Kein Folientitel - Universität der Bundeswehr München

Geoinformatik 2 (GI-2)
Kapitel 7
Ausgewählte Geo-Algorithmen - „Wege“
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Reinhardt
AGIS / Inst. Für Angewandte Informatik (INF4)
Universität der Bundeswehr München
[email protected]
www.agis.unibw.de
Inhalte
• Routing
• Traveling Salesman Problem
• Map Matching
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Kürzester, Schnellster, Wirtschaftlichster … Weg
ROUTING
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Begriffe, Definitionen
Routing (aus der Informatik)
 Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in
der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für
Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung
über vermaschte Nachrichtennetze. Insbesondere in
paketvermittelten Datennetzen ist hierbei
strenggenommen zwischen den beiden verschiedenen
Prozessen Routing und Forwarding zu unterscheiden.
 Das Routing bestimmt den gesamten Weg eines
Nachrichtenstroms durch das Netzwerk; das
Forwarding beschreibt hingegen den
Entscheidungsprozess eines einzelnen Netzknotens,
über welchen seiner Nachbarn er eine vorliegende
Nachricht weiterleiten soll.
 Häufig werden jedoch Routing und Forwarding unter
dem Begriff „Routing“ miteinander vermengt; in
diesem Fall bezeichnet Routing ganz allgemein die
Übermittlung von Nachrichten über vermaschte
Nachrichtennetze.
Routing Algorithmen
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Beispiel
• Kürzester, schnellster, … Weg , hier
zwischen München und Stuttgart
• Vorhandenes Netz in
Knoten/Kantenstruktur
• Gewichtete Kanten
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Begriffe, Definitionen
Graph
 Ein Graph ist in der Graphentheorie ein Gebilde aus Knoten
(auch Ecken oder Punkte), die durch Kanten verbunden sein
können.
 Ein Graph G ist ein geordnetes Paar zweier Mengen:
G = (V,E)
 Dabei bezeichnet V die Menge der im Graph enthaltenen
Knoten und E die Menge der Kanten des Graphen. Die
Bezeichnungen der Mengen entstammen dem Englischen: V
für vertex (engl. für „Knoten“) und E für edge (engl. für
„Kante“).
E
V
Gerichteter Graph
 Ein Graph G = (V,E) heißt gerichtet, wenn zu jedem e є E das
durch eine definierte Abbildung Ψ zugeordnete Paar (v,v') geordnet ist (v,v' є V). Anschaulich bedeutet ein gerichteter
Graph, dass sich die Kante von einem Knoten zu einem
Knoten durch einen Pfeil darstellen lässt.
(Quelle: www.wikipedia.de)
Routing Algorithmen
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Prinzip von Routing Algorithmen im GIS Bereich
Suche nach einer optimalen Verbindung von
einem Start- zu einem Zielpunkt unter einer
bestimmten Kostenfunktion /-modell




Kürzester Weg
Schnellste Verbindung
Behindertengerechte Route
Andere Ziel- / Kostenfunktionen
in einem Graphen bestehend aus Knoten
und Kanten, wobei die Kanten mit einem
Gewicht (z.B. Strecke, Zeit …) versehen
sind
Routing Algorithmen
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Routing Verfahren (Auswahl)
Dijkstra Algorithmus
 Benannt nach seinem Erfinder Edsger W. Dijkstra
 Standardalgorithmus für Routing
A* Algorithmus
 Informative Suche, der Algorithmus greift auf eine Heuristik
zurück
 Zielgerichtete Suche, mit Punkten, die am wahrscheinlichsten
zum Ziel führen
 Findet einen kürzesten Weg, nicht den kürzesten Weg
Floyd- Warshall Algorithmus
Weitere
Routing Algorithmen
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Dijkstra
Edsger Wybe Dijkstra (* 11. Mai 1930 in Rotterdam;
† 6. August 2002 in Nuenen, Niederlande) war ein
niederländischer Informatiker (Mathematiker).
Professor in Eindhoven, Tätigkeit in Leiden,
Amsterdam. Er war der Wegbereiter der
strukturierten Programmierung.
(Quelle: www.wikipedia.de)
1972 erhielt er den Turing Award.
