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Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Logik für Informatiker
im Wintersemester 2015/16
Prof. Dr. Dietmar Seipel
Prof. Dr. Dietmar Seipel
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
v
1 Aussagenlogik
1
1.1
Grundbegriffe der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Äquivalenz und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.3
Hornformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
1.4
Minimale Modelle für Klauselmengen . . . . . . . . . . . .
89
1.5
Der Endlichkeits/Kompaktheits–Satz . . . . . . . . . . . . . 110
1.6
Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
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ii
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2 Prädikatenlogik
151
2.1
Grundbegriffe der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . 152
2.2
Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.3
Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2.4
Herbrand–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
2.5
Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
2.6
Hyperresolution für Hornformeln . . . . . . . . . . . . . . . 283
2.7
SLD–Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
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iii
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3 Logikprogrammierung
337
3.1
Grundlagen von P ROLOG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
3.2
SLDNF–Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
3.3
Sortieren und Suchbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
3.4
Suche in Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Literatur
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438
iv
Logik für Informatiker
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Vorwort
Anwendungen:
• Zermelo und Fraenkel: Axiome der Mengenlehre
• Formulierung von Theoremen: Fermat
• Theorembeweisen
• Boolesche Schaltkreise: Analyse und Optimierung
• Datenbanken: S QL
• Logikprogrammierung: P ROLOG
• Semantic Web: Ontologien, OWL, S WRL
• ...
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v
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Mathematische Axiome und Theoreme
Die Russellsche Antinomie ist ein von Bertrand Russell und Ernst Zermelo
entdecktes Paradoxon der naiven Mengenlehre, das Russell 1903
publizierte. Dies führte zur Entwicklung der axiomatischen Mengenlehre.
Russell bildete seine Antinomie mit Hilfe der ”Klasse aller Klassen, die sich
nicht selbst als Element enthalten”, die als Russellsche Klasse R bezeichnet
wird, vgl. Wikipedia:
R := { x | x ∈
/ x }.
Oft wird die Russellsche Klasse auch als ”Menge aller Mengen, die sich
nicht selbst als Element enthalten” definiert; das entspricht der damaligen
Mengenlehre, die noch nicht zwischen Klassen und Mengen unterschied.
In der axiomatischen Mengenlehre weiß man, daß es eine solche Menge
nicht geben kann.
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vi
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Die Logik bietet einen exakten Formalismus zur Repräsentation und
Verarbeitung von mathematischem Wissen in Form von
• Axiomen und
• Theoremen.
Beim Theorembeweisen können mit Hilfe von Kalkülen automatisch neue
Theoreme aus den Axiomen und den bereits bekannten Theoremen
hergeleitet werden.
Durch die steigende Rechnerleistung ist zu erwarten, daß zukünftig verstärkt
Theoreme automatisch oder semi–automatisch bewiesen werden können.
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Zermelo und Fraenkel: Axiome der Mengenlehre
vgl. Wikipedia
ZF hat unendlich viele Axiome, da zwei Axiomenschemata (8. und 9.)
verwendet werden, die zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften je
ein Axiom angeben.
Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit
Identität und dem undefinierten Elementprädikat ∈.
Die Infix–Notation A ∈ B ist gleichbedeutend mit der Präfix–Notation
∈ (A, B).
1. Extensionalitätsaxiom oder Axiom der Bestimmtheit:
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente
enthalten.
∀A ∀B (A = B ←→ ∀C (C ∈ A ←→ C ∈ B))
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2. Leermengenaxiom oder Nullmengenaxiom:
Es gibt eine Menge ohne Elemente.
∃B ∀A ¬(A ∈ B)
Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit
dieser Menge B, das heißt, daß es auch nicht mehr als eine solche
Menge gibt.
Diese wird meist als ∅ geschrieben und leere Menge genannt.
Das bedeutet: Die leere Menge ist in ZF das einzige Urelement.
Andere Urelemente sind nur beim allgemeineren originalen Axiom der
Bestimmtheit von Zermelo möglich.
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ix
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3. Paarmengenaxiom:
Für alle A und B gibt es eine Menge C, die genau A und B als
Elemente hat.
∀A ∀B ∃C ∀D (D ∈ C ←→ (D = A ∨ D = B))
Auch diese Menge C ist eindeutig bestimmt. Sie wird geschrieben als
{A, B}. Die Menge {A, A} wird üblicherweise als {A} geschrieben.
4. Vereinigungsaxiom:
Für jede Menge A gibt es eine Menge B, die genau die Elemente der
Elemente von A als Elemente enthält.
∀A ∃B ∀C (C ∈ B ←→ ∃D (D ∈ A ∧ C ∈ D))
Auch die Menge B ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung
∪
der Elemente von A, geschrieben als A. Zusammen mit dem
∪
Paarmengenaxiom lässt sich die Vereinigung A ∪ B := {A, B}
definieren.
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5. Unendlichkeitsaxiom:
Es gibt eine (induktive) Menge A, die
• die leere Menge ∅ und
• mit jedem Element x auch die Menge x ∪ {x} enthält.
∃A ( ∃ X ∈ A ∀ Y ∈ A ¬(Y ∈ X) ∧
∀X (X ∈ A → X ∪ {X} ∈ A) )
Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die
kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der
natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch
Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.).
Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch
IN := {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} , . . . }.
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Die weiteren Axiome (6. bis 10.) führen wir ohne prädikatenlogische
Definition der Vollständigkeit halber auf:
6. Potenzmengenaxiom,
7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom,
8. Aussonderungsaxiom,
9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel),
10. Auswahlaxiom.
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6. Potenzmengenaxiom:
Für jede Menge A gibt es eine Menge P , deren Elemente genau die
Teilmengen von A sind.
7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom:
Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B
disjunkt sind.
Das Element B, welches zu A disjunkt ist, ist im allgemeinen nicht
eindeutig bestimmt.
Das Fundierungsaxiom verhindert, dass es unendliche oder zyklische
Folgen von Mengen gibt, bei denen jeweils eine in der nächsten
enthalten ist, x1 3 x2 3 x3 3 . . . , denn dann könnte man eine Menge
A = {x1 , x2 , x3 , . . . } bilden, die dem Axiom widerspricht: Für jedes
xi ∈ A ist xi+1 ∈ xi ∩ A, die beiden Mengen sind also nicht disjunkt.
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8. Aussonderungsaxiom:
Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom zu
jedem einstelligen Prädikat P :
Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge B von A, die genau die
Elemente C von A enthält, für die P (C) wahr ist.
Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, daß es genau eine
solche Menge gibt. Diese wird mit { C ∈ A | P (C) } notiert.
9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel):
Ist A eine Menge und wird jedes Element von A eindeutig durch eine
beliebige Menge ersetzt, so geht A in eine Menge B über.
Die Ersetzung wird präzisiert durch zweistellige Prädikate mit
ähnlichen Eigenschaften wie eine Funktion, und zwar als
Axiomenschema für jedes zweistellige Prädikat F : Die Menge B ist
eindeutig bestimmt und wird als { Y | D ∈ A ∧ F (D, Y ) } notiert.
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xiv
Logik für Informatiker
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10. Auswahlaxiom:
Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann
gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A
enthält.
Dieses Axiom hat eine komplizierte Formel, die mit dem
Eindeutigkeitsquantor ∃! etwas vereinfacht werden kann:
Eine andere übliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet:
Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f
(von A in seine Vereinigung), die jedem Element B von A ein Element
von B zuordnet (ein Element von B auswählt).
In der Mathematik wird häufig auch das Auswahlaxiom benutzt,
das ZF zu ZFC erweitert.
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Theorem von Fermat
Sei n > 2 eine beliebige ganze Zahl.
Dann erfüllen keine 3 positiven ganzen Zahlen a, b und c die Gleichung
an + bn = cn .
Für n = 2 findet man leicht solche Zahlen (vgl. auch Satz von Pythagoras).
∀ n ∈ IN ( n > 2 −→
¬ (∃ a ∈ IN+ ∃ b ∈ IN+ ∃ c ∈ IN+ (an + bn = cn )) ).
Dieses Theorem wurde schon im Jahre 1637 von Pierre de Fermat postuliert,
es konnte aber erst 1995 von Andrew Wiles vollständig bewiesen werden.
Komplexitätstheorie
Eine bislang immer noch unbeantwortete Frage der theoretischen
Informatik ist, ob die beiden Komplexitätsklassen P und N P gleich sind.
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Logische Schaltkreise: Analyse und Optimierung
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Datenbanken und Logikprogrammierung
Relationen in einer Familien–Datenbank:
PARENT
NAME
PARENT
Elizabeth
George
Charles
Elizabeth
William
Charles
G RANDPARENT
NAME
G RANDPARENT
Charles
George
William
Elizabeth
Die Menge aller logischen Fakten zu einem n–stelligen Prädikat – hier
parent und grandparent – entspricht einer n–stelligen Relation:
parent(’Elizabeth’, ’George’),
parent(’Charles’, ’Elizabeth’),
parent(’William’, ’Charles’).
Analog: 3 Fakten für grandparent.
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Familienstammbaum:
-
Charles
Diana
George
- Elizabeth
Philip
-
- William
-
Harry
Anne
- Andrew
-
Edward
Der Familienstammbaum umfaßt hier 4 Generationen; Frauen sind in Rot,
Männer in Blau angezeigt.
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Berechnung der Großeltern:
• in Datenbanken: Tupelkalkül
{ p1 .name, p2 .parent |
parent(p1 ) ∧ parent(p2 ) ∧ p1 .parent = p2 .name }
• in der Logikprogrammierung: Bereichskalkül
{ X, Z |
parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z) }
Tupelvariablen p1 und p2 ; Bereichsvariablen X, Y und Z.
Im Tupelkalkül werden Verbundbedingungen explizit angegeben,
wogegen ein Verbund im Bereichskalkül durch gleichbenannte Variablen
gebildet wird.
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Logikprogrammierung: P ROLOG
Prädikatensymbole: parent, grandparent, ancestor , alle 2–stellig
Regeln: Kopf ← Rumpf , man sagt “ Kopf falls Rumpf ”
Rumpf ist Konjunktion von Atomen oder deren Negation
grandparent(X , Z ) ← parent(X , Y ) ∧ parent(Y , Z )
ancestor (X , Y ) ← parent(X , Y )
ancestor (X , Z ) ← ancestor (X , Y ) ∧ parent(Y , Z )
Bedeutung:
∀X, Y, Z : ((ancestor(X, Y ) ∧ parent(Y, Z)) → ancestor(X, Z))
Fakten: parent(’Elizabeth’, ’George’)
parent(’Charles’, ’Elizabeth’)
parent(’William’, ’Charles’)
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xxi
Logik für Informatiker
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Z
Man kann mittels der Regel
grandparent(X , Z ) ← parent(X , Y ) ∧ parent(Y , Z )
z.B. folgende neuen Fakten ableiten.
