Mathematische Computerspiele - Fakultät für Informatik und

Mathematische
Computerspiele
Martin Kreuzer
Fakultät für Informatik und Mathematik
Universität Passau
martin.kreuzer @ uni-passau.de
Lehrerfortbildung “Mathematische Spiele”
Uni Passau, 17.12.2009
1
Inhaltsübersicht
2
Inhaltsübersicht
1. Computerspiele - Ja oder Nein?
2-a
Inhaltsübersicht
1. Computerspiele - Ja oder Nein?
2. Kommerzielle Mathespiele
2-b
Inhaltsübersicht
1. Computerspiele - Ja oder Nein?
2. Kommerzielle Mathespiele
3. Nim-Spiele
2-c
Inhaltsübersicht
1. Computerspiele - Ja oder Nein?
2. Kommerzielle Mathespiele
3. Nim-Spiele
4. Licht aus!
2-d
Inhaltsübersicht
1. Computerspiele - Ja oder Nein?
2. Kommerzielle Mathespiele
3. Nim-Spiele
4. Licht aus!
5. Schiebepuzzles
2-e
Inhaltsübersicht
1. Computerspiele - Ja oder Nein?
2. Kommerzielle Mathespiele
3. Nim-Spiele
4. Licht aus!
5. Schiebepuzzles
6. Solitaire
2-f
Inhaltsübersicht
1. Computerspiele - Ja oder Nein?
2. Kommerzielle Mathespiele
3. Nim-Spiele
4. Licht aus!
5. Schiebepuzzles
6. Solitaire
7. Nonogramme
2-g
1 – Computerspiele - Ja oder Nein?
Traue keiner Statistik
die Du nicht selbst gefälscht hast.
3
1 – Computerspiele - Ja oder Nein?
Traue keiner Statistik
die Du nicht selbst gefälscht hast.
PISA Schulstudie 2003 (OECD Auswertung 2006)
D
OECD ∅
436 Pkt.
433 Pkt.
533 Pkt.
532 Pkt.
Computerbenutzung zu Hause
82%
74%
Computerbenutzung in der Schule
23%
44%
Computer pro Schüler
0.08
0.16
Schulleiter beklagen Computermangel
34%
44%
≤ 1 Jahr Computererfahrung
≥ 5 Jahre Computerfahrung
3-a
Diskussion der PISA Ergebnisse
IFO München: methodischer Analphabetismus der PISA Studie
4
Diskussion der PISA Ergebnisse
IFO München: methodischer Analphabetismus der PISA Studie
Auf Grund angeborener Eigenschaften mathematisch versiertere
Schüler nutzen auch stärker den Computer.
4-a
Diskussion der PISA Ergebnisse
IFO München: methodischer Analphabetismus der PISA Studie
Auf Grund angeborener Eigenschaften mathematisch versiertere
Schüler nutzen auch stärker den Computer.
Was die OECD aber verschweigt: Zugleich geben drei Viertel der
Jungen an, den Computer häufig für Computerspiele zu nutzen!
Damit hat der Computer zu Hause ein erhebliches
Ablenkungspotential, das sich als Gefahr für das Lernverhalten
erweisen kann.
4-b
Diskussion der PISA Ergebnisse
IFO München: methodischer Analphabetismus der PISA Studie
Auf Grund angeborener Eigenschaften mathematisch versiertere
Schüler nutzen auch stärker den Computer.
Was die OECD aber verschweigt: Zugleich geben drei Viertel der
Jungen an, den Computer häufig für Computerspiele zu nutzen!
Damit hat der Computer zu Hause ein erhebliches
Ablenkungspotential, das sich als Gefahr für das Lernverhalten
erweisen kann.
Süddeutsche Zeitung: So haben Wissenschaftler vom Münchner
IFO Institut an Hand der internationalen PISA-Daten festgestellt,
dass die meisten Kinder, die zu Hause über einen Computer verfügen,
schlechter in der Schule sind als ihre Altersgenossen ohne PC.
4-c
5
Neuere Untersuchungen
2005 Berliner Charité: Exzessives Computerspielen macht
süchtig. Es gibt aber keinen Hinweis darauf, dass es aggressiv macht.
6
Neuere Untersuchungen
2005 Berliner Charité: Exzessives Computerspielen macht
süchtig. Es gibt aber keinen Hinweis darauf, dass es aggressiv macht.
2008 Learning and Teaching Scotland: Schüler, die täglich 20
Minuten an ihrem Nintendo DS das Spiel Dr. Kawishima’s
Brain Training spielten, hatten nach 9 Wochen ein signifikant
höheres Leistungsvermögen in Mathematik.
6-a
Neuere Untersuchungen
2005 Berliner Charité: Exzessives Computerspielen macht
süchtig. Es gibt aber keinen Hinweis darauf, dass es aggressiv macht.
2008 Learning and Teaching Scotland: Schüler, die täglich 20
Minuten an ihrem Nintendo DS das Spiel Dr. Kawishima’s
Brain Training spielten, hatten nach 9 Wochen ein signifikant
höheres Leistungsvermögen in Mathematik.
2008 Univ. Central Florida: The effect of modern math computer
games on learners’ math achievement and math course motivation in
a public high school setting (1) Schüler, die Mathe-Computerspiele
spielten, errangen bei den regionalen Vergleichstests wesentlich
bessere Ergebnisse. (2) Auch ihr Mathe-Verständnis und ihre
Mathe-Fähigkeiten wurden besser.
6-b
2 – Kommerzielle Mathespiele
Die Arche Noah wurde von Amateuren gebaut,
7
2 – Kommerzielle Mathespiele
Die Arche Noah wurde von Amateuren gebaut,
die Titanic jedoch von Profis.
7-a
2 – Kommerzielle Mathespiele
Die Arche Noah wurde von Amateuren gebaut,
die Titanic jedoch von Profis.
Für 6-12 jährige Kinder gibt es viele gute kommerzielle Mathespiele,
z.B. Emil und Pauline (Tivola), Matheland (Cornelsen) oder der
Mathemagus (Angry Ant Entertainment).
7-b
2 – Kommerzielle Mathespiele
Die Arche Noah wurde von Amateuren gebaut,
die Titanic jedoch von Profis.
Für 6-12 jährige Kinder gibt es viele gute kommerzielle Mathespiele,
z.B. Emil und Pauline (Tivola), Matheland (Cornelsen) oder der
Mathemagus (Angry Ant Entertainment).
Für 12-18 jährige Jugendliche sieht es wesentlich schlechter aus. Nur
wenige Titel sind verfügbar.
7-c
2weistein - Das Geheimnis des roten Drachen
ist ein Lernabenteuer, das in einer fantastischen 3-D Welt spielt
und bei dem auch Mathematikaufgaben gelöst werden müssen.
8
2weistein - Das Geheimnis des roten Drachen
ist ein Lernabenteuer, das in einer fantastischen 3-D Welt spielt
und bei dem auch Mathematikaufgaben gelöst werden müssen.
Aus einem Interview mit Ralph Bojen, einem der Schöpfer des
Spiels.
Das Spiel wurde während der gesamten Produktionszeit mit Kindern,
Eltern und Fachleuten geprüft. Ein Team aus erfahrenen
Game-Designern, Pädagogen, Therapeuten und Kinderärzten
gewährleistet zudem die hohe Qualität und Richtigkeit der Inhalte.
8-a
9
10
Der Zahlenteufel
von der Firma Terzio entstand in Zusammenarbeit mit dem Autor
Hans Magnus Enzensberger. Das Spiel wurde vielfach
ausgezeichnet. Einige Themen:
11
Der Zahlenteufel
von der Firma Terzio entstand in Zusammenarbeit mit dem Autor
Hans Magnus Enzensberger. Das Spiel wurde vielfach
ausgezeichnet. Einige Themen:
Potenzen, Primzahlen, Dreieckszahlen, Quadratzahlen,
