40331 - Mathe-CD

Analysis
Zahlenfolgen
Grenzwerte von Zahlenfolgen
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 -Umgebungen
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Datei Nr. 40331
Friedrich Buckel
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Stand 16. November 2016
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
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40331 Zahlenfolgen
Epsilon-Umgebungen
2
Vorwort
Die Beweis- und Berechnungsmethoden für Folgen, welche Horizontalstreifen verwenden, sind
eigentlich ein hervorragendes Beispiel für mathematische Denkweisen. Hier kann der Leser
erkennen, wie es die Mathematik schafft, das unendlich lange Annähern an eine Zahl, die wir dann
de
Grenzwert nennen, durch Berechnungen in den Griff zu bekommen.
Leider geraten auch diese Verfahren im Zuge des G8 und der Niveauabsenkungen (der neue Trend
d.
heißt offiziell anders!) immer mehr in den Hintergrund, bzw. verschwinden aus den Lehrplänen.
vergessen oder gar nicht erst gelernt haben, können sie hier nachlernen.
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Studenten haben es daher immer schwerer, Anschluss zu bekommen. Und wenn sie diese Verfahren
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Schüler, die diese Verfahren im Unterricht erlernen, haben damit ihre Schwierigkeiten. Daher
versuche ich, diese Thematik so anschaulich wie möglich zu machen. Ich zeige sowohl die
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Beweistechnik mit dem Horizontalstreifen, aber auch übliche Beispiele dazu von leicht bis schwer.
Ich beginne direkt damit, dass ich zeige, was Horizontalstreifen sind. Dazu muss man ein mit
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Beträgen umgehen können, genauer gesagt mit Betragsungleichungen.
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Das lernen alle einmal und vergessen es ganz schnell, weil man zu wenig damit arbeitet.
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Daher habe ich im Anhang des Textes die Grundlagen dazu zusammengefasst. Dort bitte nachlesen,
wenn Schwierigkeiten auftreten.
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Die ausführlichen Texte dazu haben die Nummer 12160 und 12161.
ACHTUNG
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Wer diesen Text als Sammlung von Aufgaben verwenden will,
verwende dazu das Aufgabenblatt auf Seite 38.
Dort sind alle Beispiele des Textes als Aufgaben formuliert.
Die Lösungen sind dann die Beispiele im Laufe des Textes
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40331 Zahlenfolgen
Epsilon-Umgebungen
3
Inhalt
1
Was sind Umgebungen?   Umgebungen
2
Der Grenzwertbegriff bei Folgen
3
Nullfolgen mit   Umgebungen untersuchen
B4: an 
B6: an 
n
S. 14
n  10
B7: an 
2
24
n2
B2: an   94
,
9
B5: an 
S. 11
18
n2  9
3n
S. 16
n 1
B8:
an 
2n  4
S. 17,
n
B 10: an 
n
S. 17,
n7
B11: an 
2n  16
S, 18
n5
B 13: an 
n2  16
S. 18,
n2
B 14: an 
4n2  1
S. 19
n2  2
Grenzwerte geometrischer Folgen; Viele Beispiele
6
Berechnungen mit CAS-Rechnern
Tipps zu CASIO ClassPad
B12:
an 
6n  5
S. 18
2n  3
B15:
an 
n2  4
n  2 
2
S.19
31
34
w
6.2
8n  3
S. 17
5n
34
ür
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Tipps zu TI Nspire
an 
w
5
6.1
B9:
at
h
3n
S. 16
n 1
an 
S. 13
ec
Grenzwerte  0 mit   Umgebungen untersuchen16
B8:
6
de
12
S.9
n3
1
n
d.
B3: an 
an 
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4
B1:
4
35
Alles aus diesem Text
36
Anhang: Wiederholung: Grundlagen für Betragsungleichungen
39
Aufgabenblatt:
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7
Der Betragsbefehl a erzeugt stets ein nicht negatives Ergebnis
39
Abstandsberechnung auf dem Zahlenstrahl
39
3.
Abstandsgleichungen sind Betragsgleichungen
40
4.
Abstandsungleichungen sind Betragsungleichungen
40
5.
Lösungsverfahren für die Betrags-Kleiner-Ungleichung x  5
41
6.
Lösungsverfahren für die Betrags-Kleiner-Ungleichung x  4  3
41
7.
Lösungsverfahren für die Betrags-Größer-Ungleichung x  5
42
8.
Lösungsverfahren für die Betrags-Größer-Ungleichung x  4  3
42
9.
Abweichungen bei Ungleichungen in  wie die quadratischen
Ungleichungen x 2  16 und x 2  100
43
1.
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2.
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Epsilon-Umgebungen
4
1 Was sind Umgebungen?
In der Analysis benötigt man immer wieder sogenannte Umgebungen einer Zahl.
Beispiele:
a)
Die Menge aller Zahlen, die von 5 einen
Man schreibt dies gerne so:
U5   2 ; 8
de
Abstand von höchstens 3 haben.

