Übung 5 - TU Chemnitz

Übung Mathematik IV (für Informatiker)
Sommersemester 2017
Vorlesung:
Prof. Dr. Bernd Hofmann ([email protected])
https://www.tu-chemnitz.de/mathematik/inverse_probleme/hofmann/teaching.php
Übung:
Dr. Jens Flemming ([email protected])
https://www.tu-chemnitz.de/∼jgei/teach/stochinf/stochinf.php
Übung 5: Diskrete Zufallsgrößen
5.1 Eine Zufallsgröße X besitzt die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
k
P (X = k)
0
0.5
1
0.2
2
0.1
3
c
(a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten c.
(b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die
Standardabweichung.
(c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.
5.2 Ein Student hat auf seinem Weg zur Universität fünf voneinander unabhängig geregelte
Ampelkreuzungen zu passieren. Es bezeichne X die Anzahl der überquerten Kreuzungen
bis zu einem Halt an einer roten Ampel oder dem Erreichen der Universität. Wir nehmen
an, dass alle Ampeln gleichlange Rot- und Grün-Phasen besitzen.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz von X.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht der Student die Universität, ohne an einer
roten Ampel halten zu müssen?
5.3 Eine Zufallsgröße X mit den Werten in der Menge {0, 1} und der Wahrscheinlichkeitsfunktion P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p mit p ∈ (0, 1) heißt Bernoulli-verteilt mit dem
Parameter p.
(a) Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an.
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert EX und die Varianz D2 X von X.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert EY und die Varianz D2 Y der Zufallsgröße
Y = exp(X).
(d) Berechnen Sie die k-ten Momente mk = EX k und die k-ten zentralen Momente
µk = E(X − EX)k von X für alle k ∈ N.
5.4 Eine Zufallsgröße X heißt diskret gleichverteilt auf {1, . . . , n} falls P (X = i) =
i ∈ {1, . . . , n}.
(a) Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an.
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße Y = log(X).
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1
n
für alle
5.5 Ein Schütze schießt so lange auf ein bestimmtes Ziel, bis er es getroffen hat. Bei jedem
einzelnen Schuss beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit p.
(a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße „Anzahl der Schüsse bis
zum ersten Treffer“.
(b) Berechnen Sie für p =
benötigt werden.
1
4
die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als acht Schüsse
(c) Es sei wieder p = 41 . Wir haben beobachtet, dass die ersten fünf Schüsse allesamt das
Ziel verfehlt haben. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze
mit höchstens acht Schüssen insgesamt auskommt?
5.6 In einem Wurfexperiment werden zwei ideale, unterscheidbare Würfel geworfen. Die Zufallsgrößen X1 und X2 geben die geworfene Augenzahl des ersten bzw. zweiten Würfels
an.
(a) Berechnen Sie P (X1 − X2 > 2).
(b) Berechnen Sie P (X1 /X2 > 1).
(c) Berechnen Sie P (|X1 − X2 | ≤ 1).
(d) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F der Zufallsgröße Y = X1 +X2 und skizzieren
Sie diese.
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