Fibonacci-Zahlen, Pascalsches Dreieck, Fakultät, Binomialkoeffizient,
harmonische Reihe, u.s.w.
11-a
Der Zahlenteufel
von der Firma Terzio entstand in Zusammenarbeit mit dem Autor
Hans Magnus Enzensberger. Das Spiel wurde vielfach
ausgezeichnet. Einige Themen:
Potenzen, Primzahlen, Dreieckszahlen, Quadratzahlen,
Fibonacci-Zahlen, Pascalsches Dreieck, Fakultät, Binomialkoeffizient,
harmonische Reihe, u.s.w.
Zu jedem der 11 Kapitel gibt es ein Spiel, z.B. zum Zahlen schätzen,
römische Zahlen schreiben, Quadrate-Tetris, Pacman,
Pyramidenrätsel, Preis der Kombinatorik, Pfeilschiessen, etc.
11-b
Der Zahlenteufel
von der Firma Terzio entstand in Zusammenarbeit mit dem Autor
Hans Magnus Enzensberger. Das Spiel wurde vielfach
ausgezeichnet. Einige Themen:
Potenzen, Primzahlen, Dreieckszahlen, Quadratzahlen,
Fibonacci-Zahlen, Pascalsches Dreieck, Fakultät, Binomialkoeffizient,
harmonische Reihe, u.s.w.
Zu jedem der 11 Kapitel gibt es ein Spiel, z.B. zum Zahlen schätzen,
römische Zahlen schreiben, Quadrate-Tetris, Pacman,
Pyramidenrätsel, Preis der Kombinatorik, Pfeilschiessen, etc.
Obwohl es sich angeblich an Grundschüler richtet, ist das Spiel für
die Unterstufe (11-14 Jahre) sehr geeignet.
11-c
12
Mathica
aus der Serie Heureka von Klett ist ein sehr aufwändiges
Mathe-Adventurespiel für Jugendliche von ca. 14-18 Jahren. Wie
beim legendären Physikus sind auch hier Erkundung, logische
Verknüpfung und mathematisches Puzzlen geschickt verknüpft. Das
Spiel hat viele Preise gewonnen, gilt aber als schwierig.
13
Mathica
aus der Serie Heureka von Klett ist ein sehr aufwändiges
Mathe-Adventurespiel für Jugendliche von ca. 14-18 Jahren. Wie
beim legendären Physikus sind auch hier Erkundung, logische
Verknüpfung und mathematisches Puzzlen geschickt verknüpft. Das
Spiel hat viele Preise gewonnen, gilt aber als schwierig.
Einige Themen: magische Quadrate, Primzahlen, lineare
Gleichungssysteme mit 3 Unbestimmten, Dreieckszahlen, Parabeln,
Rangierpuzzle, Verschlüsselung, Wahrscheinlichkeiten, Platonische
Körper, befreundete Zahlen, Tangrams, u.s.w.
13-a
Mathica
aus der Serie Heureka von Klett ist ein sehr aufwändiges
Mathe-Adventurespiel für Jugendliche von ca. 14-18 Jahren. Wie
beim legendären Physikus sind auch hier Erkundung, logische
Verknüpfung und mathematisches Puzzlen geschickt verknüpft. Das
Spiel hat viele Preise gewonnen, gilt aber als schwierig.
Einige Themen: magische Quadrate, Primzahlen, lineare
Gleichungssysteme mit 3 Unbestimmten, Dreieckszahlen, Parabeln,
Rangierpuzzle, Verschlüsselung, Wahrscheinlichkeiten, Platonische
Körper, befreundete Zahlen, Tangrams, u.s.w.
Problem: Komplettlösung ist im Internet verfügbar!
13-b
14
Der Schatz des Thales
von der Firma Ellen Hoche ist ein Shareware-Programm, bei dem
man geometrische Konstruktionsprobleme und Knobelaufgaben in
einer Schatzsuchergeschichte verpackt lösen kann. Das Interface ist
relativ einfach, aber die Schullizenz mit 24 Euro auch nicht gerade
überteuert.
15
16
3 – Nim-Spiele
Es kommt nicht darauf an,
ob Du gewinnst oder verlierst,
es kommt darauf an,
17
3 – Nim-Spiele
Es kommt nicht darauf an,
ob Du gewinnst oder verlierst,
es kommt darauf an,
ob ich gewinne oder verliere.
17-a
3 – Nim-Spiele
Es kommt nicht darauf an,
ob Du gewinnst oder verlierst,
es kommt darauf an,
ob ich gewinne oder verliere.
Beim klassischen Nim-Spiel liegen n Haufen von Spielsteinen auf
dem Tisch. Ein Zug besteht darin, von einem Haufen eine beliebige
Zahl von Steinen zu nehmen. Wer die letzten Steine nimmt, gewinnt.
17-b
3 – Nim-Spiele
Es kommt nicht darauf an,
ob Du gewinnst oder verlierst,
es kommt darauf an,
ob ich gewinne oder verliere.
Beim klassischen Nim-Spiel liegen n Haufen von Spielsteinen auf
dem Tisch. Ein Zug besteht darin, von einem Haufen eine beliebige
Zahl von Steinen zu nehmen. Wer die letzten Steine nimmt, gewinnt.
Um die Gewinnstellungen zu ermittlen, muss man bekanntlich die
Zahlen der Steine der einzelnen Haufen im Binärsystem darstellen.
Genau dann, wenn jede Zweierpotenz eine gerade Anzahl mal
vorkommt, liegt eine Gewinnstellung für den am Zug befindlichen
Spieler vor (Beweis mit vollständiger Induktion).
17-c
Wythoffs Spiel
Der holländische Mathematiker Willem A. Wythoff veröffentlichte
1907 eine Analyse dieses Spiels. Es soll aber schon lange vorher in
China unter dem Namen jiǎn shı́nzı̌ (Steine auswählen) gespielt
worden sein. Eine 1960 unabhängig entdeckte Schachvariante wird
weiter unten vorgestellt.
18
Wythoffs Spiel
Der holländische Mathematiker Willem A. Wythoff veröffentlichte
1907 eine Analyse dieses Spiels. Es soll aber schon lange vorher in
China unter dem Namen jiǎn shı́nzı̌ (Steine auswählen) gespielt
worden sein. Eine 1960 unabhängig entdeckte Schachvariante wird
weiter unten vorgestellt.
18-a
Wythoffs Spiel
Der holländische Mathematiker Willem A. Wythoff veröffentlichte
1907 eine Analyse dieses Spiels. Es soll aber schon lange vorher in
China unter dem Namen jiǎn shı́nzı̌ (Steine auswählen) gespielt
worden sein. Eine 1960 unabhängig entdeckte Schachvariante wird
weiter unten vorgestellt.
Der am Zug befindliche Spieler darf entweder einen Stein beliebig
weit vorziehen oder beide Steine um dieselbe Anzahl von Feldern
weiterbewegen. Wer den letzten Zug macht, gewinnt. Als Anfangszug
ist es verboten, beide Steine gleichzeitig ins Ziel zu ziehen.
18-b
Wir notieren eine Stellung, indem wir für jeden Stein angeben, wie
weit er noch ziehen kann. Dann bestimmen wir die ersten
Verluststellungen.
19
Wir notieren eine Stellung, indem wir für jeden Stein angeben, wie
weit er noch ziehen kann. Dann bestimmen wir die ersten
Verluststellungen.
Nach (0, 0) ist (1, 2) eine Verluststellung. (Ohne Einschränkung gelte
x ≤ y.) Eine Verluststellung ist dabei gegeben, wenn der am Zug
befindliche Spieler bei optimalem Gegenspiel stets verliert.
19-a
Wir notieren eine Stellung, indem wir für jeden Stein angeben, wie
weit er noch ziehen kann. Dann bestimmen wir die ersten
Verluststellungen.
Nach (0, 0) ist (1, 2) eine Verluststellung. (Ohne Einschränkung gelte
x ≤ y.) Eine Verluststellung ist dabei gegeben, wenn der am Zug
befindliche Spieler bei optimalem Gegenspiel stets verliert.