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Dijkstra Algorithmus
Kürzester Weg von A nach B in einem Graphen
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Geg.: Gerichteter Graph G, dessen Kanten mit Kosten
attributiert sind (z.B. Strecke oder Zeit)
Aufgabe: Berechnung des kürzesten Weges von einem
Startknoten s zu einem Zielknoten z
Einfachste Idee: alle Wege berechnen und den
Kürzesten auswählen
Feststellung: wenn der kürzeste Weg von s nach z über
y geht, sind die Teilstücke auch immer der kürzeste
Weg zwischen den beiden Punkten
Dijkstra: Berechnung der kürzesten Wege von einem
beliebigen Startpunkt zu allen anderen Punkten des
Graphen
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Beispiel: Kürzester Weg von Do nach Du
Startpunkt: Do
Do
20
X
Ha
80
Du
15
W
30
Du
Neue kürzeste Verbindung
nach Du über W und Ha
„längerer“ Weg
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus – ein Beispiel
S
Grüne Knoten: in Arbeit /bearbeitet
Rote Knoten: Rand des jeweiligen TG
2
1
1
2
Grüne Kanten: Kürzeste Wege
7
3
6
8
9
4
5
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Beschreibung des Algorithmus
 Bildung eines Teilgraphen TG in G, ausgehend von s
- TG beschreibt den erkundeten Teil von G,
bestehend aus:



Allen Knoten die mit s verbunden sind, dabei
bedeuten:
Grüne Knoten: In Arbeit / bearbeitet
Rote Knoten: Rand vom TG
- Markierung der Kanten innerhalb des TG


Grüne Kanten: Bilden kürzeste Wege
Rote Kanten: „längere (eliminierte)“ Wege
- In jedem Knoten wird der Abstand zu s verwaltet
- TG wächst, indem in jedem Schritt der
Randknoten mit minimalen Abstand von s ins
Innere von TG übernommen wird
- „Nachfolger“ übernommener Knoten werden
Randknoten
- Kürzeste Pfade zu grünen Knoten, die erneut
erreicht werden, sind ggf. zu korrigieren
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Knoten: Blau -> Rot (Beispiel)
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Eigenschaften / Offene Fragen
 Algorithmus ist korrekt (Beweis-> Literatur)
 Zeitkomplexität: mit m - Anzahl der Kanten und n Anzahl der Knoten: O (m + n * log n ) bei
Verwendung Heap
 Wie finden wir schnell
- Alle Nachfolger eines Knoten?
- Aktive Knoten?
 Wir benötigen :
- Datenstrukturen für den Graphen
- Datenstruktur für die aktiven Knoten und
verbindungen
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Datenstrukturen
 Datenstruktur für den Graphen (mit Kosten)
- Variante 1: Adjazenzmatrix
- Variante 2: Adjazenzliste
 Datenstruktur für die Menge der aktiven Knoten: Heap
 auf Heap wird in dieser Vorlesung als
Datenstruktur nicht weiter eingegangen
(bekannt)
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Adjazenzmatrix
 Definition: Knoten, die durch eine Kante verbunden
sind, heißen benachbart oder adjazent
 Definition: Die n x n Matrix A = {aij} heißt
Adjazenzmatrix mit
false.
aij = true , falls vi und vj adjazent, sonst
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Adjazenzmatrix mit Kosten
 Bei gewichteten Graphen lassen sich die Kosten k
direkt in die Adjazenzmatrix eintragen:
aij = k , falls vi und vj adjazent, sonst ∞.
 Beachte: alle Diagonalelemente sind Null.
Vorteil: Möglichkeit, in der Laufzeit O(1) festzustellen,
ob eine Kante von vi nach vj existiert.
Nachteil: hoher Platzbedarf O(n²)
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Beispiel zur Adjazenzmatrix
Do
Du
Ha
W
D
K
Do
0
80
20
∞
∞
∞
Du
∞
0
∞
∞
20
∞
Ha
∞
∞
0
15
∞
∞
W
∞
30
∞
0
150
80
D
∞
∞
∞
∞
0
15
K
∞
∞
∞
∞
∞
0
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Adjazenzliste
 Für jeden Knoten wird eine Liste seiner (Nachfolger-)
Nachbarknoten abgespeichert.
