Vorschau - Netzwerk Lernen

Michael Körner
Grundwissen
Wurzeln und Potenzen
5.-10. Klasse
U
A
Bergedorfer® Kopiervorlagen
H
C
S
R
O
V
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Zu dieser Mappe
Was sind Wurzeln? Wozu benötigt man Potenzen? Wieso gelten die Potenzgesetze für die Multiplikation aber nicht für die Addition? Zu diesen und anderen Fragen finden Ihre Schülerinnen und Schüler in
der vorliegenden Mappe ausführliche Antworten und differenzierte Übungen zu allen Unterthemen. Die
Arbeitsblätter sind so konzipiert, dass Ihre Schülerinnen und Schüler alle Potenz- und Wurzelgesetze
eigenständig erarbeiten und in einer Vielzahl von praxiserprobten Aufgaben anwenden können. Dabei
sind alle Aufgabenblätter sehr kleinschrittig aufgebaut und ermöglichen es jeder Schülerin und jedem
Schüler, in ihren individuellen Lerntempi zu arbeiten.
U
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H
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© 2011 Persen Verlag, Buxtehude
AAP Lehrerfachverlage GmbH
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Satz: Satzpunkt Ewert, Bayreuth
ISBN 978-3-403-52699-5
www.persen.de
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Inhaltsverzeichnis
Grundwissen Wurzeln und Potenzen
Wurzeln
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Was sind Quadratwurzeln?
Übungen zur Quadratwurzelberechnung (1)
Übungen zur Quadratwurzelberechnung (2)
Übungen zur Quadratwurzelberechnung (3)
Heron-Verfahren
Quadrieren einer Quadratwurzel (1)
Quadrieren einer Quadratwurzel (2)
Wurzelgesetz für die Multiplikation (1)
Wurzelgesetz für die Multiplikation (2)
Wurzelgesetz für die Division (1)
Wurzelgesetz für die Division (2)
Wurzelgesetz zum teilweisen Wurzelziehen (1)
Wurzelgesetz zum teilweisen Wurzelziehen (2)
Vermischte Übungen zu den Wurzelgesetzen (1)
Vermischte Übungen zu den Wurzelgesetzen (2)
Distributivgesetz und Wurzelterme (1)
Distributivgesetz und Wurzelterme (2)
Binomische Formeln und Wurzelterme (1)
Binomische Formeln und Wurzelterme (2)
Lernzielkontrolle (1)
Lernzielkontrolle (2)
Wurzelmemory (1)
Wurzelmemory (2)
Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten
34 Definition von Potenzen mit ganzzahligen
Exponenten
35 Berechnung von Potenzen mit ganzzahligen
Exponenten
36 Scientific Notation – Wissenschaftliche
Schreibweise von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
37 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis und ganzzahligen
Exponenten
38 Potenzgesetz für die Division von Potenzen
mit gleicher Basis und ganzzahligen Exponenten
39 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen ganzzahligen Exponenten
40 Potenzgesetz für die Division von Potenzen
mit gleichen ganzzahligen Exponenten
41 Potenzgesetz für das Potenzieren einer Potenz mit ganzzahligen Exponenten
42 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen
für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
U
A
H
C
Potenzen
O
V
S
R
Allgemeines zu Potenzen
24 Was sind Potenzen?
25 Potenzen berechnen (1)
26 Potenzen berechnen (2)
27 Scientific Notation – Wissenschaftliche
Schreibweise von Potenzen mit natürlichen
Exponenten
Potenzgesetze für natürliche Exponenten
28 Potenzgesetz für die Multiplikation von
Potenzen mit gleicher Basis und natürlichen
Exponenten
29 Potenzgesetz für die Division von Potenzen
mit gleicher Basis und natürlichen Exponenten
30 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen natürlichen Exponenten
31 Potenzgesetz für die Division von Potenzen
mit gleichen natürlichen Exponenten
32 Potenzgesetz für das Potenzieren einer
Potenz mit natürlichen Exponenten
33 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen
für Potenzen mit natürlichen Exponenten
Potenzgesetze für rationale Exponenten
43 Kubikwurzel bzw. 3. Wurzel
44 n-te Wurzel
45 Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten
46 Berechnung von Potenzen mit rationalen
Exponenten
47 Potenzgesetze für die Multiplikation und das
Potenzieren von Potenzen mit rationalen
Exponenten
48 Potenzgesetze für die Division von Potenzen
mit rationalen Exponenten
49 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen (1)
50 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen (2)
51 Lernzielkontrolle (1)
52 Lernzielkontrolle (2)
53 Potenzmemory (1)
54 Potenzmemory (2)
ab Seite 55 Lösungen
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1
Was sind Quadratwurzeln?
