzisierung der
GALOIS-Theorie mit einer Vervollständigung der Beweise präsentierte, da dies GALOIS
aufgrund seiner kurzen Lebenszeit nicht möglich war.
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/algebra/algebra.html?print=1
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Womit beschäftigten sich früher die Mathematiker auf dem Gebiet der Algebra?
_____________________________________________________________________________
2. Wozu führte die Anwendung der komplexen Zahlen in der Algebra?
_____________________________________________________________________________
3. Zu welchen Ergebnissen kamen die Mathematiker, was die Algebra angeht?
_____________________________________________________________________________
25
4. Welche Probleme versucht man mithilfe der Algebra zu lösen?
_____________________________________________________________________________
5. Wie erweiterten sich die Forschungen in der Algebra bis heute?
_____________________________________________________________________________
6. Wo kann man heute im Alltag die Erfindungen der Algebra deutlich sehen?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema „Algebra“ und verwenden Sie dabei ABC
Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter.
Algebraisch
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Z
2. Ergänzen Sie die fehlende Worthälfte (jeder Strich = 1 Buchstabe).
D _ _ (1) deutlich sichtb _ _ _ _ _ _(2) Anwendungen d _ _(3) Algebra lie _ _ _(4) in d _ _(5)
Informationsverschlüsselung. Je _ _(6) Scheckkarte, d _ _(7) Sie benu _ _ _ _(8) , jede C _(9) ,
die S _ _(10) hören, funkti _ _ _ _ _ _(11) nur m _ _(12) Hilfe v _ _(13) Algebra i _(14)
Kombination m _ _(15) Zahlentheorie. Hi _ _(16) werden Inform _ _ _ _ _ _ _(17) codiert u _
_(18) auf d _ _(19) Karte od _ _(20) CD gespe _ _ _ _ _ _(21) , die da _ _(22) mit geeig _ _ _
_ _(23) Geräten abgefr _ _ _(24) werden u _ _(25) z. _(26) . in wahrne _ _ _ _ _ _(27) Musik
umgewan _ _ _ _(28) werden kön _ _ _(29) . Dafür i _ _(30) es jed _ _ _(31) nicht n _ _(32)
nötig, d _ _(33) Information z _(34) verschlüsseln u _ _(35) später wie _ _ _(36) abzurufen,
son _ _ _ _(37) es mu _ _(38) auch mögl _ _ _ _ _(39) Fehlern vorge _ _ _ _ _(40) werden. D
26
_ _(41) Entschlüsselung mu _ _(42) also sic _ _ _(43) sein. Wenn der Scanner an der Kasse
im Supermarkt den Strichcode zufällig falsch liest, sollte nicht plötzlich der Preis für ein
anderes Produkt erscheinen, sondern zumindest eine Fehlermeldung.
3. Bringen Sie die Wörter der einzelnen Sätze in die richtige Reihenfolge. Beginnen Sie mit
dem fett gedruckten Wort und verwenden Sie alle Wörter.
1. Eine - Potenz - gleicher - ist - abkürzende - die - eine - für - Multiplikation - Schreibweise Faktoren.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Hier - addiert. - werden - gleiche – Summanden
_____________________________________________________________________________
3. wir - vereinfachte - kennen - Schreibweise. - eine – Dafür
_____________________________________________________________________________
4. also - Multiplikation - eine - einer - ist - Summanden. - Vereinfachung - Addition - Die –
gleicher
_____________________________________________________________________________
5. also - selbst - soll. - die - multipliziert - mit - Die - "5" - gibt - 3 - hochgestellte - fünfmal an, - werden - Zahl - sich – dass
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
6. gleicher - auch - eine - Faktoren - definiert. - Multiplikation - Schreibweise - haben - die –
Mathematiker - für – vereinfachte
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
die Bestimmung der Nullstellen von Polynomen
_________________________________
·
zur Einführung der imaginären Zahlen führen
_________________________________
27
·
den Fundamentalsatz der Algebra beweisen
·
Lösungsformen für Gleichungen höheren Grades _________________________________
_________________________________
finden
_________________________________
die Kantenlänge eines Würfels mit doppeltem
_________________________________
Volumen konstruieren
_________________________________
·
mit Hinzunahme besonderer Anforderungen
_________________________________
·
durch die Bildung unterschiedlicher Strukturen
_________________________________
·
aus einem geometrischen Hintergrund entstehen
_________________________________
·
durch die systematische Entwicklung einer
_________________________________
Theorie
_________________________________
·
5. Beenden Sie die folgenden Sätze.
1. Am Anfang war die Aufgabe der Algebra, _______________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Wenn die komplexen Zahlen eingeführt wurden, konnte ____________________________
_____________________________________________________________________________
3. Die neuen Erfindungen in der Algebra offenbarten, dass die Lösungsformeln ____________
_____________________________________________________________________________
4. Die negative Beantwortung einigen Fragen der Algebra zeigte die Unmöglichkeit, ________
_____________________________________________________________________________
5. Die Mathematiker konnten zu solchen Begriffen wie Gruppen, Körper, Vektorraum
kommen, als sie __________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
6. Mithilfe der Geometrie konnten die Mathematiker der Antike und des Mittelalters ________
_____________________________________________________________________________
6. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche.
1. Jau seniai matematikai domisi šia problema ir bando ją išspręsti.
_____________________________________________________________________________
28
2. Nors ir esama reiškinių, kurie laikomi neįrodomais, vis tiek yra matematikų, kurie nenori
tuo tikėti.
_____________________________________________________________________________
3. Remiantis struktūrų gausa, algebrą galima suskirstyti į įvairias sritis.
_____________________________________________________________________________
4. Įvairiomis algebros problemomis domėjosi jau senovės Egipto ir Graikijos matematikai.
_____________________________________________________________________________
5. Geometrija sudaro įvairių algebroje vartojamų tyrimo metodų pagrindą.
_____________________________________________________________________________
6. Kadangi E. Galua gyveno labai trumpai, jo vardo teoriją tikslino kiti matematikai.
_____________________________________________________________________________
7. Bilden Sie aus den Präpositionalgruppen die Nebensätze oder Infinitivkonstruktionen und
umgekehrt .
☞
durch ó indem;
mit, bei ó wenn, als
Z.B.
Wenn man die Nullstellen der Gleichung x² + 1 = 0 bestimmt, reichen die reellen Zahlen
nicht mehr aus.
Bei der Bestimmung der Nullstellen der Gleichung x² + 1 = 0 reichen die reellen Zahlen
nicht mehr aus.
1. Durch die Einführung der komplexen Zahlen war es dann auch möglich, ...
_____________________________________________________________________________
2. Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv (oder Null) und man kommt nie auf Null,
wenn man zu einer nicht-negativen Zahl eins addiert.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Durch die Bildung unterschiedlicher Strukturen lässt sich auch die Algebra in verschiedene
Teilgebiete unterteilen.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
29
4. Mit Hinzunahme besonderer Anforderungen an diese algebraischen Strukturen kommt man
zu Begriffen wie Gruppe, Körper oder Vektorraum
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema:
Erfindungen der Mathematiker auf dem Gebiet der Algebra
Zeitperioden
Erfindungen oder Vermutungen
Arabische Mathematiker
Mathematiker des
Mittelalters
Mathematiker des 18. Jhs
Mathematiker des 19. Jhs
2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über die Erfindungen der Mathematiker auf
dem Gebiet der Algebra. Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle.
30
&
I. Lesen Sie den Text 4 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
Abbildung, die, en
atvaizdis
Kegel, der,
kūgis
affin
afinus
Kollinearität, die,
kolinearumas
aufbauen, vt
pagrįsti
Parallelverschiebung, die,
lygiagretusis postūmis
Behandlung, die, en
nagrinėjimas
en
Bezug, der, e, zu+D.
čia: ryšys su kuo
prominent
žymus
Drehung, die, en
posūkis, pasukimas
Senkrechtstehen, das, -
statmenumas
Ebene, die, n
plokštuma
Spiegelung, die, en
veidrodinis atspindys
erkennbar
atpažįstamas
Überblick, der, e, über+A.
apžvalga
geordnet
sutvarkytas
üblicherweise
paprastai
Gerade, die, en
tiesė
Verbindungsgerade, die, n
jungiamoji tiesė
hinweisen, vt, auf+A.
nurodyti
Zug, der, e (im Zuge)
čia: apjungus ką
Hinzufügen, das, -
papildymas
zurückgehen, auf+A
kilti
4. Geometrie
Die Geometrie (altgr. γεωμέτρης ‚Erdmaß‘, ‚Landmessung‘)
ist ein Teilgebiet der Mathematik. Einerseits versteht man unter
„Geometrie“
die
zwei-
und
dreidimensionale
euklidische
Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die
sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc.
beschäftigt, sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die
im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung
dieses Themas entwickelt wurden. Andererseits umfasst der Begriff
„Geometrie“ eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik,
deren Bezug zur Elementargeometrie für Laien nur mehr schwer
erkennbar ist.
31
Teilgebiete
Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem
ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren
Elemente traditionellerweise Punkte, Geraden, Ebenen, .... heißen, und deren Beziehungen
untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf EUKLID, der
versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate
(d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene
Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:
·
Geordnete Geometrie. In dieser spielen Begriffe folgender Art eine Rolle: Ein Punkt liegt
zwischen zwei anderen. Eine Gerade (bzw. im Raum eine Ebene) zerlegt die Ebene (bzw.
den Raum) in zwei Teilgebiete. Konvexität.
·
Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus
Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die
Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren:
Das Hinzufügen von Fernelementen macht eine affine Geometrie zu einer projektiven, und
das Entfernen einer Geraden bzw. einer Ebene mit ihren Punkten macht aus einer zweibzw. dreidimensionalen projektiven Geometrie eine affine.
·
Euklidische Geometrie: Darunter versteht man üblicherweise die aus den Axiomen und
Postulaten EUKLIDS abgeleitete Geometrie. Weil der seit EUKLID überlieferte Aufbau
der Theorie noch Genauigkeitslücken enthielt, hat DAVID HILBERT in seinen
„Grundlagen der Geometrie“ (1899 und viele weitere Auflagen) ein Axiomensystem
aufgestellt, aus dem er die euklidische Geometrie bis auf Isomorphie eindeutig aufbauen
konnte. Danach kann diese eindeutig beschrieben werden als der dreidimensionale reelle
Vektorraum, in dem die Punkte durch die Vektoren dargestellt werden und die Geraden
durch die Nebenklassen der eindimensionalen Unterräume. Strecken, Senkrechtstehen,
Winkel usw. werden wie in der seit DESCARTES üblichen analytischen Geometrie erklärt.
·
Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur
euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat (auch Parallelenaxiom
genannt) nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien.
·
Absolute Geometrie: ist der gemeinsame Unterbau der euklidischen und der
nichteuklidischen Geometrien, d. h. die Menge aller Sätze, die ohne das Parallelenpostulat
bewiesen werden.
32
In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen
Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören
(also ihre Automorphismen): Z. B. ändern weder eine
Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in
einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände
von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die
Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung
von Parallelverschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.
Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer
ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand zweier Punkte eine euklidische
Invariante darstellt. FELIX KLEIN hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als
die
Theorie
der
Transformationsgruppen
und
ihrer
Invarianten
definiert
(vgl.
Abbildungsgeometrie); jedoch ist das keineswegs die einzig mögliche Definition. Im Folgenden
sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:
·
Projektive Geometrie: Invarianten sind die Kollinearität von Punkten und das
Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten einer Geraden (in
der komplexen Zahlenebene von beliebigen vier Punkten; wenn diese auf einem Kreis
liegen, ist es reell)
·
Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten
einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
·
Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind Streckenverhältnisse und
Winkel invariant.
·
Euklidische Geometrie; zusätzliche Invarianten sind die Abstände von Punkten und die
Winkel.
·
Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Kollinearität von Punkten, die
Abstände von Punkten und die Winkel. Die beiden nichteuklidischen Geometrien passen
jedoch nicht in die obige Hierarchie.
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrie
33
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Was versteht man unter der Geometrie?
_____________________________________________________________________________
2. Welche Methoden verwendet man in der Geometrie?
_____________________________________________________________________________
3. Was vereinigt die geometrischen Elemente?
_____________________________________________________________________________
4. Wodurch ist D. Hilbert in der Geometrie bekannt?
_____________________________________________________________________________
5. Was ist für jedes Teilgebiet der Geometrie charakteristisch?
_____________________________________________________________________________
6. Wie bezeichnete F. Klein die Geometrie?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff „Geometrie“? Ergänzen Sie das
Assoziogramm.
Element
Figur
Geometrie
messen
2. Ergänzen Sie zwei letzte Buchstaben bei jedem Wort.
Die Geometr__ h__ z__ Zi__, d__ Anschauungsra__ u__ höh__ dimensiona__ Räu__
mathematis__ zu beschreib__. Sch__ a__ d__ Schu__ ken__ m__ ja d__ elementa__
34
Geometr__, wob__ m__ si__ do__ leid__ o__ n__ a__ d__ Konstrukti__ v__ Dreieck__ od__
Ähnlich__ beschrän__. Krei__, Ellips__ u__ Parabe__ werd__ dur__ Analytisc__ Geometr__
bess__ dargestel__. Zu dies__ beid__ Gebiet__ komm__ an d__ Universit__ no__ weite__
Gebie__ hin__, w__ d__ Differenzialgeometr__, f__ d__ Hilfsmitt__ a__ d__ Analys__
herangezog__ werd__, od__ au__ d__ Projekti__ Geometr__, welc__ ei__ Weiterführu__ d__
Analytisch__ Geometr__ u__ d__ Elementargeometr__ i__ u__ "unendli__ fer__" Punk__
hinzunim__. Außerd__ spiel__ d__ Theor__ d__ Polyto__ u__ d__ Algebraisc__ Geometr__
(d__ we__ in d__ Algeb__ reic__) ei__ Rol__, da s__ au__ f__ d__ Anwendung__ v__
Bedeutu__ si__.
3. Bilden Sie die Sätze mit den folgenden Verben.
sich beschäftigen mit + D. c
c
hinweisen auf + A.
zurückgehen auf + A.
c
zurückführen auf + A.
c
bestehen aus + D.
machen zu + D.
Heute beschäftigen sich die Mathematiker
mit verschiedenen Problemen der Algebra.
c
c
verstehen unter + D. c
sich interessieren für + A. c
4. Finden Sie Synonyme im Text für die folgenden Wortgruppen oder Sätze.
1. zuerst ... dann c ___________________________________________________________
2. ganz konkret verwendet werden c _____________________________________________
3. Zusammenhänge zwischen einander/ verschiedenen Elementen c ____________________
_____________________________________________________________________________
4. Diese Meinung wurde von Euklid geäußert c ____________________________________
35
5. Hier kann man die Charakteristik von verschiedenen Arten der Geometrie bekommen c _
____________________________________________________________________________
6. In dieser Geometrie ist bedeutend ... c _________________________________________
7. Dafür ist gewöhnlich charakteristisch c ________________________________________
8. Sie kann exakt dargestellt werden c ___________________________________________
9. Die Beschaffenheiten sind meistens identisch c __________________________________
10. Im Gegenteil ist jedes Umformen ... c _________________________________________
11. als etwas bezeichnen ... c ____________________________________________________
5. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
im Zuge einer systematischen Behandlung des
_________________________________
Themas entwickelt werden
_________________________________
·
das weist darauf hin, dass ...
_________________________________
·
durch Axiome geregelt sein
_________________________________
·
dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid
_________________________________
·
Verbindungsgeraden von Punkten und die
_________________________________
Schnittpunkte von Geraden
_________________________________
die aus den Axiomen und Postulaten Euklids
_________________________________
abgeleitete Geometrie
_________________________________
durch die Vektoren dargestellt werden
_________________________________
·
·
6. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche.
1.
Geometrija – tai mokslas, kuris dažnai siejamas su įvairiais elementais: taškais, tiesėmis,
kampais, dvimatėmis ir trimatėmis figūromis.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2.
Tiesė AB kerta plokštumą ir dalina ją į dvi dalis.
_____________________________________________________________________________
36
3.
C yra dviejų tiesių susikirtimo taškas.
_____________________________________________________________________________
4.
Plokštumoje yra pateikti trys taškai ABC, o juos sujungus tiesėmis gauname trikampį.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
5.
Atkarpa AB, kurios ilgis 10 cm, yra lygiagreti tiesei CD.
_____________________________________________________________________________
6.
Taškas A nuo taško B yra nutolęs 20 cm, kitaip tariant, atstumas tarp dviejų taškų A ir B
yra 20 cm.
_____________________________________________________________________________
7. Bilden Sie aus den Relativsätzen die Partizipialattribute.
☞ Präsens
ó Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d
Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) ó Partizip II
(būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma
Z.B.
die euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird
die euklidische, auch im Schulunterricht gelehrte Elementargeometrie
1. die euklidische Elementargeometrie, die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen,
Winkeln etc. beschäftigt
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und
mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen ...
_____________________________________________________________________________
37
4. die Menge aller Sätze, die ohne das Parallelenpostulat bewiesen werden
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
5. die Transformationsgruppe, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema:
Teilgebiete der Geometrie.