 Der Zugriff auf die Listen erfolgt über ein Array der
Länge n (n = Anzahl der Knoten)
 Vorteil:
geringer Platzbedarf: O(n+m) (m Anzahl
der Kanten) alle k Nachfolger eines Knotens sind in
der Zeit O(k) erreichbar
 Nachteil: Um zu prüfen, ob vi und vj benachbart sind,
muss die Adjazenzliste von vi durchlaufen und nach vj
gesucht werden
 Aber: Für Dijkstra ist eine Adjazenzliste ideal
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Beispiel zur Adjazenzliste
Do
Du
Ha
W
D
K
Do
0
80
20
∞
∞
∞
Du
∞
0
∞
∞
20
∞
Ha
∞
∞
0
15
∞
∞
W
∞
30
∞
0
150
80
D
∞
∞
∞
∞
0
15
K
∞
∞
∞
∞
∞
0
Do
Du
80
Du
Ha
W
D
K
Routing Algorithmen
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Ha
20
Dijkstra Algorithmus
Erweiterung Dijkstra zur Behandlung von realen Straßennetzen
 Reale Netze stellen besondere Anforderungen
- Größe des Netzwerkes (Effizienz)
Dijkstra mit Geometrie
- Straßenverkehrsordnung (Abbiege- und Wendeverbote)
 Abbildung realer Straßennetze auf Graphen
 Ansätze:
 Modifikation des Graphen
 Modifikation von Dijkstra

Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Dijkstra Erweiterung
 Dijkstra nutzt die Geometrie der Knoten/Kannten nicht
aus
 Richtungslos: Dijkstra berücksichtigt nicht die Richtung
von Startknoten zum Zielknoten
 Erweiterung (Heuristik): Dijkstra mit Geometrie verwendet
geometrische Informationen, das bedeutet, dass der Weg
„in die andere Richtung“ nur noch halb so weit
mitbestimmt wird. Worst case: keine Einsparung
 Führt zum A* Algorithmus, dieser verwendet der eine
Schätzfunktion (Heuristik), um zielgerichtet zu suchen
Routing Algorithmen
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Dijkstra Algorithmus
Anwendung in realen Netzen
 Abbiegeverbot
- Änderung des Algorithmus
- Änderung des Graphen
Transformation des Graphen mit
Abbiegeverbot in einen Graphen ohne
Abbiegeverbot (s. Literatur)
 Anschließend Anwendung von Standard
Dijkstra
 Einbahnstraßen
- Gleiches Prinzip wie oben

 Standardalgorithmus für Routing
Routing Algorithmen
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Optimale Route: Problem des Handlungsreisenden
TRAVELLING SALESMAN PROBLEM
(TSP)
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Das Problem
• Gegeben: n Orte mit geogr. Position
• Gesucht: die optimale Route (für den
Nikolaus)
• Optimal: möglichst kurze/kostengünstige
Reisestrecke
Historie:
• Erste Erwähnung um 1830
• explizite Erwähnung als math.
Optimierungsproblem durch Karl
Menger (1930)
• Ab 1950 große wiss. Popularität
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Lösungsansätze
• Modellierung als Graph
• Beispiel: mögliche Rundreisen für 4 Städte
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Lösungsansätze
• Die “Holzhammer-Methode” (auch brute-force oder naiveMethode)
• Bei n Orten: (n−1)! = 2 · 3 · 4 · . . . · (n−1) verschiedene Möglichkeiten!
• Mit Paaren von ident. Routen (s.o), d.h: (n-1)! / 2
Beispiele:
Nur für kleine n anwendbar!
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Lösungsansätze
•
•
•
•
Ansätze über Dynamisches Programmieren (s. Lit.)
Strenge Lösung
Steigt exponentiell mit Anzahl von Zwischenstationen n
Für größere Anzahl von Zwischenstationen (ab. ca. 15-20) unbrauchbar
30 / 58
Lösungsansätze über MST
• Einsatz von Verfahren, die nicht unbedingt die optimale Rundreise finden,
aber eine relativ gute Lösung berechnen: Heuristiken
• Beispiel: Minimum Spanning Tree (MST)
• Gegeben sei ein Graph G = (V,E)
• MST ist dann ein (bzw. jeder) Subgraph von G, der alle Knoten über eine
Folge von Kanten verbindet.
