Diplom Mathematik I Sammlung: Vektorrechnung Aufgabe (5.1

Diplom
Mathematik I
Sammlung: Vektorrechnung
Fachhochschule
Braunschweig/Wolfenbüttel
Fachbereich Versorgungstechnik
Aufgabe (5.1):
Beschreiben Sie den Vektor ~a = (−2.1, 1.3, 7.4)T als Produkt aus Betrag und normierten Vektor.
(Lsg5 : ~a = 7.8 · ~e mit ~e = (−0.2692, 0.1667, 0.9487)T )
Aufgabe (5.2):
Zwischen zwei Masten (Abstand 20 m) ist ein (masselos gedachtes) Seil gespannt, in dessen
Mitte eine Lampe mit (10 kg bzw.) 98.0665 N Gewicht hängt. Das Seil hängt um 0.5 m durch.
Wie gross ist die Zugkraft im Seil?
(Lsg: 981.89 N)
Aufgabe (5.3):
Zwei Kräfte greifen an einem Punkt an: |F~1 | = 19N und |F~2 | = 25N. Die Richtung von F~2 weicht
um 15.37◦ von der Richtung von F~1 ab. Wie groß ist die resultierende Kraft nach Betrag und
Richtung?
(Lsg: |Fres | = 43.61N. Fres weicht um 8.74◦ von der Richtung von F1 ab.)
Aufgabe (5.4):
~
Es seien die Punkte A = (1, 1), B = (2, 2) und C = (2, 3) gegeben. Zerlegen Sie den Vektor AC
~
~
in eine Komponente parallel zu AB und in eine senkrecht zu AB.
~ || = 1.5(1, 1)T , AB
~ ⊥ = 0.5(−1, 1)T )
(Lsg: AB
Aufgabe (5.5):
Man zerlege den Vektor ~a = 1.6~i + 2.1~j − 3.7~k in eine Komponente parallel zu
~b = −3~i − 4~j + 7~k und eine Komponente senkrecht dazu.
(Lsg: ~a = ~bp + ~bs mit ~bp = 1.585~i + 2.1112~j − 3.696~k und ~bs = 0.01486~i − 0.01351~j − 0.001351~k)
Aufgabe (5.6):
Man zerlege den Vektor ~a = 6~i + 7~j − 7~k in die drei Richtungen ~x = −~i + 2~j, ~y = ~i + ~j − 3~k und
~z = ~i + 3~j + ~k.
(Lsg: ~a = −~x + 3~y + 2~z)
Aufgabe (5.7):
Liegen die drei Punkte P1 = (2, 0, 3) , P2 = (1, 2, 1) und P3 = (0, 4, −1) auf einer Geraden?
Liegen diese drei Punkte und der Koordinatenursprung in einer Ebene?
(Lsg: Ja, denn P~2 − P~1 = (−1, 2, −2) || P~3 − P~1 = (−2, 4, −2).
Ja, denn Null ist kein Punkt der Geraden.)
Aufgabe (5.8):
Liegen die drei Vektoren ~x = 3~i − 2~j + 5~k, ~y = ~i + 2~j + 4~k und ~z = ~i − 4~j − 3~k in einer Ebene?
(Lsg: Nein, weil das Spatprodukt [~x~y~z] = −14(6= 0) beträgt.)
Aufgabe (5.9):
Man zeige: ~b × (~c + t · ~b) = ~b × ~c, t ∈ IR
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Alle Lösungen ohne Gewähr.
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Mathematik I, Vektorrechnung
Aufgabe (5.10):
Sind die drei Vektoren (0, −3, 6)T , (1, 1, −1)T und (2, 0, 2)T linear unabhängig?
(Lsg: Nein, weil das Spatprodukt verschwindet bzw. es gilt:
2 · (0, −3, 6)T + 6 · (1, 1, −1)T − 3 · (2, 0, 2)T = (0, 0, 0)T )
Aufgabe (5.11):
Zerlegen Sie ~a = (5, 4, −5)T in einen zu ~b = (4, −4, −6)T parallelen und senkrechten Anteil.
Erstellen Sie dazu eine Skizze mit Beschriftung ihrer Vektoren.
Aufgabe (5.12):
Gegeben seien die Punkte A=(0,0,0), B=(1,0.2,0), C=(2,2,0), D=(0.1,1.8,0) und E=(1,1,2).
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks beschrieben durch die Eckpunkte A,B,C,D und
das Volumen des Tetraeders beschrieben durch die Eckpunkte A,B,D,E.
Aufgabe (5.13):
Zerlegen Sie ~a = (3, 5, 2)T in einen zu ~b = (3, −2, 1)T parallelen und senkrechten Anteil.
Berechnen Sie die Länge von ~a und ~b, und schätzen Sie den von ~a und ~b eingeschlossenen
Winkel α.
Aufgabe (5.14):
Berechnen Sie das Volumen des durch ~a = (8, 6, −5)T , ~b = (3, 4, −2)T und ~c = (−7, 0, −3)T
aufgespannten Tetraeders. Zerlegen Sie ~a in einen zu ~b parallelen und senkrechten Anteil.
Aufgabe (5.15):
Berechnen Sie zwei normierte Vektoren, die auf ~a = (1, 3, −2)T und ~b = (2, −1, 1)T senkrecht
stehen.
Aufgabe (5.16):
Gegeben seien ~a = (−3, 2, −4)T , ~b = (−1, 1, 7)T . Berechnen Sie zwei normierte Vektoren, die
senkrecht auf ~a und ~b stehen und die Fläche des von ~a und ~b aufgespannten Dreiecks als Länge
besitzen.
Aufgabe (5.17):
Berechnen Sie den projizierten Vektor von ~a auf ~b und geben Sie seine Länge an. Erstellen Sie
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eine beschriftete Skizze. Es seien ~a = (11, 7, −7)T , ~b = (9, −3, −3)T .
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Aufgabe (5.18):
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:
c1 − c2 = −c1
4c1 − 3c2 = −c2
Aufgabe (5.19):
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem mit dem Parameter g ∈ IR:
e3g c1 + eg c2 = 0
3e3g c1 + eg c2 − sin(g) = 0
Gibt es einen Parameter g, für welchen das Gleichungssystem nicht lösbar ist?
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Mathematik I, Vektorrechnung
Aufgabe (5.20):
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:
a0 − 2a1 + 4a2 = 1
a0 − a1 + a2 = 0
a0 + a1 + a2 = 2
• Verwenden Sie dazu zwei unterschiedliche Methoden.
• Ersetzen Sie die letzte Zeile durch a0 + γ1 a1 + a2 = γ2 . Wie lautet die Lösung? Für
welche γ1 , γ2 ∈ IR gibt es keine Lösung, und für welche gibt es unendlich viele Lösungen?
Aufgabe (5.21):
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit




4


b =  −1  .
2
−1
2
3


A =  2 −1 −1  ,
3
0
1
a)
Bestimmen Sie die Lösung x des Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.
b)
Was ändert sich an der Lösung, falls die letzte Zeile des Gleichungssystems durch
3x1 + x3 = 1 ersetzt wird?
c)
Welchen Wert hat die Determinante von A. Erläutern Sie Ihre Antwort.






−1 2 3 4
−1/3
2/3






(Lsg: a)  0 3 5 7  , x =  7/3  + µ  −5/3  , µ ∈ IR
1
0 0 0 0
0
b) Widerspruch,d.h. keine Lösung c) det(A)=0)
Aufgabe (5.22):
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit


1 2 −2


0 ,
A= 2 3
2 1
8
a)
b)


7


0 .
b=
−28
Bestimmen Sie die Lösung x des Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.
Welchen Wert hat die Determinante von A. Erläutern Sie Ihre Antwort.


1
2 −2
7


4 −14  ,
(Lsg: a)  0 −1
0
0
0
0
b) det(A)=0)




−6
−21




x =  14  + µ  4  , µ ∈ IR
1
0
Aufgabe (5.23):
In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Geraden
~g1 = (3, 1, 4)T + λ1 · (1, −3, 1)T und ~g2 = (−2, 2, 1)T + λ2 · (4, −5, 3)T ?
(Lsg: P~ = (6, −8, 7)T , α = 20.27◦ oder 0.3537 rad.)
Mathematik I, Vektorrechnung
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Aufgabe (5.24):
Eine Gerade gehe durch die zwei Punkte mit den Koordinaten (-1, -4, 6) und (5, -1,0).
Stellen Sie die Geradengleichung in der Form
a) ~a + λ · ~b, λ ∈ IR dar.
b) ~an + λ · ~be , λ ∈ IR, ~an ⊥ ~be , |~be | = 1 dar.
Wieviele verschiedene Darstellungen gibt es unter a) und b)?
~
(Lsg: a) ~a = (−1, −4, 6)T und ~b = (6, 3, −6)T , b) ~an = ~a − ~a~·2b · ~b = (3, −2, 2)T
b
~be = 1 (2, −1, −2)T . Unter a) beliebig viele verschiedene Darstellungen; unter b) zwei.)
3
Aufgabe (5.25):
In welchem Punkt und unter welchem Winkel durchstösst die Gerade
~xg = (−7, −2, 12)T + λ · (0, 3, −1)T die Ebene
~xe = (3, 3, 1)T + µ · (1, 2, 2)T + σ · (4, −1, −1)T ?
~b × ~c
(Lsg: P = (−7, 10, 8), ~ne =
mit ~b = (1, 2, 2)T und ~c = (4, −1, −1)T , α = 63.44◦ )
|~b × ~c|
Aufgabe (5.26):
In einer Ebene liegen die drei Punkte (1,7,0), (2,3,1) und (0,-10,2).
a) Stellen Sie die Hessesche Normalform auf. (~n · ~r = ρ)
b) Stellen Sie die Ebenengleichung des Typs : αx + βy + γz = δ auf.
1
(−9~i + 3~j + 21~k), b) −3x + y + 7z = 4)
(Lsg: a) ~n = c(P~2 − P~3 ) × (P~1 − P~3 ) = √
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Aufgabe (5.27):
Ein Quader mit den Seitenlängen a=1 m, b=2 m und c=3 m sei gegeben. Die Ecken E1 bis
E8 haben die Koordinaten: (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0), (a,b,0), (0,0,c), (a,0,c), (0,b,c), (a,b,c).
Wie gross ist der kleinste Abstand zwischen der Raumdiagonale (von E1 nach E8) und der
Flächendiagonalen
(von E2 nach E7)?
√
(Lsg: 6/ 61)
Aufgabe (5.28):
Gegeben seien zwei Vektoren durch Betrag und Richtung:
|~a| = 3.61, α~a = 27.3◦ , β~a = 112.9◦ , γ~a = 75.9◦ , |~b| = 7.82, α~b = 42.4◦ , β~b = 267.6◦ ,
γ~b = 47.7◦ . Geben Sie den Summenvektor ~c = ~a + ~b in derselben Form an.
(Lsg: ~a = (3.2079, −1.4047, 0.8794)T , ~b = (5.7747, −0.3275, 5.2630)T ,
~c = (8.9826, −1.7322, 6.1424)T , |~c| = 11.02, α~c = 35.4◦ , β~c = 99.0◦ , γ~c = 56.1◦ )
Aufgabe (5.29):
Es sei ein Quader mit den Seitenlängen a = 1 m, b = 2 m und c = 3 m gegeben.
a) Wie lang ist die Raumdiagonale d ?
b) Welche spitzen Winkel schliessen Raumdiagonale und
Seite a ein?
Seite b ein?
Seite c ein?
c) Wie lässt sich allgemein der dritte dieser Winkel berechnen, wenn die anderen
beiden bekannt sind?
d) Welche Winkel schliesst die Raumdiagonale mit der
1 m x 2 m - Fläche ein?
2 m x 3 m - Fläche ein?
1 m x 3 m - Fläche ein?
√
√
(Lsg: a) d = a2 + b2 + c2 = 14 m,
Mathematik I, Vektorrechnung
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~
·d
b) cos α = ~aa·d
= (1,0,0)·(1,2,3)
⇒ α = 74.5◦ , β = 57.7◦ , γ = 36.7◦ ,
1·3.74
p
2
2
2
c) cos α + cos β + cos γ = 1 ⇒ cos γ = 1 − cos2 α − cos2 β,
d) 53.6◦ , 15.5◦ , 32.3◦ )
Aufgabe (5.30):
Berechnen Sie die Schnittgerade der zwei Ebenen e~1 , e~2 . Die Ebene
e~1 = (2, 1, 1)T + λ(0, 4, −1)T + µ(−1, 0, 2)T sei gegeben. e~2 steht orthogonal auf ~u = (1, 1, 1)T ,
und r~o = (5, 10, 2)T sei ein Punkt von e~2 .
(Lsg: ~g (λ) = 0.1(13, 174, −17)T + λ(−3, −4, 7)T )
Aufgabe (5.31):
Beschreiben Sie die Ebene, die durch die Punkte A = (2, 1, 1), B = (2, 5, 0) und C = (1, 1, 3)
bestimmt ist, in Parameterform und in Hessescher Normalform. Berechnen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden ~g (λ) = (1, 1, 1)T + λ(2, 1, 3)T mit der Ebene.
1
(Lsg: ~e(λ, µ) = (2, 1, 1)T + λ(0, 4, −1)T + µ(−1, 0, 2)T , (8, 1, 4) · (x, y, z)T = 21
9
1
P~ = (45, 37, 53)T )
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