Teilgebiete
Merkmale
Geordnete Geometrie
Projektive Geometrie
Euklidische Geometrie
Nichteuklidische Geometrie
Absolute Geometrie
2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über die Teilgebiete der Geometrie. Verwenden
Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle.
38
&
I. Lesen Sie den Text 5 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
abtreten, vt
atsitraukti
grundlegend
esminis
Ausgangspunkt, der, e
išeities taškas
Lehrsatz, der, e
teorema
Bedürfnis, das, se
poreikis
leisten, vt
atlikti
Mittelpunkt, der, e
centras
nach+D.
begrenzt sein auf+A.
ribotis kuo
Sachverhalt, der, e
aplinkybės
Bindeglied, das, er
saitas, grandis
Überlegung, die, en
apmąstymai
erstellen, vt
nustatyti
unwesentlich
nereikšmingas
festhalten, vt
laikytis ko
Vertreter, der, -
atstovas
Fläche, die, n
plokštuma
Vormachtstellung, die, -
pirmaujančios pozicijos
5. Geschichte der Geometrie
Die Geometrie entstand, wie so viele andere Grundlagen der menschlichen Kultur, aus
praktischen Überlegungen. Sie ist die älteste systematisierte mathematische Disziplin. Erste
Anstöße hierfür lieferte die Notwendigkeit, Winkel zu messen oder Flächen- und Rauminhalte
zu konstruieren, z. B. beim Bau von Tempeln oder Pyramiden. Lange Zeit wurde die Geometrie
daher auch nicht als Wissenschaft betrieben, da kein Bedürfnis nach Beweisen oder Ähnlichem
bestand. Der Sinn der Geometrie war eindeutig auf die Beantwortung praktischer Fragen
begrenzt. Doch auch so wurden erstaunliche Ergebnisse, wie z. B. die Berechnung des
Rauminhalts eines Pyramidenstumpfes, erzielt. Ebenso
wurde die Berechnung der
Flächeninhalte regelmäßiger Figuren, die in einem Kreis eingeschrieben sind, schon von den
Babyloniern geleistet. Besonders verblüffend ist, dass die Babylonier auch schon den später als
"pythagoräischen Lehrsatz" berühmt gewordenen Satz kannten. Erst jedoch durch die Griechen
wurde die Geometrie von einer Mathematik aus Problemen des täglichen Lebens zu einer
richtigen Wissenschaft erhoben, in der erstmals strenge Beweise für geometrische Sachverhalte
gegeben wurden. Grundlegend hierfür war unter anderem der berühmte Philosoph THALES
39
VON MILET (624-547 v.Chr.). Auch das Wort Geometrie an sich kommt aus dem
Griechischen und bedeutet so viel wie "Erdvermessung".
In der Mathematik im Griechenland des 6. und 7. Jahrhunderts stand die Geometrie
dann eindeutig im Mittelpunkt. Dies wird auch dadurch deutlich, dass sogar Zahlengesetze
geometrisch bewiesen wurden. Aus dieser Zeit stammen auch die drei klassischen Probleme der
antiken Mathematik. Auch das wohl bedeutendste Buch der Mathematikgeschichte entstand in
dieser Zeit: EUKLIDS (325-265 v.Chr.) Elemente, deren größter Teil sich mit der Geometrie
befasst, legten die axiomatische Grundlage für die folgende Mathematik. Neben EUKLID
entwickelte sich ARCHIMEDES VON SYRAKUS (287-212 v.Chr.) als wichtigster Vertreter
der damaligen Mathematik. Er war es, der unter anderem die erste Annäherung der Zahl pi
lieferte.
Thales von Milet
Euklid von Alexandria
Archimedes von Syrakus
Al-Hwarizmi
Nach dem Fall des Römischen Reichs musste Europa die Vormachtstellung in den
mathematischen Wissenschaften vor allem an die islamischen Länder und Indien abtreten. Zu
nennen sind hier besonders der ABU-L-WAFA MUHAMMAD IBN YAHYA IBN ISMAIL
AL-BUZJANI (940-997), der sich mit Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beschäftigte und
AL-HWARIZMI (780-850), der unter anderem die genauere Berechnung von pi vorantrieb.
Im 17. Jahrhundert, nachdem sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa
verlagert hatte, gelang es R. DESCARTES (1596-1650), eine Verbindung der Geometrie und
der Algebra zu erstellen. Durch sein Werk Discours de la méthode aus dem Jahr 1637, entstand
die analytische Geometrie. Außerdem entwickelten sich Gebiete wie die projektive Geometrie
oder
im 18.
Jahrhundert
die
Differenzialgeometrie
als
Bindeglied
zur
Analysis.
Widerspruchsfreie Systeme nichteuklidischer Geometrien wurden unabhängig voneinander
durch C.F. GAUß (1777-1855), N.I. LOBATSCHEWSKI (1792-1856) und J. BOLYAI (18021860) entwickelt. Auch konnten mit algebraischen Methoden die oben bereits erwähnten drei
antiken Probleme gelöst werden (übrigens alle negativ).
40
Rene Descartes
Carl-Friedrich
Gauß
Nikolai
Lobatschewski
Janos Bolyai
David Hilbert
Auch zu Beginn des 20. Jahrhunderts war das Interesse an der Geometrie ungebrochen.
Auf D. HILBERTS Liste der 23 Probleme beispielsweise stammen allein sieben aus dem Gebiet
der Geometrie. Wichtig wurde die Geometrie in dieser Zeit besonders auch in anderen
Bereichen, wie z. B. der Physik. Man bedenke nur, dass sich EINSTEINS Relativitätstheorie
auch auf geometrischen Überlegungen begründet. In näherer Vergangenheit ist gerade die
Informatik ein Gebiet geworden, welches nicht unwesentlich geometrische Methoden,
beispielsweise für Computergrafiken, verwendet. Auch bleibt abschließend festzuhalten, dass
die Geometrie heutzutage sich in so viele Gebiete verzweigt hat, dass es fast nicht mehr möglich
ist überhaupt von "einer" Geometrie zu sprechen, sondern es inzwischen viele "verschiedene"
Geometrien gibt. Ausgangspunkt war sicherlich die Euklidische Geometrie, doch gibt es neben
dieser heute eine hyperbolische, eine elliptische oder auch eine symplektische Geometrie.
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/geometrie/geometrie.html?print=1
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Was verursachte die Entwicklung der Geometrie?
_____________________________________________________________________________
2. Wo wurde anfangs Geometrie verwendet?
_____________________________________________________________________________
3. Wann begann man Geometrie als Wissenschaft zu betrachten?
_____________________________________________________________________________
41
4. Wer schrieb das erste Buch der Geometrie?
_____________________________________________________________________________
5. Womit ist die Entstehung der analytischen Geometrie verbunden?
_____________________________________________________________________________
6. Welchen Platz nimmt heutzutage die Geometrie als Wissenschaft?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema „Geometrie“ und verwenden Sie dabei ABC
Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter.
Abstand
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Z
2. Ergänzen Sie den bestimmten oder unbestimmten Artikel.
dem • der • des • die • die • die • die • ein • ein • einen
________1) Geometrie dürfte ________2) mathematisches Gebiet sein, mit ________3)
eigentlich jeder etwas anfangen kann. Auch _________4) ersten bedeutenden Ergebnisse, wie
________5) Satz ________6) Pythagoras, dürften jedem in seiner Schullaufbahn begegnet sein.
Sie ist also ________7) Gebiet, in welchem _________8) ursprünglichen Fragestellungen
einfach sind und deren Wichtigkeit, siehe Landvermessung, im täglichen Leben sichtbar wird.
Über Dreiecke oder andere geometrische Figuren, allgemein Konstruktionen mit Zirkel und
Lineal, wurden schon sehr früh Betrachtungen angestellt. Erst durch Einbezug anderer
42
Fachgebiete konnte jedoch z.B. gezeigt werden, dass es nicht möglich ist, ________9)
gegebenen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal in drei gleichgroße Winkel zu zerlegen.
All diese Bereiche beziehen sich jedoch eindeutig auf ________10) Euklidische Geometrie.
3. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
aus praktischen Überlegungen
_________________________________
·
aus Problemen des täglichen Lebens erheben
_________________________________
·
im Mittelpunkt stehen
_________________________________
·
Zahlengesetze geometrisch beweisen
_________________________________
·
eine Verbindung der Geometrie und der Algebra _________________________________
_________________________________
erstellen
·
widerspruchsfreie Systeme
_________________________________
·
sich auf geometrischen Überlegungen begründen
_________________________________
·
sich in so viele Gebiete verzweigen
_________________________________
4. Beenden Sie die folgenden Sätze.
1. Die Geometrie entstand, weil die Menschen ______________________________________
2. Die Babylonier begannen als die ersten _________________________________________
3. Die Griechen machten Geometrie zu ____________________________________________
4. Im Griechenland nahm die Geometrie ___________________________________________
5. Nachdem das Römische Reich untergangen war, erlebte die Mathematik ihre Blütezeit ____
_____________________________________________________________________________
6. Im 17. Jh. versuchte R. Descartes, die Geometrie __________________________________
7. Im 20. Jh. interssierten sich ___________________________________________________
8. Im 20. Jh. wurde Geometrie als Grundlage für ____________________________________
5. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche.
1.
Geometrija priskiriama prie seniausių sisteminių matematikos mokslų.
_____________________________________________________________________________
43
2.
Norėdami išmatuoti atkarpas, kampus ir plotus mūsų protėviai turėjo įgyti geometrijos
žinių.
_____________________________________________________________________________
3.
Geometrijos žinių reikėjo statant didingus senovės pastatus, pvz. piramides.
_____________________________________________________________________________
4.
Yra nustatyta, kad senieji babiloniečiai žinojo taip vadinamą Pitagoro dėsnį.
_____________________________________________________________________________
5.
Tik XVII a. geometrija kaip mokslas atgavo savo pozicijas Europoje siejant ją su algebra.
_____________________________________________________________________________
6.
Geometrija yra glaudžiai susijusi ne tik su kitais mokslais, bet ir su menu.
_____________________________________________________________________________
6. Bilden Sie aus den Substantivgruppen die Wortgruppen mit den Verben.
Substantivgruppen
Wortgruppen mit den Verben
der Bau von Tempeln oder
Pyramiden
c
Die Tempel und Pyramiden werden
gebaut
auf die Beantwortung praktischer Fragen begrenzt
sein
die Berechnung des Rauminhalts eines
Pyramidenstumpfes
die Berechnung der Flächeninhalte
Zahlengesetze werden geometrisch bewiesen
das bedeutendste Buch der Mathematikgeschichte
entstand in dieser Zeit
die erste Annäherung der Zahl pi liefern
die Entwicklung der Geometrie
eine Verbindung der Geometrie und der Algebra
erstellen
44
Durch sein Werk entstand die analytische
Geometrie
die genauere Berechnung von pi
IV. Aufgabe zur Texterschließung.
Was passt zusammen? Verbinden Sie die Satzteile.
1-
2-
3-
4-
5-
1. Ebene Geometrie beschäftigt sich mit den
6-
7-
A. der keine Ausdehnung hat.
Eigenschaften der Figuren,
B. Linie, Gerade, Kreis, Winkel und
2. Schon der griechische Mathematiker
Dreieck.
3. Um die Geometrie der alten Griechen
C. Euklid hat sie beschrieben.
4. Die wichtigsten Begriffe der Geometrie sind
D. der keine Länge, Breite, Höhe oder
Punkt,
Tiefe hat.
5. Ein Punkt zeigt eine Stelle im Raum an,
E. kann es nur in Gedanken geben.
6. Einen mathematischen Punkt
F. die in einer Ebene liegen.
7. Denn kein noch so feiner Bleistift vermag
G. kommt heute noch kein Schüler herum.
einen Punkt zu malen,
V. Aufgaben zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema:
Entwicklungsetappen der Geometrie.
Etappe
Merkmale/Autoren
Antike
Mittelalter
45
Neue Zeiten
20. Jh.
2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über die Entwicklungsetappen der Geometrie.
Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle.
3. Schreiben Sie zu jedem Absatz des Textes den Titel.
Absatz
1
Titel
Die Ursachen der Entstehung der Geometrie in der Antike
2
3
4
5
46
Lektion 2. Begriffe der Mathematik
?—
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Ausdruck „Begriffe der Mathematik“?
Ergänzen Sie das Assoziogramm.
Axiom
Beweis
Begriffe der
Mathematik
Menge
2. Was denken Sie über die von JEAN-HENRI FABRE (1823 - 1915) zitierte Aussage?
Begründen Sie Ihre Meinung.
ë
ë
Die Mathematik ist eine wunderbare Lehrerin für die
Kunst, die Gedanken zu ordnen, Unsinn zu beseitigen
und Klarheit zu schaffen.
47
&
I. Lesen Sie den Text 6 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
Abhandlung, die, en
mokslinis veikalas
hinreichend
pakankamas
ableiten, vt
išvesti, diferencijuoti
Hinsicht, die, en
požiūris
abzählbar
suskaičiuojamas
Kontinuum, das, -
kontinuumas
angeben, vt
pateikti
Mächtigkeit, die, -
galia
Aussage, die, n
teiginys
überschaubar
čia: suprantamas
Festlegung, die, en
apibrėžimas
verblüffend
stulbinantis
fußen, vt, auf+A.
remtis kuo
wechselseitig
savitarpio
Geflecht, das, e
pynė
Zuordnung, die, en
atitiktis
gerade
tiesus, lyginis
Zusammenfassung, die, en
sujungimas
6. Mengen
Das Theoriegebäude der Mathematik fußt auf nicht definierten, sondern lediglich durch
ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisierten Grundbegriffen sowie auf normativen
Festlegungen, die im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen sind, den so
genannten Axiomen. Über dieser Basis erhebt sich ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch
festgelegten) Begriffen und durch Beweise gesicherten Aussagen, den mathematischen Sätzen.
Einer der wichtigsten Grundbegriffe der Mathematik ist der Begriff der Menge:
Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung bestimmter real existierender oder
gedachter Objekte aus einem vorgegebenen oder ausgewählten Grundbereich zu einem
Ganzen. Die einzelnen Objekte werden Elemente der Menge genannt.
Die Zusammenfassung von Objekten aus einem solchen Grundbereich G zu einer
Menge erfolgt auf der Grundlage bestimmter, Mengen bildender Eigenschaften: Eine Menge
besteht dann aus denjenigen Objekten des Grundbereichs, welche diese Eigenschaften besitzen.
48
In ähnlicher Weise wie oben angegeben wurde der Begriff Menge im Jahre 1895 erstmals von
dem deutschen Mathematiker GEORG CANTOR (1845 bis 1918) verwendet.
Dabei verstand man diese Erklärung zunächst als eine Definition
des Mengenbegriffs. Bald zeigte sich jedoch, dass das Zulassen aller
denkbaren Zusammenfassungen als Mengen zu Widersprüchen führen
kann - nämlich dann, wenn sich nicht eindeutig entscheiden lässt, ob ein
bestimmtes Objekt zur jeweiligen Menge gehört oder nicht. Noch gut
überschaubar sind in dieser Hinsicht die folgenden Beispielfälle. Wir
betrachten etwa
(1) die Gesamtheit aller Schüler einer Klasse, die größer als 165 cm sind;
(2) die Gesamtheit aller freundlichen Lehrer einer Schule;
(3) die Gesamtheit aller in Berlin ab 2000 gebauten Grundschulen;
(4) die Gesamtheit aller Fußballmannschaften der Bundesliga.
In Beispiel (1) und (3) kann die genannte Gesamtheit sofort elementweise angegeben
werden - es handelt sich um Mengen. In den Beispielen (2) und (4) sind die Eigenschaften nicht
hinreichend klar festgelegt: Wann ist ein Lehrer als „freundlich“ einzuschätzen? Von welcher
Saison ist die Rede? Hier liegen aus mathematischer Sicht keine Mengen vor.
CANTORs Beitrag zur Entwicklung der Mengenlehre
Die Beschäftigung mit trigonometrischen Reihen führte GEORG CANTOR zum
Problem des Unendlichen. 1874 veröffentlichte er eine erste Abhandlung über die von ihm
begründete Mengenlehre. Dabei schuf er die dazu gehörigen Begriffe (wie etwa Element,
Teilmenge oder Mächtigkeit) und Symbole (wie etwa {}, Î und Ç). Für den Begriff Menge
selbst entschied er sich in einer 1895 erschienenen Abhandlung für die folgende Erklärung:
§
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohl
unterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (...) zu einem
Ganzen.
Da damit als Element von Mengen nicht nur Zahlen sondern auch andere Objekte (z.B.
Punkte, Flächen und Mengen selbst) in Frage kamen, bildete die Mengenlehre gleichsam ein
gemeinsames Dach über den verschiedenen mathematischen Teildisziplinen.
CANTOR legte auch Operationen mit Mengen fest (z.B. Vereinigung und
Durchschnitt) und suchte nach Maßstäben für den Vergleich von Mengen.
49
Dafür schuf er den Begriff der Mächtigkeit. Bei endlichen Mengen bereitet dieser
keine Schwierigkeiten: Von zwei solchen Mengen hat diejenige die größere Mächtigkeit, die
mehr Elemente enthält, und Mengen mit gleich vielen Elementen sind gleichmächtig.
