Grundwissen Mathe 5 - Digitale Schule Bayern

Grundwissen Mathematik
-1-
Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz
Jahrgangsstufe 5
5.1
Zahlen
5.1.1
Zahlenmengen
N = { 1, 2, 3, ...} Menge der natürlichen Zahlen
N0 = { 0, 1, 2, ...} Menge N mit Null
Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...} Menge der ganzen Zahlen
7∈N
– 5 ∈ Z, aber – 5 ∉ N
Je weiter rechts auf der Zahlengeraden eine Zahl steht,
desto größer ist sie.
4 > –2
–1 < 1
–23 < –22
Zahlen, die auf der Zahlengeraden gleich weit von der Null
entfernt sind, heißen Gegenzahlen.
3 und –3 sind Gegenzahlen
–1001 und 1001 sind Gegenzahlen
Primzahlen besitzen genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich
selbst.
Jede natürliche Zahl lässt sich in ein Produkt von Primzahlen zerlegen (Primfaktorzerlegung).
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ...
1 ist keine Primzahl.
46 = 2 ⋅ 23
Unser Zahlensystem besteht aus den Ziffern 0 bis 9
(Zehnersystem) und ist ein Stellenwertsystem; die Stelle
einer Ziffer bestimmt ihren Wert in der Zahl.
2035 = 2 ⋅ 1000 + 0 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1
Nützlich sind dabei die Zehnerpotenzen:
100 =1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; ...
47 ⋅ 106 = 47 000 000
5.1.2
1960 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 = 23 ⋅ 5 ⋅ 7 2
3 600 000 = 36 ⋅ 105
Größen
Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.
Die Grundeinheiten kann man durch untergeordnete
Einheiten ersetzen.
Größe
Grundeinheit
andere Einheiten
Zeit
1 s (Sekunde)
1 min (Minute)
1 h (Stunde)
1 d (Tag)
1 € = 100 Ct
12 km = 12000 m
1800 s = ½ h
Masse
1 kg (Kilogramm)
1 g (Gramm)
1 mg (Milligramm)
1 t (Tonne)
Länge
1 m (Meter)
1 mm (Millimeter)
1 cm (Zentimeter)
1 dm (Dezimeter)
1 km (Kilometer)
Zusammenhänge zwischen Größen kann man in einer
Tabelle oder in einem Diagramm darstellen.
Tabelle
Tier
Größe in cm
Biber Hauskatze Löwe Reh
100
90
200
125
200
Größe in cm
Häufig benutzte Diagrammarten sind das Figurendiagramm,
das Strichdiagramm, das Säulen- und das Balkendiagramm.
Säulendiagram m
250
150
100
50
0
Biber
Hauskat ze
Tier
Löwe
Reh
Grundwissen Mathematik
5.1.3
-2-
Terme
Addition
Subtraktion
Summe
6444
4
74444
8
24
{
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+
1. Summand
6{
Multiplikation
Differenz
644
47444
8
= 30
2. Summand
30
{
−
Minuend
6{
Division
Quotient
Produkt
644
7448
= 24
Subtrahend
12
{
⋅
4{
6447448
48
{ : 4{ = 12
= 48
1. Faktor 2. Faktor
Dividend Divisor
Durch Null darf nicht dividiert werden.
Der letzte Rechenschritt bestimmt die Art des Terms.
7 + (6 ⋅ 2) ist eine Summe, (7 + 6) ⋅ 2 ist ein Produkt
Die Potenz besteht aus der Basis und dem Exponenten.
5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 ; Die Basis ist 5, der Exponent 3.
5.1.4
Rechnen mit ganzen Zahlen
Eine negative Zahl addiert man, indem man ihre Gegenzahl
subtrahiert.
Eine negative Zahl subtrahiert man, indem man ihre
Gegenzahl addiert.
3 + (+2) = 3 + 2 = 5
3 + (–2) = 3 – 2 = 1
3 – (+2) = 3 – 2 = 1
3 – (–2) = 3 + 2 = 5
Man multipliziert oder dividiert zwei ganze Zahlen zuerst
ohne Beachtung des Vorzeichens und setzt dann im
Ergebnis das Vorzeichen. Gleiche Zeichen ergeben „+“,
ungleiche „–”.
3· 2=6
3 · (–2) = –6
–3 · 2 = –6
–3 · (–2) = 6
Mit Überschlagsrechnungen kann man Ergebnisse
abschätzen und überprüfen. Steht nach der Stelle, auf die
gerundet werden soll, die Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, wird
abgerundet, sonst aufgerundet.
13 512 ≈ 14 000
13 499 ≈ 13 000
Das Zählprinzip kann man am Baumdiagramm veranschaulichen:
Jeder Pfad durch den Baum steht für eine Kombinationsmöglichkeit. Hat die erste Verzweigung m Äste und
die zweite n Äste, so gibt es m· n Kombinationsmöglichkeiten.
Für die Kombination von
3 T-Shirts und 2 Hosen
gibt es 3 · 2 = 6 Möglichkeiten:
T 1H 1, T 1H 2, T 2H 1, T 2H 2,
T3H1 und T3H2.