Aufgabe 1
Das abgebildete quadratförmige Grundstück hat einen Flächeninhalt
von 289 m2. Wie lang ist eine Seitenlänge x? Erinnere dich an die Flächeninhaltsformel für das Quadrat und löse die Aufgabe durch Probieren.
289 m2
x
x
U
A
Info
H
C
S
R
In der obigen Aufgabe muss aus 289 cm die Quadratwurzel gezogen werden.
2
Abkürzend schreibt man dafür:
289 cm2 .
Was genau ist eine Quadratwurzel? Unter der Quadratwurzel aus einer Zahl a versteht
man diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Also
O
V
a2 = a.
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen wir als Radikand bezeichnet.
Das Ermitteln der Quadratwurzel heißt Wurzelziehen.
Aufgabe 2
Bestimme die Quadratwurzeln.
a)
4 = _____
e)
0 = _____
b)
25 = _____
c)
100 = _____
d)
64 = _____
f)
−25 = _____
g)
400 = _____
h)
1 = _____
Aufgabe 3
Schreibe als Wurzel.
a) 6 =
b) 9 =
c) 12 =
d) 1 =
e) 625 =
f) 4 =
g) 11 =
h) 225 =
Michael Körner: Grundwissen Wurzeln und Potenzen
© Persen Verlag, Buxtehude
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Übungen zur Quadratwurzelberechnung (1)
2
Aufgabe 1
Ziehe die Wurzeln ohne Taschenrechner.
a)
25 = ________
b)
121 = ________
c)
324 = ________
d)
196 = ________
e)
1600 = ________
f)
3600 = ________
g)
625 = ________
h)
12 100 = ________
i)
1 690 000 = ________
U
A
Aufgabe 2
Bestimme die gesuchte Zahl.
a) Wenn ich meine ausgedachte Zahl quadriere, erhalte ich 8100. Wie heißt meine Zahl?
H
C
b) Wenn ich meine ausgedachte Zahl quadriere, erhalte ich 576. Wie heißt meine Zahl?
Aufgabe 3
O
V
S
R
Ziehe die Wurzeln ohne Taschenrechner.
a)
4
= ________
9
b)
25
= ________
100
c)
49
= ________
81
d)
225
= ________
256
e)
0,16 = ________
f)
0, 81 = ________
g)
0, 09 = ________
h)
1, 44 = ________
i)
2, 89 = ________
j)
0, 0036 = ________
k)
0, 0004 = ________
l)
16
= ________
121
m)
64 = ________
441
n)
100
= ________
289
o)
169
= ________
900
p)
0, 0256 = ________
q)
4, 84 = ________
r)
6,25 = ________
s)
0, 01 = ________
t)
0, 0001 = ________
u)
0, 000001 = ________
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Übungen zur Quadratwurzelberechnung (2)
3
Aufgabe 1
Bestimme die einzelnen Seitenlängen der Quadrate im Heft.
a)
b)
c)
d)
A1 = 1600 m2
A4 = 900 m2
A3 = 676 m2
A2 = 2,56 m2
U
A
Aufgabe 2
Löse die Gleichung im Heft. Achte darauf, dass hier manchmal zwei
Lösungen vorkommen (siehe Beispiel).
a) x2 = 16
b) x2 = 144
d) x = 0
4
e) x =
9
2
H
C
c) x2 = 1,69
2
S
R
Aufgabe 3
f) x = 0,0004
2
Beispiel:
x2 = 4
x1 = 2 und x2 = –2
Welche Rechnungen sind falsch? Löse ohne Taschenrechner.
Tipp: Schaue auf die letzte Ziffer der jeweiligen Zahlen.