Unendliche Mengen, so legte CANTOR fest, sollten genau dann gleichmächtig sein, wenn es
zwischen ihnen eine eindeutige Zuordnung der jeweiligen Elemente gibt. Das führte ihn zu
überraschenden Folgerungen. Eine solche Zuordnung besteht - wie folgende Tabelle zeigt beispielsweise zwischen der Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null) und der Menge der
positiven geraden Zahlen.
1
2
3
4
5
6
...
2
4
6
8
10
12
...
Diese Mengen sind somit gleichmächtig, obwohl die eine Menge eine echte Teilmenge
der anderen ist.
CANTOR nannte solche Mengen (also zur Menge der natürlichen Zahlen
gleichmächtige Mengen) abzählbar unendlich. Er konnte nun zeigen, dass auch die echten
Brüche zwischen 0 und 1 (einschließlich der Null) abzählbar sind (kürzbare Brüche wie z.B.
2
4
sind weggelassen):
0
1
2
1
3
2
3
1
4
3
4
1
5
2
5
3
5
...
1
2
3
4
5
6
7
8
9
...
Anschließend schuf CANTOR sein berühmtes Diagonalverfahren, mit dem er zeigte,
dass auch alle positiven rationalen Zahlen abzählbar sind. Anderseits bewies er, dass die Menge
der reellen Zahlen nicht abzählbar ist, und nannte deren Mächtigkeit Kontinuum. So schuf er
gewissermaßen Stufen des Unendlichen.
Es stellte sich die Frage, ob noch weitere Stufen festzulegen wären. Da nämlich die
Menge aller Teilmengen, die man aus einer Menge M bilden kann, eine höhere Mächtigkeit
besitzt als die Menge M selbst, ergab sich erneut ein unendlicher Prozess.
Auch im geometrischen Bereich gab es verblüffende Resultate. So zeigte CANTOR zum
Beispiel, dass die Menge aller Punkte einer Strecke AB gleichmächtig zur Menge der Punkte
der Trägergeraden AB ist.
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Antinomien_der_Mengenlehre.htm
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Georg_Ferdinand_Ludwig_Philipp_Cantor.htm
50
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Was bildet die Grundlage für die Theorie der Mathematik?
_____________________________________________________________________________
2. Wie kann man den Begriff der Menge bezeichnen?
_____________________________________________________________________________
3. Wie kann man die Mengen bildenden Eigenschaften erklären?
_____________________________________________________________________________
4. Welche Begriffe von der Mengenlehre wurden von G. Cantor eingeführt?
_____________________________________________________________________________
5. Was kann man zu den Elementen von Mengen zählen?
_____________________________________________________________________________
6. Was versteht man unter den unendlichen Mengen?
_____________________________________________________________________________
7. Welche Schlussfolgerungen machte G. Cantor über die echten Brüche?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff „Menge“? Ergänzen Sie das
Assoziogramm.
Objekt
Menge
Element
51
2. Finden Sie Synonyme für die Wörter aus dem Text.
Wort im Text
Synonym
Wort im Text
Synonym
1. Beziehung
A. bezeichnen
9. Hinsicht
I. erlauben
2. definieren
B. korrelativ
10. überschauen
J. genau
3. Durchschnitt
C. Behauptung
11. Unendliche
K. erkennen
4. Eigenschaft
D. Zusammenhang
12. verstehen
L. Standpunkt
5. eindeutig
E. erfassen
13. verwenden
M. bewerten
6. einschätzen
F. resultieren
14. wechselseitig
N. Verbindung
7. erfolgen
G. Beschaffenheit
15. zulassen
O. mittlerer Wert
8. Festlegung
H. benutzen
16. Zusammenfassung P. Grenzenlosigkeit
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10 -
11 -
12 -
13 -
14 -
15 -
16 -
3. Ergänzen Sie die fehlenden Präpositionen.
am • auf • für • in • in • mit • mit • von • von • zu
Cantor hat nicht nur den Mengenbegriff ___________1) besten beschrieben, er hat auch die
ganze Theorie der Mengenlehre begründet. ___________2) großem Aufwand und vielen
Widerständen __________3) Seiten anderer angesehener Mathematiker entwickelte er eine
Theorie ___________4) die Mächtigkeit oder Größe ___________5) unendlichen Mengen. Er
entdeckte die Überabzählbarkeit
der
reellen
Zahlen
und
das
Kontinuumsproblem,
___________6) das weiter unten noch eingegangen wird. Sehr bald jedoch musste er einsehen,
dass man __________7) diesen Begriffen sehr vorsichtig umgehen muss. Sehr große solcher
Gesamtheiten, wie sie ___________8) seiner Beschreibung einer Menge vorkamen, konnten
________9) Problemen führen, die nicht zu lösen waren. Beispielsweise war ein naives
Komprehensionsprinzip ___________10) der Theorie nicht haltbar, denn dann müsste es auch
eine Menge geben, die alle Mengen enthält, welche sich nicht selbst enthalten.
52
4. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
auf normativen Festlegungen fußen
___________________________
·
ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch
___________________________
festgelegten) Begriffen
___________________________
Objekte aus einem vorgegebenen oder ausgewählten
___________________________
Grundbereich
___________________________
·
diese Eigenschaften besitzen
___________________________
·
das Zulassen aller denkbaren Zusammenfassungen
___________________________
·
gut überschaubar sein
___________________________
·
nicht hinreichend klar festgelegt sein
___________________________
·
die von ihm begründete Mengenlehre
·
nach Maßstäben für den Vergleich von Mengen suchen
·
zu überraschenden Folgerungen führen
·
alle positiven rationalen Zahlen sind abzählbar
·
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
5. Bilden Sie die Sätze mit den folgenden Verben.
sich beschäftigen mit + D. c
fußen auf + A.
c
c
bestehen aus + D.
führen zu + D.
c
es handelt sich um + A.
gehören zu + D.
Heute beschäftigen sich die Mathematiker
mit verschiedenen Problemen der Algebra.
c
c
verstehen unter + D. c
suchen nach + D. c
53
6. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche.
1. Kalbant apie aibes galima sutikti tokius posakius: „būti įrodomu, teiginiai paremti įrodymais,
tikrovėje egzistuojantys objektai, atsirasti remiantis tam tikromis savybėmis“ .
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. G. Kantoras pirmasis pavartojo aibės terminą.
_____________________________________________________________________________
3. Netikslus aibės apibrėžimas galėjo nulemti netikslumus.
_____________________________________________________________________________
4. G. Kantoras domėjosi įvairiomis matematikos problemomis, jų tarpe ir begalybės klausimais.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
5. Mokslas apie aibes sutinkamas įvairiose matematikos disciplinose.
_____________________________________________________________________________
6. Siekdamas palyginti aibes G. Kantoras įvedė galios terminą, kuris esant baigtinei aibei nekėlė
jokių problemų.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
7. Bilden Sie aus den Partizipialattributen die Relativsätze und umgekehrt.
☞ Präsens
ó Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d
Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) ó Partizip II
(būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma
Z.B.
durch ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisierten Grundbegriffen
Grundbegriffen, die durch ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisiert werden
1.
ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch festgelegten) Begriffen und durch Beweise
gesicherten Aussagen;
54
_____________________________________________________________________________
2.
auf der Grundlage bestimmter, Mengen bildender Eigenschaften;
_____________________________________________________________________________
3.
Eine Menge besteht dann aus denjenigen Objekten des Grundbereichs, die diese
Eigenschaften besitzen;
_____________________________________________________________________________
4.
eine erste Abhandlung über die von ihm begründete Mengenlehre;
_____________________________________________________________________________
5.
von zwei solchen Mengen hat diejenige die größere Mächtigkeit, die mehr Elemente
enthält.
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
1.
Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema:
G. Cantors Beitrag auf dem Gebiet der Mengenlehre.
Aspekte
2.
Kurze Beschreibung oder ein Beispiel
Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über den G. Cantors Beitrag auf dem Gebiet
der Mengenlehre. Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle.
55
&
I. Lesen Sie den Text 7 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
Aussageform, die,
teiginio forma
Produktmenge, die,
Darstellung, die, en
atvaizdavimas
Durchschnittsmenge, die,
sankirta
senkrecht
vertikalus
Eigenschaft, die, en
savybė, ypatybė
teilbar
dalomas
eintragen, vt
įtraukti
Teilmenge, die, n
poaibis
geschweift
išlenktas
Veranschaulichung, die,
iliustravimas
Klammern, die, Pl.
skliaustai
Vereinigungsmenge, die,
aibių sąjunga
Kommutativität, die,
perstatomumas
waagerecht
horizontalus
Potenzmenge, die,
rodiklinė aibė
Zahlentripel, das, -
skaičių trejetas
sandaugos /skaičių
aibė
7. Darstellung von Mengen
Mengen lassen sich in beschreibender oder in aufzählender Form angeben.
Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x Î M.
Ist x kein Element der Menge M, so schreibt man x Ï M.
·
Alle Elemente der Menge werden angeben, z.B. in geschweiften
Klammern aufgeschrieben.
Bild 1
Beispiel: Menge der möglichen Augenzahlen eines Würfels M = {1; 2; 3; 4;
5; 6}
·
Alle Elemente der Menge werden in ein Diagramm eingetragen.
Solche Diagramme werden nach dem englischen Logiker JOHN
VENN (1834 bis 1923) auch VENN-Diagramme genannt (Bild 2).
·
Bild 2
Der Grundbereich und die Mengen bildende Eigenschaft werden in
Worten beschrieben.
56
Beispiel:
M ist die Menge aller natürlichen Zahlen, die kleiner als 20 und durch 5
teilbar sind.
·
Der Grundbereich und die Mengen bildende Eigenschaft (die eine
Aussageform ist) werden als Zeichenreihe in einer geschweiften
Klammer angegeben.
Beispiel:
M = {x Î
: x < 20 Ù 5| x}
Gesprochen: M ist die Menge aller Elemente x aus
, für die gilt:
x ist kleiner als 20 und 5 teilt x.
Durchschnittsmenge (Durchschnitt)
Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) von A und B (
) ist die
Menge aller Elemente, die in A und zugleich in B enthalten sind.
Man liest: „A geschnitten B“.
Das Zeichen
Bild 3
steht für das Bindewort „und“.
Wegen der Kommutativität der „und“-Verknüpfung gilt für alle Mengen
A und B:
Beispiel:
Ein Viereck, in dem alle vier Winkel rechte sind, heißt Rechteck.
Ein Viereck, in dem alle vier Seiten gleich lang sind, heißt Raute
(Rhombus).
Ein Viereck, in dem alle vier Seiten gleich lang und alle vier Winkel
Bild 4
rechte sind, heißt Quadrat.
Je nach der Beziehung zwischen A und B können bei der
Veranschaulichung von
drei Fälle unterschieden werden (Bild 5).
Bild 5
57
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge von A und B (
) ist die Menge aller
Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind.
Man liest: „A vereinigt B“.
Das Zeichen
Bild 6
steht für das „oder“ mit den drei angegebenen
Bedeutungen.
Beispiel:
Menge der positiven rationalen Zahlen einschließlich der Null
Menge der negativen rationalen Zahlen
Q: Menge aller rationalen Zahlen, d.h. der rationalen Zahlen, welche
positiv oder negativ sind, und die Zahl Null.
Bild 7
Je nach der Beziehung zwischen A und B können bei der
Veranschaulichung von
die in Bild 8 dargestellten drei Fälle
unterschieden werden.
Bild 8
Potenzmenge
Die Potenzmenge P(A) von einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen
von A.
Die Potenzmenge einer Menge A enthält immer die leere Menge und die
Menge A selbst.
Beispiel:
Bild 9
Gegeben ist die Menge A = {3; 4; 5; 6}.
Die Potenzmenge P(A) von A enthält die leere Menge, vier Einermengen,
sechs Zweiermengen, vier Dreiermengen und die Menge A selbst.
P(A) {{}, {3}, {4}, {5}, {6},
=
{3; 4}, {3; 5}, {3; 6}, {4; 5}, {4; 6}, {5; 6},
{3; 4; 5}, {3; 4; 6}, {3; 5; 6}, {4; 5; 6},
{3; 4; 5; 6}}
58
Produktmenge
Die Produktmenge A x B (gesprochen „A kreuz B“) ist die Menge aller
geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element
aus B ist:
Bild 10
Die Produktmengenbildung ist nicht kommutativ.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
In einem aus sechsunddreißig Feldern bestehenden quadratischen Spielfeld (6
x 6) werden die Felder am Rand senkrecht und waagerecht mit Ziffern
versehen. Um die Lage des Spielsteins genau bestimmen zu können, ist es
Bild 11
wichtig, die Reihenfolge bei der Angabe der Ziffern festzulegen.
Ein geordnetes Paar (a; b) entsteht durch Zusammenfassen zweier Elemente
a und b in einer festen Reihenfolge. Sind a und b Zahlen, ist das geordnete
Paar ein Zahlenpaar.
Geordnete Zahlenpaare werden z.B. zur Angabe der Position eines Punktes im
ebenen kartesischen Koordinatensystem genutzt (Bild 12)
Bild 13
Bild 12
Wird die Produktmenge aus drei Zahlenmengen gebildet, so entstehen geordnete
Zahlentripel (a; b; c). Geordnete Zahlentripel werden z.B. zur Angabe der Position eines
Punktes in einem räumlichen Koordinatensystem genutzt.
http://m.schuelerlexikon.de/mobile_mathematik/Darstellung_von_Mengen.htm
59
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1.
Wie nennt man die Elemente der Menge in Form vom Diagramm?
_____________________________________________________________________________
2.
Wie kann man die Mengen bildende Eigenschaft darstellen?
_____________________________________________________________________________
3.
Welche Verknüpfungen kann man nicht nur mit den Wörtern, sondern auch mit den
Zeichen angeben?
_____________________________________________________________________________
4.
Was versteht man unter einem Quadrat?
_____________________________________________________________________________
5.
Wann spricht man in der Mengenlehre über geordnete Paare?
_____________________________________________________________________________
6.
Was ist für ein räumliches Koordinatensystem charakteristisch?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema „Menge“ und verwenden Sie dabei ABC
Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter.
Aufzählen
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Z
60
2. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter.
am • Basis • betreiben • dazu • die • die • für • gibt • Grundlage • heutzutage •
innermathematisch • nicht • sich • System
Die axiomatische Mengenlehre entstand nach der Grundlagenkrise _____1) Anfang des 20.
Jahrhunderts. Man sah sich nämlich ______2) gezwungen, die Mathematik auf eine halbwegs
feste __________3) zu stellen. Die Mengenlehre bietet den Rahmen _____4) sämtliche
mathematischen Theorien und besteht aus einem _________5) von Axiomen. Ihre Sprache ist
so, dass _____6) gesamte Mathematik mit ihr betrieben werden kann. __________7) geht es
hauptsächlich um die Frage, was ______8) in dem System beweisen lässt und was ________9).
Anwendungen, die im täglichen Leben sichtbar wären, ______10) es eher nicht. Der
Hauptgesichtspunkt, Mengenlehre zu __________11), bestand einfach darin, die Mathematik
auf eine ________12) zu stellen. Die Anwendungen sind eigentlich nur ____________13).
Hilbert sagte einmal sinngemäß, dass unendliche Mengen _____14) Theorie zwar vereinfachen,
jedoch eigentlich niemanden interessieren.
3. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
sich in aufzählender Form angeben lassen
_______________________________
·
in geschweiften Klammern aufschreiben
_______________________________
·
in ein Diagramm eingetragen werden
_______________________________
·
die Mengen bildende Eigenschaft
_______________________________
·
je nach der Beziehung zwischen A und B
_______________________________
·
Menge der positiven rationalen Zahlen
_______________________________
·
die Menge aller Teilmengen von A
_______________________________
·
durch Zusammenfassen zweier Elemente
_______________________________
_______________________________
entstehen
·
zur Angabe der Position eines Punktes
·
in einem räumlichen Koordinatensystem
_______________________________
_______________________________
61
4. Übersetzen Sie ins Deutsche.
1. Šiai aibei priklauso visi skaičiai, kurie gali būti dalinami iš 5.
_____________________________________________________________________________
2. Tokią aibę sudaro elementai, esantys tuo pačiu A ir B aibėse.
_____________________________________________________________________________
3. Keturkampis, kurio visi kampai yra statūs, t.y. sudaro 90° kampą, vadinamas stačiakampiu.
_____________________________________________________________________________
4. Matematikoje naudojami ženklai, kurie reiškia jungtis „ir“ bei „arba“.
_____________________________________________________________________________
5. Šachmatų lenta yra aibė, kurią sudaro 36 kvadrato formos laukeliai.
_____________________________________________________________________________
6. Stačiakampėje koordinačių sistemoje (Dekarto plokštuma) nurodoma taško padėtis
dvimatėje erdvėje.
_____________________________________________________________________________
5. Bilden Sie aus den konjunktionslosen Nebensätzen die mit der Konjuktion „wenn“.
Z.B.
Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x Î M.
Wenn x ein Element der Menge M ist, so schreibt man x Î M.
1.
Ist x kein Element der Menge M, so schreibt man x Ï M.
_____________________________________________________________________________
2.
Sind alle Elemente der Menge in ein Diagramm eingetragen, nennt man sie ...
_____________________________________________________________________________
3.
Sind a und b Zahlen, ist das geordnete Paar ein Zahlenpaar.