Beispiel eines Graphen und eines MST
• Standard Algorithmen: Prim's algorithm and Kruskal's algorithm (Greedy Algorithmen)
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Beispiel: Algorithmus von Kruskal
Ausgangsgraph
Auswahl der kürzesten Kante (Hier A-D),
(zufällig, bei mehreren gleichen)
Auswahl der nächsten kürzesten Kante (hier C-E), die mit den
vorher ausgewählten keinen Kreis bilden
http://de.wikipedia.org/wiki/Algorithmus_von_Kruskal
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Beispiel: Algorithmus von Kruskal
Auswahl der nächsten kürzesten Kante (hier D-F), die mit den
vorher ausgewählten keinen Kreis bilden
Auswahl der nächsten kürzesten Kante (hier A-B), die mit den
vorher ausgewählten keinen Kreis bilden
Auswahl der nächsten kürzesten Kante (hier B-E), die mit den
vorher ausgewählten keinen Kreis bilden
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Beispiel: Algorithmus von Kruskal
Auswahl der nächsten kürzesten Kante (hier E-G), die mit den
vorher ausgewählten keinen Kreis bilden
 Ergebnis (MST)
Beweis und weitere Eigenschaften s. Lit.
2 Wesentliche Schritte: Sortierung und „Kreisprüfung“
Ablauf:
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Travelling Salesman Problem (TSP)
Minimum Spanning Tree (MST)
Nun löst das aber noch nicht das TSP-Problem!
Aber es hilft uns weiter
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Lösungsansatz TSP
• Geg.: vollständigen Graph G = (V,E) wobei V die Menge der Städte ist und G =V ×V
alle direkten Reisewege darstellt
• Nächster Schritt: Berechnung eines MST
http://www.informatikjahr.de/algorithmus/ (40. Algorithmus)
MST
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Lösungsansatz TSP (Zwischenbemerkungen)
• Eine Rundreise wird durch einen Kreis in G dargestellt, der jeden Knoten genau einmal
•
•
•
•
enthält.
Ein solcher Kreis wird auch als Hamilton-Kreis bezeichnet. Es gibt einen einfachen
Zusammenhang zwischen möglichen Rundreisen (d.h. Hamilton-Kreisen) und speziellen
Teilgraphen von G, den sogenannten aufspannenden Bäumen (MST).
Wie oben dargestellt ist ein minimal aufspannender Baum (MST) ein kreisfreier
Teilgraph, der alle Knoten von G miteinander verbindet und bei dem die Summe aller
Kantenkosten minimal sind.
Wenn man aus einer Rundreise (z.B. für TSP) eine beliebige Kante entfernt, so erhält
man einen sogenannten Hamilton-Pfad. Da ein Hamilton-Pfad die Bedingungen eines
aufspannenden Baumes (MST) erfüllt, sind dessen Gesamtkosten mindestens so groß
wie die eines minimal aufspannenden Baumes. Mit anderen Worten, die Gesamtkosten
eines minimal aufpannenden Baumes sind kleiner oder gleich den Gesamtkosten eines
bestmöglichen Hamilton-Pfades und damit auch einer optimalen Rundreise.
D.h. wir können die TSP-tour über den MST konstruieren!
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Algorithmus TSP
• Im nächsten Schritt konstruiert man aus dem Baum T (MST) eine erste Tour, indem
man T einfach entlang seiner Kanten einmal umrundet (siehe Abbildung). Die
Gesamtlänge dieser Reise ist offensichtlich genau doppelt so groß ist wie die Kosten
von T, da man jede Kante zweimal verwendet. Aus den Zwischenbemerkungen
schließen wir, dass die Gesamtlänge dieser Reise höchstens doppelt so groß wie die
Länge einer optimalen TSP-Rundreise ist.