I
parent 6
Y grandparent
parent 6
X
Dazu ersetzt man in der Regel die Variablen wie folgt:
• Für { X 7→ ’Charles’, Y 7→ ’Elizabeth’, Z 7→ ’George’ } erhalten wir
grandparent(’Charles’, ’George’) ←
parent(’Charles’, ’Elizabeth’) ∧ parent(’Elizabeth’, ’George’).
Mit Hilfe der entsprechenden Fakten aus dem Regelrumpf kann man
dann grandparent(’Charles’, ’George’) ableiten.
• Für { X 7→ ’William’, Y 7→ ’Charles’, Z 7→ ’Elizabeth’ } kann man
grandparent(’William’, ’Elizabeth’) ableiten.
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Datenbanken: S QL
Falls parent als zweispaltige Relation PARENT realisiert wäre,
so könnte man die Relation G RANDPARENT zu grandparent wie folgt in
S QL berechnen:
C REATE V IEW G RANDPARENT (NAME , G RANDPARENT ) A S
S ELECT P1.NAME , P2.PARENT
F ROM PARENT P1, PARENT P2
W HERE P1.PARENT = P2.NAME
In der entsprechenden Regel wird die Bedingung P1.PARENT = P2.NAME
durch die zweimalige Verwendung der Variablen Y ausgedrückt:
grandparent(X , Z ) ← parent(X , Y ) ∧ parent(Y , Z )
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Vergleich: Transformiert man ein S ELECT–Statement nach P ROLOG, so
ergibt sich folgendes:
• der S ELECT–Teil entspricht dem Regelkopf,
• der F ROM–Teil entspricht den Prädikaten im Regelrumpf,
• Gleicheitsbedingungen aus dem W HERE–Teil können direkt durch
gleiche P ROLOG–Variablen ausgedrückt oder wie alle weiteren
arithmetischen Bedingungen in den Regelrumpf übernommen werden.
In P ROLOG erfolgt die Selektion nicht über Attribute, sondern über die
Argumentposition.
Die Relation A NCESTOR kann man in S QL im allgemeinen nicht
berechnen, da man nicht weiß wieviele Stufen die zugrunde liegende
Relation PARENT hat.
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Logik für Informatiker
1
1.1
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Aussagenlogik
Grundbegriffe der Aussagenlogik
atomare/elementare sprachliche Gebilde:
A = „Bayern München ist deutscher Fußballmeister“
B = „Würzburg ist eine große Stadt“
C = „Würzburg hat über 300.000 Einwohner“
Man nennt diese Gebilde auch atomare Formeln oder Atome.
Atome können – je nach Interpretation – wahr oder falsch sein.
In der Praxis hat man oft eine Standard–Interpretation im Sinne, von der wir
in der Logik aber absehen.
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1
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Wir bezeichnen alle denkbaren Atome mit Buchstaben A, B, C, . . . ,
oder durchnummeriert mit A1 , A2 , . . . , oder mit allgemeinen Zeichenketten
(z.B. „Erkältung“), ohne ihnen eine inhaltliche Interpretation zu geben.
Wir interessieren uns dafür, wie sich die Wahrheitswerte von komplexeren
Formeln aus den Wahrheitswerten der atomaren Formeln zusammensetzen:
F = A ∨ ¬B
Baumdarstellung:
A
B
?
¬
U ∨
?
F
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2
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Wahrheitswerte:
• 0 (falsch),
• 1 (wahr)
4 mögliche Interpretationen:
A B
F
I1
0
0
1
I2
1
0
1
I3
0
1
0
I4
1
1
1
Für jede Belegung I (Interpretation) der beteiligten Atome A und B mit
Wahrheitswerten, ergibt sich der Wahrheitswert I(F ) für die Formel F .
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3
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Definition (Syntax der Aussagenlogik)
Aufbau (komplexer) Formeln
1. Alle atomaren Formeln sind Formeln.
Die Menge der atomaren Formeln bezeichnen wir mit A.
2. Für alle Formeln F und G sind auch
• die Konjunktion (F ∧ G) und
• die Disjunktion (F ∨ G)
Formeln. Die Klammen kann man meist weglassen.
3. Für jede Formel F ist auch die Negation ¬F wieder eine Formel.
Die Menge aller Formeln bezeichnen wir mit F. Es gilt A ⊆ F.
Eine Formel F , die als Teil einer Formel G auftritt, heißt Teilformel von G.
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4
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Beispiel (Formeln, Teilformeln)
• G = (A ∨ ¬B)
hat die Teilformeln A, B, ¬B, G
• F = ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B))
hat die Teilformeln A, B, ¬A, ¬B, (A ∧ B), (¬A ∧ ¬B), F
Abkürzende Schreibweisen:
(F1 → F2 ) für (¬F1 ∨ F2 )
(Implikation)
(F1 ↔ F2 ) für ((F1 ∧ F2 ) ∨ (¬F1 ∧ ¬F2 ))
(Äquivalenz)
∨n
( i=1 Fi ) für (. . . ((F1 ∨ F2 ) ∨ F3 ) ∨ . . . ∨ Fn )
∧n
( i=1 Fi ) für (. . . ((F1 ∧ F2 ) ∧ F3 ) ∧ . . . ∧ Fn )
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5
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Wegen der Kommutativität und der Assoziativität der Junktoren ∧ und ∨,
kommt es auf die Reihenfolge und Klammerung in den folgenden Formeln
nicht an:
(F1 ∧ F2 ) ist gleichwertig zu (F2 ∧ F1 ),
(F1 ∨ F2 ) ist gleichwertig zu (F2 ∨ F1 ),
((F1 ∧ F2 ) ∧ F3 ) ist gleichwertig zu (F1 ∧ (F2 ∧ F3 )),
((F1 ∨ F2 ) ∨ F3 ) ist gleichwertig zu (F1 ∨ (F2 ∨ F3 )).
Es wird sich später zeigen, daß folgende Formeln unter jeder denkbaren
Interpretation I wahr sind; man nennt sie Tautologien:
((F1 ∧ F2 ) ↔ (F2 ∧ F1 )),
((F1 ∨ F2 ) ∨ F3 ) ↔ (F1 ∨ (F2 ∨ F3 )),
(¬(F1 ∧ F2 ) ↔ (¬F1 ∨ ¬F2 )).
Die letzte Formel entspricht einer der beiden Regeln von De Morgan.
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6
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Die beiden arithmetischen Operatoren Multiplikation und Addition sind
ebenfalls kommutativ und assoziativ, die Division allerdings nicht:
8 ÷ 4 = 2 6= 0.5 = 4 ÷ 8,
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 1 6= 4 = 8 ÷ (4 ÷ 2).
Es gilt wie in der Arithmetik die Regel “Punkt vor Strich”.
Dabei entspricht die Konjunktion ∧ der Multiplikation (Punkt),
und die Disjunktion ∨ entspricht der Addition (Strich). Also gilt:
• F1 ∧ F2 ∨ F3 entspricht (F1 ∧ F2 ) ∨ F3 .
• Die andere Zusammenfassung F1 ∧ (F2 ∨ F3 ) erreicht man durch
Klammerung.
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7
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Wahrheitswerte: 0,1
Boolesche Operatoren: ∧, ∨, ¬
Verknüpfungstafeln:
∧
0 1
∨ 0
1
0
0 0
0
0
1
1
0 1
1
1
1
¬
0 1
1 0
abgeleitete Verknüpungstafeln:
F →G 0
1
F ↔G
0 1
0
1
1
0
1 0
1
0
1
1
0 1
vertikal F , horizontal G
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8
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Definition (Semantik der Aussagenlogik)
Eine Interpretation ist eine Abbildung
I : D → {0, 1},
die zunächst für eine Teilmenge D ⊆ A der atomaren Formeln definiert ist
(Belegung). Sie kann wie folgt zu einer (partiellen) Abbildung
I : F → {0, 1}
auf der Menge F aller Formeln erweitert werden:
1. Für atomare Formeln A ∈ D ist I bereits definiert.
2. Für Konjunktionen und Disjunktionen gilt
I((F ⊗ G)) = I(F ) ⊗ I(G),
für ⊗ ∈ {∧, ∨} (Homomorphismus).
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9
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D.h.
I((F ∧ G))
I((F ∨ G))

1, falls I(F ) = 1 und I(G) = 1
=
0, sonst

1, falls I(F ) = 1 oder I(G) = 1
=
0, sonst
3. Für eine Formel ¬F gilt I(¬F ) = ¬I(F ).
D.h.

1 falls I(F ) = 0
I(¬F ) =
0, sonst
Induktive Definition:
„von einfachen Formeln auf komplexere Formeln gehen“
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10
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Eine Interpretation I heißt zu einer Formel F passend, falls I für alle in F
vorkommenden atomaren Formeln A definiert ist (d.h. A ∈ D).
Dann ist die Erweiterung von I auch auf F definiert, d.h. I(F ) ∈ {0, 1}.
Ansonsten erklären wir I auf F als undefiniert.
Beispiel (Interpretationen)
Zur Formel
F = ¬((A ∧ B) ∨ C)
sind die folgenden beiden Interpretation I und J passend:
I
A B
C
1
0
1
J
A B
C
D
1
0
1
1
I und J definieren alle in F vorkommenden Atome, nämlich A, B und C.
J definiert sogar noch ein weiteres Atom D.
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11
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Formel:
F = ¬((A ∧ B) ∨ C)
Baumdarstellung:
A
B
R
∧
R
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C
∨
?
¬
?
F
12
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Interpretation I:
I
A B
C
1
0
1
Auswertung der Formel:
I(¬ ((A ∧ B) ∨ C)) =
I(A) = 1
¬ I((A ∧ B) ∨ C) =
¬ (I(A ∧ B) ∨ I(C)) =
¬ (((I(A) ∧ I(B)) ∨ I(C)) = 0.
| {z } | {z } | {z }
1
1
0
|
{z
}
1
|
{z
}
1
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R
I(B) = 1
I(C) = 0
∧ 1
R
∨ 1
?
¬ 0
?
I(F ) = 0
13
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Boolesche Funktion
Wenn man eine Formel F als boolesche Funktion f auffaßt, die zu
gegebenen Wahrheitswerten ai = I(Ai ) für die in F vorkommenden Atome
Ai einen Wahrheitswert berechnet, dann gilt
f (a1 , . . . , an ) = I(F ).
Also kann man z.B. für F = ¬ ((A1 ∧ A2 ) ∨ A3 ) schreiben:
f (a1 , a2 , a3 ) = ¬ ((a1 ∧ a2 ) ∨ a3 ),
f (1, 1, 0) = ¬ ((1 ∧ 1) ∨ 0) = 0.