_____________________________________________________________________________
4.
Wird die Produktmenge aus drei Zahlenmengen gebildet, so entstehen …
_____________________________________________________________________________
5.
Sind alle Elemente der Mengen A und B in einer Menge enthalten, nenn man sie ...
_____________________________________________________________________________
62
6. Bilden Sie aus den Passivsätzen die Aktivsätze.
Z.B.
Alle Elemente der Menge werden in ein Diagramm eingetragen.
Man trägt alle Elemente der Menge in ein Diagramm ein.
1.
Alle Elemente der Menge werden angeben.
_____________________________________________________________________________
2.
Solche Diagramme werden nach dem englischen Logiker J. Venn auch VENN-Diagramme
genannt.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3.
Der Grundbereich und die Mengen bildende Eigenschaft werden in Worten beschrieben.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4.
Der Grundbereich und die Mengen bildende Eigenschaft werden als Zeichenreihe in einer
geschweiften Klammer angegeben.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
5.
Geordnete Zahlenpaare werden zur Angabe der Position eines Punktes im ebenen
kartesischen Koordinatensystem genutzt.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zur Texterschließung.
Was passt zusammen? Verbinden Sie die Satzteile.
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
1) Die Menge ist eines der wichtigsten und
A. welche Elemente in ihr enthalten sind.
2) Man fasst im Rahmen der Mengenlehre
B. (diese Menge heißt die „leere Menge”).
63
einzelne „Elemente”
C. Sinn definiert; sie werden auch nicht
3) Eine Menge muss kein Element enthalten
als oder in Axiomen definiert.
4) Bei der Beschreibung einer Menge geht es
D. grundlegenden Konzepte der
ausschließlich um die Frage,
Mathematik.
5) Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element
mehrmals enthalten ist,
E. heißen Elemente der Menge.
F. (beispielsweise Zahlen) zu einer
6) Der Begriff Menge geht auf Georg Cantor
Menge zusammen.
zurück, der eine Menge „naiv” als eine
G. oder ob es eine Reihenfolge unter den
Zusammenfassung bestimmter,
Elementen gibt.
7) Die Objekte der Menge
H. wohlunterschiedener Objekte unserer
8) Weder der Begriff Menge noch der Begriff
Anschauung oder unseres Denkens zu
Element werden im mathematischen
einem Ganzen beschrieb.
V. Aufgaben zum mündlichen Ausdruck.
Besprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe die Bilder im Text. Begründen Sie, warum die
Bilder oder Grafiken einen bestimmten Mengentyp darstellen.
&
I. Lesen Sie den Text 8 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
aussichtslos
beviltiškas
herleiten, vt
čia: kilti
Assoziativgesetz, das,
jungiamumo dėsnis
herstellen, vt
užmegzti (ryšį)
beruhen, vi, auf+D.
remtis kuo
Nachfolger, der, -
pasekėjas
Bestrebung, die, en
siekimas
nachweisen, vt
įrodyti
64
dekadisch
dešimtainis
plausibel
pagrįstas
Distributivgesetz, das,
skirstomumo dėsnis
Schluss, der, “e
išvada
entsprechend
atitinkamas
schneiden, vt
kirsti
führen, vt, zu+D.
vesti prie ko
Schreibweise, die, n
rašymo būdas
Grundannahme, die, n
esminė prielaida
schwankend
nepastovus
Gültigkeit, die,
pagrįstumas
Verfahren, das, -
metodas
8. Axiome
Durch Axiomensysteme werden mathematische Begriffe mithilfe einer Reihe von
einfachen Festlegungen, die man Axiome nennt, charakterisiert.
Derartige mathematische Axiomensysteme genügen folgenden Bedingungen:
·
Axiome sind Grundannahmen, die meist aus bereits vorhandenen Vorstellungen über den
zu definierenden Begriff resultieren, von deren Gültigkeit man ausgeht und die deshalb
auch nicht bewiesen werden müssen.
·
Axiome sollen zu keinem Widerspruch führen.
·
Weitere gewünschte Eigenschaften des zu definierenden Begriffs sowie alle übrigen Sätze
der entsprechenden Theorie sollen aus diesen Festlegungen mit den Regeln der Logik
bewiesen werden können.
·
Keines der Axiome soll aus den anderen Festlegungen des Axiomensystems hergeleitet
werden können.
Im Folgenden werden drei Beispiele für mathematische Axiomensysteme angegeben:
Beispiel 1: PEANOsches Axiomensystem
Der italienische Mathematiker GIUSEPPE PEANO (1858 bis 1932) hat im Jahre 1891
nachgewiesen, dass sich die Eigenschaften der natürlichen Zahlen aus fünf Axiomen ableiten
lassen (wobei die einzelnen Axiome in der Literatur in verschiedenen Fassungen bzw.
Formulierungen angegeben werden):
·
Axiom 1: 0 ist eine Zahl.
·
Axiom 2: Jede Zahl hat genau einen Nachfolger.
·
Axiom 3: 0 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
·
Axiom 4: Jede Zahl ist Nachfolger höchstens einer Zahl.
65
·
Axiom 5: Von allen Mengen, die die Zahl 0 und mit der Zahl n auch deren
Nachfolger n¢ enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste.
Auf der Basis dieser Axiome wären die natürlichen Zahlen mit 0; 0¢; 0² zu bezeichnen.
Diese Schreibweise ist aber sehr unübersichtlich und beansprucht viel Zeit und Raum. Deshalb
verwendet man für die natürlichen Zahlen das dekadische Positionssystem und symbolisiert
sie mit 0; 1; 2; …; 9; 10; 11; 12; … Definiert man für die natürlichen Zahlen die uns bekannten
Rechenoperationen, so müssen deren Rechenregeln nur mittels der PEANOschen Axiome und
logischer Schlüsse bewiesen werden können.
Definiert man etwa Addition (+) und Multiplikation (·) für natürliche Zahlen m, n
mittels
m + 0 = 0 + m = m,
m + n¢ = (m + n) ¢,
m · 0 = 0 · m = 0,
m · n¢ = m · n + m
so lassen sich aus den PEANOschen Axiomen beispielsweise die Kommutativgesetze a + b = b
+ a und a · b = b · a, die Assoziativgesetze (a + b) + c = a + (b + c) und (a · b) · c = a · (b · c)
sowie das Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c herleiten. Das dabei benutzte
Beweisverfahren der vollständigen Induktion wird durch das Axiom 5 gerechtfertigt.
Beispiel 2: Axiomensystem der EUKLIDischen Geometrie
Auch die EUKLIDische Geometrie beruht auf einfachen Grundannahmen, die so
anschaulich und plausibel waren, dass man kein Bedürfnis verspürte, diese auf den griechischen
Mathematiker EUKLID VON ALEXANDRIA (etwa 365 bis etwa 300 v. Chr.) zurückgehenden
Axiome zu beweisen. Nur eine Ausnahme gab es, das fünfte Axiom, das Parallelenaxiom:
Ø In der Ebene gibt es zu einer gegebenen Geraden und einem gegebenen Punkt, der nicht
auf dieser Geraden liegt, genau eine Gerade, die durch den gegebenen Punkt
hindurchgeht, ohne die gegebene Gerade zu schneiden.
Etwa 2000 Jahre lang hat man immer wieder, aber vergeblich versucht, dieses
Parallelenpostulat aus den anderen Axiomen herzuleiten. Erst durch die Arbeiten von CARL
FRIEDRICH GAUSS (nicht veröffentlicht) in Göttingen, NIKOLAI IWANOWITSCH
LOBATSCHEWSKI (veröffentlicht um 1829) in Kasan, JANOS BOLYAI (veröffentlicht um
1832) in Budapest wurde bewiesen, dass
66
Ø das Parallelenaxiom nicht aus den anderen EUKLIDischen Axiomen abzuleiten ist und
Ø die Negation des Parallelenaxioms (d.h. die Annahme, dass es mehrere derartige
Parallelen gibt) nicht im Widerspruch zu den anderen EUKLIDischen Axiomen steht,
sondern zu einer neuen Theorie, der nichteuklidischen Geometrie, führt.
Beispiel 3: KOLMOGOROWsches Axiomensystem
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung axiomatisch zu begründen galt lange Zeit als ein
aussichtsloses Unterfangen. Noch Anfang des 20. Jahrhunderts war unter Wissenschaftlern die
Meinung verbreitet, dass keine weitere mathematische Disziplin auf so unklaren und
schwankenden Grundlagen aufgebaut sei wie diese.
Erst als es gelang, Zusammenhänge zwischen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
der scheinbar weit von ihr entfernt liegenden Mengentheorie herzustellen, indem zufällige
Ereignisse
als
Mengen
definiert
wurden,
bekamen
die
Bestrebungen,
die
Wahrscheinlichkeitsrechnung axiomatisch zu begründen, eine feste Grundlage. Das von dem
russischen Mathematiker ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW (1903 bis 1987) im
Jahre 1933 veröffentlichte Axiomensystem stellt einen gewissen Abschluss in diesem Prozess
dar.
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Axiomensysteme.htm
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1.
Was ist für ein Axiom charakteristisch?
_____________________________________________________________________________
2.
Wodurch ist das Axiomensystem von G.Peano bekannt?
_____________________________________________________________________________
3.
Worauf beruht das Axiomensystem der euklidischen Geometrie?
_____________________________________________________________________________
4.
Was bezeichnet man als das Parallelenaxiom?
_____________________________________________________________________________
67
5.
Was ist für das Axiomensystem von A. Kolmogorow typisch?
_____________________________________________________________________________
6.
Wie sind die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Mengentheorie verbunden?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff „Axiom“? Ergänzen Sie das
Assoziogramm.
beweisen
Axiom
Begriff definieren
2. Ergänzen Sie zwei letzte Buchstaben bei jedem Wort.
D__ klassisc__ Axiombegri__ wi__ a__ Eukl__ u__ Aristotel__ zurückgefüh__. „Axi__“
bezeichn__ klassis__ e__ unmittelb__ einleuchtend__ Prinz__. Die__ Bedeutu__ w__ b__ in
d__ 19. Jahrhunde__ herrsche__. A__ evident__ Prinz__ beda__ e__ Axi__ wed__ ein__
Beweis__, no__ i__ es ein__ Bewe__ zugängli__. In metaphysisch__ Interpretati__ i__ es
dur__ Evide__, Gewisshe__ u__ ontologisc__ Priorit__ gekennzeichn__. Di__ i__ in d__
neuzeitlich__ Axiomat__ m__ ihr__ Formalisieru__ entfall__. Axio__ unterscheid__ si__ v__
ander__ Aussag__ n__ dadur__, da__ s__ nic__ abgeleit__ si__.In d__ empirisch__
Wissenschaft__ bezeichn__ m__ a__ Axio__ au__ grundlegen__ Geset__, d__ vielfa__
empiris__ bestäti__ word__ si__. A__ Beispi__ werd__ d__ Newtonsch__ Axio__ d__
Mechan__ genan__.
3. Übersetzen Sie ins Litauische.
· mithilfe einer Reihe von einfachen Festlegungen
68
______________________________
· die Vorstellungen über den zu definierenden Begriff
______________________________
· aus den anderen Festlegungen hergeleitet werden
______________________________
· die Menge der natürlichen Zahlen
______________________________
· auf einfachen Grundannahmen beruhen
______________________________
· die auf Euklid zurückgehenden Axiome
______________________________
· ... ohne die gegebene Gerade zu schneiden
______________________________
· nicht im Widerspruch zu etwas stehen
______________________________
· auf so schwankenden Grundlagen aufgebaut sein
______________________________
4. Wie steht das im Text?
1. etwas mit mehreren Behauptungen bezeichnen c _________________________________
2. Die Hauptgedanken ergeben sich aus den schon existierenden Kenntnissen c ___________
_____________________________________________________________________________
3. Einige Axiome wurden von verschiedenen Mathematikern unterschiedlich dargestellt c __
_____________________________________________________________________________
4. Die Axiome, die von Euklid beschrieben wurden c ________________________________
5. Aufgrund dieser Axiome kann man solche Zahlen folgend definieren c ________________
_____________________________________________________________________________
6. Alle vorgenommenen Versuche hatten keine Resultate c ___________________________
7. Diese Axiome konfrontieren mit den anderen Axiomen nicht c ______________________
8. Es gelang dauerhaft nicht c __________________________________________________
5. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche.
1. Norint apibrėžti aksiomą reikia atkreipti dėmesį į tam tikras sąlygas.
_____________________________________________________________________________
2. Aksiomai yra būdinga tai, kad ji neturi kelti prieštaravimų.
_____________________________________________________________________________
3. Pagal tam tikras savybes aksiomos sudaro aksiomų sistemas.
_____________________________________________________________________________
69
4. Dž. Peano, tyrinėdamas natūraliuosius skaičius, įvedė penkių aksiomų sistemą.
_____________________________________________________________________________
5. Euklido geometrijoje esama tokių teiginių, kurių dėl jų aiškumo nereikėjo įrodinėti vėliau.
_____________________________________________________________________________
6. Ilgai užtruko, kol matematikams pavyko pagrįsti tikimybių skaičiavimus kaip aksiomą.
_____________________________________________________________________________
6. Bilden Sie aus den Partizipialattributen die Relativsätze und umgekehrt.
☞ Präsens
ó Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d
Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) ó Partizip II
(būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma
Z.B.
Axiome sind Grundannahmen, die meist aus bereits vorhandenen Vorstellungen über
den zu definierenden Begriff resultieren, ...
Axiome sind meist aus bereits vorhandenen Vorstellungen über den zu definierenden
Begriff resultierende Grundannahmen, ....
1. ... diese auf den griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria zurückgehenden Axiome
_____________________________________________________________________________
2. In der Ebene gibt es zu einem gegebenen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, ...
_____________________________________________________________________________
3. Genau eine Gerade, die durch den gegebenen Punkt hindurchgeht, ... .
_____________________________________________________________________________
4. die scheinbar weit von ihr entfernt liegende Mengentheorie
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zur Texterschließung.
70
Ordnen Sie die Sätze in der richtigen Reihenfolge im Text an.
Richtige Reihenfolge:
A
K __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Auf jeden Fall ist sein Verständnis von Mathematik stark durch die platonische Lehre
geprägt.
B
Sein Geburtsort ist unklar.
C
Der Autor der Elemente, Euklid (Euclid, Eukleides), wirkte um 300 v.Chr. in
Alexandria.
D
Besonders dessen Kapitel über die Geometrie haben in der Mathematik beispielgebend
gewirkt.
E
Euklid gilt als Begründer der alexandrinischen Schule der Mathematik.
F
Über verlässliche, genauere Lebensdaten verfügen wir leider nicht.
G
Sie charakterisieren paradigmatisch das (danach und dadurch verbindlich gewordene)
Leitbild der akademischen Mathematik.
H
Dass Euklid von Ptolemaios I. nach Alexandria eingeladen wurde und dort am Aufbau
des Museions beteiligt war ist wahrscheinlich, aber nicht wirklich gesichert.
Vor seiner Tätigkeit in Alexandria hat Euklid vermutlich einige Jahre an der
I
platonischen Akademie in Athen verbracht.
J
Selbst zu Geburts- und Todesjahr kursieren stark unterschiedliche Zahlen.
K
Die Elemente sind das mit Abstand einflussreichste Buch der Mathematik-Geschichte.
V. Aufgaben zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema:
bekannteste Axiomensysteme.
Axiomensysteme von ...
Merkmale
G. Peano
71
Euklid
A. Kolmogorow
2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über Sie die bekanntesten Axiomensysteme.
Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle.
3. Schreiben Sie eine Annotation zum Text, indem Sie die folgenden Sätze ergänzen.
Der Text heißt ________________________________
Er besteht aus ______________ Teilen.
Im ersten Teil handelt es sich um__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Im zweiten Teil werden _______________________________________________ behandelt .
Der dritte Teil befasst sich mit____________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Abschließend geht es um ________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
&
I. Lesen Sie den Text 9 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
beeiden, vt
prisiekti
Schnitt, der, e,
susikirtimas
ermitteln, vt
išaiškinti
(beim Schnitt mit+D.)
čia: kertant ką
Exhaustion, die, -
išsėmimas
Teiler, der,
daliklis
flächeninhaltsgleich
vienodo ploto
verknüpfen, vt
sujungti
72
Hypothenuse, die, n
įžambinė
Verlängerung, die, -
prailginimas
Kathete, die, n
statinis
verpönt
neleistinas
Lehrsatz, der, “e
teorema
vollkommen
tobulas
misslingen, vi
nepavykti
Voraussetzung, die, en
sąlyga
Pol, der, e
polius
Vorgänger, der, -
pirmtakas
rechtwinklig
stačiakampis
Vorgehen, das, -
veikimo būdas
reizen, vt, zu+D.
skatinti ką daryti
weglassen, vt
išleisti
scharf
smailas
Zeitgenosse, der, n
amžininkas
scharf getrennt
griežtai atskirtas
zurückführen, vt, auf + A.
aiškinti kuo
9. Euklid und sein Axiomensystem
Das euklidische Parallelenaxiom
Das fünfte Postulat hat in der Geschichte der Mathematik eine besondere Rolle
gespielt. Es lautet bei EUKLID:
Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden
Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende
Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann
treffen sich die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins
Unendliche auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die
zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
Man bezeichnete dieses Postulat (die Begriffe Axiom und Postulat wurden nicht scharf
getrennt) als „Parallelenaxiom“. Da angestrebt wurde, mit möglichst wenig Voraussetzungen
auszukommen, versuchten in der Folge fast alle bedeutenden Mathematiker dieses (auch aus
dem Rahmen fallende) Axiom auf andere Axiome zurückzuführen. Das misslang, und es
wurden lediglich andere äquivalente Fassungen gefunden.
