Übungen zur WGMS II, Blatt 1

Prof. Dr. A. Beutelspacher
19.04.2004
Björn Fay
Jörn Schweisgut
Übungen zur WGMS II, Blatt 1
Beachten Sie bitte die Hinweise zu den Aufgaben auf der Rückseite!
Hausaufgaben
Beweisen Sie die folgenden Gleichungen explizit durch vollständige Induktion nach n.
Beachten Sie dazu die Anleitung und das Schema im Beispiel auf der Rückseite.
Drücken Sie die Gleichungen
1, 3
und
(Also etwa: Die Summe der ersten
n
4
auch verbal aus
hm-hm-Zahlen ist gleich
1.
2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1).
2.
3 + 7 + 11 + . . . + (4n − 1) = n(2n + 1).
3.
13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n)2 .
4.
2 + 4 + 8 + . . . + 2n = 2(2n − 1).
. . .).
Mathematische Charakterköpfe: Der Pingelige
Er beschäftigt sich mit den Bröckchen, die von der Herren Tische fallen. Hat ein Forscher ein
kleines Beispiel in einer Untersuchung ausgelassen, weil es nur mit lästigen Fallunterscheidungen zu lösen ist, so behandelt er genau dieses Beispiel. Wenn ein Satz den allgemeinen Fall
behandelt und die Situation für alle natürlichen Zahlen
n < 5.
> 5 klärt, so studiert er
genau die Fälle
Dazu braucht er Geduld, Ausdauer, Disziplin und Organisation.
Wie jeder Mathematiker geht er nur mit Papier und Bleistift bewanet in einen Vortrag eines
Kollegen. Aber anders als bei seinen Kollegen ist sein Blatt nicht leer und dient nicht nur zum
Kritzeln, nein: darauf sind bereits
37
der prinzipiell
142
zu testenden Unterfälle seines gegen-
wärtigen Problems gelöst, und während des Vortrags löst er zwei weitere.
Natürlich erzielt er mit seinem Arbeitseifer eine groÿe Zahl von Veröentlichungen, über die er
genau Buch führt. Er hat stets eine Liste bei sich, auf der die Zahl seiner Veröentlichungen
und die seiner (von ihm so genannten) lieben Kollegen verzeichnet ist - und er ist jederzeit
bereit, diese Liste zu präsentieren.
Am schönsten ist es, ihn beim Bezahlen in einem Restaurant zu erleben. Wenn die Rechnung
beispielsweise
28, 20e
macht, so stellt sich ihm die Aufgabe, ein gerechtes Trinkgeld exakt zu
berechnen. Dazu hat er oenbar ein Bewertungsschema für den Service, rechnet diesen in eine
Prozentzahl um; man sieht förmlich, wie er diese Zahl mit dem Betrag multipliziert und zu dem
Betrag addiert, und dann sagt er, ohne mit der Wimper zu zucken, zu der Kellnerin: Machen
Sie 28,80.
Anleitung
Beispiel
Man zeigt in der Induktionsverankerung, dass es ei-
Zeigen Sie durch vollständige Induk-
ne Zahl gibt, für die die Aussage gilt. Meist soll die Aus-
tion nach
sage für alle natürlichen Zahlen gezeigt werden, dann
wählt man als Verankerung
nicht, muss man
n=1
n = 0.
Funktioniert das
versuchen usw.
In der Induktionsannahme nimmt man an, dass es
eine Zahl
n ≥ ...
gibt, für die die Aussage gilt. Da-
bei stehen die Punkte hier für die Zahl, die man in der
Verankerung gefunden hat.
In der Induktionsbehauptung schreibt man die Aussage für den Nachfolger von
n, also für n + 1 auf. Diese
Aussage ist im Induktionsschritt zu zeigen.
Im Induktionsschritt nimmt man sich eine Seite der
Gleichung aus der Induktionsbehauptung (wenn eine
Summe vorkommt ist es meist günstig mit dieser Seite zu beginnen) und formt diese unter Benutzung der
Induktionsannahme so um, dass die andere Seite der
Gleichung herauskommt. Es werden keine Äquivalenzumformungen verwendet!
Bei den Umformungen sollte man das Ziel im Blick haben. Wenn man in der Mitte der Umformungen nicht
weiter weiÿ, kann es hilfreich sein, sich vom Zielterm
aus in einer Nebenrechnung dem aktuellen Ergebnis zu
nähern und dies dann in umgekehrter Richtung im Induktionsschritt aufzuschreiben.
Im Beispiel ist es schwierig, den Term
n, dass gilt:
1+5+9+. . .+(4n+1) = 2n2 +3n+1.
2n2 + 7n + 6 zum
Zielterm umzuformen. In einer Nebenrechnung kann
2
man daher den Zielterm 2(n+1) +3(n+1)+1 ausmul2
tiplizieren, erhält 2n + 7n + 6 und schreibt anschlie-
Beweis:
Induktionsverankerung:
n = 0,
4·0+1=2·0 +3·0+1
⇔
1=1
X
Die Aussage gilt für
2
denn:
Induktionsannahme:
n ≥ 0, so dass gilt:
1 + 5 + . . . + (4n + 1) = 2n2 + 3n + 1.
Es gibt ein
Induktionsbehauptung:
Dann gilt die Aussage auch für
n + 1,
also
1 + 5 + . . . + (4n + 1) + (4(n + 1) + 1)
= 2(n + 1)2 + 3(n + 1) + 1.
Induktionsschritt:
1 + 5 + . . . + (4n + 1) + (4(n + 1) + 1)
= 2n2 + 3n + 1 + (4(n + 1) + 1)
n. I.A.
= 2n2 + 3n + 1 + 4n + 4 + 1
= 2n2 + 7n + 6
= 2n2 + 4n + 2 + 3n + 3 + 1
= 2(n2 + 2n + 1) + 3n + 3 + 1
= 2(n + 1)2 + 3(n + 1) + 1.
ÿend die Nebenrechnung schrittweise in umgekehrter
Reihenfolge in den Induktionsschritt.
Alle Umformungen sollten nachvollziehbar sein!
ACHTUNG: NEU - Hinweise zu den Hausaufgaben
•
Sie dürfen die Hausaufgaben in festen Teams zu zwei Studierenden abgeben. Diese
Teams sollen sich während des Semesters nicht mehr ändern.
•
Schreiben Sie auf jedes Blatt oben rechts sowohl beide Namen als auch beide Namen
Ihrer Übungsgruppenleiter.
•
Geben Sie an, wer die Aufgaben mitnehmen wird, indem Sie deren/dessen Namen deutlich unterstreichen.
•
Bitte geben Sie die Übungen wieder nach Aufgaben sortiert ab (Jede Aufgabe auf ein
extra DIN-A4 Blatt).
•
Abgabetermin: nächsten Montag vor der Vorlesung.
•
Jede Aufgabe ist einen Punkt wert. Gewertet werden die drei besten Aufgaben. Die
erreichten Hausaufgabenpunkte werden beiden Studierenden des Teams gutgeschrieben.