Die Interpretation I wird also zu einer Variablenbelegung (1, 1, 0):
I
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A1
A2
A3
1
1
0
14
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Exkurs: Auswertung in P ROLOG
In der Logikprogrammierung werden auch die Rückgabewerte von
Berechnungen als Parameter der zugehörigen Prädikate behandelt.
Sei die Liste Assignment = [A1 =v1 ,...,An =vn ] eine Zuweisung
von Wahrheitswerten vi an die atomaren Formeln Ai , d.h. eine
Interpretation.
Für eine atomare Formel A wird der Wahrheitswert Value mittels
member(A=Value, Assignment) in Assignment nachgeschaut:
evaluate_boolean_formula(Assignment, A, Value) :boolean_formula_is_atomic(A),
member(A=Value, Assignment).
Mittels boolean_formula_is_atomic(A) wird getestet, ob A eine
atomare Formel ist, d.h. ohne Konjunktion, Disjunktion bzw. Negation.
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15
Logik für Informatiker
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Berechnungsbeispiel mit Trace in P ROLOG:
[trace] ?- Formula = a,
Assignment = [a=1, b=0],
eval(Assignment, Formula, Value).
Call: (8)
Call: (9)
Exit: (9)
Call: (9)
Exit: (9)
Exit: (8)
Value = 1.
eval([a=1, b=0], a, Value) ? creep
boolean_formula_is_atomic(a) ? skip
boolean_formula_is_atomic(a) ? creep
member(a=Value, [a=1, b=0]) ? skip
member(a=1, [a=1, b=0]) ? skip
eval([a=1, b=0], a, 1) ? skip
evaluate_boolean_formula wurde als eval abgekürzt.
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16
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Konjunktion in P ROLOG
/* boolean_and(U, V, W) <W is derived as the boolean conjunction
of the truth values U and V. */
boolean_and(0,
boolean_and(0,
boolean_and(1,
boolean_and(1,
0,
1,
0,
1,
0).
0).
0).
1).
Das Prädikat boolean_and/3 ist hier als Wahrheitswertetabelle
realisiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
17
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Berechnungsbeispiel:
?- boolean_and(1, 0, W).
W = 0 .
Man kann die Berechnung sogar umkehren, und nach allen Paaren von
Wahrheitswerten U und V fragen, deren Konjunktion 0 ist:
?- boolean_and(U, V, 0).
U = 0, V = 0 ;
U = 0, V = 1 ;
U = 1, V = 0
Dabei wird durch die Eingabe von ; hinter einer Lösung die Berechnung
der nächsten Lösung angestoßen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
18
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Auswertung komplexer Formeln
Der Wahrheitswert einer Konjunktion (A,B) ergibt sich durch
Konjunktion der Wahrheitswerte der beiden Glieder A und B:
evaluate_boolean_formula(
Assignment, (A,B), Value) :evaluate_boolean_formula(Assignment, A, V_A),
evaluate_boolean_formula(Assignment, B, V_B),
boolean_and(V_A, V_B, Value).
Zunächst werden die Wahrheitswerte V_A und V_B der beiden Glieder A
und B berechnet, danach deren Konjunktion.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
19
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Im D DK ist auch folgende funktionale Schreibweise möglich:
evaluate_boolean_formula(
Assignment, (A,B), Value) :Value <= boolean_and(
evaluate_boolean_formula(Assignment, A),
evaluate_boolean_formula(Assignment, B) ).
Jetzt wird direkt ein verschachtelter Ausdruck ausgewertet, anstelle mittels
evaluate_boolean_formula/3 (unten abgekürzt: eval ) vorher die
Zwischenresultate V_A und V_B zu erzeugen. Zugehörige Umformung:
eval (I, A, VA ), eval (I, B, VB ), and (VA , VB , V ) 7→
VA <= eval (I, A), VB <= eval (I, B), V <= and (VA , VB ) 7→
V <= and (eval (I, A), eval (I, B)).
I steht für Assignment und V für Value.
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20
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Wahrheitswert einer Disjunktion (A;B) ist 1, falls der Wahrheitswert
von mindestens einem der beiden Glieder A und B gleich 1 ist, sonst ist
er 0:
evaluate_boolean_formula(
Assignment, (A;B), Value) :evaluate_boolean_formula(Assignment, A, V_A),
evaluate_boolean_formula(Assignment, B, V_B),
boolean_or(V_A, V_B, Value).
boolean_or(0,
boolean_or(0,
boolean_or(1,
boolean_or(1,
Prof. Dr. Dietmar Seipel
0,
1,
0,
1,
0).
1).
1).
1).
21
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Wahrheitswert einer Negation -A ergibt sich durch Negation des
Wahrheitswerts von A.
evaluate_boolean_formula(Assignment, -A, Value) :evaluate_boolean_formula(Assignment, A, V_A),
boolean_not(V_A, Value).
boolean_not(0, 1).
boolean_not(1, 0).
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22
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Berechnungsbeispiel:
?- Formula = -((a,b;c)),
Assignment = [a=1, b=1, c=0],
evaluate_boolean_formula(
Assignment, Formula, Value).
Value = 0
Es gilt “Punkt vor Strich”, d.h.
-((a,b;c)) bedeutet -((a,b);c) bzw. ¬((a ∧ b) ∨ c).
Die zusätzliche äußere Klammerung in -((a,b;c)) ist erforderlich.
In der ungeklammerten Formel -(a,b;c) faßt P ROLOG das - als binären
Operator mit den zwei Argumenten a und b;c auf.
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23
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Trace in P ROLOG:
?- trace.
true.
[trace]
Call:
Call:
Call:
Exit:
Call:
Exit:
Call:
Exit:
Exit:
Prof. Dr. Dietmar Seipel
?- eval([a=1, b=1, c=0], -((a,b;c)), Value).
(7)
(8)
(9)
(9)
(9)
(9)
(9)
(9)
(8)
eval(..., - (a,b;c), _G402) ? creep
eval(..., (a,b;c), _G573) ? creep
eval(..., (a,b), _G573) ? skip
eval(..., (a,b), 1) ? creep
eval(..., c, _G579) ? skip
eval(..., c, 0) ? creep
or(1, 0, _G582) ? skip
or(1, 0, 1) ? creep
eval(..., (a,b;c), 1) ? creep
24
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Call: (8) not(1, _G402) ? skip
Exit: (8) not(1, 0) ? creep
Exit: (7) eval(..., - (a,b;c), 0) ? creep
Value = 0 .
[trace]
?-
Aus Platzgründen haben wir die Prädikatensymbole abgekürzt und die
Variablenbelegung [a=1, b=1, c=0] in eval/3 mittels ...
angedeutet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
25
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Modelle
Definition (Modelle)
Sei F eine Formel und I : D → {0, 1} eine Interpretation.
1. I ist ein Modell von (für) F , falls
• I zu F passend ist und
• I(F ) = 1 gilt.
Schreibweise: I |= F .
Dann sagen wir auch: F gilt unter (in, bezüglich) I.
2. Andernfalls ist I kein Modell von (für) F .
Schreibweise: I 6|= F .
Dann sagen wir auch: F gilt unter I nicht.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
26
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Modelle)
Die folgende Formel F repräsentiert des exklusive Oder:
F = (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) ≡ A ⊕ B.
Interpretationen:
I1
A
B
0
1
I2
A
B
1
1
I1 und I2 sind passend zu F , aber nur I1 ist ein Modell für F :
I1 F, I2 2 F .
Es gibt hier noch ein weiteres Modell I3 für F :
I3
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A
B
1
0
27
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Man kann alle möglichen passenden Interpretationen über den in F
vorkommenden atomaren Formeln in einer Wahrheitswertetafel
zusammenstellen:
A
B
F
I4
0
0
0
I1
0
1
1
I3
1
0
1
I2
1
1
0
In der Spalte für F wird der Wahrheitswert I(F ) angegeben.
I ist ein Modell für F , g.d.w. I(F ) = 1 ist.
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28
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Erfüllbarkeit, Gültigkeit)
1. Eine Formel F heißt erfüllbar, falls F mindestens ein Modell besitzt,
andernfalls unerfüllbar.
2. Eine Menge M von Formeln heißt erfüllbar, falls es eine Interpretation
I gibt, welche für alle Formeln F ∈ M ein Modell ist:
∃(I : D → {0, 1}) : ∀F ∈ M : I F
Insbesondere muß I natürlich auch passend sein zu allen F ∈ M .
3. Eine Formel F heißt gültig (oder Tautologie), falls jede zu F passende
Interpretation ein Modell für F ist.
Dann schreiben wir auch F ; anderenfalls 2 F .
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29
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Erfüllbarkeit, Gültigkeit)
1. Die Formel F = A ∨ B ist erfüllbar:
A B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
2. Die Formel G = A ∨ ¬A ist gültig (Tautologie);
die Formel H = ¬G = ¬(A ∨ ¬A) ist unerfüllbar:
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A G
H
0
1
0
1
1
0
30
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die beiden passenden Interpretationen I1 und I2 erfüllen G:
I1 G, I2 G.
I1
A
I2
0
A
1
3. Die zu H äquivalente Formel H 0 = ¬A ∧ A ist ebenfalls unerfüllbar.
4. Die Formel F = (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) zum exklusiven Oder ist
erfüllbar, aber keine Tautologie:
Prof. Dr. Dietmar Seipel
A B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
31
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Zum Feststellen der Erfüllbarkeit bzw. Gültigkeit einer Formel F genügt es,
die endlich vielen Interpretationen, die genau auf den in F vorkommenden
atomaren Formeln definiert sind, zu testen.
Falls die Formel n verschiedene atomare Formeln enthällt, so sind dies
genau 2n Interpretationen.
Wahrheitswertetafeln:
F1 = A → B,
F2 = (A ∧ (A → B)) → B,
F3 = A ∨ ¬A,
F4 = (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬C).
F2 und F3 sind offenbar Tautologien.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
32
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
A
B
F1
A ∧ F1
F2
A
B
C
F4
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
A
F3
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Offenbar gilt: I(F1 ) = I(A → B) = 1, genau dann, wenn I(A) ≤ I(B).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
33
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Exkurs: Berechnung von Wahrheitswertetafeln in P ROLOG
?- Formula = -((a,b;c)),
Atoms = [a,b,c],
boolean_formula_to_truth_table(Formula, Atoms).
Mittels boolean_formula_to_models(Formula, Atoms,
Models) werden nur die Modelle ausgegeben.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
34
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Satz (Tautologie, Erfüllbarkeit)
Eine Formel F ist genau dann eine Tautologie, wenn ¬F unerfüllbar ist.
Beweis:
F ist eine Tautologie:
⇔ jede zu F passende Interpretation ist ein Modell für F
⇔ jede zu ¬F passende Interpretation ist kein Modell für ¬F
⇔ ¬F besitzt kein Modell
⇔ ¬F ist unerfüllbar
Prof. Dr. Dietmar Seipel
35
Logik für Informatiker
1.2
Wintersemester 2015/16
Äquivalenz und Normalformen
Im folgenden lassen wir – falls möglich – die äußersten Klammern einer
Formel meist weg.