Duch Ausprobieren finden wir eine Liste weiterer Verluststellungen:
19-b
x
0
1
3
4
6
8
9
11
y
0
2
5
7
10
13
15
18
Welche Gesetzmäßigkeiten stecken hinter dieser Tabelle?
20
x
0
1
3
4
6
8
9
11
y
0
2
5
7
10
13
15
18
Welche Gesetzmäßigkeiten stecken hinter dieser Tabelle?
(a) Setzen wir x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3 u.s.w., so gilt yi = xi + i.
20-a
x
0
1
3
4
6
8
9
11
y
0
2
5
7
10
13
15
18
Welche Gesetzmäßigkeiten stecken hinter dieser Tabelle?
(a) Setzen wir x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3 u.s.w., so gilt yi = xi + i.
(b) Die Zahl xi ist die kleinste Zahl, die weiter links in der Tabelle
noch nicht vorgekommen ist.
20-b
x
0
1
3
4
6
8
9
11
y
0
2
5
7
10
13
15
18
Welche Gesetzmäßigkeiten stecken hinter dieser Tabelle?
(a) Setzen wir x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3 u.s.w., so gilt yi = xi + i.
(b) Die Zahl xi ist die kleinste Zahl, die weiter links in der Tabelle
noch nicht vorgekommen ist.
Gibt es auch eine Formel für den x-Wert xk der k-ten
Verluststellung?
Um die Antwort zu formulieren, verwenden wir den goldenen
√
Schnitt τ = (1 + 5)/2, d.h. die Zahl τ mit τ 2 = τ + 1.
20-c
Satz 3.1 Die k-te Verluststellung bei Wythoffs Spiel ist
(xk , yk ) = (bk τ c, bkτ c + k)
wobei b. . . c das Abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl bedeute.
21
Satz 3.1 Die k-te Verluststellung bei Wythoffs Spiel ist
(xk , yk ) = (bk τ c, bkτ c + k)
wobei b. . . c das Abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl bedeute.
Wie könnte man Spiele wie das von Wythoff systematisch mit
Computerhilfe analysieren? Der folgende rekursive Algorithmus
klassifiziert alle Stellungen eines endlichen Spiels:
21-a
Satz 3.1 Die k-te Verluststellung bei Wythoffs Spiel ist
(xk , yk ) = (bk τ c, bkτ c + k)
wobei b. . . c das Abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl bedeute.
Wie könnte man Spiele wie das von Wythoff systematisch mit
Computerhilfe analysieren? Der folgende rekursive Algorithmus
klassifiziert alle Stellungen eines endlichen Spiels:
(1) Markiere alle von der Spielregel festgelegten Verluststellungen.
(2) Kann man von einer Stellung aus mit einem Zug eine
Verluststellung erreichen, so markiere sie als Gewinnstellung.
(3) Führt von einer Stellung aus jeder Zug zu einer Gewinnstellung,
so markiere sie als Verluststellung.
(4) Wiederhole (2) und (3) bis alle Stellungen markiert sind.
21-b
Die Schachvariante von Wythoffs Spiel
Im Jahr 1960 beschrieb der Mathematiker Rufus P. Isaacs
folgendes Spiel:
22
Regeln
Eine Schachdame steht in der linken unteren Ecke das Spielfelds.
Die beiden Spieler ziehen sie abwechselnd.
Sie darf entweder gerade nach rechts, gerade nach oben, oder
diagonal nach rechts oben gezogen werden.
Das Ziel ist, die Dame in die rechte obere Ecke zu bringen.
Wer die Dame auf das Zielfeld setzt, gewinnt.
Im ersten Zug ist dies aber verboten.
23
Regeln
Eine Schachdame steht in der linken unteren Ecke das Spielfelds.
Die beiden Spieler ziehen sie abwechselnd.
Sie darf entweder gerade nach rechts, gerade nach oben, oder
diagonal nach rechts oben gezogen werden.
Das Ziel ist, die Dame in die rechte obere Ecke zu bringen.
Wer die Dame auf das Zielfeld setzt, gewinnt.
Im ersten Zug ist dies aber verboten.
Lösung
Das Spiel ist äquivalent zu Withoffs Spiel. Schreibt man zu einer
Position der Dame auf, wie viele Felder sie noch nach rechts und wie
viele Felder sie noch nach oben ziehen kann, erhält man die
entsprechende Stellung in Withoffs Spiel.
23-a
4 – Licht aus!
Manchmal muss es sehr dunkel werden
bevor man das Licht sieht.
(Altes Indianersprichwort)
24
4 – Licht aus!
Manchmal muss es sehr dunkel werden
bevor man das Licht sieht.
(Altes Indianersprichwort)
Wie nennt man das Licht am Ende des Tunnels?
24-a
4 – Licht aus!
Manchmal muss es sehr dunkel werden
bevor man das Licht sieht.
(Altes Indianersprichwort)
Wie nennt man das Licht am Ende des Tunnels?
Ein Vorläufer von Licht aus! war in dem 1978 von der Firma
Parker veröffentlichten elektronischen Spiel Merlin enthalten, das
weltweit über 5 Millionen mal verkauft wurde. Das eigentliche
Lights out! ist ein elektronische Spiel der Firma Tiger Toys aus
dem Jahre 1995.
24-b
25
Regeln
Drückt man eine Taste, so ändert sich der Ein-/Aus Zustand des
entsprechenden Lichts sowie der vier direkt angrenzenden Lichter.
26
Regeln
Drückt man eine Taste, so ändert sich der Ein-/Aus Zustand des
entsprechenden Lichts sowie der vier direkt angrenzenden Lichter.
Das Ziel des Spiels ist, in der gegebenen Anordnung von Lampen alle
Lichter auszuschalten.
26-a
Regeln
Drückt man eine Taste, so ändert sich der Ein-/Aus Zustand des
entsprechenden Lichts sowie der vier direkt angrenzenden Lichter.
Das Ziel des Spiels ist, in der gegebenen Anordnung von Lampen alle
Lichter auszuschalten.
Strategie
Ausprobieren führt nur manchmal zur Lösung. Wir diskutieren zwei
systematische Ansätze:
26-b
Regeln
Drückt man eine Taste, so ändert sich der Ein-/Aus Zustand des
entsprechenden Lichts sowie der vier direkt angrenzenden Lichter.
Das Ziel des Spiels ist, in der gegebenen Anordnung von Lampen alle
Lichter auszuschalten.
Strategie
Ausprobieren führt nur manchmal zur Lösung. Wir diskutieren zwei
systematische Ansätze:
(1) Umwandlung in ein lineares Gleichungssystem über dem Körper
mit zwei Elementen
26-c
Regeln
Drückt man eine Taste, so ändert sich der Ein-/Aus Zustand des
entsprechenden Lichts sowie der vier direkt angrenzenden Lichter.
Das Ziel des Spiels ist, in der gegebenen Anordnung von Lampen alle
Lichter auszuschalten.
Strategie
Ausprobieren führt nur manchmal zur Lösung. Wir diskutieren zwei
systematische Ansätze:
(1) Umwandlung in ein lineares Gleichungssystem über dem Körper
mit zwei Elementen
(2) Gezieltes Hinunterjagen, Anwendung einiger Stellungsmuster und
noch einmal ein paar Lichter hinunterjagen
26-d
Licht aus mit linearer Algebra!
Der Körper mit zwei Elementen F2 = {0̄, 1̄} ist durch die
Rechenregeln 0̄ + x̄ = x̄, 1̄ + 1̄ = 0̄, 0̄ · x̄ = 0̄ und 1̄ · 1̄ = 1̄
gekennzeichnet.
Ein Lampenzustand ist eine Matrix
Zustand entspricht z.B. der Matrix