5.1.5
–3 + (+2) = –3 + 2 = –1
–3 + (–2) = –3 – 2 = –5
–3 – (+2) = –3 – 2 = –5
–3 – (–2) = –3 + 2 = –1
6:3=2
6 : (–3) = –2
–6 : 3 = –2
–6 : (–3) = 2
Rechengesetze
Kommutativgesetze (für a, b aus Z):
a+b=b+a
a⋅b =b⋅a
13 + 728 = 728 + 13
23 · 56 = 56 · 23
Assoziativgesetze (für a, b, c aus Z):
(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c )
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
(37 + 195) + 5 = 37 + 195 + 5 = 37 + (195 + 5)
(3 ⋅ 8) ⋅125 = 3 ⋅ 8 ⋅125 = 3 ⋅ (8 ⋅125)
Das Distributivgesetz kann man zum Ausmultiplizieren
oder Ausklammern nutzen:
für a, b, c aus Z
( a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
98 ⋅ 4 = (100 − 2) ⋅ 4 = 100 ⋅ 4 − 2 ⋅ 4 = 400 − 8 = 392
(390 + 39) : 13 = 390 : 13 + 39 : 13 = 30 + 3 = 33
Werden keine Rechenvorteile genutzt, so gilt:
• Klammern zuerst
• Potenzen vor Punktrechnungen
• Punkt vor Strich
• Rechne von links nach rechts.
• Nicht benutzte Bestandteile werden unverändert
übernommen.
Bei einer fortlaufenden Rechnung muss rechts und links
des Gleichheitszeichens immer das Gleiche stehen.
Terme dürfen nicht nach Belieben hinzugefügt werden.
(90 − 34 ) ⋅ (3 ⋅ 4 − 3) = (90 − 81) ⋅ (12 − 3) = 9 ⋅ 9 = 81
(44 : 4 − 4) ⋅ 4 + 4 = (11 − 4) ⋅ 4 + 4 =
= 7 ⋅ 4 + 4 = 28 + 4 = 32
Falsche Rechnung: 3 ⋅ 5 = 15 + 2 = 17
(Missbrauch des Gleichheitszeichens, denn 3⋅ 5 ist
nicht das Gleiche wie 17.)
Richtige Rechnung: 3 ⋅ 5 + 2 = 15 + 2 = 17
Grundwissen Mathematik
5.2
Geometrie
5.2.1
Koordinatensystem
-3-
Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz
II
I
y
Die x-Achse zeigt nach rechts, die y-Achse nach oben.
Q(–3|2)
Ein Punkt P(x|y) ist durch seine Koordinaten x und y
festgelegt.
Merke: „Erst x, dann y – wie im Alphabet“
1
Die Ebene wird in vier Quadranten (I, II, III, IV) unterteilt.
O
5.2.2
Geometrische Grundbegriffe
Eine Strecke a oder [AB] wird von zwei Punkten begrenzt.
Eine Halbgerade c oder [CD hat nur einen Anfangspunkt.
Die Gerade g oder EF hat weder Anfangs- noch Endpunkt.
Sind g und h zueinander parallel, schreibt man g || h.
⊥ l. Im
Eine Diagonale im Vieleck verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte. Die Diagonalen des abgebildeten
Rechtecks sind e = [AC] und f = [BD].
Im Kreis ist der Radius r die Verbindung von einem Punkt
des Kreises zum Mittelpunkt.
Für den Durchmesser d gilt: d = 2 ⋅ r
5.2.3
Winkel
Der Schnittpunkt der Schenkel eines Winkels heißt Scheitel.
Bezeichnungen: α =  (g, h) oder α =  ASB
Winkelmessung erfolgt stets gegen den Uhrzeigersinn.
α = 0°
0° < α < 90°
α = 90°
90° < α < 180°
α = 180°
180°< α < 360°
α = 360°
Nullwinkel
spitzer Winkel
rechter Winkel
stumpfer Winkel
gestreckter Winkel
überstumpfer Winkel
Vollwinkel
x
P(1|–2)
Punkte werden mit Großbuchstaben, Linien (Strecken,
Kreise usw.) mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
Sind g und l zueinander senkrecht, schreibt man g
Bild rechts gilt auch h ⊥ l.
1
III
IV
l
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5.2.4
-4-
Flächen
Der Umfang u einer Figur ist die Summe ihrer
Seitenlängen.
Der Flächeninhalt A gibt die Größe der eingeschlossenen
Fläche an.
Die Flächeneinheiten sind:
1 mm2 < 1 cm2 < 1 dm2 < 1 m2 < 1 a < 1 ha < 1 km2
Die Umrechnungszahl zwischen
Flächeneinheiten ist immer 100.
5.2.5
Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz
zwei
benachbarten
Rechteck
b
s
l
s
u = 2 ⋅ (l + b )
u = 4⋅s
A = l ⋅b
A = s ⋅ s = s2
13 m 2 = 13 ⋅ 100 dm 2 = 1300 dm2
300 ha = (300 : 100) km 2 = 3 km 2
1a = 1 ⋅ 100 m 2 = 1 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 cm 2 = 1 ⋅ 106 cm 2
Oberflächeninhalt des Quaders
Die Summe der Flächeninhalte der Begrenzungsflächen
eines Körpers heißt der Oberflächeninhalt O des
Körpers.
h
Quader
Achsensymmetrische Figuren
Figuren, die man durch Falten aufeinander legen kann,
heißen achsensymmetrisch.
Die Faltgerade a heißt Symmetrieachse.
Zu jedem Punkt R auf einer Seite der Symmetrieachse
gehört ein Bildpunkt R′ auf der anderen Seite.
Die Strecke [RR′] steht senkrecht auf der Symmetrieachse
und wird von dieser halbiert.
s
Würfel
b
l
OQ = 2 ⋅ (l ⋅ b + l ⋅ h + b ⋅ h)
5.2.6
Quadrat
s
s
OW = 6 ⋅ s 2