Definition (F ≡ G)
Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle
Interpretation I,
• die sowohl für F als auch für G passend sind,
• I(F ) = I(G) gilt.
Beispiel (Äquivalenz)
1. A ∨ B ≡ B ∨ A
(Kommutativität)
2. A ∨ ¬A ≡ (A ∧ (A → B)) → B
Prof. Dr. Dietmar Seipel
(beides Tautologien)
36
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Ersetzbarkeit
Sei F ≡ F 0 , und H eine Formel, in der F als Teilformel auftritt.
Sei H 0 die Formel, welche man durch Ersetzen aller Vorkommen von F in
H durch F 0 erhält.
Dann gilt H ≡ H 0 .
Beispiel (Ersetzbarkeit)
Aus F ≡ F 0 folgt
F ∧ G ≡ F 0 ∧ G,
(F ∧ G) → K ≡ (F 0 ∧ G) → K.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
37
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Satz (Äquivalenz)
Indempotenz
Absorption
Kommutativität
F ⊗ F ≡ F , für ⊗ ∈ {∧, ∨},
F ∧ (F ∨ G) ≡ F ≡ F ∨ (F ∧ G),
F ⊗ G ≡ G ⊗ F , für ⊗ ∈ {∧, ∨},
Assoziativität
(F ⊗ G) ⊗ H ≡ F ⊗ (G ⊗ H), für ⊗ ∈ {∧, ∨},
Distributivität
F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H),
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H),
Prof. Dr. Dietmar Seipel
38
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Doppelnegation
De Morgan–Regeln
¬(¬F ) ≡ F ,
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G,
¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G,
Resolution
Tautologie–Regeln
F ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ ¬G),
F ∨ G ≡ F , F ∧ G ≡ G,
falls F eine Tautologie ist.
Unerfüllbarkeits–Regeln
F ∨ G ≡ G, F ∧ G ≡ F ,
falls F unerfüllbar ist.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
39
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beweis:
Alle Äquivalenzen können leicht mittels Wahrheitstafeln nachgeprüft
werden:
F
G
F ∧G
¬(F ∧ G)
¬F
¬G ¬F ∨ ¬G ¬¬F
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
Man erkennt:
(DM) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G,
(DN) ¬(¬F ) ≡ F.
Die duale Aussage von (DM) zeigen wir durch Einsetzen von ¬F 0 für F
und von ¬G0 für G und anschließende Doppelnegation.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
40
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aufgrund
• der ersten De Morgan–Regel (DM),
• der Regel für Doppelnegation (DN), und
• der Regel zur Ersetzbarkeit (E)
erhalten wir nun folgendes:
¬F 0 ∧ ¬G0
DN
¬¬(¬F 0 ∧ ¬G0 )
DM
0
0
∨
¬¬G
¬(¬¬F
| {z } | {z })
≡
≡
≡ F0
DN
E
≡
≡ G0
DN
¬(F 0 ∨ G0 )
u.s.w.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
41
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Bemerkungen:
(i) Das Assoziativgesetz erlaubt es bei mehrgliedrigen Konjunktionen
bzw. Disjunktionen auf die Klammerung zu verzichten: z.B. für ∧:
A ∧ B ∧ C ∧ D ≡ (A ∧ B) ∧ (C ∧ D) ≡ A ∧ (B ∧ C) ∧ D ≡
A ∧ (B ∧ (C ∧ D)) ≡ ((A ∧ B) ∧ C) ∧ D ≡ (A ∧ (B ∧ C)) ∧ D
(ii) Aufgrund der Kommutativität wären sogar beliebige Permutationen
von A, B, C, D möglich:
A ∧ B ∧ C ∧ D ≡ B ∧ D ∧ C ∧ A ≡ ...
(iii) Die Distributivität gilt hier symmetrisch für ∧ und ∨, im Gegensatz zu
„ · “ und „+“:
a · (b + c) = a · b + a · c.
Vertauscht mann · und +, so gilt die arithmetische Regel nicht.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
42
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Literal)
Sei A eine atomare Formel.
1. Dann sind A (positives Literal) und seine Negation ¬A (negatives
Literal) Literale.
2. Man nennt die beiden Literale A und ¬A komplementär.
Seien die Li , mit 1 ≤ i ≤ m, Literale.
∧m
1. Die Konjunktion i=1 Li ist unerfüllbar,
falls sie zwei komplementäre Literale enthält.
∧0
2. Die leere Konjunktion K = i=1 Li ist eine Tautologie.
∨m
3. Die Disjunktion i=1 Li ist eine Tautologie,
falls sie zwei komplementäre Literale enthält.
∨0
4. Die leere Disjunktion D = i=1 Li ist unerfüllbar.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
43
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Normalformen
Definition (Normalformen)
Gegeben seien Literale Lij , für 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ni .
1. Eine Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine
Konjunktion von Disjunktionen ist:
∧m ∨ni
F = i=1 ( j=1 Lij ).
2. Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine
Disjunktion von Konjunktionen ist:
∨m ∧ni
F = i=1 ( j=1 Lij ).
Falls F eine Formel über n Atomen ist, so genügt es ni ≤ n zu wählen.
Andernfalls sind die Teil–Disjunktionen/Konjunktionen redundant,
da sie komplementäre Literale enthalten.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
44
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Falls zwei Literale innerhalb derselben
∨ni
1. Disjunktion Di = j=1 Lij komplementär sind, so kann man die
∧m ∨n i
Tautologie Di aus F = i=1 ( j=1
Lij ) entfernen.
∧ni
2. Konjunktion Ki = j=1 Lij komplementär sind, so kann man die
∨m ∧ni
unerfüllbare Teilformel Ki aus F = i=1 ( j=1 Lij ) entfernen.
In beiden Fällen erhält man eine äquivalente, kürzere Formel F 0 .
Beispiel (Komplementäre Literale in Normalform)
(A ∨ B) ∧ (B ∨ ¬B) ≡ (A ∨ B).
(A ∧ B) ∨ (B ∧ ¬B) ≡ (A ∧ B).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
45
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Normalformen)
F = ¬(A ∧ (B ∨ C))
Prof. Dr. Dietmar Seipel
A B C
F
0 0 0
1
0 0 1
1
0 1 0
1
0 1 1
1
1 0 0
1
1 0 1
0
1 1 0
0
1 1 1
0
−→
in DNF: ¬A ∧ ¬B ∧ C
−→
in KNF: ¬A ∨ B ∨ ¬C
46
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
KNF:
FK = (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
DNF:
FD = (¬A ∧ ¬B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨
(¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ ¬C)
DNF und KNF sind nicht eindeutig:
Durch Umformung von F erhalten wir hier eine weitere, kompaktere zu F
äquivalente DNF und KNF:
F = ¬(A ∧ (B ∨ C)) ≡ ¬A ∨ ¬(B ∨ C)
≡ ¬A ∨ (¬B ∧ ¬C) ≡ (¬A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬C)
|
{z
}
|
{z
}
DNF
Prof. Dr. Dietmar Seipel
KNF
47
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die KNF–Darstellung aufgrund der Nullstellen erinnert an die
Polynomdarstellung aus der Analysis.
Ein Polynom vom Grad 2 mit den zwei Nullstellen 2 und 3 und dem
führenden Koeffizienten 1 hat die Darstellung
p(X) = (X − 2) · (X − 3).
Durch die Produktdarstellung wird erreicht, daß das Polynom genau für die
beiden Nullstellen den Wert 0 hat, denn ein Produkt ist genau dann 0, wenn
einer der beiden Faktoren 0 ist.
Auch wenn das Polynom keine zwei Nullstellen hat, kann man eine
ähnliche Überlegung anstellen.
Eine Analogie zur DNF–Darstellung kann man nicht so leicht ziehen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
48
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wahrheitswertetabelle → Normalformen
Zwei Formeln F und G sind (semantisch) äquivalent genau dann, wenn sie
dieselben Wahrheitswertetabellen haben.
Da es nur zwei Wahrheitswerte gibt, genügt es bereits, wenn F und G
dieselben Einsstellen haben:
I(F ) = 1 ⇐⇒ I(G) = 1.
Ebenso genügt es, wenn F und G dieselben Nullstellen haben:
I(F ) = 0 ⇐⇒ I(G) = 0.
Dies muß für alle zu beiden Formeln passenden Interpretationen I gelten.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
49
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Gegeben sei eine Formel F über n Atomen A1 , . . . , An .
DNF:
Ist I eine Interpretation mit I(F ) = 1, so bilden wir eine Konjunktion
αI = αI1 ∧ αI2 ∧ . . . ∧ αIn
der Länge n mit

A ,
i
αIi =
¬Ai ,
falls I(Ai ) = 1
falls I(Ai ) = 0
Dann ist FD eine DNF für F :
∨
FD =
αI .
I: I(F )=1
Für eine Interpretation J ist J(αI ) = 1 genau dann, wenn J = I ist.
Also haben F und FD dieselben Einsstellen, und es gilt F ≡ FD .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
50
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aus den Einsstellen von F bildet man die Konjunktionen αI der DNF:
α(0,0,0)
α(0,0,1)
α(0,1,0)
α(0,1,1)
α(1,0,0)
=
=
=
=
=
¬A ∧ ¬B ∧ ¬C,
¬A ∧ ¬B ∧ C,
¬A ∧ B ∧ ¬C,
¬A ∧ B ∧ C,
A ∧ ¬B ∧ ¬C.
Wir repräsentieren hier eine Interpretation I durch ein Tupel von
Wahrheitswerten.
DNF:
FD = α(0,0,0) ∨ α(0,0,1) ∨ α(0,1,0) ∨ α(0,1,1) ∨ α(1,0,0)
= (¬A ∧ ¬B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨
(¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ ¬C)
Prof. Dr. Dietmar Seipel
51
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
KNF:
Ist I eine Interpretation mit I(F ) = 0, so bilden wir eine Disjunktion
βI = βI1 ∨ βI2 ∨ . . . ∨ βIn
der Länge n mit

¬A ,
i
i
βI =
Ai ,
falls I(Ai ) = 1
falls I(Ai ) = 0
Dann ist FK eine KNF für F :
∧
FK =
βI .
I: I(F )=0
Für eine Interpretation J ist J(βI ) = 0 genau dann, wenn J = I ist.
Also haben F und FK dieselben Nullstellen, und es gilt F ≡ FK .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
52
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aus den Nullstellen von F bildet man die Disjunktionen βI der KNF:
β(1,0,1) = ¬A ∨ B ∨ ¬C,
β(1,1,0) = ¬A ∨ ¬B ∨ C,
β(1,1,1) = ¬A ∨ ¬B ∨ ¬C.
