Lehrbrief 1 - Funken

Lehrbrief 1 – Technik
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Mathematische Kenntnisse
Mathematik ? Eigentlich sollte es doch um Amateurfunk gehen.
Es ist nunmal ein technisches Hobby, einige grundlegende
mathematische Kenntnisse sind leider erforderlich. Wir
benötigen in der Regel nur Wissen, das in der Schule bis zur
10. Klasse behandelt wurde. Um uns bezüglich der “Hirn”Rechenleistung etwas zu entlasten, schauen wir uns erstmal
den Taschenrechner an. Benötigt wird für diesen Fernkurs ein
einfacher
,,wissenschaftlicher''
Taschenrecher.
Ein
,,Küchenrechner'' reicht nicht. Wenn Dein Taschenrechner die
Tasten “EE” oder “10x” oder “EXP” und/oder “LOG” besitzt, bist
Du auf der sicheren Seite. Wenn nicht, empfehlen wir den Kauf
des TI-30 von Texas Instruments (egal welche Ausführung).
Der TI-30 ist ein einfacher wissenschaftlicher Taschenrechner, wie er in der Schule benutzt
wird. Er ist nicht programmierbar und besitzt nur eine Speicherstelle für eine Zahl. Bitte
achte darauf, bei der Prüfung nicht mit einem programmierbaren Taschenrechner
aufzutauchen, dieser ist als Hilfmittel nicht zugelassen.
Was müssen wir kennen: Addition , Subtraktion , Multiplikation , Division, Potenzen (x y),
die Wurzel(  x ) und Logaritmen (log).
Die vier Grundrechenarten setze ich als bekannt voraus. Kopfschmerzen machen
manchmal Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, sowie das Umformen von einfachen
Gleichungen.
Gleichungen umstellen
In diesem Kurs wird es immer wieder nötig sein, einfache Gleichungen umzustellen. Bei
den Strichrechenarten (“+” und “-”) ist das trivial, häufig brauchen wir den Dreisatz.
Grundlegend bei allen Formelumstellungen ist die sogenannte Äquivalenzumformung.
Damit ist gemeint, dass man eine umzustellende Formel erstmal hinschreibt und dann auf
beiden Seiten gleiche Operationen ausführt.
Beispiel 1:
Bei nachstehender Formel ist c gesucht: a + b = c - d
ab
=
c–d
| c steht auf der rechten Seite
| Rechenbefehl +d auf
| beiden (!) Seiten
abd
=
c – d d
| −d d =0 , kann also
| weggelassen werden
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abd
=
c
nun noch umstellen (c auf die linke Seite)
c=abd
Solange man alle Operationen sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite
durchführt, bleibt das Gleichheitszeichen weiter richtig. Somit ist die Gleichung
unverändert (eben nur umgestellt).
Beispiel 2:
Bei nachstehender Formel ist c gesucht: a⋅b=c⋅d
a⋅b
=
c⋅d
| :d
a⋅b
d
=
c⋅d
d
= c⋅ 
d
d
|
a⋅b
d
=
c⋅1 = c
umstellen
c=
a⋅b
d
auf beiden (!) Seiten
d
=1 , kann als Faktor
d
| weggelassen werden
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Noch einige alte Schulweisheiten zum Umstellen von Gleichungen und zur Eingabe in den
Taschenrechner:
Punktrechnung kommt vor Strichrechnung
Beispiel:
ab⋅c
tippt man nicht der Reihe nach in den Taschenrechner,
sondern erst die Ziffern b⋅c und dann a
Besonderheit
Hat man einen Bruchstrich, so kann man sich im Zähler (oben) und Nenner
(unten) die Klammern dazudenken.
Beispiel:
ab ab
=
c
c
Dasselbe gilt bei Exponenten.
Beispiel : 103xt =103x t
Wie löse ich eine Klammer auf, in der eine Addition ausgeführt wird ?
Beispiel:
a⋅bc
Hier wird die Zahl vor der Klammer mit den in der Klammer
stehenden Zahlen jeweils multipliziert, anschließend wird addiert.
a⋅bc=a⋅ba⋅c
Hinweis:
Mit den Variablen a,b,c ist das Ganze sehr formelhaft. Zur Verdeutlichung
einfach mal Zahlen einsetzen und nochmal durchspielen. Man sieht sehr
leicht, wie unterschiedlich die Ergebnisse werden, wenn z.B. Punkt- und
Strichrechnung vertauscht werden.
Vorschlag : a = 3, b = 7, c = 11
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Potenzen
Einige Beispiele:
10²=10⋅10=100
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5 =5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5=3125
Der Exponent (das ist die “Hochzahl”) sagt aus, wieviel mal die Basis mit sich selbst
multipliziert werden muss. In der Technik ist eine solche exponentielle Schreibweise bei
sehr großen oder sehr kleinen Zahlenwerten üblich. Man verwendet hier meist den
Exponent zur Basis 10.
Beispiel:
Frequenzangabe
3.5⋅106 Hz
3.5⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10 Hz
3.5⋅1000000 Hz
3.5 MHz (hier beginnt das 80m Amateurfunkband)
Beim Taschenrechner kann man sich aussuchen, wie man diese Zahl
eingeben möchte. Am einfachsten geht das mit der “EE”-Taste:
tippe: 3.5 [EE] 6
Anzeige des Taschenrechners:
3.5 06
Die EE-Taste bedeutet mal 10 x , wobei die nachfolgende Zahl das x
bestimmt (hier 6).