O
V
a) 6,352 = 40,3224
c) 3,82 = 14,44
Aufgabe 4
b) 692 = 4761
d) 1742 = 30 275
Welche Zahlen sind gleich? Markiere diese mit der gleichen Farbe.
42
4
4
22
16
2·2
16
4·4
2
Aufgabe 5
Ein Würfel hat eine Oberfläche von 150 cm2. Berechne sein Volumen.
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Übungen zur Quadratwurzelberechnung (3)
4
Aufgabe
Löse das Kreuzzahlrätsel mit dem Taschenrechner.
1
2
3
5
4
U
A
6
7
H
C
8
9
10
S
R
11
13
O
V
15
Waagrecht:
12
14
Senkrecht:
1
24 964
2
27 071 209 3
14 440 000 4
734 449
5
5 841889
5
8 497 225
7
24 890 121
6
3 268 864
8
1 979 649
9
80 656
9
42 025
10
10 816
10
19 044
12
133 956
11
18 088 009 13
29 584
13
21 609
14
14 197 824 15
4 937 284
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5
Heron-Verfahren
Aufgabe 1
Ziehe die Wurzel durch Einschachteln wie im Beispiel bis auf 5 Stellen hinter dem Komma.
a)
Beispiel
5
Bestimmen von
7 durch Einschachteln.
b)
11
Näherungszahl x
3
9
c)
19
2,6
6,76
6,76 < 7
2,7
7,29
7,29 > 7
d)
200
2,65
7,0225
7,0225 > 7
2,6 <
7 < 2,65
2,64
6,9696
6,9696 < 7
2,64 <
7 < 2,65
x2
Vergleich
9>7
7 <3
2,6 <
2,6 <
U
A
…
H
C
Aufgabe 2
Folgerung
7<3
7 < 2,7
Ziehe die Wurzel mit dem Heron-Verfahren bis auf 3 Stellen nach dem Komma.
a)
Beispiel
6
Bestimmen von
b)
10
c)
23
d)
111
e)
987
8 mit dem Heron-Verfahren.
S
R
O
V
Wert 1
Wert 2
Vergleich
2
8:2=4
2<
3
8 : 3 ≈ 2,67
2,67 <
2,835
8 : 2,835 ≈ 2,822
2,8285
…
Mit jedem Schritt kommt man
Aufgabe 3
2,822 <
8 <4
8 <3
8 < 2,835
…
8 ≈ 2,828427
Neuer Wert 1
(2 + 4)
= 3
2
(3 + 2, 67)
= 2,835
2
(2, 835 + 2, 822)
= 2,8285
2
…
… näher.
Berechne die Wurzeln der Primzahlen zwischen 30 und 70 bis auf drei Stellen nach dem Komma.
Benutze dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm und das Heron-Verfahren. Lege eine Tabelle an
wie im Beispiel.
Primzahlen:
31
67
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6
Quadrieren einer Quadratwurzel (1)
Aufgabe 1
Führe die angegebenen Rechenanweisungen durch.
a) Quadriere ( ) die Zahlen und ziehe dann aus dem Ergebnis die Wurzel (√).
25
4
b) Ziehe jeweils die Wurzel aus den Zahlen und quadriere dann das Ergebnis.
25
4
c) Beschreibe, was dir bei den Aufgaben auffällt.
U
A
d) Formuliere für a) und b) jeweils eine Regel:
H
C
a)
b)
Aufgabe 2
S
R
O
V
Führe die angegebenen Rechenanweisungen durch.
a) Quadriere jeweils die Zahlen und ziehe dann aus dem Ergebnis die Wurzel.
Beispiel: 92 = 81
81 = 9 1,44
1
9
0
–4
–16
–4
–16
b) Ziehe jeweils die Wurzel aus den Zahlen und quadriere dann das Ergebnis.