Schließlich kam man auf den Gedanken, zu untersuchen, was denn folgen würde, wenn
man dieses Axiom einfach wegließe. Es zeigte sich, dass in diesem Fall eine „andere“, aber in
sich widerspruchsfreie Mathematik entstand.
Ein Beispiel dafür ist die Geometrie auf der Kugeloberfläche. Zwei verschiedene
Längenkreise schneiden den Äquator jeweils im rechten Winkel, und dennoch treffen sie sich in
den Polen, und das so entstehende „Dreieck“ hat eine Winkelsumme über 180°. Auf diese
Weise entstanden – entwickelt vor allem von CARL FRIEDRICH GAUSS, JANOS BOLYAI
73
und NIKOLAI IWANOWITSCH LOBATSCHEWSKI – so genannte „nichteuklidische
Geometrien“. (Seither bezeichnet man die in der Schule gelehrte, in der Ebene gültige
Geometrie als euklidische Geometrie).
Zu EUKLIDs „Elementen“
Die „Elemente“ bestehen aus 13 Büchern, von denen der größte Teil erhalten
geblieben ist. Einige Inhalte seien hier genannt:
I. Vom Punkt zum pythagoreischen Lehrsatz
II. Geometrische Algebra
III. Kreislehre
IV. Ein- und umschreibende regelmäßige Vielecke
V. Proportionen (einschließlich Irrationalitäten)
…
VII. Teilbarkeit, Primzahlen
VIII. Quadrat- und Kubikzahlen
IX. Geometrische Reihen
…
XI. Elementare Stereometrie
XII. Exhaustionsmethode: Pyramide, Kegel, Kugel
XIII. Reguläre Polyeder
Dank ihrer logischen Struktur wurden die „Elemente“ zum grundlegenden Lehrbuch
der Mathematik. Als eines der ersten mathematischen Bücher wurden sie 1482 in Venedig
erstmals gedruckt und waren das am häufigsten gedruckte Buch neben der Bibel. Beispielsweise
sollen noch im 16. Jahrhundert Kandidaten für den Grad des Magisters an der Pariser
Universität verpflichtet gewesen sein, zu beeiden, dass sie Vorlesungen über die ersten sechs
Bücher der „Elemente“ gehört hätten.
Es verdient Erwähnung, dass sich in den „Elementen“ keinerlei Anwendungen der
Erkenntnisse finden. Für EUKLID war jede Nutzung der Mathematik außer der Schulung des
Geistes verpönt.
Weitere wissenschaftliche Leistungen EUKLIDs
Den größten Teil der in den „Elementen“ dargelegten Erkenntnisse hat EUKLID von
Vorgängern oder Zeitgenossen übernommen. Manches ist sicherlich auch von ihm gefunden,
74
und einiges ist bis heute mit seinem Namen verknüpft. Im Folgenden seien einige Beispiele
dafür angeführt:
§
Satz von EUKLID (auch „Kathetensatz“):
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete
flächeninhaltsgleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem
zugehörigen Hypotenusenabschnitt: a2 = c · p; b2 = c · q
§
Euklidischer Beweis zum Satz Es gibt keine größte Primzahl
Angenommen, es gäbe eine größte Primzahl. Sie sei p. Dann bilde man das Produkt aller
Primzahlen 2 · 3 · 5 · … · p und addiere dazu 1. Die so entstandene Zahl p¢ ist durch
keine der bis dahin bekannten Primzahlen teilbar, denn sie lässt bei Division stets den
Rest 1. Also ist sie entweder selbst eine Primzahl (größer als p) oder sie hat Primteiler,
die notwendig größer als p sind. Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, und diese
muss demnach falsch sein.
§
Euklidischer Algorithmus
Das ist ein Verfahren, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu ermitteln.
Das Vorgehen sei an einem Beispiel vorgestellt. Es soll der größte gemeinsame Teiler
(ggT) von 903 und 645 gefunden werden. Man rechnet:
903 – 645 = 258; 645 – 258 = 387; 387 – 258 = 129; 258 – 129 = 129; 129 – 129 = 0
Der größte gemeinsame Teiler von 903 und 645 ist 129. (Das Verfahren lässt sich bei
einer Verbindung von Division und Subtraktion verkürzen.)
Viele der von EUKLID angeschnittenen Fragen reizten über Jahrhunderte hinweg die
Mathematiker zu weiteren Untersuchungen, so z. B. der vollkommenen Zahlen. Eine Zahl
heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist. Eine solche Zahl ist
beispielsweise die 6, denn ihre Teiler sind 1, 2 und 3, und es ist 1 + 2 + 3 = 6.
EUKLID gab bereits vor: Wenn p = 2n - 1 eine Primzahl ist, dann ist p · 2n - 1 eine
vollkommene Zahl. Für n = 3 erhält man dabei p = 7 und 28 als eine vollkommene Zahl.
EULER z.B. bewies, dass alle geraden vollkommenen Zahlen diese von EUKLID angegebene
Form haben.
EUKLID war auch auf anderen Gebieten wirksam. So veröffentlichte er Werke über
Musiktheorie (Sectio canonis), über Perspektive (Optica) und über Astronomie (Phainomena).
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Euklid_von_Alexandria.htm
75
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Wo treffen sich zwei geraden Linien laut dem euklidischen Parallelenaxiom?
_____________________________________________________________________________
2. Wodurch unterscheiden sich Begrffe eines Axioms und Postulates?
_____________________________________________________________________________
3. Was versteht man unter der nicheuklidischen Geometrie?
_____________________________________________________________________________
4. Wann verbreiteten sich die euklidischen Theorien in Form eines Lehrbuches in Europa?
_____________________________________________________________________________
5. Welche Rolle spielte dieses Lehrbuch im Mittelalter?
_____________________________________________________________________________
6. Was nennt man als ein euklidischer Algorithmus?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema „Axiom“ und verwenden Sie dabei ABC
Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter.
Axiom
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Z
76
2. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter.
Axiome - Axiome - beruhen - der - die - Folgerungen - insofern - meisten - sind - Systeme
- sondern - Theorien - trotzdem - weiter - werden - Widerspruch
Wissenschaftliche Theorien, insbesondere die Physik, ______(1) auf Axiomen. Aus diesen
werden ______(2) geschlussfolgert, die im Experiment verifiziert ______(3). Stehen Aussagen
der Theorie im ______(4) zur experimentellen Beobachtung, werden die ______(5) angepasst.
Beispielsweise liefern die Newtonschen ______(6) nur für „langsame“ und „große“ ______(7)
gute Vorhersagen und sind durch ______(8) Axiome der Speziellen Relativitätstheorie und
______(9) Quantenmechanik abgelöst bzw. ergänzt worden. ______(10) verwendet man die
Newtonschen Axiome ______(11) für solche Systeme, da die ______(12) einfacher sind und für
die ______(13) Anwendungen die Ergebnisse hinreichend genau ______(14). Ein Axiom ist
unverstanden, nur ______(15) seine Wahrheit nicht formal bewiesen, ______(16) vorausgesetzt
ist.
3. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
beim Schnitt mit zwei geraden Linien
______________________________
·
bei Verlängerung ins Unendliche
______________________________
·
mit möglichst wenig Voraussetzungen auskommen
______________________________
·
auf andere Axiome zurückführen
______________________________
·
ein- und umschreibende regelmäßige Vielecke
______________________________
·
im rechtwinkligen Dreieck
______________________________
·
durch keine bekannten Primzahlen teilbar sein
______________________________
·
ein Widerspruch zu der Annahme
·
bei einer Verbindung von Division und Subtraktion
·
zu weiteren Untersuchungen reizen
______________________________
______________________________
______________________________
4. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche.
77
1.
Remiantis Euklido lygiagrečių tiesių aksioma galima iliustruoti penktąjį aksiomų postulatą
matematikoje.
_____________________________________________________________________________
2.
Euklido pasekėjai bandė taikyti lygiagrečių tiesių postulatą kitų aksiomų tyrimui, bet tai
baigėsi nesėkme.
_____________________________________________________________________________
3.
Akivaizdu, kad dalį žinių Euklidas perėmė iš savo pirmtakų ir amžininkų.
_____________________________________________________________________________
4.
Pastebėta, kad daugelis Euklido tyrinėtų klausimų skatino matematikus tęsti tyrimus tose
srityse.
_____________________________________________________________________________
5.
Euklido talentas atsiskleidė ne vien tik matematikos tyrimuose, bet ir muzikos teorijoje,
astronomijoje ir kt.
_____________________________________________________________________________
5. Bilden Sie aus den Partizipialattributen die Relativsätze.
☞ Präsens
ó Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d
Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) ó Partizip II
(būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma
Z.B.
Die innen auf derselben Seite entstehende Winkel werden zusammen kleiner als zwei Rechte.
Die Winkel, die innen auf derselben Seite entstehen, werden zusammen kleiner als zwei
Rechte.
1.
dieses auch aus dem Rahmen fallende Axiom
_____________________________________________________________________________
2.
die in der Schule gelehrte, in der Ebene gültige Geometrie
_____________________________________________________________________________
3.
Sie waren das am häufigsten gedruckte Buch neben der Bibel.
_____________________________________________________________________________
78
4.
In einer allerdings auch anderen Mathematikern zugeschriebenen Anekdote wird berichtet.
_____________________________________________________________________________
5.
die in den „Elementen“ dargelegten Erkenntnisse
_____________________________________________________________________________
6.
Viele der von Euklid angeschnittenen Fragen
_____________________________________________________________________________
6. Bilden Sie aus den Nebensätzen die Präpositionalkonstruktionen und umgekehrt.
☞
Konjunktion
wenn
ó Präposition bei
Nebensatz mit wenn
Präposition bei
Wenn eine gerade Linie bewirkt, ...
â
Bei der Bewirkung einer geraden
Linie
beim Schnitt mit zwei geraden Linien
... dann treffen sich die zwei geraden Linien bei
Verlängerung ins Unendliche auf der Seite
... wenn man dieses Axiom einfach
wegließe
... denn sie lässt bei Division stets den Rest 1
Das Verfahren lässt sich bei einer Verbindung
von Division und Subtraktion verkürzen
IV. Aufgabe zur Texterschließung
Was passt zusammen? Verbinden Sie die Satzteile.
1-
2-
3-
4-
5-
7-
8-
9-
10 -
11 -
79
6-
1.
Die Elemente sind das mit Abstand
A. ist unklar.
2.
Besonders dessen Kapitel über die
B. einige Jahre an der platonischen
Geometrie
3.
Akademie in Athen verbracht.
Sie charakterisieren paradigmatisch das
C. haben in der Mathematik beispielgebend
(danach und
4.
gewirkt.
Der Autor der Elemente, Euklid
D. des Museions beteiligt war ist
(Euclid, Eukleides),
wahrscheinlich, aber nicht wirklich
5.
Über verlässliche, genauere
gesichert.
6.
Selbst zu Geburts- und Todesjahr
E. stark durch die platonische Lehre geprägt.
7.
Sein Geburtsort
F. einflussreichste Buch der Mathematik-
8.
Euklid gilt als Begründer der
9.
Dass Euklid von Ptolemaios I. nach
G. alexandrinischen Schule der Mathematik.
Alexandria eingeladen wurde und dort
H. wirkte um 300 v.Chr. in Alexandria.
am Aufbau
I.
Lebensdaten verfügen wir leider nicht.
J.
dadurch verbindlich gewordene) Leitbild
Geschichte.
10. Vor seiner Tätigkeit in Alexandria hat
Euklid vermutlich
der akademischen Mathematik.
11. Auf jeden Fall ist sein Verständnis von
K. kursieren stark unterschiedliche Zahlen.
Mathematik
V. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
Schreiben Sie Ihre Gedanken (etwa 5-6 Sätze) zu den folgenden Anekdoten, die mit dem
Namen von Euklid verbunden sind. Besprechen Sie diese Anekdoten in der Gruppe.
Anekdoten
Ihre Gedanken
EUKLID habe einem seiner Jünger, als
dieser ihn nach dem Nutzen eines
bestimmten
Lehrsatzes
fragte,
Geld
überreichen lassen, denn er müsse doch
sehr arm sein, wenn er nach dem
Nutzen solchen Wissens frage.
80
Als der ägyptische König EUKLID fragte,
ob er für ihn nicht einen leichteren
Zugang
zur
antwortete
Mathematik
EUKLID,
es
gäbe
wisse,
keinen
„Königsweg“ für die Wissenschaft.
&
I. Lesen Sie den Text 10 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
abtragen, vt
nugriauti
Gegenteil, das, -
priešingybė
abtrennen, vt
atskirti
Grundmenge, die, n
pagrindinė aibė
angenommen
priimtas
Gültigkeit, die, -
teisingumas
Annahme, die, n
prielaida
Kette, die, n
grandinė
ausgeschlossen
neįmanomas
Nachweis, der, e
įrodymas
Behauptung, die, en
tvirtinimas
Tatsache, die, n
faktas
beliebig
bet koks
übereinstimmen, vt
sutapti
Eindeutigkeit, die, -
aiškumas
Umkehrung, die, en
apgrąža
ergeben, sich,
paaiškėti
Vervollkommnung, die,
patobulinimas
erzeugen, vt
išleisti
en
Feststellung, die, en
konstatavimas
Voraussetzung, die, en
81
sąlyga
10. Beweise in der Mathematik
Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr
angenommene Grundaussagen (so genannte Axiome bzw. Postulate) das Fundament. Der
Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den
Grundbegriffen weitere Begriffe (so genannte abgeleitete Begriffe) gebildet (definiert) werden
sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr
erkannte Aussagen werden als Sätze (Lehrsätze) in das Gebäude aufgenommen und bei dessen
weiterer Vervollkommnung verwendet.
Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch
einen Beweis. Man unterscheidet direkte und indirekte Beweise. Die Struktur mathematischer
Sätze ist im Allgemeinen eine Implikation der Form
, wobei das Vorderglied A die
Voraussetzung und das Hinterglied B die Behauptung genannt wird. Von dorther ergibt sich
beim Beweisen eine Dreiteilung:
Der dritte Schritt (die eigentliche Beweisdurchführung) besteht aus einer Kette von
Folgerungen, in denen nur die Voraussetzung(en), vorhandene Definitionen und bereits
bewiesene Sätze verwendet werden dürfen. Am Ende dieser Kette, die durch logische
Schlussregeln aufgebaut und begründet ist, muss sich die Behauptung ergeben.
Im Folgenden seien Beispiele für wichtige im Mathematikunterricht vorkommende
logische Schlussregeln aufgezählt:
·
Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch
Es ist nicht wahr, dass eine Aussage und ihr Gegenteil gleichzeitig gelten.
·
Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch, etwas Drittes gibt es nicht.
·
Abtrennungsregel (modus ponens)
Beispiel: Wenn
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann ist
82
.
Nach Konstruktion sind
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. Also gilt
.
·
Kettenregel oder Kettenschluss (modus barbara)
Beispiel: Aus der Gültigkeit der Aussagen „Wenn 12ôa, dann auch 6ôa“ und „Wenn
6ôa, dann auch 3ôa“ folgt die Gültigkeit der Aussage „Wenn 12ôa, dann auch 3ôa“ für
alle a Î À .
·
Schluss auf eine Allaussage
Wenn für ein beliebiges Element a einer Grundmenge die Aussage A(a) wahr ist, so ist
die Aussage „Für alle x gilt A(x)“ wahr.
Beispiel: Wenn man gezeigt hat, dass der Lehrsatz des PYTHAGORAS für ein
beliebiges rechtwinkliges Dreieck gilt, dann gilt er für alle rechtwinkligen Dreiecke.
·
Regel der Kontraposition
Wenn die Aussage „Wenn A, dann B“ wahr ist, so ist auch „Wenn nicht B, dann nicht
A“ eine wahre Aussage.
Beispiel: Aus der Gültigkeit von „Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln
übereinstimmen, dann sind sie zueinander ähnlich“ folgt die Gültigkeit von „Wenn zwei
Dreiecke nicht zueinander ähnlich sind, dann stimmen sie auch nicht in zwei Winkeln
überein“.
Indirekte Beweise
Beim indirekten Beweis eines Satzes der Form
geht man von der Annahme aus,
dass die Behauptung B falsch sei und deren Negation
also wahr ist. Aus dieser Annahme
versucht man, einen Widerspruch herzuleiten. Wenn das gelingt, dann wäre
falsch und somit
B wahr.
Das Erzeugen des Widerspruchs kann in unterschiedlicher Weise geschehen. Im
Allgemeinen unterscheidet man folgende Fälle:
(1) Es ergibt sich
, d.h. ein Widerspruch zur gültigen Voraussetzung A. Das ist in
zweierlei Weise möglich: Aus dem Gegenteil der Behauptung folgt unmittelbar das Gegenteil
der Voraussetzung, d. h.:
(die so genannte Kontraposition eines Satzes).
