Studiennachweis Mathematik 1 Sommersemester 2007

Studiennachweis Mathematik 1
Sommersemester 2007
Prof. Dr. Rainer Sawatzki
12. Mai 2007
Name, Vorname
Matrikelnummer
Aufgaben
21 + Zusatzaufgabe
erreichbare Punkte 100, mit Zusatzaufgabe 108
Punkte:
Ergebnis:
Hinweise zur Klausur
• Schriftliche Unterlagen sind grundsätzlich nicht erlaubt (Script, Bücher, eigene
Aufzeichnungen)
• Nur die Benutzung einer Formelsammlung ist erlaubt.
• Die Nutzung eines Taschenrechners ohne Funktionsplotter ist erlaubt.
• Kommunikation mit anderen ist verboten (auch Laptop, Handy, eMail, etc.).
Ergebnisse
Die schriftlichen Ergebnisse werden am Ende der Klausur eingesammelt und anschließend
bewertet. Es gelten nur die abgegebenen schriftlichen Ergebnisse; mündliche Erläuterungen sind für das Ergebnis nicht relevant.
1
Studiennachweis Mathematik 1 — SS 2007
1 Mengen und Zahlen
1.1 Was ist eine Menge?
3 Punkte
1.2 Beschreiben die folgenden Definitionen Mengen?
5 Punkte
Markieren Sie die richtigen Aussagen mit einem Kreuz.
1. Die Menge aller zum Straßenverkehr zugelassenen Autos in Deutschland.
2. Die Menge aller Moleküle in der Atmosphäre.
3. Die Menge aller natürlichen Zahlen, die ohne Rest durch sieben teilbar sind.
4. Die Menge aller reellen Zahlen, die die Gleichung x2 + 2 = 0 lösen.
5. Die Menge aller Wassertropfen im Ozean.
1.3 Geben Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer
Elemente an.
3 Punkte
1. {n ∈ N | n ist Teiler von 60}
2. {x ∈ R | x2 − 1 = 0}
2
SS 2007 — Studiennachweis Mathematik 1
1.4 Berechnen Sie die folgenden Schnitt- oder Vereinigungsmengen
4 Punkte
1. [−3, 5] ∪ [0, 7] =
2. [−4, 2] ∩ [−2, 4] =
3. [−4, −2] ∩ [2, 4] =
1.5 Bezüglich welcher Operationen ist die Menge Z abgeschlossen?
3 Punkte
1.6 Lösen Sie die folgenden Gleichungen in den reellen Zahlen
12 Punkte
1. 5x − 10 = 0
L1 =
2. x2 + 2x − 15 = 0
L2 =
3. x4 − 8x2 − 9 = 0
L3 =
4.
√
3x − 5 + 4 = 2x
L4 =
3
Studiennachweis Mathematik 1 — SS 2007
2 Vektoren
2.1 Wann sind zwei Vektoren gleich?
3 Punkte
2.2 Was ist ein Einheitsvektor?
2 Punkte
2.3 Berechnen Sie jeweils die resultierende Kraft aus den folgenden
Kräftevektoren.
3 Punkte

 
 
 

1
3, 5
−2, 5
−2
1.  3  +  −5  +  1, 5  +  0, 5  =
−2
0, 5
1
0, 5

 
 
 

5
−2, 5
3, 1
2
2.  −8, 3  +  1, 7  +  2, 5  +  −3, 9  =
2
−3, 9
0, 1
π
4
SS 2007 — Studiennachweis Mathematik 1
2.4 Welche Kräfte übt die Lampe auf die Wände aus?
8 Punkte
Eine Straßenlaterne mit der Gewichtskraft von 20 Newton wird mit einem Stahlseil
an zwei gegenüberliegenden Masten aufgehngt. Welche Kraft wirkt auf die Befestigung
am Mast, wenn das Seil einen Winkel α von 10◦ , 5◦ oder 1◦ mit der Waagerechten bildet?
α
F~ [N]
10◦
5◦
1◦
2.5 Berechnen Sie die Winkel zwischen folgenden Vektorenpaaren
8 Punkte




−2, 5
3, 5
1.  1, 7  und  −5 
−3, 9
0, 5




3, 1
−2, 5
2.  2, 5  und  1, 5 
2
2
2.6 Was ist ein Orthonormalsystem?
3 Punkte
5
Studiennachweis Mathematik 1 — SS 2007
2.7 Wie heißt die Geradengleichung durch die beiden Punkte P1
und P2 in der Form ~r + λ~a?
3 Punkte
~r =
~a =
3 Funktionen
3.1 Was ist eine Funktion?
4 Punkte
3.2 Wann ist eine Funktion injektiv?
4 Punkte
6
SS 2007 — Studiennachweis Mathematik 1
3.3 Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge D und die
dazugehörige Bildmenge f (D):
8 Punkte
1. f1 (x) = 3x2 − 6
2. f3 (x) =
√
1 − x2
D1 =
f (D1 ) =
D2 =
f (D2 ) =
3.4 Finden Sie die Nullstellen folgender Funktionen:
6 Punkte
1. f1 (x) = 3x2 − 6, D1 = R, W1 = R
2x2 + 8
, D2 = R \ {1, −2}, W2 = R
2. f2 (x) = 2
x +x−2
3. f3 (x) = 4 − |2x|, D3 = R, W3 = R
3.5 Welche Funktionen sind monoton?
3 Punkte
Markieren Sie die monotonen Funktionen mit einem Kreuz.
1. f1 (x) = 3x2 − 6, D1 = [0, ∞), W1 = R
2. f2 (x) =
1
, D2 = R \ {0}, W2 = R
x
3. f3 (x) = 5x3 , D3 = (−∞, 0), W3 = R
3.6 Bestimmen Sie die Symmetrie der folgenden Funktionen:
3 Punkte
Sind die Funktionen symmetrisch (gerade), antisymmetrisch (ungerade) oder unsymmetrisch?
1. f1 (x) =
x2 − 5
3x4 − 8x2 + 7
7
Studiennachweis Mathematik 1 — SS 2007
2. f2 (x) =
x3 − 6x
5x2 − 7
3. f3 (x) = x3 − 5x + 7
3.7 Bestimmen Sie die Periode folgender Funktionen:
4 Punkte
Hinweis: Die Funktionen sin und cos haben die Periode 2π.
1. f1 (x) = 5 sin(πx)
2. f2 (x) = cos(πx) + cos(2πx)
3.8 Stellen Sie die implizite Funktionsgleichung für folgende
geometrischen Figuren auf:
8 Punkte
Kreis mit Radius R = 3 und Mittelpunkt M = (2; 1)
Ellipse mit den Halbachsen a = 5 und b = 2 und Mittelpunkt M = (−1; 0)
8
SS 2007 — Studiennachweis Mathematik 1
3.9 Zusatzaufgabe: Stellen Sie eine Ellipse mit Mittelpunkt
M = (0; 0) und den Halbachsen a = 6 und b = 3 in
Polarkoordinaten dar.
8 Punkte
9