Beispiel:
9 =3
32 = 9
1,44
1
9
0
c) Beschreibe, was dir bei diesen Aufgaben – zusätzlich zu Aufgabe 1 – noch auffällt.
d) Gib den Zahlenbereich an, für den die Regeln aus Aufgabe 1 gelten.
a) Die Regel gilt für folgenden Zahlenbereich:
b) Die Regel gilt für folgenden Zahlenbereich:
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7
Quadrieren einer Quadratwurzel (2)
Aufgabe 1
Fülle die Lücken aus, sofern es möglich ist.
b) –4
a) –4
c)
–25
d)
–7
Aufgabe 2
Beachte:
Berechne die lösbaren Wurzelterme und vergleiche die Ergebnisse.
–22 = –4; (–2)2 = 4
a)
(−9)2 =
−9 2 =
b)
(−0, 36)2 =
−0, 362 =
c)
⎛ 49 ⎞
⎜− ⎟ =
⎝ 81 ⎠
2
( −9)2 =
2
2
⎛ 49 ⎞
−⎜ ⎟ =
⎝ 81 ⎠
H
C
Beim Vergleich der Ergebnisse fällt auf:
S
R
Aufgabe 3
Berechne ohne Taschenrechner.
a) ( 5)2 =
d)
16 =
2
g) − 0,25 =
Aufgabe 4
O
V
b)
0, 4 2 =
4+x
⎛ 49 ⎞
⎜ − ⎟ =
⎝ 81 ⎠
c)
2
(−6)2 =
81
=
256
f)
( 7 2 )2 =
h) (2 3)2 =
i)
(−5 9)2 =
e)
Beispiel:
2a ⋅ 8a = 16a2 = 4a Gib die einschränkende Bedingung an.
a)
U
A
( −0, 36)2 =
b)
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Einschränkende Bedingung:
x – 5 muss größer oder gleich 0
sein, also x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5
4−x
c)
2x + 6
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8
Wurzelgesetz für die Multiplikation (1)
Aufgabe 1
Berechne und vergleiche die Ergebnisse.
a)
b)
9 ⋅ 25 =
·
=
9 ⋅ 25 =
=
9 ⋅ 16 =
·
=
9 ⋅ 16 =
=
9 + 25 =
+
=
9 + 25 =
≈
9 + 16 =
+
=
9 + 16 =
=
U
A
Beim Vergleich der Aufgaben fällt auf:
H
C
Aufgabe 2
Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen von Aufgabe 1 eine Regel für die Multiplikation von
Wurzeln.
S
R
Aufgabe 3
O
V
Berechne ohne Taschenrechner im Heft.
5 ⋅ 20
c)
8 ⋅ 18
3 ⋅ 108
e)
2,5 ⋅ 1000
f)
0, 8 ⋅ 3,2
2, 4 ⋅ 60
h)
0,5 ⋅ 4,5
i)
3 ⋅ 12
d)
20 ⋅ 45 =
900 = 30
121 ⋅ 169 = 121⋅ 169 = 11⋅ 13 = 143 Berechne ohne Taschenrechner im Heft.
16 ⋅ 49
5 ⋅ 8 ⋅ 10
=
Beispiel :
Aufgabe 4
a)
20 ⋅ 45 b)
a)
g)
Beispiel:
b)
36 ⋅ 144
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c)
0, 04 ⋅ 1, 44
d)
2,25 ⋅ 6,25
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9
Wurzelgesetz für die Multiplikation (2)
Aufgabe 1
Fülle die Lücken aus.
a)
d)
⋅ 48 =12
b)
= 30
e)
50 ⋅
9⋅
=15
c)
⋅ 64 = 40
=18
3⋅
⋅ 125 =100
f)
Aufgabe 2
Berechne die Wurzel, indem du die Zahlen zuerst in ein Produkt aus kleineren
Quadratzahlen zerlegst.
U
A
Beispiel:
324 a)
576 = __________________________________________________
=
4 ⋅ 81
b)
676 = __________________________________________________
=
4 ⋅ 81
c)
1296 = __________________________________________________
d)
2025 = __________________________________________________
H
C
S
R
Aufgabe 3
Vereinfache.
