Stochastik - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Stochastik
Wintersemester 2010/2011
Übungsblatt 5
Abgabetermin: 06.12.2010
Aufgabe 20
((1.5+1.5)+(1.5+1.5)=6 Punkte)
(Aufgabe 18 wird nicht gewertet. Die Lösungen können hier für den Teil (a) verwendet werden.)
(a) Zeigen Sie die Formel
m X
n+k
k=0
n
n+m+1
=
n+1
(n, m ∈ N)
auf zwei verschiedenen Wegen:
1. Betrachten Sie die Zahl der (n+1)-elementigen Teilmengen einer geordneten Menge
mit (n+m+1) Elementen. Fassen Sie dann diejenigen dieser Teilmengen zusammen,
die dasselbe größte Element haben.
2. Führen Sie einen Induktionsbeweis und nutzen Sie die Rechenregeln aus der Vorlesung.
(b) Beweisen Sie auch die sogenannte Vandermondesche Identität:
k X
m
n
m+n
=
j
k−j
k
(m, n ∈ N, k ∈ {0, . . . , m + n})
j=0
auf zwei verschiedenen Wegen:
1. Betrachten Sie zwei disjunkte Mengen N und M mit |N | = n und |M | = m.
Untersuchen Sie die Zahl der k-elementigen Teilmengen von N ∪M . Fassen Sie dann
diejenigen dieser Teilmengen zusammen, die mit M gleichviele Elemente gemeinsam
haben.
2. Führen Sie einen Induktionsbeweis und nutzen Sie die Rechenregeln aus der Vorlesung.
Aufgabe 19
((1+1)+(1+1)+1+(1+1)=7 Punkte)
Geben Sie bei der Beantwortung der folgenden Fragen jeweils eine Ergebnismenge Ω an,
so dass Laplace-Wahrscheinlichkeiten das ZE sinnvoll modellieren. Beschreiben Sie dann
das interessierende Ereignis als Teilmenge von Ω und bestimmen Sie die Mächtigkeit des
Ereignisses und die von Ω.
(a) Drei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
• mindestens eine 4 zu würfeln?
• die Sugensumme 8 zu würfeln?
(b) Aus einer Urne mit 5 schwarzen und 9 weißen Kugeln werden 4 Kugeln (ohne Zurücklegen) gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
• genau zwei schwarze Kugeln zu ziehen?
• zuerst zwei schwarze und dann drei weiße Kugeln zu ziehen?
(c) In einer Kiste befinden sich 11 Klötzchen, die mit den Buchstaben ’I,I,I,I,M,P,P,S,S,S,S’
versehen sind. Die Klötzchen werden zufällig nacheinander gezogen und der jeweilige
Buchstabe wird notiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei das Wort ’MISSISSIPPI’ zu erhalten?
(d) Zwei Ehepaare und 8 Junggessellen erhalten zufällige Plätze an einem runden Tisch.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Verheirateten
• neben Ihrem Partner sitzen?
• ihrem Partner genau gegenüber sitzen?
Aufgabe 21
(3 Punkte)
In einer Urne befinden sich rote, blaue und weiße Kugeln. Bei zweimaligem Ziehen ohne
Zurücklegen beträgt die Wahrscheinlichkeit
• eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen genau
2
13 .
• eine rote und eine weiße Kugel zu ziehen genau
1
26 .
• eine blaue und eine weiße Kugel zu ziehen genau
6
65 .
Wieviele rote, blaue und weiße Kugeln sind in der Urne?
Aufgabe 22∗
(3∗ Punkte)
(Martingale beim Roulette)
Ein Spieler spielt Roulette nach folgendem System. Er setzt 1 Euro auf Schwarz mit
der Gewinnwahrscheinlichkeit 0.5 (wir berücksichtigen hier nicht die Null). Gewinnt er,
beendet er das Spiel. Verliert er aber, setzt er anschließend 2 Euro auf Schwarz. Gewinnt
er nun, beendet er das Spiel, verliert er hingegen wieder, setzt er anschließend 4 Euro auf
Schwarz. Er verdoppelt den Einsatz solange, bis er gewinnt (dann beendet er sein Spiel).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt oder verliert er welchen Betrag, wenn
• dem Spieler 10000 Euro zur Verfügung stehen.
• dem Spieler ein unbegrenzter Vorrat an Geld zur Verfügung steht.
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material