Wir repräsentieren hier eine Interpretation I durch ein Tupel von
Wahrheitswerten.
KNF:
FK = β(1,0,1) ∧ β(1,1,0) ∧ β(1,1,1)
= (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
Prof. Dr. Dietmar Seipel
53
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Eindeutigkeit
Die DNF/KNF, in der jede Konjunktion/Disjunktion die Länge n hat und
jedes Atom Ai genau einmal (als Ai oder als ¬Ai ) enthält, ist eindeutig –
abgesehen von der Reihenfolge der Teilformeln (Kommutativität).
FD = (¬A ∧ ¬B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨
(¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ ¬C)
≡ (¬A ∧ C ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨
(¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ ¬C),
FK = (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
≡ (¬A ∨ C ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C).
Konjunktionen/Disjunktionen mit mehr als n Atomen müssen eines der
Atome entweder doppelt oder komplementär enthalten. Somit können sie
verkürzt bzw. ganz weggelassen werden.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
54
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aus einer KNF GK für eine Formel G kann man eine DNF für die Formel
F = ¬G bilden:
∧n ∨mi
GK = i=1 j=1 Lij
Dann erhalten wir aus GK mittels De Morgan (DM) eine DNF für F :
DM
F = ¬G ≡ ¬GK ≡
n
∨
i=1
¬
mi
∨
j=1
DM
Lij ≡
mi
n ∧
∨
i=1 j=1
¬Lij ≡
mi
n ∧
∨
Lij
i=1 j=1
mit Lij ≡ ¬Lij :

A ,
falls Lij = ¬Ak
k
Lij =
¬Ak , falls Lij = Ak
Analog erhält man aus einer DNF GD für G eine KNF für F = ¬G.
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55
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für die boolesche Formel
F = ¬(A ∨ B)
zum N OR ist G = A ∨ B bereits in DNF.
Mittels De Morgan (DM) kann man daraus eine KNF für F gewinnen:
DM
F = ¬G ≡ ¬A ∧ ¬B.
Diese kann man aufgrund der Resolutions–Regel noch erweitern, so daß
jedes Atom in jeder Disjunktion vorkommt:
• Aus ¬A erhält man durch Erweiterung um B bzw. ¬B die beiden
Disjunktionen ¬A ∨ B und ¬A ∨ ¬B.
• Aus ¬B erhält man durch Erweiterung um A bzw. ¬A die beiden
Disjunktionen A ∨ ¬B und ¬A ∨ ¬B.
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56
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aufgrund der Idempotenz können wir eine der beiden doppelten
Disjunktionen ¬A ∨ ¬B eliminieren und erhalten folgende weitere KNF:
F ≡ (¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) ∧ (A ∨ ¬B).
Man erkennt, daß diese genau die drei Nullstellen von F widerspiegelt:
A
B
G F
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Wir haben also dasselbe Resultat erhalten wie bei der Konstruktion
aufgrund der Wahrheitswertetabelle. Es gilt β(1,0) = ¬A ∨ B,
β(1,1) = ¬A ∨ ¬B und β(0,1) = A ∨ ¬B.
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57
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Existenz und Konstruktion der Normalformen
Durch die obige Konstruktion aus den Konjunktionen αI bzw. den
Disjunktionen βI ist die Existenz einer DNF bzw. KNF für jede Formel F
eigentlich bereits gezeigt.
Der folgende Satz zeigt dies noch einmal, und zwar durch strukturelle
Induktion über den Aufbau der Formel F .
Dabei wird gezeigt, wie man die Normalformen für
1. Negationen,
2. Disjunktionen und
3. Konjunktionen
aus den Normalformen ihrer Bestandteile konstruieren kann.
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58
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Zur Erinnerung: Nach der Definition der Syntax ist eine aussagenlogische
Formel entweder eine atomare Formel, oder
1. die Negation ¬G oder
2. die Disjunktion G ∨ H oder
3. die Konjunktion G ∧ H
von Formeln G und H. Der Funktor der Formel ist dann ¬, ∨ oder ∧.
Beispiel (Zerlegung von Formeln)
• Der Funktor der Formel A ∨ (¬B ∧ C) ist ∨. Man kann sie zerlegen in
G = A und H = ¬B ∧ C.
• Der Funktor der Formel (A ∧ B) ∧ (D ∨ E) ist ∧. Man kann sie
zerlegen in G = A ∧ B und H = D ∨ E.
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59
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Satz (Normalformen)
Für jede Formel F gibt es eine äquivalente Formel F 0 in KNF bzw. DNF.
Beweis: Strukturelle Induktion über den Aufbau der Formel F
Induktionsanfang:
Falls F eine atomare Formel ist, so ist F bereits in KNF bzw. in DNF.
Induktionsschritt:
1. Sei F = ¬G eine Negation:
Nach Induktionsannahme gibt es zu G äquivalente Formeln GK in
KNF und GD in DNF.
Wie bereits gezeigt kann man aus GK / GD eine zu F äquivalente
Formel in DNF / KNF bilden.
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60
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Sei F = G ∨ H eine Disjunktion:
Nach Induktionsannahme gibt es zu G, H äquivalente Formeln
• GK und HK in KNF und
• GD und HD in DNF
der folgenden Form:
∧n
GK = i=1 βi ,
∧n0
HK = j=1 βj0 ,
GD =
HD =
∨m
i=1 αi ,
∨m0 0
j=1 αj .
Dabei sind
• βi , βj0 Disjunktionen und
• αi , αj0 Konjunktionen
von Literalen.
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61
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir erhalten nach dem Distributivgesetz (D) eine KNF:
F
= G ∨ H ≡ G K ∨ HK
∧n0
= GK ∨ j=1 βj0
∧n0
D
0
)
≡
(G
∨
β
K
j
j=1
∧n0 ∧n
0
=
((
β
)
∨
β
i
j)
j=1
i=1
∧n0 ∧n
D
0
≡
j=1 i=1 (βi ∨ βj )
Dies ist eine KNF, da die βi ∨ βj0 Disjunktionen von Literalen sind.
Diese KNF enthält m · n Disjunktionen von Literalen. In der Praxis
kann man diese Darstellung oft vereinfachen.
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62
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir erhalten durch disjunktive Verkettung eine DNF:
F
= G ∨ H ≡ G D ∨ HD
∨m
∨m0 0
= ( i=1 αi ) ∨ ( j=1 αj )
∨m+m0
=
αi
i=1
Dabei setzen wir αm+j = αj0 , für 1 ≤ j ≤ m0 .
Dies eine DNF, da die αi Konjunktionen von Literalen sind.
3. Der Induktionsschritt für eine Konjunktion F = G ∧ H erfolgt analog
zur Disjunktion.
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63
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (DNF, KNF)
Für die Formel F = A ∨ (B ∧ C) ist G = A und H = B ∧ C.
1. Eine KNF für F erhalten wir nach dem Distributivgesetz durch
Kombination der zwei KNFs
• GK = β1 = A und
• HK = β10 ∧ β20 , mit β10 = B und β20 = C.
Die KNF ist (β1 ∨ β10 ) ∧ (β1 ∨ β20 ) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).
2. F ist bereits in DNF. Nach unserem Schema erhalten wir genau diese
DNF durch disjunktive Verkettung der zwei DNFs
• GD = α1 = A und
• HD = α10 = B ∧ C.
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64
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für die Formel F = (A ∨ (D ∧ E)) ∨ (B ∧ C) ist G = A ∨ (D ∧ E) und
H = B ∧ C.
1. Eine KNF für F erhalten wir nach dem Distributivgesetz durch
Kombination der zwei KNFs
• GK = β1 ∧ β2 , mit β1 = A ∨ D und β2 = A ∨ E, und
• HK = β10 ∧ β20 , mit β10 = B und β20 = C.
Die KNF ist
(β1 ∨ β10 ) ∧ (β1 ∨ β20 ) ∧ (β2 ∨ β10 ) ∧ (β2 ∨ β20 ) =
(A ∨ D ∨ B) ∧ (A ∨ D ∨ C) ∧ (A ∨ E ∨ B) ∧ (A ∨ E ∨ C).
2. Eine DNF für F erhalten wir durch Weglassen der Klammerung um G:
A ∨ (D ∧ E) ∨ (B ∧ C).
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65
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Exkurs: Berechnung von Normalformen
Aus dem Beweis ergeben sich P ROLOG–Regeln zur Berechnung von
Normalformen (knf, dnf):
boolean_normalize(knf, (A;B), Cs) :boolean_normalize(knf, A, As),
boolean_normalize(knf, B, Bs),
findall( C,
( member(C1, As),
member(C2, Bs),
append(C1, C2, C) ),
Cs ).
boolean_normalize(dnf, (A;B), Cs) :boolean_normalize(dnf, A, As),
boolean_normalize(dnf, B, Bs),
append(As, Bs, Cs).
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66
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
boolean_normalize(knf, (A,B), Cs) :boolean_normalize(knf, A, As),
boolean_normalize(knf, B, Bs),
append(As, Bs, Cs).
boolean_normalize(dnf, (A,B), Cs) :boolean_normalize(dnf, A, As),
boolean_normalize(dnf, B, Bs),
findall( C,
( member(C1, As),
member(C2, Bs),
append(C1, C2, C) ),
Cs ).
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67
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Zur Berechnung einer KNF für eine Formel ¬A braucht man eine DNF für
die Formel A; analoges gilt für die DNF:
boolean_normalize(knf, -A, Cs) :boolean_normalize(dnf, A, Cs_2),
maplist( literals_to_complements,
Cs_2, Cs ).
boolean_normalize(dnf, -A, Cs) :boolean_normalize(knf, A, Cs_2),
maplist( literals_to_complements,
Cs_2, Cs ).
Das Prädikat literals_to_complements/2 berechnet die
Komplemente zu einer Liste von Literalen.
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68
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für atomare Formeln A wird eine Liste [[A]] bestehend aus einer
Einerliste [A] erzeugt:
boolean_normalize(_, A, [[A]]) :boolean_formula_is_atomic(A),
!.
Man kann jederzeit für weitere Typen von Formeln – wie z.B. Implikation
und exklusives Oder – P ROLOG–Regeln zur Erzeugung einer KNF / DNF
angeben.
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69
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der folgende Test bestimmt den Funktor F und die Stelligkeit N von A.
Wenn das Paar F:N nicht in der angegebenen Menge liegt, d.h. wenn A
keine
• Negation (Funktor “-” mit Stelligkeit 1),
• Konjunktion (Funktor “,” mit Stelligkeit 2) oder
• Disjunktion (Funktor “;” mit Stelligkeit 2)
ist, dann ist A atomar:
boolean_formula_is_atomic(A) :\+ ( functor(A, F, N),
member(F:N, [’-’:1, ’,’:2, ’;’:2]) ).
