Stochastik Theorie

1
2
3
4
Platzhalter
Platzhalter
Funktionen
Statistik & Stochastik
4.1
Grundlagen
4.1.1 Einige Begrie
Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E ist eine Modellannahme über
die relative Häugkeit von
Anzahl Eintref f en von E
Anzahl Zuf allsversuche
Ergebnismenge: {a1 , a2 , . . . , an }
E=
P (a1 , a1 , a3) = {{a1 }, {a2 }, {a3 }, {a1 , a2 }, {a1 , a3 }, {a2 , a3 }, {a1 , a2 }, {a1 , a2 , a3 }, ∅}
P (∅) = 0
P (Ergebnismenge) = 1
Ereignismenge =
4.1.2 Elementarer Summensatz
Gehören zu einem Ereignis E genau die Ergebnisse
a1 . . . ak ,
so gilt:
P (E) =
P (a1 ) + . . . + P (ak )
Bsp:
WS, Pik-Ass oder Herz-Ass zu ziehen:
P ({P A, HA}) = P (P A) +
1
1
1
52 + 52 = 26
Frage: Seien E1 = {a1 , . . . , ak } und
P (HA) =
E2 = {b1 , . . . , bj } Ereignisse
E1 oder E2 eintritt? Dass heisst
P (E1 ∪ E2 ) = P ({a1 , . . . , ak } ∪ {b1 , . . . , bj }) = P (E1 ) + P (E2 ) −
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
wie gross ist
P (E1 ∩ E2 )
Bsp: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein König oder Herz gezogen
wird?
E1 = {HK, P K, CK, KK}
E2 = {H2, H3, . . . , HK, HA}
E1 ∩ E2 = {HK}
4
13
1
P (E1 ) = 52
; P (E2 ) = 52
; P (E1 ∩ E2 ) = 52
4+13−1
16
=
P (E1 ) + P (E2 ) − P (E1 ∩ E2 ) = 52 = 52
8
26
=
4
13
4.1.3 Gegenereignis
Def: Sei E ein Ereignis und sei S die Ergebnismenge, so heisst dasjenige Ereignis
E
Gegenereignis von E, für das gilt:
i)
ii)
E∪E =S
E∩E =∅
P (E) + P (E) = 1
1 = P (S) = P (E ∪ E) = P (E) + P (E) − P (E ∩ E) = P (E) + P (E)
Komplementärregel:
Beweis:
2. =: (i)
3. =: Summensatz
4. =:
P (∅) = 0,
(ii)
Bsp:
1
S = {a1 , a2 , a3 , a4 }
E = {a1 , a3 , a4 }
P (E) =?
1 − P (E) = 1 − P ({a2 })
4.1.4 Fabrik-Bespiel
Wenn zwei Proben nicht bestanden: Ausschuss
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Aussschussware ist
1. Kriterium: Plane Flächen 95% bestehen
2. Kriterium: Belastung 80% bestanden
3. Kriterium; Ästetik 90% bestanden
<Grak Wahrscheinlichkeiten-Baum>
(b, b, b) = 0.684
(b, b, n) = 0.076
(b, n, b) = 0.171
(b, n, n) = 0.019
(n, b, b) = 0.036
(n, b, n) = 0.004
(n, n, b) = 0.009
(n, n, n) = 0.001
A = {(b, n, n) , (n, b, n) , (n, n, b) , (n, n, n)}
P (A) = 0.019 + 0.014 + 0.009 + 0.001 = 0.033 ≈ 3.3%
4.1.5 Pfadmultiplikationsregel
Bei einem mehrstugen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines (durch
einen Pfad dargestellten) Ergebnisses gleich dem produkt der Wahrscheinlichkeiten
längs des Pfades.
4.1.6 Pfadadditionsregel
Setzt sich ein Ereignis aus mehreren Pfaden zusammen, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses gleich der Summe der Pfad-Wahrscheinlichkeiten (=
ˆ elementarer
Summensatz)
4.1.7 Würfeln mit 2d6
Ein Würfel wird zwei mal geworfen, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
nie eine 3 auftritt?