1 0 1

1 0 1


L=
0 0 0

1 0 1

1
L = (`ij ) mit `ij ∈ F2 . Obiger
0
0
0
0
0 1 0
27

1

1


0


1

1
Das Drücken einer Taste, z.B. der Taste (2,2), entspricht der
Addition einer Matrix zu L, z.B. der Matrix


0 1 0 0 0


1 1 1 0 0





A22 = 0 1 0 0 0



0 0 0 0 0


0
0 0 0 0
28
Das Drücken einer Taste, z.B. der Taste (2,2), entspricht der
Addition einer Matrix zu L, z.B. der Matrix


0 1 0 0 0


1 1 1 0 0





A22 = 0 1 0 0 0



0 0 0 0 0


0
0 0 0 0
Seien x11 , x12 , . . . , x55 Unbestimmte, die Werte in F2 annehmen und
angeben, ob eine Taste gedrückt werden soll.
28-a
Unser Ziel ist, die xij so zu bestimmen, dass die Matrixgleichung
L+
5
X
xij Aij = 0
i,j=1
erfüllt ist. Die liefert ein lineares Gleichungssystem in 25
Unbestimmten über F2 .
29
Unser Ziel ist, die xij so zu bestimmen, dass die Matrixgleichung
L+
5
X
xij Aij = 0
i,j=1
erfüllt ist. Die liefert ein lineares Gleichungssystem in 25
Unbestimmten über F2 .
Man kann beweisen, dass das lineare Gleichungsystem für gewisse
quadratische Lampenanordnungen (z.B. 6 × 6) immer eine eindeutige
Lösung besitzt.
29-a
Unser Ziel ist, die xij so zu bestimmen, dass die Matrixgleichung
L+
5
X
xij Aij = 0
i,j=1
erfüllt ist. Die liefert ein lineares Gleichungssystem in 25
Unbestimmten über F2 .
Man kann beweisen, dass das lineare Gleichungsystem für gewisse
quadratische Lampenanordnungen (z.B. 6 × 6) immer eine eindeutige
Lösung besitzt.
Für rechteckige Anordnungen gilt dies nicht, wie z.B. folgende
Anordnung zeigt:


1 0 0


L=
0 0 0
29-b
In unserem Beispiel ergeben sich die rot markierten Tasten:
30
Hinunterjagen
Das Hinunterjagen der Lichter funktioniert so: Beginnend mit der
ersten Zeile schalte die Lampen unter den Lichtern um, die in der
oberen Zeile ein sind. Dann verfahre entsprechend um die zweite
Zeile auszuschalten, dann die dritte Zeile u.s.w.
Schließlich erhalte ein Muster auf der letzten Zeile. Jedes Muster
entspricht einer Taste der ersten Zeile, und zwar: die 1. Taste
entspricht (0, 1, 1, 0, 1), die 2. Taste entspricht (1, 1, 1, 0, 0), die 3.
Taste entspricht (1, 1, 0, 1, 1), die 4. Taste entspricht (0, 0, 1, 1, 1), und
die 5. Taste entspricht (1, 0, 1, 1, 0).
Schreibe Dein Muster als Summe einiger dieser fünf Muster, drücke
die entsprechenden Tasten der 1. Zeile und jage alles noch einmal
hinunter: Voila!
31
In unserem Beispiel ist die Lage besonders einfach:
32
Man kann auch eine vereinfachte Strategie anwenden:
33
Man kann auch eine vereinfachte Strategie anwenden:
(1) Ist nach dem Hinunterjagen das erste Licht der letzten Reihe an,
so drücke die zweite Taste der ersten Reihe und jage die Lichter
hinunter.
33-a
Man kann auch eine vereinfachte Strategie anwenden:
(1) Ist nach dem Hinunterjagen das erste Licht der letzten Reihe an,
so drücke die zweite Taste der ersten Reihe und jage die Lichter
hinunter.
(2) Ist danach das zweite Licht der letzten Reihe an, so drücke die
erste Taste der ersten Reihe und jage die Lichter hinunter.
33-b
Man kann auch eine vereinfachte Strategie anwenden:
(1) Ist nach dem Hinunterjagen das erste Licht der letzten Reihe an,
so drücke die zweite Taste der ersten Reihe und jage die Lichter
hinunter.
(2) Ist danach das zweite Licht der letzten Reihe an, so drücke die
erste Taste der ersten Reihe und jage die Lichter hinunter.
(3) Ist danach das dritte Licht der letzten Reihe an, so drücke die
dritte Taste der ersten Reihe und jage die Lichter hinunter.
33-c
Man kann auch eine vereinfachte Strategie anwenden:
(1) Ist nach dem Hinunterjagen das erste Licht der letzten Reihe an,
so drücke die zweite Taste der ersten Reihe und jage die Lichter
hinunter.
(2) Ist danach das zweite Licht der letzten Reihe an, so drücke die
erste Taste der ersten Reihe und jage die Lichter hinunter.
(3) Ist danach das dritte Licht der letzten Reihe an, so drücke die
dritte Taste der ersten Reihe und jage die Lichter hinunter.
Ähnlich einfache Strategien, die auf dem Hinunterjagen beruhen,
kann man auch für n × n Lampenanordnungen mit n 6= 5 entwickeln.
33-d
5 – Schiebepuzzles
Der Erfinder des 15-Puzzles muss zu den großen
Wohltätern der Menschheit gerechnet werden.
34
5 – Schiebepuzzles
Der Erfinder des 15-Puzzles muss zu den großen
Wohltätern der Menschheit gerechnet werden.
Es hat angeblich viele junge Damen
stundenlang verstummen lassen.
34-a
5 – Schiebepuzzles
Der Erfinder des 15-Puzzles muss zu den großen
Wohltätern der Menschheit gerechnet werden.
Es hat angeblich viele junge Damen
stundenlang verstummen lassen.
Das berühmteste Schiebepuzzle ist wahrscheinlich das 15-Puzzle,
das von dem amerikanischen Postamtsvorsteher Noyes P.
Chapman ungefähr 1874 erfunden wurde. Als das Spiel Ende 1879
von einem Geschäftsmann in Bosten in großem Umfang produziert
wurde, entwickelte es sich zu einer der größten Puzzle-Manien aller
Zeiten.
34-b
Das 15-Puzzle
Die Orininalanweisung lautet: Lege die Blöcke durcheinander in
die Schachtel. Dann schiebe sie, bis sie wieder geordnet
sind.
35
Start
Ziel
Wir beweisen nun, dass dies im Allgemeinen unmöglich ist.
36
Wir bringen das Puzzle in Standardstellung, d.h. das leere Feld sei
rechts unten.
37
Wir bringen das Puzzle in Standardstellung, d.h. das leere Feld sei
rechts unten.
Jede Standardstellung entspricht einer Permutation der 15 Blöcke
gegenüber der Zielstellung.
37-a
Wir bringen das Puzzle in Standardstellung, d.h. das leere Feld sei
rechts unten.
Jede Standardstellung entspricht einer Permutation der 15 Blöcke
gegenüber der Zielstellung.
Jetzt färben wir die 16 Felder wie bei einem Schachbrett
schwarz-weiß ein.
37-b
Wir bringen das Puzzle in Standardstellung, d.h. das leere Feld sei
rechts unten.
Jede Standardstellung entspricht einer Permutation der 15 Blöcke
gegenüber der Zielstellung.
Jetzt färben wir die 16 Felder wie bei einem Schachbrett
schwarz-weiß ein.
Bei jedem Zug wechselt das leere Feld die Farbe.
37-c
Wir bringen das Puzzle in Standardstellung, d.h. das leere Feld sei
rechts unten.
Jede Standardstellung entspricht einer Permutation der 15 Blöcke
gegenüber der Zielstellung.
Jetzt färben wir die 16 Felder wie bei einem Schachbrett
schwarz-weiß ein.
Bei jedem Zug wechselt das leere Feld die Farbe.
Von Standarstellung zu Standardstellung macht es also eine gerade