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Algorithmus TSP
• Die im letzten Schritt konstruierte Tour ist offensichtlich nicht optimal und eigentlich
sogar keine korrekte Rundreise, da sie jeden Knoten zweimal besucht. Man kann sie
aber leicht in eine korrekte und im allgemeinen auch kürzere Rundreise umwandeln,
indem man jeweils drei aufeinanderfolgende Knoten a,b,c untersucht und testet, ob
man die beiden Kanten a−!b−!c durch die Abkürzung a −!c ersetzen kann, ohne dass
der Knoten b isoliert wird. Das Resultat dieses Schrittes löst unser Problem des TSP!
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Lösungsansatz TSP
• Der Algorithmus (Heuristik) findet eine Rundreise,
die nicht mehr als doppelt so lang wie die kürzeste
Reise ist!
• Beweise und weitere Eigenschaften s. Lit.
(http://www.informatikjahr.de/algorithmus/ (40.
Algorithmus)
Ein Demo-Programm, mit dem die Abbildungen dieses Artikels erzeugt wurden
http://www-i1.informatik.rwth-aachen.de/~algorithmus/Algorithmen/algo40/tsp.exe
Weitere Links:
• Wikipedia: Problem des Handlungsreisenden
http://de.wikipedia.org/wiki/Problem_des_Handlungsreisenden
• Eine Einführung von Grötschel und Padberg (Spektrum der Wissenschaft)
http://elib.zib.de/pub/UserHome/Groetschel/Spektrum/index2
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Zuordnung von Positionen, Trajektorien zu GIS-Daten / digitalen
Karten
MAP MATCHING
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Ziel
Mit Hilfe von Map Matching
Verfahren werden die mittels
Sensoren aufgenommenen
Wegestücke / Punkte auf die
Geometrien der Vektordaten im
Navigationssystem bezogen
Map Matching Verfahren spielen
eine wichtige Rolle, z.B bei der
Fahrzeugnavigation
Visualisierung der „gematchten“
Position
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Beispiel
Gegeben:
• Punkte
• Trajektorien
• Bzw. deren Ableitungen
Gesucht:
• Zuordnung zum Netz der
Vektordaten
• Punkte
• Pfad (Folge von Kanten)
Zu beachten:
• Art der Sensoren (z.B. GPS /
INS)
• Genauigkeit der Daten und
Sensoren
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Aufgabe
Auf welchem Wegestück ( Kante)
befinde ich mich zur Zeit?
Wo befinde ich mich auf dem
Wegestück (z.B.
Straßenabschnitt)?
 Wird z.B. für die
Navigationsanweisungen benötigt
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Begriffsdefinitionen
Map Matching
 Mit Kartenabgleich, Karteneinpassung oder
auch Map Matching wird ein Verfahren
bezeichnet, welches die durch eine Ortung
gemessene Position eines Objektes mit den
Ortsinformationen einer digitalen Karte abgleicht.
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Map_Matching)
Ortung
 Unter Ortung versteht man die Bestimmung der
Position eines Objekts, was beispielsweise
Personen, Fahrzeuge (Schiff, Flugzeug, Rakete,
Auto),
Gegenstände,
Signale
oder
Krankheitsherde
sein
können.
Besonders
bedeutsam ist dies für die Navigation.