Hinweis:
Wir beziehen uns immer auf den TI-30, wenn wir Tasten am Taschenrechner
beschreiben. Andere Taschenrechner haben teilweise abweichende
Beschriftungen, z.B. heißt die “EE” Taste bei CASIO “EXP” und bei anderen
wiederum “10x”.
Wurzelrechnung
Die Wurzelrechnung ist die Umkehroperation der Potenzrechnung. Bei der Ermittlung “der
Wurzel” wird eine Zahl (y) gesucht, die mit sich selbst multipliziert die Ausgangszahl ergibt
(im Beispiel ist das x).
Beispiel:
y= x
(anders geschrieben
y⋅y= x oder auch
Nehmen wir einfache Zahlen, um dies zu verdeutlichen.
x=4
Die Wurzel von 4 ist 2, denn 2⋅2 oder 2²
ist 4
y 2= x )
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Eine solche Wurzel kann durch QUADRIEREN aufgelöst werden.
Beispiel:
d⋅ a=4
Die Formel ist nach a umzutellen.
d⋅ a
=
4
| :d
a
=
4
d
| ()², quadrieren
=
16
d²
  a
2
Das Quadrat “hoch 2” und die Wurzel heben sich auf.
a
=
16
d²
Logarithmen
Hierbei geht es darum, einen Exponent (“die Hochzahl”) zu finden, der mit einer
gegebenen Basis eine bestimmte Zahl ergibt.
Beispiel:
10x = 1000
Wie groß ist x ?
10x
log1010x
=
=
1000
log10 1000
| “log10” auf beiden Seiten
log10 und 10(“hoch”) auf der linken Seite heben sich gegenseitig auf.
Das vormals als Exponent geschriebene x steht nun unten.
x = log10 1000
nun in den Taschenrechner eingeben 1000 und dann die [log]-Taste
drücken - Ergebnis: 3
x=3
log101000 = 3
gesprochen: “Der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 ist 3.”
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In der Regel werden in der Technik für die Angabe von Werten nur Potenzen zur Basis 10
verwendet. Die Verwendung von Logarithmen bezieht sich analog dazu ebenfalls fast
immer auf die Basis 10. Aus diesem Grund wird diese 10 nicht immer als log10
mitgeschrieben, sondern einfach weggelassen.
log1000
gesprochen: “Der Logarithmus von 1000.”
Da keine weitere Angabe nach dem “log” erfolgt, ist von der Basis 10 auszugehen.
Es gibt natürlich auch Logarithmen zu beliebigen Basiswerten, jedoch sind diese mit einer
Ausnahme für uns nicht relevant.
Diese Ausnahme bezieht sich auf die Eulersche Zahl e ( = 2,7182818284... ). Diese Zahl
kommt häufig als Basis bei Wachstunsprozessen vor, meist in Potenzen (andere Namen:
“e-Funktion” oder “natürliche Exponentialfunktion”) wie U t=Umax e−t /  Möchte man
diese Funktion beispielsweise nach  (gesprochen “tau”) umstellen, muss man im Lauf
der Umformung den Logarithmus zur Basis e (anderer Name: “natürlicher Logarithmus”)
bilden.
Auf dem Taschenrechner findet man diese Funktionen hinter den Tasten “ ln ” und “ e x ”.
Weiteres über Potenzen und Logarithmen folgt an der jeweiligen Stelle im Kurs
(Verstärker, Verlustrechnung an Antennenleitungen, Antennengewinn ...)
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Übungsaufgaben
Erstmal die Bedienungsanleitung des eigenen Taschenrechners durchlesen, auch wenn
der diese Woche noch nicht für die Aufgaben benötigt wird. Bitte macht euch mit den
Tastenbezeichnungen eures Rechners vertraut.
Bitte löst die nachstehenden Aufgaben und sendet sie zur Durchsicht bis nächsten Montag
an [email protected]. Die Lösung findet ihr jeweils im nächsten Lehrbrief. Bei
erkennbaren gravierenden Problemen wird Klaus sich mit euch in Verbindung setzen.
1.)
f – U =tg
Formel umstellen nach U
2.)
x=3c⋅D
Formel umstellen nach D
3.)
x A
=
y 3
Formel umstellen nach A
4.)
U =R⋅I
Formel umstellen nach R
5.)
t – t3=
6.)
3 R3=18
Wie groß ist R ?
7.)
U =R⋅I und P=U⋅I
Bestimme hieraus eine Formel, in der nur
die Variablen U, P und R vorkommen.
8.)
f=
R
z
1
2⋅⋅ LC
Formel umstellen nach R
Die Gleichung ist nach L umzustellen.
In den nächsten Lehrbriefen werden neben den Elektrotechnik-Aufgaben noch weitere
Matheübungen folgen.
Das Schreiben von Formeln in Textverarbeitungen ist ohne einen Formeleditor etwas
schwierig. Wir verwenden OpenOffice für unsere Arbeit und haben mit dem integrierten
Formeleditor gute Erfahrungen gemacht. Auch Word beinhaltet einen solche Funktion.
Anmerkung des Autors: Dies ist mit der schlimmste Lehrbrief überhaupt. Nur Mathe, kein
Funk. Ich verspreche, dass es im nächsten Lehrbrief deutlich interessanter und auch
praktischer wird. Leider brauchen wir diese Grundlagen, so kann ich euch nicht davon
verschonen.
.....und jetzt hast Du es ja auch geschafft.