83
Aus der Voraussetzung und dem Gegenteil der Behauptung ergibt sich das Gegenteil der
Voraussetzung, d. h.
(2) Aus der Voraussetzung und dem Gegenteil der Behauptung ergibt sich die
Behauptung, d.h. ein Widerspruch zur negierten Behauptung:
(3) Aus der Voraussetzung und dem Gegenteil der Behauptung ergibt sich eine neue
Aussage der Form
, wobei C eine bereits als wahr erkannte Aussage darstellt. Man
spricht in diesem Fall von einer reductio ad absurdum, es handelt sich um einen Widerspruch zu
einem bereits bewiesenen Satz:
In jedem dieser drei (bzw. besser vier) Fälle ergibt sich eine Implikation, die zu
äquivalent ist (durch Aufstellen der Wahrheitswertetabellen überzeugt man sich sehr schnell
von der Gültigkeit der Äquivalenzen).
Damit ergibt sich folgende Struktur für den indirekten Beweis:
·
Aus der Voraussetzung, bereits bekannten Tatsachen (Definitionen und Lehrsätze) und dem
Gegenteil der Behauptung wird mithilfe einer endlichen Anzahl gültiger Schlussregeln ein
Widerspruch zur Voraussetzung zu bereits bekannten Tatsachen oder zum Gegenteil der
Behauptung erzeugt.
·
Gelingt die Widerspruchserzeugung, dann ist das Gegenteil der Behauptung falsch und
somit nach dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch sowie dem Satz vom
ausgeschlossenen Dritten die Behauptung wahr.
Die beiden genannten Schlussregeln bilden also gewissermaßen das Fundament für den
indirekten Beweis.
Im Folgenden betrachten wir zwei Beispiele.
·
Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist, so ist auch die Zahl selbst gerade.
Voraussetzung:
Behauptung:
Beweis (indirekt): Das Gegenteil der Behauptung ist
Feststellung
bedeutet:
(2 teilt nicht x).
Begründung
Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade.
84
Anwenden der binomischen Formel
Wenn
, dann ist auch
.
Damit ist ein Widerspruch zur Voraussetzung erzeugt, d.h., das Gegenteil der
Behauptung ist falsch, und somit ist die Behauptung bzw. der Satz wahr.
·
Gilt für die Maßzahlen der Seiten eines Dreiecks ABC die Beziehung
, dann
ist das Dreieck rechtwinklig (Umkehrung des Satzes von PYTHAGORAS).
Voraussetzung: beliebiges Dreieck ABC mit
Behauptung:
Beweis (indirekt): Annahme:
Feststellung
ist rechtwinklig.
Begründung
Senkrechte zu AC in C und von C aus a abtragen
Satz des PYTHAGORAS für rechtwinkliges
Dreieck AB'C
nach Voraussetzung
Wegen
können (1) und (2) nicht
gleichzeitig gelten.
Damit ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist also falsch und
somit die Behauptung war, d.h., es ist
. Das letzte Beispiel macht zweierlei deutlich:
Erstens der indirekte Beweis wird vorwiegend beim Beweis der Umkehrung von Sätzen
angewendet. Zweitens wird dabei der ursprüngliche Beweis häufig als Beweismittel verwendet.
Weitere Anwendungsbereiche des indirekten Beweises sind die folgenden:
·
Nachweis von Eindeutigkeitsaussagen, etwa
85
Es gibt höchstens ein x mit der Eigenschaft
. (Die Annahme der Existenz eines
zweiten Elements wird ad absurdum geführt.)
·
Nachweis von negierten Existenzialaussagen, etwa
Es gibt kein x mit der Eigenschaft
. (Man weist nach, dass doch ein Element
existiert, indem man eines konstruiert.)
http://m.schuelerlexikon.de/mobile_mathematik/Allgemeines_zu_Beweisverfahren.htm
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Wie charakterisiert man in diesem Text die Mathematik?
_____________________________________________________________________________
2. Wie kann man die abgeleiteten Begriffe in der Mathematik erklären?
_____________________________________________________________________________
3. Was versteht man unter einem Beweis?
_____________________________________________________________________________
4. Wie verläuft der Prozess des Beweises?
_____________________________________________________________________________
5. Was ist einem indirekten Beweis charakteristisch?
_____________________________________________________________________________
6. Was bildet die Grundlage für den indirekten Beweis?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff „Beweis“? Ergänzen Sie das
Assoziogramm.
86
beweisen
Beweis
Begriff definieren
2. Finden Sie Synonyme für die folgenden Verben aus dem Text.
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10 -
11 -
12 -
13 -
14 -
Verb im Text
Synonym
Verb im Text
Synonym
1. ausgehen von+D.
A. abbilden
8.
feststellen
H. folgen
2. begründen
B. akzeptieren
9.
gelingen
I. funktionieren
3. bezeichnen
C. argumentieren
10. gelten
4. darstellen
D. außer Zweifel stehen 11. übereinstimmen
5. durchführen
E. benutzen
12. überzeugen
L. protestieren
6. ergeben, sich
F. beruhen auf+A.
13. verwenden
M. realisieren
7. erzeugen
G. definieren
14. widersprechen
N. überreden
J. konstatieren
K. produzieren
3. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter.
auf - Beweise - der - durchs - ein - entwickelt - Euler - heute - ist - kommt - konkreten man - Menschen - sich - strenger - verstanden - zu
Um nachzuprüfen, ob das im ______(1) Einzelfall stimmt, sind viele Methoden ______(2)
worden: direkte und indirekte Beweise, ______(3) durch Kontraposition usw. Im Grunde
______(4) es aber ganz einfach. Wenn ______(5) die Axiome der Theorie mit ______(6) Logik
des gesunden Menschenverstands behandelt, ______(7) man als Mathematiker ganz gut
87
______(8) Leben. Beweise können sehr schwierig ______(9) verstehen sein. Vermutlich gibt es
______(10) der Welt nur eine Handvoll ______(11), die die besonders anspruchsvollen
vollständig ______(12) haben. Alles wird auch dadurch ______(13) bisschen kompliziert, dass
die Standards ______(14) immer wieder ändern. Was Newton, ______(15) und Cauchy
bewiesen haben, würde ______(16) in einigen Fällen nicht als ______(17) Beweis durchgehen.
4. Bringen Sie die Wörter der einzelnen Sätze in die richtige Reihenfolge. Beginnen Sie mit
dem fett gedruckten Wort und verwenden Sie alle Wörter.
1. Um - den - axiomatischen - vom - Schluss - man - gültigen - klar - unterscheiden, - spricht Beweis - auch - zu - Beweis. - vom
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
2. Sätzen - Teilbeweise - werden - mehrere - mathematischen - Beweise - Umfangreichere - in
- der - von - aufgeteilt.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
3. Beweistheorie - Beweise - der - aufgefasst. - werden - Ableitungen - als - In - formal
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
4. von - Einige - Sätze - für - mathematische - eine - Beweisen - Vielzahl - einsetzen. - sich lassen ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5. endliche - wird - betrachtet. - eine - Fällen - einer - Aussage - Beim - Anzahl - von - Beweis
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
6. entwickelt. - Beweis - Die - zweier - Aussagen - zum - Diagonalverfahren - wurden spezieller ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
88
5. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
als wahr angenommene Grundaussagen
_________________________________
·
sich im Wesentlichen durch etwas vollziehen
_________________________________
·
durch logische Schlussregeln aufgebaut werden
_________________________________
·
Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch
_________________________________
·
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen
_________________________________
·
beim indirekten Beweis eines Satzes
_________________________________
·
von der Annahme ausgehen
_________________________________
·
aus dem Gegenteil der Behauptung etwas
_________________________________
_________________________________
erzeugen
·
_________________________________
die Umkehrung des Satzes von Pythagoras
6. Übersetzen Sie ins Deutsche.
·
remiantis pagrindinėmis sąvokomis
______________________________
·
atpažinti ryšius tarp ko
______________________________
·
pripažinti teiginiai
______________________________
·
įrodymo procesą galima atskleisti trimis etapais
______________________________
·
esamos sąvokos
______________________________
·
pagrindinė aibė
______________________________
·
galioti visiems stačiakampiams trikampiams
______________________________
·
sutapti dviejuose kampuose
·
prieštaravimas galiojančiai prielaidai
·
jau žinomi faktai
·
remiantis baigtiniu skaičiumi
·
trikampis ABC yra status
·
hipotezė yra teisinga
·
kaip įrodymo priemonė
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
89
7. Bilden Sie aus den Nebensätzen die Präpositionalgruppen und umgekehrt.
☞
Präpositionen mit, bei ó Nebensatz mit wenn
Z.B.
Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, dann sind ...
Bei der Übereinstimmung zweier Dreiecke in zwei Winkeln sind ...
1. Wenn man die Mathematik als Gebäude betrachtet, dann bilden Grundbegriffe ... das
Fundament.
_____________________________________________________________________________
2. Wenn zwei Dreiecke nicht zueinander ähnlich sind, dann stimmen ...
_____________________________________________________________________________
3. Beim indirekten Beweis eines Satzes der Form
geht man von der Annahme aus, ...
_____________________________________________________________________________
4. Wenn das gelingt, dann wäre ...
_____________________________________________________________________________
5. Beim Aufstellen der Wahrheitswertetabellen überzeugt man sich ...
_____________________________________________________________________________
6. Wenn die Widerspruchserzeugung gelingt, dann ist das Gegenteil der Behauptung falsch ...
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgaben zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
1. Schreiben Sie die folgende Formel mit den Worten auf.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
90
2. Erstellen Sie die folgende Grafik weiter. Sprechen Sie in der Gruppe über die logischen
Schlussregeln im Mathemathikunterricht .
logische Schlussregeln
&
I. Lesen Sie den Text 11 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
abheben, vt
išskirti
Innenwinkel, der, -
vidinis kampas
Angabe, die, n
nurodymas, duomenys
Nebenwinkel, der, -
gretutinis kampas
Beweisfindung, die, en įrodymo suradimas
Primzahlzwillinge, Pl.
pirminių skaičių dvyniai
doppelt
dvigubas
Rückwärtsarbeiten,
atgalinis darbas
Einzeichnen, das, -
pažymėjimas
das, -
entfallen, vt
iškristi
Sehnenviereck, das, -
įbrėžtinis keturkampis
entgegengesetzt
priešingas
Suchfeld, das, “er
paieškos laukas
ergänzen, vt
papildyti
teilbar
dalinamas
Erschließung, die, en
atskleidimas
Umformen, das, -
pertvarkymas
gleichschenklig
lygiašonis
widerlegen, vt
paneigti
zusammengesetzt
sudurtinis
91
11. Direkte Beweise
Wir betrachten den Prozess der Beweisfindung an einem Beispiel und
wählen dazu den folgenden Sachverhalt aus:
·
Die Summe von Primzahlzwillingen
ist stets durch 12 teilbar.
(1) Aufbau eines Suchfeldes
Analyse des Sachverhalts
Die „Wenn, dann“-Form des Satzes lautet: Wenn z die Summe von Primzahlzwillingen
ist, so gilt
(
. Damit lassen sich die Voraussetzung (
) und die Behauptung
) ablesen.
Der Satz stellt eine Allaussage dar, von der noch nicht feststeht, ob sie wahr oder falsch
ist. Eine Allaussage widerlegt man durch Angabe eines Gegenbeispiels; ihre Wahrheit zeigt
man durch einen Beweis.
Betrachten von Beispielen
In jedem dieser Beispiele ist die Summe in der Tat durch 12 teilbar.
Umstrukturierung des Wissensspeichers
Was ist eine Primzahl? Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl (größer als 1), die nur
durch 1 und sich selbst teilbar ist. 0 und 1 sind weder Primzahlen noch zusammengesetzte
Zahlen. Die kleinste (und einzige gerade) Primzahl ist die 2. Primzahlzwillinge sind Primzahlen,
die sich um 2 unterscheiden. Wann ist eine Zahl durch 12 teilbar? Wenn eine Zahl durch 3 und
durch 4 teilbar ist, so ist diese Zahl auch durch 12 teilbar.
(2) Bearbeitung des Suchfeldes (Finden einer Beweisidee)
Beim Suchen von Beweisideen können zwei Strategien helfen: das so genannte
Vorwärtsarbeiten und das so genannte Rückwärtsarbeiten.
92
Beim Vorwärtsarbeiten geht man von den gegebenen Voraussetzungen aus und stellt
sich eine Reihe typischer Fragen wie etwa die folgenden:
Ø Was ist bekannt? Was weiß man über die Figur?
Ø Wie kann man das Bekannte mathematisch erfassen und aufschreiben?
Ø Was folgt aus den Voraussetzungen?
Ø Welche Sätze mit gleichen oder ähnlichen Voraussetzungen sind bekannt?
Beim Rückwärtsarbeiten geht man von der zu beweisenden Behauptung aus.
Typische Fragen bei diesem Vorgehen sind:
Ø
Wie heißt die Behauptung? Wie heißt die Behauptung?
Ø
Kennt man Sätze mit gleicher oder ähnlicher Behauptung?
Ø
Welche dieser Sätze haben die gleichen Voraussetzungen wie der behauptete Satz oder
lassen sich solche Voraussetzungen schaffen?
Für unser anstehendes Beweisproblem scheint das Vorwärtsarbeiten günstig zu sein: In
Auswertung der Voraussetzungen ist zu zeigen, dass 3 Teiler der Summe ist und dass 4 Teiler
der Summe ist. Daraus würde die Behauptung folgen.
(3) Durchführung des Beweises
·
Voraussetzung:
·
Behauptung:
·
Beweis:
Feststellung
Begründung
Umformen der Voraussetzung
ist eine gerade Zahl. Der Nachfolger einer ungeraden Zahl ist gerade.
4 teilt stets das Doppelte einer geraden Zahl.
Von drei aufeinander folgenden Zahlen ist stets eine durch 3 teilbar.
Da 4 und 3 Teiler von z sind.(w.z.b.w.)
Ausgehend von dem betrachteten Beispiel lässt sich die Struktur des direkten
Beweises abheben:
93
Aus der Voraussetzung des Satzes sowie bereits bekannten Tatsachen (Definitionen,
Lehrsätze) wird mithilfe einer endlichen Anzahl gültiger Schlussregeln direkt die Wahrheit der
Behauptung gezeigt.
Im Folgenden soll auch das Rückwärtsarbeiten beim Beweisen demonstriert werden.
Dazu betrachten wir den folgenden Satz:
§
Wenn ABCD ein Sehnenviereck ist, so ist die Summe der Gegenwinkel 180°.
o
Voraussetzung:
ABCD ist Sehnenviereck.
o
Behauptung:
a + b = 180°
b + d = 180°
Das Rückwärtsarbeiten fragt nach Sätzen mit gleicher oder ähnlicher Behauptung (hier:
Winkelsumme von 180°). Welche Sätze sind also bekannt, die etwas über Winkel und
Winkelsummen, die 180° betragen, aussagen? In Beantwortung der Frage entsteht etwa
folgender umstrukturierter Wissensspeicher:
Ø Innenwinkelsatz für Dreiecke (a + b + g = 180°)
Ø Nebenwinkelsatz (a + b = 180°)
Ø Innenwinkelsatz für Vierecke (a + b + g + d = 360°)
Ø Entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen ergänzen sich zu 180°.
Ø Bestimmte Nachbarwinkelpaare im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°.
Ø Bestimmte Nachbarwinkelpaare im Trapez ergänzen sich zu 180°.
Welche dieser Sätze lassen sich anwenden? Der zweite, vierte, fünfte und sechste Satz
entfallen sofort, da deren Voraussetzungen mit denen unseres zu beweisenden Satzes nicht
vereinbar sind. Bleiben also der erste und der dritte Satz, wobei der Innenwinkelsatz für
Dreiecke den größten Bezug aufweist.
In der Figur sind zwar keine Dreiecke
vorhanden, doch durch Einzeichnen von Hilfslinien
lassen sich welche erzeugen. Als Möglichkeiten
bieten sich an:
(1) Einzeichnen der Diagonalen,
94
(2) Einzeichnen der Radien vom Mittelpunkt M zu den Eckpunkten des Sehnenvierecks
Im ersten Fall sind beliebige Dreiecke, im zweiten gleichschenklige Dreiecke (mit
jeweils gleich großen Basiswinkeln) entstanden. Im zweiten Fall lässt sich die Idee, den
Innenwinkelsatz für Dreiecke anzuwenden, nutzbringend realisieren.
·
Beweis
Ziel ist zu zeigen, dass a + b = 180° gilt. Aufschreiben der Innenwinkelbeziehungen für die vier
Teildreiecke bei gleichzeitigem Ersetzen der Teilwinkel von b und d durch die entsprechenden
Teilwinkel von a und g ergibt:
Addition dieser Gleichungen ergibt
. Analog folgt b + d = 180°. Anmerkung: Ein
und weiter
Vorteil des Rückwärtsarbeitens besteht insbesondere in der Erschließung notwendiger
Hilfslinien.
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Direkter_Beweis_Prozess_der_Beweisfindung.htm
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Was beschreibt der Satz in der Mathematik?