Anzahl von Zügen.
37-d
Wir bringen das Puzzle in Standardstellung, d.h. das leere Feld sei
rechts unten.
Jede Standardstellung entspricht einer Permutation der 15 Blöcke
gegenüber der Zielstellung.
Jetzt färben wir die 16 Felder wie bei einem Schachbrett
schwarz-weiß ein.
Bei jedem Zug wechselt das leere Feld die Farbe.
Von Standarstellung zu Standardstellung macht es also eine gerade
Anzahl von Zügen.
Jeder Zug entspricht einer Transposition. Also kann man nur gerade
Permutationen in die Zielstellung überführen.
37-e
Beispiel einer unlösbaren Stellung
38
Beispiel einer unlösbaren Stellung
Als Nächstes führen wir einen Beweis, dass alle geraden
Permutationen möglich sind.
38-a
Beispiel einer unlösbaren Stellung
Als Nächstes führen wir einen Beweis, dass alle geraden
Permutationen möglich sind.
Die alternierende Gruppe, d.h. die Gruppe aller geraden
Permutationen, wird von den Dreierzyklen i 7→ j, j 7→ k, k 7→ i
erzeugt.
38-b
Also genügt es zu zeigen, dass Dreierzyklen realisierbar sind.
39
Schiebepuzzles mit verschieden großen Blöcken
Seit der 15-Puzzle-Manie sind Schiebepuzzles stets beliebt geblieben.
Viele Schiebepuzzles mit verschieden großen Blöcken wurden
erfunden, patentiert und brachten kommerzielle Erfolge.
40
Schiebepuzzles mit verschieden großen Blöcken
Seit der 15-Puzzle-Manie sind Schiebepuzzles stets beliebt geblieben.
Viele Schiebepuzzles mit verschieden großen Blöcken wurden
erfunden, patentiert und brachten kommerzielle Erfolge.
Dad’s Puzzler wurde 1909 von L.W. Hardy erfunden, aber
mehrfach wiederentdeckt und patentiert. Das Ziel ist es, den großen
Block nach rechts unten zu bringen.
40-a
Schiebepuzzles mit verschieden großen Blöcken
Seit der 15-Puzzle-Manie sind Schiebepuzzles stets beliebt geblieben.
Viele Schiebepuzzles mit verschieden großen Blöcken wurden
erfunden, patentiert und brachten kommerzielle Erfolge.
Dad’s Puzzler wurde 1909 von L.W. Hardy erfunden, aber
mehrfach wiederentdeckt und patentiert. Das Ziel ist es, den großen
Block nach rechts unten zu bringen.
Die kürzeste Lösung hat 59 Züge (83 Bewegungen).
40-b
Lösung von Schiebepuzzles mit Computeralgebra
Um ein Schiebepuzzle algorithmisch zu lösen, markieren wir die
Felder wie folgt mit Monomen:
1
x
x2
x3
y
xy
x2 y
x3 y
y2
xy 2
x2 y 2
x3 y 2
y3
xy 3
x2 y 3
x3 y 3
y4
xy 4
x2 y 4
x3 y 4
41
Lösung von Schiebepuzzles mit Computeralgebra
Um ein Schiebepuzzle algorithmisch zu lösen, markieren wir die
Felder wie folgt mit Monomen:
1
x
x2
x3
y
xy
x2 y
x3 y
y2
xy 2
x2 y 2
x3 y 2
y3
xy 3
x2 y 3
x3 y 3
y4
xy 4
x2 y 4
x3 y 4
Ein Block entspricht dann einem Polynom. Zum Beispiel entspricht
f1 = 1 + x + y + xy einem 2 × 2 Block in der linken oberen Ecke.
41-a
Für die Koeffizienten der Polynome verwenden wir den Körper mit
zwei Elementen F2 = {0̄, 1̄}.
42
Für die Koeffizienten der Polynome verwenden wir den Körper mit
zwei Elementen F2 = {0̄, 1̄}.
Für den Leerraum führen wir ebenfalls ein Polynom f0 ein.
42-a
Für die Koeffizienten der Polynome verwenden wir den Körper mit
zwei Elementen F2 = {0̄, 1̄}.
Für den Leerraum führen wir ebenfalls ein Polynom f0 ein.
Dad’s Puzzler entspricht also dem Tupel von Polynomen
(x2 y 2 + x3 y 2 , 1 + x + y + xy, x2 + x3 , x2 y + x3 y, y 2 , xy 2 ,
y 3 + y 4 , xy 3 + xy 4 , x2 y 3 + x3 y 3 , x2 y 4 + x3 y 4 )
42-b
Für die Koeffizienten der Polynome verwenden wir den Körper mit
zwei Elementen F2 = {0̄, 1̄}.
Für den Leerraum führen wir ebenfalls ein Polynom f0 ein.
Dad’s Puzzler entspricht also dem Tupel von Polynomen
(x2 y 2 + x3 y 2 , 1 + x + y + xy, x2 + x3 , x2 y + x3 y, y 2 , xy 2 ,
y 3 + y 4 , xy 3 + xy 4 , x2 y 3 + x3 y 3 , x2 y 4 + x3 y 4 )
Schiebt man einen Block um ein Feld nach rechts, so entspricht
dies fi 7→ x fi . Analog entsprechen Bewegungen in andere Richtungen
den Operationen fi 7→ y fi bzw. fi 7→ x−1 fi bzw. fi 7→ y −1 fi .
42-c
Für die Koeffizienten der Polynome verwenden wir den Körper mit
zwei Elementen F2 = {0̄, 1̄}.
Für den Leerraum führen wir ebenfalls ein Polynom f0 ein.
Dad’s Puzzler entspricht also dem Tupel von Polynomen
(x2 y 2 + x3 y 2 , 1 + x + y + xy, x2 + x3 , x2 y + x3 y, y 2 , xy 2 ,
y 3 + y 4 , xy 3 + xy 4 , x2 y 3 + x3 y 3 , x2 y 4 + x3 y 4 )
Schiebt man einen Block um ein Feld nach rechts, so entspricht
dies fi 7→ x fi . Analog entsprechen Bewegungen in andere Richtungen
den Operationen fi 7→ y fi bzw. fi 7→ x−1 fi bzw. fi 7→ y −1 fi .
Eine Bewegung nach rechts ist genau dann möglich, wenn alle
Monome von x fi in f0 + fi enthalten sind. In diesem Fall ersetzen
wir fi 7→ x fi und f0 7→ f0 + fi − x fi .
42-d
Lösungsverfahren für Schiebepuzzles
(1) Analysiere die Stellungen entsprechend ihrem Abstand von der
Startstellung, d.h. der kleinsten Zahl von Zügen die man braucht um