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70
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Berechnungsbeispiel:
?- Formula = -((a,(b;c))),
boolean_normalize(knf, Formula, Cs),
boolean_normal_form_to_formula(knf, Cs, F).
Cs = [[-a, -b], [-a, -c]],
F = ((-a;-b), (-a;-c))
?- Formula = -((a,(b;c))),
boolean_normalize(dnf, Formula, Cs),
boolean_normal_form_to_formula(dnf, Cs, F).
Cs = [[-a], [-b, -c]],
F = (-a ; -b,-c)
Es gilt wieder “Punkt vor Strich”, d.h.
(-a;-b,-c) bedeutet (-a;(-b,-c)) bzw. ¬a ∨ (¬b ∧ ¬c).
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71
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Weitere Regeln
Für beliebige aussagenlogische Formeln F , F1 , F2 und G gilt:
Resolution:
(F1 ∨ G) ∧ (F2 ∨ ¬G) → F1 ∨ F2 ist eine Tautologie,
(F ∨ G) ∧ (F ∨ ¬G) ≡ F.
Implikation:
F ∨ ¬G ≡ G → F.
Moduns Ponens:
(G ∧ (G → F )) → F ist eine Tautologie.
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72
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Mithilfe der Resolutions–Regel
(F ∨ G) ∧ (F ∨ ¬G) ≡ F
kann eine KNF vereinfacht werden:
HK
= (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
≡ (¬A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬C).
Denn wir können folgende Ersetzungen vornehmen:
(¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C) ≡ (¬A ∨ ¬C),
(¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C) ≡ (¬A ∨ ¬B).
Die Teilformel ¬A ∨ ¬B ∨ ¬C, die in beiden Ersetzungen verwendet wird,
kann man aufgrund der Idempotenz duplizieren.
Aufgrund der Kommutativität und der Assoziativität der Konjunktion ∧
kann man die zu ersetzenden Teilformeln erzeugen.
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73
Logik für Informatiker
1.3
Wintersemester 2015/16
Hornformeln
Definition (Hornformeln)
Eine Formel F ist eine Hornformel, falls F in KNF ist und jedes
Disjunktionglied in F höchstens ein positives Literal enthält.
nach dem Logiker Alfred Horn
Beispiel (Hornformeln)
1. F = (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
ist eine Hornformel.
2. G = A ∨ B
ist keine Hornformel.
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74
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aus der Definition der Implikation F → G ≡ ¬F ∨ G und den Regeln von
De Morgan ergibt sich die Regelschreibweise A1 ∧ . . . ∧ An → B:
¬A1 ∨ . . . ∨ ¬An ∨ B ≡
¬(A1 ∧ . . . ∧ An ) ∨ B ≡ A1 ∧ . . . ∧ An → B.
Wir nennen die Konjunktion A1 ∧ . . . ∧ An den Rumpf und B den Kopf der
Regel. Unter der Annahme, daß die Konjunktion stärker bindet als die
Implikation, können wir die Klammern um den Regelrumpf weglassen.
Wir setzen 0 = 2D (leere Disjunktion) und 1 = 2K (leere Konjunktion).
0 ist eine unerfüllbare Formel, 1 ist eine Tautologie, und es gilt:
¬A1 ∨ . . . ∨ ¬An ≡ ¬(A1 ∧ . . . ∧ An ) ≡ A1 ∧ . . . ∧ An → 0
B ≡ 1→B
Wir nennen A1 ∧ . . . ∧ An → 0 eine Integritätsbedingung, 1 → B ein Fakt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
75
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Folglich kann man eine Hornformel als Konjunktion von Implikationen
schreiben (prozedurale Deutung):
F
H
= (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
≡
(A ∧ C → B) ∧ (A ∧ B → C) ∧ (A ∧ B ∧ C → 0)
=
A ∧ (¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬C)
≡
(1 → A) ∧ (A → B) ∧ (A ∧ C → 0).
Wir können eine KNF–Formel
F = β1 ∧ . . . ∧ βn
auch als Menge von Disjunktionen auffassen:
F = { β1 , . . . , βn }
Dann können wir für die Teilformeln βi ∈ F schreiben.
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76
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Interpretationen als Mengen von Atomen
Eine Menge I von atomaren Formeln repräsentiert eine Interpretation I 0
von F :

1, falls A ∈ I
I 0 (A) =
0, falls A ∈
/I
Beispiel
Die Menge I = { A, C } repräsentiert die folgende Interpretation:
I0
A
B
C
D
1
0
1
0
I 0 ist hier nur für eine Auswahl von Atomen, die uns interessieren,
angegeben.
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77
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
I verletzt eine Regel
A1 ∧ . . . ∧ An → B,
falls { A1 , . . . , An } ⊆ I und B 6∈ I.
Die zugehörige Interpretation I 0 ist noch kein Modell der Regel,
da sie den Regelrumpf erfüllt, nicht aber den Regelkopf.
• Falls B = 0 ist (Integritätsbedingung), so kann I nicht zu einer Menge
erweitert werden, die ein Modell der Regel repräsentiert.
• Andernfalls repräsentiert die um das Atom B aus dem Regelkopf
erweiterte Menge I ∪ { B } ein Modell der Regel.
Beispiel
Die obige Interpretation zu I = { A, C } verletzt die Regel A → B,
da A ∈ I und B 6∈ I.
I kann zu einem Modell I ∪ { B } = { A, B, C } erweitert werden.
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78
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Effizienter Erfüllbarkeitstest für Hornformeln F
1. Sei I die Menge aller Kopfatome B zu den Fakten (1 → B) ∈ F .
2. Solange sich I verändert:
• Falls es eine verletzte Integritätsbedingung
(A1 ∧ . . . ∧ An → 0) ∈ F gibt, so ist F unerfüllbar, und der
Algorithmus kann stoppen. Wir setzen dann I = 5.
• Andernfalls fügen wir die Menge J aller atomaren Formeln B zu
den verletzten Regeln (A1 ∧ . . . ∧ An → B) ∈ F zu I hinzu:
I = I ∪ J.
Falls am Ende I 6= 5 gilt, so ist F ist erfüllbar, und I repräsentiert ein
Modell I 0 von F .
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79
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Erfüllbarkeitstest)
F
= (¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ A ∧ D ∧ (¬D ∨ B) ∧ (¬C ∨ ¬E)
≡ (A ∧ B → C) ∧ (1 → A) ∧ (1 → D) ∧ (D → B) ∧ (C ∧ E → 0)
Nach Schritt 1 erhalten wir wegen (1 → A), (1 → D) ∈ F :
I0 = { A, D }.
Nach i Durchläufen von Schritt 2:
I1 = { A, D, B }, wegen (D → B) ∈ F,
I2 = { A, D, B, C }, wegen (A ∧ B → C) ∈ F.
Die Regel (C ∧ E → 0) feuert als einzige nicht, so daß am Ende I2 ein
Modell I20 von F repräsentiert:
I20
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A
B
C
D
E
1
1
1
1
0
80
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Eigenschaften des Erfüllbarkeitstests
Zu jedem Zeitpunkt des Algorithmus gilt für die aktuelle Menge I:
Für alle Atome A ∈ I und alle Modelle M von F gilt M (A) = 1
(falls es überhaupt Modelle M von F gibt).
Beweis durch vollständige Induktion über die Anzahl N der
Schleifendurchläufe:
N = 0: Ist (1 → B) ∈ F , so muß offenbar M (B) = 1 gelten.
N → N + 1: Seien A1 , . . . , An ∈ I nach N Schleifendurchläufen.
Dann gilt nach Induktionsannahme für jedes Modell M von F :
• Ist r = (A1 ∧ . . . ∧ An → B) ∈ F dann gilt auch M (B) = 1,
sonst würde M 6|= r gelten. Also gilt auch für das im N + 1–ten
Schleifendurchlauf zu I hinzukommende Atom B: M (B) = 1.
• Ist r = (A1 ∧ . . . ∧ An → 0) ∈ F , dann gibt es kein Modell M
für F , denn aus M (A1 ) = . . . = M (An ) = 1 folgt M 6|= r.
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81
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Falls der Algorithmus mit I 6= 5 terminiert, so ist I 0 ein Modell für F ,
denn für alle Implikationen r ∈ F gilt I 0 |= r:
• Fakt r = (1 → B):
Nach Schritt 1 gilt B ∈ I und somit I 0 (B) = 1, d.h. I 0 |= r.
• Integritätsbedingung r = (A1 ∧ . . . ∧ An → 0):
Für mindesten ein i gilt Ai ∈
/ I,
sonst hätte der Algorithmus mit I = 5 gestoppt.
Deshalb gilt I 0 (A1 ∧ . . . ∧ An ) = 0, und somit I 0 |= r.
• Regel r = (A1 ∧ . . . ∧ An → B):
I 0 (A1 ∧ . . . ∧ An ) = 1 ist äquivalent zu A1 ∈ I, . . . , An ∈ I.
Also ist B ∈ I, sonst würde Schritt 2 noch einmal ausgeführt.
Dies ist wiederum gleichbedeutend mit I 0 (B) = 1.
Also gilt I 0 |= r.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
82
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Minimale Modelle, kleinstes Modell
Sei M eine Klauselmenge.
1. Ein Modell I 0 von M heißt minimal, falls die zugehörige Menge
I = { A | I 0 (A) = 1 } von wahren Atomen minimal ist: d.h., es gibt
kein anderes Modell J 0 von M mit J = { A | J 0 (A) = 1 } ( I.
2. Ein Modell I 0 von M heißt kleinstes Modell, falls für alle Modelle J 0
von M gilt: I ⊆ J.
Wenn es ein kleinstes Modell gibt, so ist dieses eindeutig; außerdem ist es
dann auch das einzige minimale Modell.
Sei F eine Hornformel.
1. Bei Erfüllbarkeit berechnet der Test das kleinste Modell I 0 für F .
Definiert man 0 < 1, so gilt I 0 (A) ≤ J 0 (A), für alle Atome A.
2. Falls der Algorithmus mit I = 5 stoppt, so gibt es kein Modell für F .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
83
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
{A, B}
Beispiel (Minimale Modelle, kleinstes Modell)
1. Die Formel
G = A∨B
{A}
{B}
∅
hat zwei minimale Modelle I10 und I20 mit den folgenden zugehörigen
Mengen I1 = { A } und I2 = { B } von wahren Atomen.
Also hat G kein kleinstes Modell, und somit gibt es keine zu G
äquivalente Hornformel.
Daneben hat G noch ein nicht–minimales Modell zu I3 = { A, B }.
2. Die erweiterte Formel
H = (A ∨ B) ∧ ¬B
ist dagegen äquivalent zur folgenden Hornformel:
H ≡ A ∧ ¬B.
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84
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Terminierung
Sei nF die Anzahl der atomaren Formeln in F .
