Mathematik für Werkstoff- und Geowissenschaftler I

Mathematik für Werkstoff- und Geowissenschaftler I
PD Dr. Jürgen Müller
(7.1) Aufgabe: Asymptotisches Verhalten.
Man bestimme die folgenden Grenzwerte:
a) limx→0 xα · ln(x), für α > 0 b) limx→0 xα · ln(x)β , für α, β > 0
c) limx→0 xx
e)
d) limx→1 ln(x) · ln(1 − x)
x
−x
limx→∞ eex −e
+e−x
f∗ ) limx→∞ x · ln(1 + x1 )
(7.2) Aufgabe: Kurvendiskussion.
Man diskutiere die folgenden Funktionen:
2
−1
−1
a) xx
b∗ ) x2x+x−2
c∗ ) x · e x
−1
d∗ ) x2 · e x2
(7.3) Aufgabe: Extremalprobleme.
a) Unter allen Rechtecken gleichen Umfangs bestimme man dasjenige mit der
größten Fläche.
b) Wieviel Aluminiumblech benötigt man mindestens, um eine Konservendose
des Inhalts 1 Liter herzustellen?
c) Am Mathematischen Institut treffen sich zwei Flure im rechten Winkel. Der
Hausmeister will eine Leiter waagerecht um diese Ecke tragen. Er mißt dazu die
Breite der Flure. Wie kann er die maximale Länge der Leiter herausfinden?
d∗ ) Man zeige: Die Summe einer positiven reellen Zahl und ihrer Inversen ist
nicht kleiner als 2.
(7.4) Aufgabe: Sinus und Cosinus.
a) Für x ∈ R zeige man cos2 ( x2 ) = 1+cos(x)
und cos(3x) = 4 cos3 (x) − 3 cos(x).
2
b) Man verifiziere die folgenden Funktionswerte:
x
0
√
sin(x)
cos(x)
0
2
√
4
2
√
π
6
1
2
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
√
3
2
√
1
2
π
2
√
4
2
√
0
2
Die mit ∗ gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben.
Abgabe: Montag, 06.12.2004, bzw. Mittwoch, 08.12.2004, in den Übungen.