_____________________________________________________________________________
2. Wie kann man eine Primzahl erklären?
_____________________________________________________________________________
3. Wie können die Beweisideen entstehen?
_____________________________________________________________________________
4. Wie entsteht die Struktur des direkten Beweises?
_____________________________________________________________________________
95
5. Was versteht man unter dem Nebenwinkelsatz?
_____________________________________________________________________________
6. Auf welche Weise kann man in einem Kreis Dreiecke bilden?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema „Beweis“ und verwenden Sie dabei ABC
Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter.
Annahme
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Z
2. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter.
Aussage - beim - falsch - ist - ist - kann - man - man - Primzahlen - Satz selbstverständliche - und - Widerspruch - zu
Bei einem indirekten Beweis (Widerspruchsbeweis) zeigt ______(1), dass ein Widerspruch
entsteht, wenn die ______(2) beweisende Behauptung falsch wäre. Dazu nimmt ______(3) an,
dass die Behauptung falsch ist, ______(4) wendet dann die gleichen Methoden wie ______(5)
direkten Beweis an. Wenn daraus ein ______(6) entsteht, dann kann die Behauptung nicht
______(7) sein, also muss sie richtig sein (______(8) vom ausgeschlossenen Dritten). Wichtige
(und keinesfalls ______(9)!) Voraussetzung für die Gültigkeit eines Widerspruchsbeweises
______(10), dass im zugrunde liegenden System die ______(11) nicht zugleich wahr und falsch
96
sein ______(12) (Widerspruchsfreiheit). Ein klassisches Beispiel eines Widerspruchsbeweises
______(13) der Nachweis, dass es unendlich viele ______(14) gibt.
3. Wie steht das im Text?
1. Man kann die Voraussetzung bemerken c _______________________________________
2. Die Zahlen, die aus zwei oder drei Teilen bestehen c ______________________________
3. sich durch dieselbe Zahl dividieren lassen c _____________________________________
4. Hier beruht man auf den bestimmten Behauptungen c _____________________________
5. Beim Lösen dieser Frage passt am besten ... c ____________________________________
6. Aufgrund dieses Beispieles kann man den Aufbau des Beweises erkennen c ___________
_____________________________________________________________________________
7. Das Zusammenlegen der Gleichungen macht folgende Summe aus c _________________
_____________________________________________________________________________
4. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
der Satz stellt eine Allaussage dar
_________________________________
·
durch Angabe eines Gegenbeispiels widerlegen
_________________________________
·
durch einen Beweis zeigen
_________________________________
·
von den gegebenen Voraussetzungen ausgehen
_________________________________
·
eine endliche Anzahl gültiger Schlussregeln
_________________________________
·
der Innenwinkelsatz für Vierecke
_________________________________
·
in der Figur sind zwar keine Dreiecke vorhanden
_________________________________
·
den Innenwinkelsatz für Dreiecke anwenden
·
in der Erschließung notwendiger Hilfslinien
_________________________________
_________________________________
5. Bilden Sie die Sätze nach dem Beispiel.
☞
Der Innenwinkel c ist ein Winkel, der im Inneren einer Figur liegt.
97
1.
Der Nebenwinkel c ________________________________________________________
2.
Der Nachbarwinkel c ______________________________________________________
3.
Die entgegengesetzten Winkel c _____________________________________________
4.
Der Außenwinkel c ________________________________________________________
5.
Der Basiswinkel c _________________________________________________________
6.
Der Teilwinkel c __________________________________________________________
7.
Die Winkelsumme c _______________________________________________________
6. Übersetzen Sie ins Deutsche.
·
sudurtiniai skaičiai
_________________________________
·
galėti dalintis iš savęs paties
_________________________________
·
ieškant idėjų įrodymams
_________________________________
·
įprastų klausimų seka
_________________________________
·
suvokti remiantis matematika
_________________________________
·
iš to galėtų sekti teiginys
_________________________________
·
įrodymo eiga
_________________________________
·
iš kelių vienas po kito einančių skaičių
·
remiantis tyrinėjamu pavyzdžiu
·
prieš einančių kampų suma
·
atsakant į tam tikrą klausimą
·
priešpriešiais esantys kampai
·
teorema, kurią reikia įrodyti
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
7. Bilden Sie aus den Präpositionalgruppen (mit der Präposition bei) die Nebensätze (mit
den Konjunktionen wenn oder als).
Präposition bei
Bei der Beantwortung der Frage
Konjunktionen wenn oder als
c
Wenn man die Frage beantwortet, ...
Beim Vorwärtsarbeiten
98
Bei der Auswertung der Voraussetzungen
Beim Suchen von Beweisideen
Beim Einzeichnen von Hilfslinien
Bei gleichzeitigem Ersetzen der Teilwinkel
von b und d
Bei der Erschließung notwendiger
Hilfslinien
IV. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema: Prozess
der Beweisfindung.
Etappen
Merkmale
Aufbau einer Suchfeldes
Bearbeitung des Suchfeldes
Durchführung des Beweises
2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über den Prozess der Beweisfindung.
Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle.
99
&
I. Lesen Sie den Text 12 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
abkürzen, vt
sutrumpinti
gültig
galiojantis
auffassen, vt
aiškinti
hinsichtlich + G.
kalbant apie
ausführlich
išsamiai
offenbar
akivaizdus
Äußerung, die, en
posakis
Schale, die, n
indas
bezeichnen, vt
apibūdinti
Überführung, die, en
perkėlimas
bezogen auf+A.
remiantis kuo
Überlegung, die, en
apmątymai
einsetzen, vt
įtraukti
Variablenbelegung, die, en
kintamųjų pasiskirstymas
erfüllbar
galimas (įvykdyti)
Variablenbindung, die, en
kintamųjų ryšys
Gebilde, das, -
darinys
vereinbaren, vt
susitarti
geeignet
tinkamas
Vereinfachung, die, -
supaprastinimas
gekoppelt
surištas
Vergleich, der, e
palyginimas
gewiss
tam tikras
zuordnen, vt
atitikti
12. Aussagen
Aussagen sind sinnvolle sprachliche Äußerungen bzw. entsprechenden Zeichenreihen,
die entweder wahr oder falsch sind. Betrachtet man im Vergleich hierzu sprachliche Gebilde
wie
·
x ist größer als 2,
·
x sitzt neben y,
·
x ist nicht durch y teilbar,
so stellt man fest, dass diese zwar im grammatikalischen Sinne Sätze sind und eine gewisse
„äußerliche“ Ähnlichkeit mit Aussagen besitzen, aber nicht als wahr oder falsch bezeichnet
werden können und deshalb eben keine Aussagen sind. Der Grund hierfür ist: Jeder dieser Sätze
enthält „freie“ Variable und muss daher – wie der bedeutende englische Mathematiker und
Philosoph BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1969) einmal bemerkte – als bloßes Schema
100
aufgefasst werden, nur als Schale, als leeres Gefäß für eine Bedeutung, nicht als etwas an sich
Sinnvolles (B. RUSSELL in „Einführung in die mathematische Philosophie“).
Aussagen entstehen aus den obigen
Sätzen offenbar erst dann, wenn man den in
ihnen auftretenden freien Variablen eine
bestimmte Bedeutung gibt, d.h., wenn man
diesen Variablen ein Objekt aus einem
geeigneten Grundbereich G zuordnet (man
sagt auch: die Variablen belegt) bzw. – auf
der „Zeichenebene“ gesprochen – wenn man
anstelle der Zeichen für die (freien) Variablen
die Namen oder Zeichen von bestimmten
Objekten aus G einsetzt.
Anmerkung: Handelt es sich bei G um eine Menge (wovon nachfolgend ausgegangen
werden soll), so können wir auch gleich von den Elementen aus G sprechen.
Durch diese Variablenbelegung entstehen aus obigen Sätzen (sprachlichen Gebilden)
beispielsweise die folgenden Aussagen:
·
3 ist größer als 2 (bei Grundbereich
·
Jonas sitzt neben Anton (wenn der Grundbereich z.B. die Schüler einer bestimmten
).
Klasse sind).
·
6 ist nicht durch 4 teilbar (bei Grundbereich
).
Eine zweite Möglichkeit der Überführung obiger Sätze (sprachlicher Gebilde) in
Aussagen besteht darin, die „freien“ (also mit beliebigen Objekten aus dem jeweiligen
Grundbereich belegbaren) Variablen durch bestimmte generalisierende Formulierungen an
einen bestimmten Grundbereich zu binden, eine Variablenbindung vorzunehmen. Solche
Formulierungen sind z. B. (nicht) für alle Elemente aus G gilt ..., es gibt ein Element (keine
Elemente) aus G, für das (die) gilt ... o. Ä. Auf die einleitend angegebenen sprachlichen Gebilde
bezogen ließen sich so z. B. folgende Aussagen formulieren:
·
Nicht für alle Primzahlen (also alle Elemente x aus der Menge der Primzahlen) gilt:
x ist größer als 2.
·
Es gibt zwei Schüler x und y (aus einer bestimmten Klasse), für die gilt:
x sitzt neben y.
101
·
Für alle verschiedenen Elemente x und y aus der Menge der Primzahlen gilt:
x ist nicht durch y teilbar.
Natürlich wäre beispielsweise auch der Satz Für alle Elemente x aus
gilt: x ist
größer als 2 eine Aussage, allerdings eine falsche. Ausgehend von obigen Überlegungen wird
vereinbart:
Unter einer Aussageform versteht man eine sinnvolle sprachliche Äußerung mit
mindestens einer freien Variablen, die zur Aussage wird, wenn man
·
für die freien Variablen die Namen von Objekten (Elementen) aus dem Grundbereich G
einsetzt oder
·
die freie(n) Variable(n) durch Formulierungen wie für alle Objekte (Elemente) aus G gilt
... oder es gibt Objekte (Elemente) aus G, für die gilt ... bindet.
Als Kurzschreibweise für eine Aussageform mit der (den) freien Variablen x oder x und
y usw. wird häufig H(x) bzw. H(x; y) usw. verwendet. Aussagen, die durch Variablenbindung
mittels für alle ... oder es gibt ... aus Aussageformen entstehen, werden All- bzw.
Existenzialaussagen genannt. Den Alloperator „für alle ...“ bzw. den Existenzialoperator „es
gibt ...“ kennzeichnet man häufig durch abkürzende Symbole: Anstatt für alle x schreibt man
und für es gibt ein x dann
. Beide Operatoren können auch gekoppelt auftreten, z. B.:
Diese Zeichenreihe ließe sich dann in ausführlicher Sprechweise etwa folgendermaßen
formulieren: Für alle natürlichen Zahlen x gibt es eine natürliche Zahl y, die größer als x ist.
Geht durch Einsetzen von Namen von Objekten (Elementen) aus dem Grundbereich G für die
Variable(n) eine Aussageform in eine wahre Aussage über, so sagt man, dass diese Elemente
die Aussageform erfüllen.
Anmerkung: Zur Vereinfachung sagt man auch: Für die Variablen werden Objekte
(Elemente) aus G eingesetzt.
Hinsichtlich der Beziehungen zwischen einer Aussageform und den Elementen ihres
Grundbereichs G sind drei Fälle zu unterscheiden:
·
Kein Element aus G erfüllt die Aussageform – die Aussageform ist über G unerfüllbar
(nicht erfüllbar, kontradiktorisch).
Beispiel: Die Aussageformen
oder
unerfüllbar.
102
sind über
·
Mindestens ein Element aus G, aber nicht alle Elemente erfüllen die Aussageform – die
Aussageform ist über G erfüllbar.
Beispiel: Die Aussageformen
·
oder
sind über
erfüllbar.
Alle Element aus G erfüllen die Aussageform – die Aussageform ist über G allgemein
gültig (und damit natürlich erst recht erfüllbar).
Beispiel: Die Aussageformen
oder
sind über
allgemein gültig.
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Aussageformen.htm
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Wie kann man die Aussagen definieren?
_____________________________________________________________________________
2. Was versteht man unter einer Variablenbelegung?
_____________________________________________________________________________
3. Wie kann man eine Aussageform verstehen?
_____________________________________________________________________________
4. Welche Beziehungen entstehen zwischen einer Aussageform und den Elementen ihres
Grundbereiches?
_____________________________________________________________________________
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff „Aussage“? Ergänzen Sie das
Assoziogramm.
103
Aussageform
Aussage
Variable
2. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter.
Aussage • Beispiel • Belegung • beschreiben • die • eine • Fall • falsche • fragen •
genanntes • ist • mehrere • oder • sprachliches • zu
Eine Aussage im aristotelischen Sinn ist ein __________________1) Gebilde, von dem es
sinnvoll ist zu _________2), ob es wahr oder falsch ist (so ______________3) Aristotelisches
Zweiwertigkeitsprinzip). Es ist nicht erforderlich, sagen _____4) können, ob das Gebilde wahr
oder falsch _____5); es genügt, dass die Frage nach Wahrheit ______6) Falschheit sinnvoll
gestellt werden kann, was zum ____________7) bei Fragesätzen, Ausrufen und Wünschen nicht
der ______8) ist. Aussagen sind somit Sätze, die Sachverhalte ________________9) und denen
man einen Wahrheitswert zuordnen kann. _____10) Aussage ist zu unterscheiden von der
Aussageform. ______11) Aussageform ist „ein Ausdruck, der eine (oder __________12)) freie
Variable (Leerstellen) enthält und durch die ____________13) aller freien Variablen in eine
(wahr oder __________14)) Aussage übergeht.” Die Aussageform geht in eine __________15)
über, sobald die Variable ersetzt wird
3. Bilden Sie aus den Adjektiven die Substantive und Verben mit Präfixen (wenn es möglich
ist).
Adjektiv
Substantiv
sprachlich
die Sprache
Verb + Präfix (ab-, aus-, be-, er-, ver-, usw.)
sprechen c
absprechen, aussprechen, besprechen, versprechen
teilbar
104
ähnlich
frei
leer
offen
gleich
groß
sinnvoll
häufig
kurz
erfüllbar
einfach
allgemein
gültig
4. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
sinnvolle sprachliche Äußerungen
_________________________________
·
äußerliche Ähnlichkeit mit Aussagen besitzen
_________________________________
·
die Namen oder Zeichen von bestimmten
_________________________________
Objekten einsetzen
_________________________________
·
die freie Variable durch Formulierungen binden
_________________________________
·
als Kurzschreibweise für eine Aussageform
_________________________________
·
in ausführlicher Sprechweise formulieren
_________________________________
5. Übersetzen Sie ins Deutsche.
1.
Teiginys gali būti apibrėžiamas kaip teisingas ar neteisingas.
_____________________________________________________________________________
2.
Sakiniams suteikti tam tikrą prasmę.
_____________________________________________________________________________
105
3.
Visi pirminiai skaičiai yra galiojantys ...
_____________________________________________________________________________
4.
Remiantis jau išdėstytomis mintimis galima daryti tokią išvadą ...
_____________________________________________________________________________
5.
Paprasčiau šią mintį galima perteikti ir šitaip ...
_____________________________________________________________________________
6.
Ši teiginio forma yra visuotinai pripažinta.
_____________________________________________________________________________
6. Bilden Sie aus den Partizipialattributen die Relativsätze.
☞ Präsens
ó Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d
Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) ó Partizip II
(būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma
Z.B.
die in ihnen auftretenden freien Variablen
die freien Variablen, die in ihnen auftreten ...
1.
aus einem geeigneten Grundbereich G c
_____________________________________________________________________________
2.
durch bestimmte generalisierende Formulierungen c
_____________________________________________________________________________
3.
die einleitend angegebenen sprachlichen Gebilde c
_____________________________________________________________________________
4.
durch abkürzende Symbole kennzeichnen c
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zur Texterschließung.
Was passt zusammen? Verbinden Sie die Satzteile.
106
1-
1)
2-
3-
Aussagen können negiert oder durch
4-
A) der
aussagenlogische
2)
3)
4)
einzelnen
Aussagenverknüpfungen
erfolgt durch Wahrheitswertetafeln.
Der Wahrheitswert einer negierten
B) da der in ihnen enthaltene logische Schluss
oder zusammengesetzten Aussage
unabhängig
hängt dabei
Einzelaussagen immer wahr ist.
vom
Wahrheitswert
der
Die definitorische Festlegung, also
C) wobei eine Aussage über den Wahrheitswert
die inhaltliche Charakterisierung der
des Resultats allerdings erst nach Belegung
Negation und
oder Bindung der in den Aussageformen
Aussageformen lassen sich in der
enthaltenen freien Variablen möglich ist.
gleichen
5)
5-
Weise
wie
Aussagen
D) ausschließlich
vom
verknüpfen,
Ausgangsaussage
Tautologien sind hierbei besonders
Teilaussagen ab.
interessant,
Wahrheitswert
bzw.
der
der
verknüpften
E) Operationen miteinander verknüpft werden.
V. Aufgabe zum schriftlichen Ausdruck.
Schreiben Sie eine Annotation zum Text, indem Sie die folgenden Sätze ergänzen.
Der Text heißt ________________________________
Er besteht aus ______________ Teilen.
Im ersten Teil handelt es sich um__________________________________________________
____________________________________________________________________________
Im zweiten Teil werden ______________ behandelt .