Da in jeder außer der letzten Iteration mindestens ein Atom zu I
hinzukommen muß, stoppt der Erfüllbarkeitstest nach höchstens nF
Iterationen.
Satz (Korrektheit des Erfüllbarkeitstests)
1. Falls der Algorithmus mit I 6= 5 terminiert, so repräsentiert die
berechnete Menge I ein Modell für F, ja sogar das kleinste Modell für
F , und F ist erfüllbar.
2. Falls der Algorithmus mit I = 5 terminiert, so gibt es kein Modell für
F , und F ist unerfüllbar.
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85
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Regeln, Fakten und Integritätsbedingungen
1. Regeln
A1 ∧ . . . ∧ An → B
mit n ≥ 1 und B 6= 0 dienen beim Erfüllbarkeitstest zu Erweiterung
der Menge I von Atomen.
2. Hornformeln F ohne Fakten
1→B
sind immer erfüllbar, und die berechnete Menge I ist leer:
I = ∅, d.h., in I 0 sind alle Atome falsch.
3. Hornformeln F ohne Integritätsbedingungen
A1 ∧ . . . ∧ An → 0
sind immer erfüllbar.
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86
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Logikprogrammierung
Wenn wir in Hornformeln komplexere Atome zulassen, dann sind wir bei
einem Spezialfall der Prädikatenlogik, nämlich der Logikprogrammierung.
Die Regel
grandparent(X , Z ) ← parent(X , Y ) ∧ parent(Y , Z )
entspricht der Konjunktion aller Instanzen
parent(x , y) ∧ parent(y, z ) → grandparent(x , z ),
bei denen die Variablen X, Y, Z durch Personen x, y, z ersetzt wurden.
Ein Beispiel wäre die Instanz
parent(’William’, ’Charles’) ∧ parent(’Charles’, ’Elizabeth’) →
grandparent(’William’, ’Elizabeth’).
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87
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Zusammen mit den Fakten
1 → parent(’Elizabeth’, ’George’),
1 → parent(’Charles’, ’Elizabeth’),
1 → parent(’William’, ’Charles’),
würde der Erfüllbarkeitstest folgende Mengen ableiten:
I0 = { parent(’Elizabeth’, ’George’),
parent(’Charles’, ’Elizabeth’),
parent(’William’, ’Charles’) },
I1 = I0 ∪ { grandparent(’Charles’, ’George’),
grandparent(’William’, ’Elizabeth’) }.
Er würde bereits nach der ersten Iteration keine neuen Fakten mehr ableiten.
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88
Logik für Informatiker
1.4
Wintersemester 2015/16
Minimale Modelle für Klauselmengen
Eine Klausel ist eine Disjunktion von Literalen.
Aus der Definition der Implikation F → G ≡ ¬F ∨ G und den Regeln von
De Morgan ergibt sich eine Implikationsschreibweise für Klauseln:
¬A1 ∨ . . . ∨ ¬An ∨ B1 ∨ . . . ∨ Bk ≡
¬ (A1 ∧ . . . ∧ An ) ∨ (B1 ∨ . . . ∨ Bk ) ≡
A1 ∧ . . . ∧ An → B1 ∨ . . . ∨ Bk
Unter der Annahme, daß auch die Disjunktion stärker bindet als die
Implikation, können wir auch die Klammern um den Regelkopf
B1 ∨ . . . ∨ Bk weglassen. Dann gilt außerdem:
¬A1 ∨ . . . ∨ ¬An ≡ ¬ (A1 ∧ . . . ∧ An ) ≡ A1 ∧ . . . ∧ An → 0
B1 ∨ . . . ∨ Bk ≡ 1 → B1 ∨ . . . ∨ Bk
Prof. Dr. Dietmar Seipel
89
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Eine KNF–Formel β1 ∧ . . . ∧ βn kann somit als endliche Klauselmenge
M = { β1 , . . . , βn } in Implikationsschreibweise aufgefaßt werden.
1. Man nennt Implikationen der Art
A1 ∧ . . . ∧ An → B1 ∨ . . . ∨ Bk
auch Regeln.
2. Regeln mit n = 0 Rumpfatomen nennen wir Fakten:
1 → B1 ∨ . . . ∨ Bk
Falls M keine Fakten enthält, ist M immer erfüllbar, und M hat ein
kleinstes Modell I 0 , in dem alle Atome falsch sind.
3. Regeln mit k = 0 Kopfatomen nennen wir Integritätsbedingungen:
A1 ∧ . . . ∧ An → 0
M ist erfüllbar, falls es keine Integritätsbedingungen enthält.
1 ist die leere Konjunktion, und 0 ist die leere Disjunktion.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
90
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Modelle)
1. M = { c → a ∨ b } enthält keine Fakten.
Somit hat M ein kleinstes Modell, in dem alle Atome falsch sind.
2. M = { 1 → a ∨ b } hat bekanntermaßen zwei minimale Modelle,
nämlich zu den Mengen I1 = { a } und I2 = { b } von Atomen,
sowie ein nicht–minimales Modell zu I3 = { a, b }.
3. M = { 1 → a, a → 0 } ist unerfüllbar.
Wegen des Fakts 1 → a müßte eine Modell a wahr machen, was
wegen der Integritätsbedingung a → 0 aber unmöglich ist.
Für viele praktische Anwendungen ist man nur an den minimalen Modellen
einer Klauselmenge interessiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
91
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Man kann den Erfüllbarkeitstest zu einem Algorithmus zur Bestimmung der
minimalen Modelle einer endlichen Klauselmenge M erweitern.
Der erweiterte Algorithmus arbeitet nicht mit einer einzigen Menge I von
Atomen, sondern mit einer Menge I solcher Mengen von Atomen.
Die Mengen I ∈ I werden nach folgender Schlußregel erweitert:
{ A1 , . . . , An } ⊆ I, (A1 ∧ . . . ∧ An → B1 ∨ . . . ∨ Bk ) ∈ M
I ∪ { B1 }, . . . , I ∪ { Bk }
Aus einer Menge I werden also k Mengen I ∪ { Bi }.
A1
Die Menge I kann man als Baum veranschaulichen.
..?
.
An
1. Jeder Ast entspricht einer Menge I ∈ I.
2. Falls man alle Atome Ai auf dem Ast finden kann,
so wird der Ast um eine Verzweigung erweitert.
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B1
...
^
Bk
92
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Berechnung der minimalen Modelle)
Für die Klauselmenge
M = { b1 → a, b2 → a, 1 → b1 ∨ b2 }
erhalten wir die folgende Mengenfolge:
I0 = { ∅ },
b1
I1 = { { b1 }, { b2 } },
?
a
In = { { a, b1 }, { a, b2 } }, für alle n ≥ 2.
R
b2
?
a
Zur Erweiterung von I = ∅ können nur Fakten verwendet werden.
Zuerst wird I = ∅ wegen des Fakts 1 → b1 ∨ b2 um b1 bzw. b2 erweitert.
Beide Erweiterungen können dann wegen der Regel bi → a jeweils um a
erweitert werden.
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93
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der gezeigte Baum T1 entspricht genau der Berechnung.
T1 :
T2 :
b1
?
a
R
?
a
b2
?
a
b1
R
b2
Der kompaktere Baum T2 repräsentiert ebenfalls die Resultatsmenge
I2 = { { a, b1 }, { a, b2 } },
er spiegelt aber nicht die Berechnungsreihenfolge wider.
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94
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Regel: feuert, verletzt)
Sei I eine Menge von Atomen.
1. Eine Regel
A1 ∧ . . . ∧ An → B1 ∨ . . . ∨ Bk
feuert unter I falls { A1 , . . . , An } ⊆ I.
2. I verletzt eine Regel
A1 ∧ . . . ∧ An → B1 ∨ . . . ∨ Bk ,
falls { A1 , . . . , An } ⊆ I und { B1 , . . . , Bk } ∩ I = ∅.
Falls I eine Regel verletzt, so ist die zugehörige Interpretation noch kein
Modell dieser Regel, da sie den Rumpf erfüllt, nicht aber den Kopf.
Wenn man I um eines der Kopfatome Bi erweitert, so verletzt I ∪ { Bi }
die Regel nicht mehr.
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95
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Berechnung der minimalen Modelle einer Klauselmenge behandelt
Fakten 1 → B1 ∨ . . . ∨ Bk nicht separat, sondern als Regeln
A1 ∧ . . . ∧ An → B1 ∨ . . . ∨ Bk
mit n = 0 Rumpfatomen.
• Ein Fakt feuert unabhängig von I, da { A1 , . . . , An } = ∅ ⊆ I.
• I verletzt ein Fakt, falls { B1 , . . . , Bk } ∩ I = ∅.
Während wir beim Erfüllbarkeitstest mit den Kopfatomen der Fakten
starten, kann die Berechnung nun mit I = { ∅ } starten.
Am Anfang werden dann offensichtlich von I = ∅ genau die Fakten
verletzt; diese feuern im ersten Erweiterungsschritt und erweitern I.
Später müssen die Fakten – genau wie alle anderen Regeln, die schon
gefeuert haben – nicht mehr berücksichtigt werden.
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96
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Berechnung startet mit I = { ∅ }, d.h. mit einer leeren Menge I in I.
I wird schrittweise verändert durch Erweiterung bzw. Eliminierung seiner
Elemente I ∈ I.
Zur Erweiterung von I werden alle von I verletzten Regeln
r1 , . . . , rm ∈ M herangezogen.
Wenn wir aus jeder Regel ri ein Kopfatom Bi auswählen, dann repräsentiert
die Erweiterung J = I ∪ { B1 , . . . , Bm } ein Modell dieser Regeln.
Sei I M die Menge all dieser Erweiterungen J:
I M = { I ∪ { B1 , . . . , Bm } |
für alle 1 ≤ i ≤ m : Bi ist ein Atom aus dem Kopf von ri }.
Falls I keine Regeln verletzt, so ist I M = { I }.
Dann ersetzen wir I in I durch die Erweiterungen aus I M .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
97
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Berechnung der minimalen Modelle)
Für die Klauselmenge
M = { 1 → b, b → a1 ∨ a2 , b → c1 ∨ c2 }
erhalten wir
∅M
= { { b } },
{ b }M = { { b, a1 , c1 }, { b, a1 , c2 }, { b, a2 , c1 }, { b, a2 , c2 } },
denn
• I = ∅ verletzt nur das Fakt 1 → b, und
• I = { b } verletzt die beiden Regeln b → a1 ∨ a2 und b → c1 ∨ c2 ,
so daß man 4 Erweiterungen J bilden kann.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
98
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Damit erhalten wir die folgende Mengenfolge:
I0 = { ∅ },
?
b
I1 = { { b } },
In = { { b, a1 , c1 },
{ b, a1 , c2 },
{ b, a2 , c1 },
{ b, a2 , c2 } }, für alle n ≥ 2.
a1
c1
^
c2
R
c1
a2
^
c2
Zuerst wird I = ∅ wegen des Fakts 1 → b um b erweitert.