S={
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
...
(6, 6) }
6−6+1
= 36−11
= 25
36
36
36
Kommentar: die 3 kommt in der oben gezeichneten Matrix in einer Zeile und
P (A) = 1 − P (Ā) = 1 −
einer Spalte vor, also je 6 mal (+6+6) - sie haben aber eine Überschneidung bei
(3,3), somit muss man noch eins (-1) abzählen.
Zweistug betrachtet:
2
<Wahrscheinlichkeitenbaum>
P (A) =
4.2
5
6
·
5
6
=
25
36
Beispiel aus der Klasse
Def.
P (B|A) := P P(A∩B)
(A) (A vorheriges Glied im Baum, B jetziges Glied im Baum,
P (B|A) wahrscheinlichkeit um zum jetzigen glied zu kommen.
P (B|A) ist gleich wie PA (B)
Wahrscheinlichkeit, dass B eintrit, unter der Bedingung, dass A eingetroen
ist
P (B|A) =
4.3
P (A∩B)
P (A) und
P (A|B) =
P (A∩B)
P (B)
P (B|A) · P (A)
=
P (B|A)
=
P (A|B) · P (B)
P (A|B) · P (B)
P (A)
Einige Voraussetzungen für die Kombinatorik
Def:
0!
:=
1
n!
:= n (n − 1)! , n ∈ N
1!
=
1 · 0! = 1 · 1 = 1
2!
=
2 · 1! = 2 · 1 · 1 = 2
3!
=
3 · 2! = 3 · 2 · 1 · 1 = 6
4!
=
4 · 3! = 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 24
Bsp:
5!
5·4·3!
3! = 3! = 5 · 4 = 20
(n+2)!
(n+2)(n+1)(n)(n−1)!
= n · (n + 1) · (n +
(n−1)! =
(n−1)!
(n−2)!(n−1)
(n+1)!
(n−1)!(n+1)!
· (n+1)!(n+2)
= n−1
(n−2)!(n+2)! =
(n−2)!
n+2
Aufgabe:
Def: sei
n∈R
und
k ∈N
n
k
se heisst
:=
ein Binominalkoezient. Man liest: n über k
Bsp:
8
= 8·7·6
3·2 = 8 · 7 = 56
3
7.5
= 7.5·6.5·5.5·4.5
= 1287
4·3·2
400
4
−1.2
= − 176
= (−1.2)(−2.2)(−3.2)
3!
125
3
Satz: Falls n ∈ N dann gilt:
3
2)
n·(n−1)·(n−2)·...·(n−k+2)·(n−k+1)
k!
n
k
(2)
n!
k!(n−k)! =
(1)
=
n
n−k
Beweis (1):
n
k
=
n(n−1)(n−2)...(n−k+2)(n−k+1) erw. n(n−1)(n−2)...(n−k+2)(n−k+1)(n−k)!
=
k!
k!(n−k)!
(n−k)!
n!
k!(n−k)!
(2):
n
n−k
(1)
=
n!
(n−k)!(n−(n−k))!
=
n!
(n−k)!(k)!
=
n!
k!(n−k)!
Warum Binominalkoezient?
0
(a + b) = 1
1
(a + b) = a + b
2
(a + b) = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b3 + 4ab3 + b4
5
(a + b) = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
Pascalsches Dreieck:
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
...
Das Pascalsche Dreieck lässt sich nun systematisch mit Binominalkoezienten darstellen.
0
0
1
1
0
1
2
2
2
0
1
2
3
3
3
3
0
1
2
3
4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
0
1
2
3
4
5
.
..
n
n
n+1
daraus lässt sich lesen:
+
=
(zwei nebeneinank
k+1
k+1
der liegende Zahlen ergeben zusammen die darunter liegende Zahl)
21
(a + b)
=
21
0
21
a +
21
1
20
a b+
4
21
2
19 2
a b +. . .+
21
20
ab20 +
=
21
21
b21
5