d.
Dazu gehören alle reellen Zahlen von 2 bis 8.
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Die Randzahlen 2 und 8 haben von 5 den Abstand (genau) 3 und gehören somit zu diesem
Intervall, weshalb es ein abgeschlossenes Intervall ist.
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Diesen Abstand vom Zentrum 5 kann man auch den Radius nennen. Dazu passt die
Vorstellung eines Kreises, der hier aber nur eindimensional ist und somit zur Strecke wird.
Jede Umgebung kann man durch eine Ungleichung beschreiben. Diese kann verschiedene
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Formen haben:
2x5
Als Betragsungleichung:
x5  3
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Also Doppelungleichung:
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Betragsungleichungen werden am meisten verwendet. Sie sind nicht gleich verständlich.
Einschub: Mit dem Betrag aus einer Differenz berechnet man den Abstand zweier Zahlen:
ist der Abstand der Zahlen 8 und 5, nämlich 3.
2  5  3  3
ist der Abstand der Zahlen 2 und 5, nämlich 3.
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85  3  3
Hier erkennt man schon, dass der Betrag verhindert, dass der berechnete Abstand eine
negative Zahl ist. x  5 ist dann der Abstand einer Zahl x von der Zahl 5. Dabei ist es
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wegen des Betrags natürlich egal, ob x kleiner oder größer als 5 ist.
Jetzt versteht man, dass man mit der Gleichung x  5  3 die Zahlen sucht, deren
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Abstand von 5 gleich 3 ist. Die Ungleichung x  5  3 hat als Lösung genau die Zahlen,
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die von 5 einen Abstand von höchstens 3 haben, das sind dann alle Zahlen von 2 bis 8.
Und die Ungleichung x  5  3 beschreibt dann alle Zahlen, deren Abstand von 5 kleiner
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als 3 ist, das sind alle Zahlen zwischen 2 und 8.
b)
Übrigens kann man im Betrag die Differenz vertauschen: x  5  5  x .
Die Menge aller Zahlen, die von -2 einen
Abstand von höchstens 4 haben.
U  2     6 ; 2  . Als Ungleichung:
6  x  2 bzw.
Friedrich Buckel
x   2   4 oder besser: x  2  4
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Umgebungen auf der y-Achse:
c)
Die Umgebung der Zahl 3 mit dem
Radius 1,5 ist das y-Intervall:
U  3    1,5 ; 4,5
bzw.
1,5  y  4,5 bzw. y  3  1,5
de
Jetzt handelt es sich um ein offenes
Intervall, eine offene Umgebung,
d.
weil der Abstand 1,5 ausgeschlossen
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worden ist.
Man kann auf dieser Umgebung auch einen Horizontalstreifen machen: Man muss dies nur
zweidimensional betrachten. Für die Punktmenge im Innern des Streifens gilt im Grunde
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 y  3  1,5
dieses Ungleichungssystem: 
.
x  R
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Meistens lässt man jedoch die zweite Zeile weg. So wie y  3 nicht nur die Stelle 3 auf der
y-Achse bedeutet, sondern zweidimensional gesehen die horizontale Gerade bedeutet,
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so stellt dann y  3  1,5 den offenen Horizontalstreifen dar.
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Information: Dahinter steckt der Grundsatz: Da x nicht in der Ungleichung vorkommt, ist x eine
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beliebig Zahl. Solche Horizontalstreifen verwendet man meistens offen, d. h. ohne
die Randlinien y  1,5 und y  4,5 .
Für mathematische Untersuchungen von Funktionen oder Zahlenfolgen benötigt man dynamische
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Horizontalstreifen, darunter versteht man Streifen bzw. Umgebungen mit einem veränderbaren
Radius.
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Diesen nennt man traditionell  (Epsilon).
MERKE:
Unter einer   Umgebung einer Zahl a versteht man die offene Umgebung
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mit dem Radius  (   0 ).
oder durch eine Doppelungleichung:
a  y a
oder durch eine Betragsungleichung:
ya  

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Diese kann man als Intervall darstellen: U  a    a   ; a  
d)
Eine   Umgebung der Zahl 3 kann so aussehen wie oben, nur eben ist der Radius  ,
und diesen kann man bei Bedarf sehr klein machen, d. h. man lässt  gegen 0 gehen.
y  a   mit   0,01 oder   10 5 usw.
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