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Ortung)
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Ortung in Fahrzeugnavigationssystemen
Schematische Darstellung
GIS
heutige „low cost“ Navigationssysteme
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Ortung in Fahrzeugnavigationssystemen
Quelle: Meyer zu Hörste, Michael and Gerlach, DLR, Katrin, NavAge 2008)
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Sensorik (1)
Radsensoren
 Bestimmung der Geschwindigkeit des KFZ und
der zurückgelegten Strecke
 Nutzung der ABS, ESP Signale; elektronisches
Tacho-Signal
 Relativ ungenau
Moderne Odometer (Correvit)
 Bildverarbeitungsbasiert
 Wesentlich höhere Genauigkeit
Elektronischer Kompass
 Orientierung des KFZ bezüglich magnetisch Nord
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Sensorik (2)
Kreisel
 Bestimmung von Richtungsänderungen
 Verschiedene Arten von Kreiseln (Gyro):
GPS
- Mechanische Kreisel
- Piezoelektronische Vibrationskreisel
- Faseroptische Kreisel
 Eignet sich im urbanen Gebieten nur bedingt zur
Fahrzeugnavigation, durch Abschattungen, Mehrwegeeffekte
und Änderungen der Satellitenkonstellation treten immer
Sprünge in den Koordinaten auf
DGPS (differentielles GPS)
TrägheitsNavigationsSystem (INS) /
MEMS (Micro-Electronic-Mechanical Systems)
Kombination mehrerer Sensoren: z. B. durch Kalman Filter
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Zuordnung von Punkten
• Bestimmung der nächstliegenden Kante
• Projektion auf die nächstliegende Kante
Kante A
Position auf Kante
Geg. Position
Kante B
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Darstellungen der zurückgelegten Strecke (1)
•
Kartesische Koordinaten (Abbildung der zurückgelegten Strecke)
X
Y
Winkelbild
•
Krümmungsbild
Bogenlänge
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Darstellungen der zurückgelegten Strecke (2)
Welche Art der Darstellung am besten geeignet ist, hängt von
den verwendeten Sensoren und der geforderten
Genauigkeit ab
 GPS  auf der Koordinatenebene (zurückgelegte Strecke)
 Kreisel + Rad  Winkelbild, Krümmungsbild
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Zusätzliche Informationen
Es gibt zusätzliche Informationen, die das Map
Matching verkürzen können
 Erlaubte Fahrtrichtungen (Einbahnstrassen,
Abbiegeverbote, getrennte Fahrspuren)
Bsp.: 2 Einbahnstrassen,
Fahrzeugposition in der Mitte, durch
Fahrtrichtung Entscheidung auf
welcher Straße bewegt sich da KFZ
 Geschwindigkeit des KFZ
- z.B. Parallelstrasse zur Autobahn
 Zusatzinformationen sehr wichtig und hilfreich!
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Map Matching - Prinzipielle Möglichkeiten
Ermittlung des zum gemessenen Punkt nächstgelegen
in der karte („next neigbour“) falls beide
Informationen sehr genau
Vergleich der zurückgelegten Strecke (Messung –
Karte/digitale Daten)
 Mit verschiedenen Transformationsalgorithmen
Karteneinpassung mit weiteren Profilen
 Vergleich der Winkelbilder
 Vergleich der Krümmungsbilder
Die Wahl des Verfahren hängt im Wesentlichen von der
verwendeten Sensorik und deren Charakteristik
(Auflösung, Genauigkeit, …) ab
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Vergleich der zurückgelegten Strecke
Unterteilung der Strecke in Linienelemente mit
konstanter Länge für Soll- und Ist-Strecke
 Bestimmung der Transformationsparameter
mittels Ausgleichung
 Vergleich der Soll- und Ist-Strecke mit
verschiedenen Transformationen und dadurch
unterschiedlichen Freiheitsgraden (Translation,
ebene Ähnlichkeitstransformation, affine
Transformation)
Verfahren
 Translation
 Ebene Ähnlichkeitstransformation
 Affine Transformation
Weiteres: http://elib.uni-stuttgart.de/opus/volltexte/2001/818/pdf/Czommer_Diss.pdf
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Ablauf beim Map Matching
Messung
Digitale Karte
Datenaufbereitung
Auswahl möglicher Trassen
Datenaufbereitung
Zuordnung der Messung zu
jeder möglichen Trasse
Festlegen der wahrscheinlichsten Trasse
•Zuordnungsgenauigkeit, Plausibilität der geschätzten Parameter
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Eignung der Map Matching Verfahren
Heutige Situation:
Bei GPS mit neuen Empfängertechniken (z.B. SiRF III) reicht
für das Map Matching im allgemeinen der vergleich der
Koordinaten, oder von Strecken aus
Für „Sonderanwendungen“ ist Vergleich der Winkel- bzw.
Krümmungsbilder (abh. von Sensorik) erforderlich
Aber: Problemfälle, z.B.:
Kandidat 1
P
Kandidat 2
Lösungswege, s. oben
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Literatur
s. Folien
Alle externen links zuletzt besucht im Nov. 2011
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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Weitere Fragen?
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