Äquiv Spekt Mathe valenzre trum-Le ematik elation exikon W

Prof. Dr. Dörte
D
Haftend
dorn, Leupha
ana Universität Lüneburg
g, www.math
hematik-versttehen.de
11. April 2011
Äquivvalenzre
elation
Fo
ormale Defin
nition [Bearbeeiten]
Eiine Äquivalenzrrelation auf einer Menge M istt eine Teilmengge
, welche folgende Bedin
ngungen erfüllt::
•
Reflexxivität: Für alle
•
Symmetrie: Für alle
istt
.
, für die
gilt, iist auch
•
Transittivität: Für alle
e
und
.
mit
a
gilt, dass auch
.
Üb
blicherweise scchreibt man
oder ein
nfach
statt
un
nd dann nehmenn diese Forderuungen genau diee in der Einleituung
geenannte Form ann.
(H
Hinweis: Eine Relation
R
auf eineer Menge M kann mit der Mennge der
in dieser Relationn stehenden Paaare identifiziert werden. Danacch ist
ne Relation auff M einfach einee Menge solcheer Paare, das heiißt eine
ein
Teeilmenge der kaartesischen Proddukte von M mit sich selbst.)
Spekttrum-Le
exikon
Mathe
ematik
Wikiped
W
dia
Definition
D
einer Äquivalenzrrelation
[B
Bearbeiteen]
Das Wort „äquiivalent“ stehe im Folgenden
n für eine diesser
Beeziehungen zw
wischen zwei Objekten; dasss zwei Objekkte a
un
nd b äquivalennt sind, sei durrch a ~ b sym
mbolisiert.
Alle diese Begrriffe haben diee folgenden drrei Eigenschafften:
•
Reflexxivität:
Jedess Objekt ist zu sich selbstt äquivalent.
•
Symm
metrie:
Wenn
n a zu b äquivvalent ist, da
ann ist auch b
äquiva
alent zu a (und umgekeh
hrt).
•
Transsitivität:
Wenn
n a zu b äquivvalent und b zu c äquivallent
ist, da
ann ist a äquivalent zu c.
Jeede Beziehungg zwischen Obbjekten, die diiese Eigenschaaften
haat, heißt eine Äquivalenzrela
Ä
ation.
aequivalenz.docx
Äquivalenzrelation bezeichnet eine Relation, die
die Eigenschaft hat, gleichzeitig reflexiv,
symmetrisch und transitiv zu sein.
Die Äquivalenzrelation ist in der Logik und
Mathematik von großer Bedeutung:
•
Sie teilt eine Menge restlos in
nichtleere und disjunkte
(elementfremde) Untermengen,
Äquivalenzklassen genannt.
•
Die Klassenbildung mit Hilfe des
Äquivalenzbegriffes ermöglicht eine
mathematische Begriffsbildung.
Äquivalenz – mathematische
Gleichwertigkeit [Bearbeiten]
In der Mathematik möchte man in vielen
Zusammenhängen Objekte, die sich in gewissen
Aspekten ähneln, als gleichwertig ansehen. Eine
Formalisierung der Mindestanforderungen an
einen solchen Gleichwertigkeitsbegriff ist der
Begriff der Äquivalenzrelation.
Beispielsweise ist jeder Begriff, der als die
Gleichheit gewisser Eigenschaften definiert
werden kann, eine Äquivalenzrelation:
•
•
•
•
•
die Gleichmächtigkeit endlicher
Mengen: zwei endliche Mengen
heißen gleichmächtig, wenn sie
dieselbe Anzahl von Elementen
haben;
die Kongruenz in der Geometrie: zwei
Dreiecke sind kongruent, wenn sie
dieselben Seitenlängen haben;
die Ähnlichkeit in der Geometrie: zwei
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie
dieselben Innenwinkel haben;
die Kongruenz in der elementaren
Zahlentheorie: zwei ganze Zahlen
heißen kongruent modulo n, wenn sie
bei ganzzahliger Division durch n
denselben Rest lassen;
die Gleichheit selbst.
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