O
V
a)
16a2 = ____
d)
p2 q4r 6 = ____
Aufgabe 4
___
b)
___ e)
25x 4 = ____
0, 49z4 = ____
Vereinfache. Gib auch die einschränkende Bedingung an.
a)
___
c)
=2·9
= 18
64x 2z2 = ____
___
___
Beispiel:
2a ⋅ 8a = 16a2 = 4a b ⋅ b3 =
3
b)
3x ⋅ 27x =
c)
5ac 2 ⋅ 45a3 =
d)
0, 02u ⋅ 0,5u5 =
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Einschränkende Bedingung:
a muss größer oder gleich 0
sein, also 2a ≥ 0 und 8a ≥ 0
⇒a≥0
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10
Wurzelgesetz für die Division (1)
Aufgabe 1
Berechne und vergleiche die Ergebnisse.
a)
b)
=
:
=
144 : 9
=
=
100 : 25 =
:
=
100 : 25
=
=
144 − 9
=
–
=
144 − 9
=
≈
100 − 25 =
–
=
100 − 25 =
≈
144 : 9
U
A
Beim Vergleich der Aufgaben a) und b) fällt auf:
H
C
Aufgabe 2
Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen von Aufgabe 1 eine Regel für die Division von Wurzeln.
Aufgabe 3
S
R
O
V
Berechne ohne Taschenrechner.
a)
125 : 5 = _______________
b)
147 : 3 = _______________
c)
640 : 10 = _______________
d)
80 : 5 = _______________
e)
0, 8 : 0,2 = _______________
f)
48 : 3 = _______________
Aufgabe 4
Beispiel:
Berechne.
a)
9
= _______
49
b)
25
= _______
144
c)
1
= _______
36
d)
4
= _______
81
e)
18
= _______
50
f)
810
= _______
1000
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4
=
9
4 2
= 9 3
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11
Wurzelgesetz für die Division (2)
Aufgabe 1
Fülle die Lücken aus.
a)
=5
b)
: 144 = 2
e)
225 :
d)
: 16 = 9
c)
= 10
200 :
Aufgabe 2
Vereinfache. Notiere jeweils auch die Zwischenschritte.
=4
64 :
: 6=6
f)
U
A
Beispiel:
x4 : x2 = x4 : x2 = x2 = x a)
a3 : a = _______________
b)
b5 : b3 = _______________
c)
c : c 3 = _______________
d)
x : x = _______________
e)
x 3 y5 : xy = _______________
f)
36p3 : 25p = _______________
g)
a2
: b = _______________
b
h)
b
a
:
= _______________
a
b
j)
72p8 q10
= _______________
8p4 q6
i)
64a
= _______________
169b2
Aufgabe 3
H
C
S
R
2
O
V
Vereinfache soweit wie möglich. Gib auch die einschränkende Bedingung an.
a)
4
= _________________
b3
b)
d3
= _________________
9
c)
a2
= _________________
b5
d)
c2 d
= _________________
d3
e)
162x 3 : 2x = _________________
f)
16p2 q4
= _________________
25r 4s6
g)
180x 3 y 3 : 5xy = _________________
h)
24a4b6
= _________________
27ab 3
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Wurzelgesetz zum teilweisen
Wurzelziehen (1)
12
Aufgabe 1
Ziehe teilweise die Wurzel.
a)
20 = ____________
b)
12 = ____________
c)
150 = ____________
d)
32 = ____________
e)
300 = ____________
f)
432 = ____________
g)
320 = ____________
h)
2700 = ____________
i)
0, 03 = ___________
j)
4,5 = ____________
Vereinfache die Wurzelterme.
a)
4a = _________
d)
27b3 = _________
Aufgabe 3
5a2 = _________
b)
O
V
S
R
5 = _________
16
e)
d) 5 7 = _________
g)
1
11 = _________
3
=
x 2 y = _________
f)
13 = _________
x2
Beispiel: 3 2 = 9 ⋅ 2 = 18 b) 3 5 = _________
c) 4 6 = _________
e) 0,5 2 = _________
f)
2, 4 2 = _________
i)
1
1,1 = _________
2
h)
2
7 = _________
5
4⋅ 2
= 2 2
c)
Bringe den Faktor unter das Wurzelzeichen.
a) 2 3 = _________
8
= 4⋅2
U
A
H
C
Aufgabe 2
Beispiel:
Aufgabe 4
Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen. Gib auch die einschränkende Bedingung an.
a)
49b = _________
b)
27ab 2 = _________
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c)
9x 2
= _________
5
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