sie zu erreichen.
43
Lösungsverfahren für Schiebepuzzles
(1) Analysiere die Stellungen entsprechend ihrem Abstand von der
Startstellung, d.h. der kleinsten Zahl von Zügen die man braucht um
sie zu erreichen.
(2) Für jede Stelleung vom momentan untersuchten Abstand
berechne alle Nachfolgestellungen. Prüfe jeweils, ob diese in der
momentanen Liste oder in der Liste vom vorhergehenden Abstand
enthalten sind.
(Der Abstand kann um höchstens eins abnehmen, da der Graph aller
Stellungen und Züge ein ungerichteter Graph ist.)
43-a
Lösungsverfahren für Schiebepuzzles
(1) Analysiere die Stellungen entsprechend ihrem Abstand von der
Startstellung, d.h. der kleinsten Zahl von Zügen die man braucht um
sie zu erreichen.
(2) Für jede Stelleung vom momentan untersuchten Abstand
berechne alle Nachfolgestellungen. Prüfe jeweils, ob diese in der
momentanen Liste oder in der Liste vom vorhergehenden Abstand
enthalten sind.
(Der Abstand kann um höchstens eins abnehmen, da der Graph aller
Stellungen und Züge ein ungerichteter Graph ist.)
(3) Für alle neuen Stellungen von nächsten Abstand prüfe, ob die
Siegbedingung erfüllt ist. Ist dies nie der Fall, so fahre mit dem
nächsten Abstand fort.
43-b
Berühmte Schiebepuzzles
Gil Dogon, Super Century
(138 Züge)
44
Abe Minoru, Climb Pro 24
(227 Züge)
Dries de Clercq, Super-Dries (321 Züge)
45
Schiebepuzzles gehören zur Komplexitätsklase PSPACE, sind also
extrem schwierig. Der Beweis verwendet, dass man mit
Schiebepuzzles Computer realisieren kann!
46
Schiebepuzzles gehören zur Komplexitätsklase PSPACE, sind also
extrem schwierig. Der Beweis verwendet, dass man mit
Schiebepuzzles Computer realisieren kann!
46-a
Schiebepuzzles gehören zur Komplexitätsklase PSPACE, sind also
extrem schwierig. Der Beweis verwendet, dass man mit
Schiebepuzzles Computer realisieren kann!
Wenn man zum Beispiel in das erste Puzzle den oberen Stein
hineinschieben will, müssen der linke und der untere beide zuerst
hinausgeschoben werden.
46-b
6 – Solitaire
Wir sind alle Ignoranten.
47
6 – Solitaire
Wir sind alle Ignoranten.
Aber auf verschiedenen Gebieten.
47-a
6 – Solitaire
Wir sind alle Ignoranten.
Aber auf verschiedenen Gebieten.
Bei Solitaire Brettspiel werden Steine waagrecht oder senkrecht
übersprungen und weggenommen. Es soll nur ein Stein übrig bleiben.
47-b
Klassische Lösungsstrategie
Bestimme zuerst einfache Gewinnkonfigurationen. Setze dann
kompliziertere Stellungen aus diesen Teilkonfigurationen zusammen.
links, unten, rechts
oben rechts, hoch, hoch
48
Typische Konstellationen sind zum Beispiel:
3-Packung
6-Packung
L-Packung
Dabei sollen von den beiden mit × markierten Feldern jeweils genau
eines besetzt sein.
49
Damit erhält man folgende Einteilung des klassischen Solitaire in
Packungen:
50
Untersuchung mit Computeralgebra
Um das Solitaire Brettspiel mit den Mitteln der Algebra zu
analysieren, markieren wir die Felder wie folgt:
Wir zählen die x, y, z und erhalten ein Bilanzmonom x11 y 10 z 11 .
(Das mittlere Feld ist leer!)
51
Jeder Sprung entspricht einer Umwandlung xy 7→ z oder xz 7→ y oder
yz 7→ x.
52
Jeder Sprung entspricht einer Umwandlung xy 7→ z oder xz 7→ y oder
yz 7→ x.
In der Sprache der Termersetzungssysteme ist ein Sprung also ein
Reduktionsschritt mit Hilfe eines der drei Polynome xy − z, xz − y
und yz − x.
52-a
Jeder Sprung entspricht einer Umwandlung xy 7→ z oder xz 7→ y oder
yz 7→ x.
In der Sprache der Termersetzungssysteme ist ein Sprung also ein
Reduktionsschritt mit Hilfe eines der drei Polynome xy − z, xz − y
und yz − x.
Beachten wir die Reduktionen xy 2 z → yz 2 → xz → y, so erhalten wir
x11 y 10 z 11 → x10 y 11 z 10 → · · · → y
52-b
Jeder Sprung entspricht einer Umwandlung xy 7→ z oder xz 7→ y oder
yz 7→ x.
In der Sprache der Termersetzungssysteme ist ein Sprung also ein
Reduktionsschritt mit Hilfe eines der drei Polynome xy − z, xz − y
und yz − x.
Beachten wir die Reduktionen xy 2 z → yz 2 → xz → y, so erhalten wir
x11 y 10 z 11 → x10 y 11 z 10 → · · · → y
Man kann nun beweisen, dass das Ergebnis der Reduktionen nicht
von ihrer Reihenfolge abhängt (Konfluenz).
52-c
Jeder Sprung entspricht einer Umwandlung xy 7→ z oder xz 7→ y oder
yz 7→ x.
In der Sprache der Termersetzungssysteme ist ein Sprung also ein
Reduktionsschritt mit Hilfe eines der drei Polynome xy − z, xz − y
und yz − x.
Beachten wir die Reduktionen xy 2 z → yz 2 → xz → y, so erhalten wir
x11 y 10 z 11 → x10 y 11 z 10 → · · · → y
Man kann nun beweisen, dass das Ergebnis der Reduktionen nicht
von ihrer Reihenfolge abhängt (Konfluenz).
Der letzte Stein steht also auf einem mit y markierten Feld.
52-d
Die mit y markierten Felder sind:
Jedoch sind nicht alle dieser Endfelder möglich. Wegen der
Symmetrie des Spielbretts sind zu jeder Lösung auch symmetrische