_____________________________________________________________________________
Der dritte Teil befasst sich mit ____________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Abschließend geht es um ________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
107
&
I. Lesen Sie den Text 13 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben.
GLOSSAR
abgeleitet
išvestas
Hochleistungsrechner,
aukšto pajėgumo
angeben, vt
nurodyti
der, -
kompiuteris
aufwerfen, vt
iškelti, įvesti
nachvollziehen, vt (per
čia: užrašyti ranka
Bemühen, das, -
pastangos
Hand)
bestätigen, vt
patvirtinti
Randnotiz, die, en
užrašas paraštėje
durchführen, vt
vykdyti
verifizieren, vt
patikrinti
Einsatz, der, e
įvedimas
Vermerk, der, e
pastaba
Vermutung, die, en
spėjimas
erbringen (Beweis), vt čia: įrodyti
erheben, sich,
čia: atsiskleisti
versehen, vt (versehen
aprūpinti
festgelegt
nustatytas
mit dem Vermerk)
čia: su pastaba
fußen, vt, auf+A.
remtis kuo
verwoben
glaudžiai susijęs
Geflecht, das, e
pynė
vielfältig
įvairus
harren, vt, +G.
laukti ko
vorrangig
svarbiausias
13. Berühmte mathematische Sätze und Vermutungen
Die Mathematik stellt ein vielfältig verwobenes System von mathematischen Begriffen,
Aussagen, Axiomen, Regeln usw. unterschiedlicher Abstraktionshöhe dar, das in einer langen
Geschichte gewachsen ist und sich ständig weiterentwickelt. Dieser Prozess hat dabei seine
Ursache sowohl in inneren Bedürfnissen der Mathematik selbst als auch in Anforderungen der
Praxis.
Das Theoriegebäude der Mathematik fußt auf nicht definierten, sondern lediglich durch
ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisierten Grundbegriffen sowie auf normativen
Festlegungen, die im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen sind, den so
genannten Axiomen. Über dieser Basis erhebt sich ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch
festgelegten) Begriffen und durch Beweise gesicherten Aussagen, den mathematischen Sätzen.
108
Daneben stehen Aussagen, deren Wahrheitswert noch nicht bewiesen werden konnte und die
deshalb den Charakter von Vermutungen tragen.
Der
Beweis
für
den Großen FERMATschen Satz und
die Lösung
des
Vierfarbenproblems gelang so erst in jüngerer Vergangenheit.
Als Großer FERMATscher Satz wird die Aussage bezeichnet, dass die Gleichung
für natürliche Zahlen
keine von 0 verschiedenen ganzzahligen Lösungen
besitzt. PIERRE DE FERMAT (1601 bis 1665) formulierte seine Behauptung als Randnotiz bei
der Beschäftigung mit den Werken des DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA (um 250),
versehen mit dem Vermerk, dass er einen wunderbaren Beweis für deren Richtigkeit gefunden
habe, doch der Blattrand zu schmal sei, um ihn anzugeben. So einfach die als eine Art
Verallgemeinerung des bekannten Lehrsatzes von PYTHAGORAS (mit unendlich vielen
pythagoreischen Zahlentripeln als Lösungen) zu verstehende Aussage zu sein scheint: Fast
dreieinhalb Jahrhunderte sollte es dauern, bis es ANDREW WILES (geb. 1953) im Jahre
1993/94 gelang, unter Einsatz komplizierter Erkenntnisse und Hilfsmittel der Algebra, der
analytischen Geometrie sowie der Zahlentheorie den Beweis der FERMATschen Behauptung
zu erbringen.
Als Vierfarbenproblem – aufgeworfen im Jahre 1852 durch den Engländer FRANCIS
GUTHRIE (1831 bis 1899) – bezeichnet man die Frage, ob jede Landkarte so mit vier Farben
gefärbt werden kann, dass benachbarte Länder stets verschiedenfarbig gekennzeichnet werden.
Über 100 Jahre vergingen, bis der korrekte Nachweis erbracht wurde, dass dies immer
möglich ist. Da der Beweis der amerikanischen Mathematiker KENNETH APPEL und
WOLFGANG
HAKEN
(Universität
Illinois)
aus
dem
Jahr
1976
sich
vorrangig
Computerberechnungen bediente und folglich vom Menschen nicht „per Hand“ nachvollzogen
werden konnte, hatte er eine kontroverse Diskussion zur Folge.
Zu den bis heute nicht gelösten mathematischen Problemen zählt beispielsweise der
Beweis jener Vermutung, die im Jahre 1742 von CHRISTIAN GOLDBACH (1690 bis 1764) in
einem Brief an LEONHARD EULER formuliert wurde. Diese so genannte (binäre)
GOLDBACHsche Vermutung besagt: Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 lässt sich als
Summe zweier Primzahlen darstellen (wobei GOLDBACH selbst, der die 1 zu den Primzahlen
zählte, allerdings die hierzu äquivalente Fassung Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als
Summe dreier Primzahlen schreiben verwendete). Im Jahre 1855 bestätigte A. DESBOVES die
GOLDBACHsche Vermutung für natürliche Zahlen bis 10000.
109
Im 20. Jahrhundert stieg diese Obergrenze durch die Verwendung von elektronischen
Hochleistungsrechnern schnell an und erreichte inzwischen die Zahl 4 · 1014.
Ebenfalls noch nicht verifiziert wurde die Annahme, dass es unendlich viele
Primzahlzwillinge gibt. Dabei versteht man unter Primzahlzwillingen – diese Bezeichnung
wurde erstmals von PAUL STÄCKEL (1862 bis 1919) benutzt – solche Primzahlen, zwischen
denen in der Folge der natürlichen Zahlen nur genau eine andere Zahl steht, die also „den
Abstand 2“ haben. Mit anderen Worten: Zwei Primzahlen p1 und p2 heißen genau dann
Primzahlzwillinge, wenn p1 + 2 = p2 gilt. Die kleinsten Zwillingen sind also (3; 5), es schließen
sich (5; 7), (11; 13), (17; 19) usw. an. Da man keine Bildungsvorschrift für solche Paare kennt,
bleibt nur die Möglichkeit, Proberechnungen durchzuführen. Für Ende 2002 wird von
STEFFEN POLSTER als größtes bislang bekanntes Zwillingspaar 33218925 · 2169690 ± 1
(Zahlen mit 51090 Stellen) angegeben.
Neben den hier genannten gibt es noch eine große Zahl mathematischer Probleme, die
erst nach langem Bemühen gelöst werden konnten – und ebenso solche, die noch einer Lösung
harren.
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Beruehmte_mathematische_Saetze_und_Vermutungen.htm
?—
II. Fragen zum Lesetext.
1. Welche Rolle spielen die Begriffe in der Mathematik?
_____________________________________________________________________________
2. Was versteht man unter den Vermutungen?
_____________________________________________________________________________
3. Auf welche Weise entstand der berühmte Fermat-Satz?
_____________________________________________________________________________
4. Womit ist die goldbachsche Vermutung verbunden?
_____________________________________________________________________________
5. Wie kann man Primzahlzwillinge erklären?
_____________________________________________________________________________
110
III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik.
1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff „Mathematische Sätze“? Ergänzen
Sie das Assoziogramm.
beweisen
Mathematische
Sätze
Theorie
2. Trennen Sie die Wörter und markieren Sie die Wörter, die großgeschrieben werden.
DIEDISKRETEMATHEMATIKBESCHÄFTIGTSICHMITENDLICHENMENGEN,BESSER
GESAGTMITENDLICHENKONFIGURATIONEN.IMWESENTLICHENGIBTESDREIGESI
CHTSPUNKTE.ALSERSTENPUNKTDIEABZÄHLENDEKOMBINATORIK,Z.B.BINOMIA
LKOEFFIZIENTEN.AUßERDEMBESCHÄFTIGTSIESICHMITDERFRAGE,OBGEWISSEK
ONFIGURATIONENEXISTIERENUNDWIESIEZUKONSTRUIERENSIND.ALSBEISPIEL
KANNMANDIEFRAGENEHMEN,WIEMANEINENCODEKONFIGURIERT,DAMITERDA
SLEISTET,WASMANGERNEMÖCHTE.DERDRITTEPUNKTDERDISKRETENMATHEM
ATIKISTDIEBEREITSTELLUNGVONDATENSTRUKTUREN,WIEZ.B.GRAPHENODERB
ÄUMENUNDDIEANALYSEVONALGORITHMEN.ENGEVERBINDUNGENDERDISKRE
TENMATHEMATIKGIBTESZURTHEORETISCHENINFORMATIK.
3. Übersetzen Sie ins Litauische.
·
·
ein vielfältig verwobenes System von
________________________________
mathematischen Begriffen
________________________________
sich ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch
________________________________
festgelegten) Begriffen
________________________________
111
·
durch Beweise gesicherten Aussagen
________________________________
·
die Verallgemeinerung des bekannten Lehrsatzes
________________________________
von Pythagoras
________________________________
·
unter Einsatz komplizierter Erkenntnisse
________________________________
·
eine kontroverse Diskussion zur Folge haben
________________________________
·
keine Bildungsvorschrift für solche Paare kennen
________________________________
4. Beenden Sie die folgenden Sätze.
1. Die Mathematik als ein kompliziertes System entwickelt sich weiter, weil es ____________
_____________________________________________________________________________
2. Die Aussagen, die von den Mathematikern nicht bewiesen werden konnten, nennt ________
_____________________________________________________________________________
3. Seine berühmten Aussagen schrieb P.de Fermat auf den Rändern der Bücher, als er _____
_____________________________________________________________________________
4. In der Mitte des 18. Jh. formulierte C. Goldbach eine Vermutung, die __________________
_____________________________________________________________________________
5. Die Hypothese über die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge ________________________
_____________________________________________________________________________
6. In der Vergangenheit wurden von den Mathematikern viele Probleme gelöst, aber ________
____________________________________________________________________________
5. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche.
1. Terminai matematikoje atsirado ir vystėsi glaudžiai sąveikaujant teorijai ir praktikai.
_____________________________________________________________________________
2. Naujųjų laikų matematikams kilo daug idėjų skaitant antikos laikų filosofų kūrinius.
_____________________________________________________________________________
3. Šių laikų matematikams pavyksta įrodyti pirmtakų teiginius remiantis naujausiais
laimėjimais algebroje, analitinėje geometrijoje, informatikoje.
_____________________________________________________________________________
112
_____________________________________________________________________________
4. XVIII amžiuje K. Goldbachas laiške L. Oileriui suformulavo matematinę problemą, kurią
sprendžia matematikai iki šių dienų.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
5. Iki šiol nėra įrodyta, kad egzistuoja begalė dvynių pirminių skaičių.
_____________________________________________________________________________
6. Transformieren Sie die folgenden Sätze. Bilden Sie alle möglichen Passivumschreibungen
dem Beispiel nach.
Z.B.
Normative Festlegungen sind im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen.
Normative Festlegungen kann man im jeweiligen mathematischen System nicht beweisen.
Normative Festlegungen können im jeweiligen mathematischen System nicht bewiesen
werden.
Normative Festlegungen lassen sich im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen.
Normative Festlegungen sind im jeweiligen mathematischen System nicht beweisbar.
1. Der Wahrheitswert der Aussagen konnte noch nicht bewiesen werden.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Die Frage, ob jede Landkarte so mit vier Farben gefärbt werden kann, dass ...
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
113
4. Die mathematische Probleme konnten erst nach langem Bemühen gelöst werden.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
IV. Aufgabe zur Texterschließung.
Ordnen Sie die Sätze in der richtigen Reihenfolge im Text an.
Richtige Reihenfolge: C __ __ __ __
A
Die Erforschung dieser abstrakten Strukturen hat zu einer großen Anzahl von neuen
Konzepten geführt, die dann wiederum selbst auf einer größeren Theorie mit eigenen
Definitionen basieren.
B
Der Großteil des Fortschrittes wurde durch intensives Erforschen von abstrakten
Strukturen gemacht, was charakteristisch ist für die moderne Forschung und
Darstellung der Mathematik.
C
Während des 20. Jahrhunderts entwickelten sich die klassischen mathematischen
Gebiete Algebra, Geometrie und Analysis in viele verschiedene Richtungen.
D
Außerdem führt es zu einer größeren Nachfrage für spezialisierte mathematische
Zeitschriften und Konferenzen, und es besteht die Gefahr der gegenseitigen
Abgrenzung der einzelnen Gebiete.
E
Dies hat zur Folge, dass es immer schwieriger wird für Forscher, die auf das eine oder
andere Gebiet der Mathematik spezialisiert sind, in einem größeren mathematischen
Rahmen zu diskutieren.
V. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck.
1.
Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema:
mathematische Sätze.
114
Mathematiker
Merkmale der mathematischen Sätze oder Vermutungen
PIERRE DE FERMAT
ANDREW WILES
FRANCIS GUTHRIE
CHRISTIAN GOLDBACH
PAUL STÄCKEL
2.
Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über die mathematischen Sätze oder
Vermutungen. Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle.
115
Quellenverzeichnis für Abbildungen
Umschlagbild
http://www.nacht-der-wissenschaft.uni-oldenburg.de/48502.html
Lektion 1.
Abb. 1, S. 7: http://lt.wikipedia.org/wiki/Injekcija_(matematika)
Abb. 2, S. 8: http://site.canterburylearningacademy.com/Activities.html
Abb. 3, S. 14: http://de.wikipedia.org/wiki/Teilgebiete_der_Mathematik
Abb. 4, S. 23:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/algebra/algebra.html?print=1
Abb. 5, S. 24:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/algebra/algebra.html?print=1
Abb. 6, S. 31: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/geometrische-koeper-quader-zylinderkugel-pyramdide.html
Abb. 7, S. 33: http://studymath.us/tag/geometry
Abb. 8, S. 40:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/geometrie/geometrie.html?print=1
Abb. 9, S. 41:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/geometrie/geometrie.html?print=1
Lektion 2.
Abb. 1, S. 49:
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Georg_Ferdinand_Ludwig_Philipp_Cantor.htm
Abb. 2, S. 56: http://m.schuelerlexikon.de/mobile_mathematik/Darstellung_von_Mengen.htm
Abb. 3, S. 57: http://m.schuelerlexikon.de/mobile_mathematik/Darstellung_von_Mengen.htm
Abb. 4, S. 58: http://m.schuelerlexikon.de/mobile_mathematik/Darstellung_von_Mengen.htm
Abb. 5, S. 59: http://m.schuelerlexikon.de/mobile_mathematik/Darstellung_von_Mengen.htm
Abb. 6, S. 74: http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Euklid_von_Alexandria.htm
Abb. 7, S. 76: http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Euklid_von_Alexandria.htm
Abb. 8, S. 94:
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Direkter_Beweis_Prozess_der_Beweisfindung.htm
Abb. 9, S. 96:
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Direkter_Beweis_Prozess_der_Beweisfindung.htm
Abb. 9, S. 97:
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Direkter_Beweis_Prozess_der_Beweisfindung.htm
Quellenverzeichnis für Übungen
Lektion 1.
S. 5, Üb. 3: http://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetik
S. 10, Üb. 2: http://mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/logik/logik.html?print=1
S. 12, Üb. 6: http://de.wikipedia.org/wiki/Theorem
S. 19, Üb. 3: http://de.wikipedia.org/wiki/Analysis
116
S. 26, Üb. 2:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/algebra/algebra.html?print=1
S. 27, Üb. 3: http://www.mathematik.net/potenzen/p01s90.htm
S. 34, Üb. 3:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/geometrie/geometrie.html
S. 42, Üb. 2: http://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Geometrie
S. 42, Üb. 3:
http://www.heise.de/bin/tp/issue/r4/download.cgi?artikelnr=21834&pfad=/tp/r4/artikel/21/2183
4
Lektion 2.
S. 52, Üb. 3:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/mengenlehre/mengenlehre.html
S. 61, Üb. 2:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/mengenlehre/mengenlehre.html
S. 62, Üb. 3: http://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)
S. 69, Üb. 2:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/mengenlehre/mengenlehre.html
S. 70, Üb. 5: http://info-team.biz/app/download/5785047425/Euklid+und+die+Elemente.pdf
S. 78, Üb. 2: http://de.wikipedia.org/wiki/Axiom
S. 79, Üb. 3:
http://www.mathematik.de/ger/information/matheInGeschichteUndGegenwart/weiterethemen/e
uklid.pdf
S. 89, Üb. 2:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/stichpunkte/beweis.html?print=1
S. 90, Üb. 5: http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_(Mathematik)
S. 99, Üb. 2: http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_(Mathematik)
S. 107, Üb. 2: http://de.wikipedia.org/wiki/Aussage_(Logik)
S. 108, Üb. 4:
http://www.schuelerlexikon.de/SID/6aba4e256b0b330a5816618a4b2a7dc8/lexika/masek2/inde
x.htm
S. 115, Üb. 2:
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/diskretemathematik/diskretemathe
matik.html
S. 116, Üb. 5:
http://www.mathematik.de/ger/information/matheInGeschichteUndGegenwart/jahrtausende/kap
itel10.html?print=1
Weiterführende Literatur
Mačienė, V. 1994. Vokiečių-lietuvių kalbų matematinis žodynas. Deutsch-litauisches
mathematisches Wörterbuch. Vilnius: Žodynas.
Matematikos terminų žodynas (mokslinis redaktorius J. Kubilius). 1994. Vilnius: Mokslo ir
enciklopedijų leidykla.
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