Lösungen möglich.
53
Aber die zu den mit y markierten Feldern symmetrischen Felder sind
nicht immer mit y markiert.
mit y markiert
nicht mit y markiert
54
Wir haben also folgenden Satz bewiesen.
Satz 6.1 Die beim klassischen Solitaire möglichen Endstellungen
sind durch die folgenden Punkte gegeben:
55
7 – Nonogramme
No keyboard present.
Hit F1 to continue.
(DOS Fehlermeldung)
56
7 – Nonogramme
No keyboard present.
Hit F1 to continue.
(DOS Fehlermeldung)
Nonogramme wurden 1989 von der japanischen Designerin Non
Ishida erfunden, nach der sie benannt sind.
56-a
7 – Nonogramme
No keyboard present.
Hit F1 to continue.
(DOS Fehlermeldung)
Nonogramme wurden 1989 von der japanischen Designerin Non
Ishida erfunden, nach der sie benannt sind.
Das Spiel wurde 1995 stark popularisiert, als es unter dem Namen
Mario’s Picross von Nintendo auf dem Gameboy herausgebracht
wurde. Ein Update für das Nintendo DS existiert auch.
56-b
7 – Nonogramme
No keyboard present.
Hit F1 to continue.
(DOS Fehlermeldung)
Nonogramme wurden 1989 von der japanischen Designerin Non
Ishida erfunden, nach der sie benannt sind.
Das Spiel wurde 1995 stark popularisiert, als es unter dem Namen
Mario’s Picross von Nintendo auf dem Gameboy herausgebracht
wurde. Ein Update für das Nintendo DS existiert auch.
Im Internet sind über 500 000 Nonogramme abrufbar und kostenlos
spielbar.
56-c
Das Ziel das Spiels ist es, die Kästchen eines Spielfelds korrekt
einzufärben. Für die Zeilen und Spalten sind dabei Informationen
vorgegeben.
Die Zahlen 1 2 über der zweiten Spalte bedeuten z.B. das erst ein
gefärbtes Feld kommt, dann mindestens ein freies, dann ein Block
von zwei gefärbten Feldern. Die Lösung rechts kann man schrittweise
logisch ableiten.
57
Für Nonogramme gibt es verschiedenste Lösungsansätze:
58
Für Nonogramme gibt es verschiedenste Lösungsansätze:
(1) Klassische Tiefensuche, d.h. man berechnet alle Möglichkeiten für
Zeile 1, probiert für jede alle Möglichkeiten für Zeile 2, u.s.w.
58-a
Für Nonogramme gibt es verschiedenste Lösungsansätze:
(1) Klassische Tiefensuche, d.h. man berechnet alle Möglichkeiten für
Zeile 1, probiert für jede alle Möglichkeiten für Zeile 2, u.s.w.
(2) Heuristische Methoden, z.B. die Zeile oder Spalte mit den
größten Zahlen ist am ehesten fixierbar
58-b
Für Nonogramme gibt es verschiedenste Lösungsansätze:
(1) Klassische Tiefensuche, d.h. man berechnet alle Möglichkeiten für
Zeile 1, probiert für jede alle Möglichkeiten für Zeile 2, u.s.w.
(2) Heuristische Methoden, z.B. die Zeile oder Spalte mit den
größten Zahlen ist am ehesten fixierbar
(3) Genetische Algorithmen
58-c
Für Nonogramme gibt es verschiedenste Lösungsansätze:
(1) Klassische Tiefensuche, d.h. man berechnet alle Möglichkeiten für
Zeile 1, probiert für jede alle Möglichkeiten für Zeile 2, u.s.w.
(2) Heuristische Methoden, z.B. die Zeile oder Spalte mit den
größten Zahlen ist am ehesten fixierbar
(3) Genetische Algorithmen
(4) Relaxierungen, z.B. mit Hilfe des DT Problems (Diskrete
Tomographie: nur die Zeilen- und Spaltensummen sind gegeben)
58-d
Für Nonogramme gibt es verschiedenste Lösungsansätze:
(1) Klassische Tiefensuche, d.h. man berechnet alle Möglichkeiten für
Zeile 1, probiert für jede alle Möglichkeiten für Zeile 2, u.s.w.
(2) Heuristische Methoden, z.B. die Zeile oder Spalte mit den
größten Zahlen ist am ehesten fixierbar
(3) Genetische Algorithmen
(4) Relaxierungen, z.B. mit Hilfe des DT Problems (Diskrete
Tomographie: nur die Zeilen- und Spaltensummen sind gegeben)
(5) Simulierte Abkühlung, ein heuristisches Optimierungsverfahren
aus dem Operations Research
58-e
Für Nonogramme gibt es verschiedenste Lösungsansätze:
(1) Klassische Tiefensuche, d.h. man berechnet alle Möglichkeiten für
Zeile 1, probiert für jede alle Möglichkeiten für Zeile 2, u.s.w.
(2) Heuristische Methoden, z.B. die Zeile oder Spalte mit den
größten Zahlen ist am ehesten fixierbar
(3) Genetische Algorithmen
(4) Relaxierungen, z.B. mit Hilfe des DT Problems (Diskrete
Tomographie: nur die Zeilen- und Spaltensummen sind gegeben)
(5) Simulierte Abkühlung, ein heuristisches Optimierungsverfahren
aus dem Operations Research
Man kann aber keinen Algorithmus erhoffen, der Nonogramme in
polynomialer Zeit löst, denn das Problem ist als NP-vollständig
nachgewiesen worden.
58-f
Für die Programmierung der Java-Applets und viele wertvolle
Hinweise möchte ich mich bei den Herren
Dipl. Inf. Stefan Schuster und Dipl. Inf. Jan Limbeck
sehr herzlich bedanken.
59
Für die Programmierung der Java-Applets und viele wertvolle
Hinweise möchte ich mich bei den Herren
Dipl. Inf. Stefan Schuster und Dipl. Inf. Jan Limbeck
sehr herzlich bedanken.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
59-a