Dann wird I = { b } aufgrund der verletzten Regeln b → a1 ∨ a2 und
b → c1 ∨ c2 in einem Schritt zu 4 Mengen erweitert.
Die Mengen I ∈ I2 verletzen keine Regeln mehr.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
99
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für die Klauselmenge
M = { 1 → a1 ∨ a2 , 1 → c1 ∨ c2 }
erhalten wir
∅M = { { a1 , c1 }, { a1 , c2 }, { a2 , c1 }, { a2 , c2 } }.
Da Fakten 1 → B1 ∨ . . . ∨ Bk spezielle Regeln
A1 ∧ . . . ∧ An → B1 ∨ . . . ∨ Bk
mit n = 0 Rumpfatomen sind,
• verletzt I = ∅ beide Fakten in M ,
• so daß man 4 Erweiterungen J bilden kann.
1 steht für die leere Konjunktion, die in jeder Interpretation erfüllt ist.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
100
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Ein Berechnungsast zu I kann in zwei Fällen auch wieder absterben:
1. Falls eine Integritätsbedingung r ∈ M unter I verletzt ist,
so stirbt der Ast ab.
Da r dann eine Regel mit k = 0 Kopfatomen ist, kann man kein
Kopfatom wählen, um r zu erfüllen. Also gilt I M = ∅.
Wenn wir wieder I durch die Mengen aus I M ersetzen, dann wird I
faktisch eliminiert. Dies entspricht der Setzung I = 5 aus dem
bekannten Erfüllbarkeitstest.
2. Wir wollen nur die minimalen Modelle berechnen.
Deswegen kann man zusätzlich noch einen Ast absterben lassen,
falls es einen anderen Ast zu einer kleineren Menge J ( I gibt.
Wir sagen dann J subsumiert I.
In beiden Fällen wird I aus I eliminiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
101
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (min(I))
Sei I eine Menge von Mengen von Atomen.
Dann enthält min(I) alle I ∈ I, für die es keine Menge J ∈ I, mit J ( I,
gibt.
Beispiel (Minimale Interpretationen)
Für die Menge
I = { { a, b }, { a, b, a2 }, { a, b, c2 }, { a2 , b, c2 } }
gilt min(I) = { { a, b }, { a2 , b, c2 } }.
Die beiden nicht–minimalen Mengen { a, b, a2 } und { a, b, c2 } werden von
{ a, b } subsumiert und somit eliminiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
102
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Berechnung der minimalen Modelle)
1. Für die Klauselmenge
M = { a → c, 1 → a ∨ b, a ∧ c → 0 }
erhalten wir die folgende Mengenfolge:
I0 = { ∅ },
I1 = { { a }, { b } },
a
I2 = { { a, c }, { b } },
In = { { b } }, für alle n ≥ 3.
^
b
?
?
c
Der Ast zu { a, c } stirbt im dritten Schritt wegen der verletzten
Integritätsbedingung a ∧ c → 0 ab.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
103
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Für die Klauselmenge
?
b
M = { 1 → b, b → a ∨ a2 , b → a ∨ c2 }
erhalten wir die folgende Mengenfolge:
I0 = { ∅ },
I1 = { { b } },
a
a
^
? c2
R
a2
a?
^
c2
In = { { b, a }, { b, a2 , c2 } }, für alle n ≥ 2.
Zuerst wird I = ∅ wegen des Fakts 1 → b um b erweitert.
Dann wird I = { b } aufgrund der Regeln b → a1 ∨ a2 und
b → c1 ∨ c2 in einem Schritt zu 4 Mengen erweitert.
Das doppelte Atom a im linkesten Ast wird auf ein Atom reduziert.
Die beiden nicht–minimalen Mengen { b, a, a2 } und { b, a, c2 } werden
von { b, a } subsumiert und somit eliminiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
104
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
3. Für die Klauselmenge
M = { b → a, 1 → a ∨ b }
erhalten wir die folgende Mengenfolge:
I0 = { ∅ },
I1 = { { a }, { b } },
a
^
b
?
a
?
In = { { a } }, für alle n ≥ 2.
Die Erweiterung { a, b } wird von { a } subsumiert;
sie ist deswegen nicht–minimal, und der entsprechende Ast stirbt ab.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
105
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Algorithmus zur Berechnung der minimalen Modelle
Sei M eine Klauselmenge.
1. Sei I = { ∅ }.
2. Solange sich I verändert:
• Ersetze zuerst alle I ∈ I durch ihre Erweiterungen aus I M :
∪
I 7→ I∈I I M .
Falls I eine Integritätsbedingung aus M verletzt,
so wird I ersatzlos eliminiert, denn I M = ∅.
• Eliminiere dann nicht–minimale Mengen aus I:
I 7→ min(I).
Am Ende repräsentiert I die Menge der minimalen Modelle von M .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
106
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Berechnung der minimalen Modelle)
Für die Klauselmenge
M = { a → c, 1 → a ∨ b, a → c1 ∨ c2 , b → d }
erhalten wir die folgenden Mengen und Modellbäume:
I0 = { ∅ },
I1 = { { a }, { b } },
In = { { a, c, c1 }, { a, c, c2 }, { b, d } }, für alle n ≥ 2.
·
·
a
·
^
a
b
?
c
c1
Prof. Dr. Dietmar Seipel
^
b
?
d
^
c2
107
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir wollen uns den Fall I 7→
ansehen.
∪
M
I
für I = I1 nochmals genauer
I∈I
Für die Klauselmenge M = { a → c, 1 → a ∨ b, a → c1 ∨ c2 , b → d }
und die Menge I = { { a }, { b } } von Interpretationen gilt
|{z} |{z}
I1
I2
I1M = { a }M = { { a, c, c1 }, { a, c, c2 } },
I2M = { b }M = { { b, d } }.
I1 verletzt die Regeln a → c und a → c1 ∨ c2 . I2 verletzt die Regel b → d.
Also erhalten wir
∪
I 7→ I∈I I M = I1M ∪ I2M = { { a, c, c1 }, { a, c, c2 }, { b, d } }.
Es gilt in diesem Fall min(I) = I.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
108
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Algorithmus terminiert, da eine verletzte Regel in jedem
Berechnungsast nur einmal zur Erweiterung herangezogen werden kann.
Satz (Minimale Modelle einer Klauselmenge)
Sei M eine endliche Klauselmenge.
1. Die berechnete Menge I repräsentiert die minimalen Modelle von M .
2. Falls der Algorithmus mit I = ∅ terminiert, so gibt es kein Modell
für M , und M ist somit unerfüllbar.
Für erfüllbare Hornformeln wird das kleinste Modell berechnet.
Auch dieser Algorithmus terminiert nach höchstens nM Iterationen, wenn
nM die Anzahl der atomaren Formeln in M ist, denn es muß in jeder außer
der letzten Iteration mindestens ein Atom zu einem Ast hinzukommen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
109
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
1.5
Der Endlichkeits/Kompaktheits–Satz
Satz (Endlichkeit, Kompaktheit)
Eine Formelmenge M ist genau dann erfüllbar,
wenn jede endliche Teilmenge von M erfüllbar ist.
Beweis:
1. Ein Modell für M ist offensichtlich auch ein Modell für jede Teilmenge
von M .
2. Nehmen wir also an, daß jede endliche Teilmenge von M erfüllbar ist,
also ein Modell besitzt.
Wir betrachten nun die speziellen Teilmengen Mn von M ,
welche genau die Formeln F ∈ M enthalten, die nur die atomaren
Formeln A1 , . . . , An enthalten.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
110
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Dann gilt offenbar:
M1 ⊆ M2 ⊆ . . . ⊆ Mn ⊆ M.
M0
M1
...
Mn
M
Die Mengen Mn können i.a. unendlich groß sein.
Falls M unendlich viele Atome enthält, dann gibt es kein n mit
Mn = M .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
111
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für die endliche Formelmenge
M = { a ∨ b, ¬a ∨ c, ¬b ∨ d, ¬a ∨ c1 ∨ c2 }
und die Reihenfolge
(A1 , . . . , A6 ) = (a, b, c, d, c1 , c2 )
erhalten wir
M1 = ∅,
M2 = { a ∨ b },
M3 = { a ∨ b, ¬a ∨ c },
M4 = { a ∨ b, ¬a ∨ c, ¬b ∨ d },
M5 = M4 ,
M6 = { a ∨ b, ¬a ∨ c, ¬b ∨ d, ¬a ∨ c1 ∨ c2 } = M.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
112
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Da alle Formeln F ∈ Mn aber nur n Atome enthalten können,
n
gibt es nur maximal 22 grundsätzlich verschiedene Formeln
F1 , . . . , Fk ∈ Mn .
Denn es gibt genau k = 2
2n
verschiedene Wahrheitswertetafeln:
• jede Tafel hat 2n Zeilen, und
• jede Auswahl einer Teilmenge von Zeilen mit der Belegung 1
(alle anderen Zeilen haben dann die Belegung 0)
ergibt eine andere Tafel.
Jede Formel F ∈ Mn ist also äquivalent zu einer der Formeln Fi :
F ≡ Fi .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
113
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Deshalb ist jedes Modell für
Mn0 = {F1 , . . . , Fk }
auch ein Modell für Mn .
Da Mn0 endlich ist, besitzt Mn nach Voraussetzung ein Modell In .
Beispiel:
A1
A2
A3
I1
0
...
...
I2
0
1
...
I3
..
.
1
..
.
0
..
.
1
..
.
Wegen Mi ⊆ Mn , für alle 1 ≤ i ≤ n, ist In auch ein Modell für Mi :
In |= Mi , für alle 1 ≤ i ≤ n.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
114
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für die endliche Formelmenge
M = { a ∨ b, ¬a ∨ c, ¬b ∨ d, ¬a ∨ c1 ∨ c2 }
könnte man folgendes erhalten:
a
b
c
d
c1
I1
0
I2
0
1
I3
1
0
1
I4
1
0
1
0
I5
1
0
1
0
0
I6
1
0
1
0
1
c2
0
Die fehlenden Einträge der Tabelle können beliebig sein.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
115
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für die endliche Formelmenge
N = { a ∨ b, a ∨ c, a ∨ ¬c }
könnte man folgendes erhalten:
a
b
I1
0
I2
0
1
I3
1
0
c
1
Die fehlenden Einträge der Tabelle können beliebig sein.
Das Modell I2 von N2 = { a ∨ b } ist kein Modell von N3 = N .
Aus a ∨ c und a ∨ ¬c folgt I3 (a) = 1. Also muß man beim Übergang
von I2 zu I3 den Wahrheitswert von a von 0 auf 1 ändern.
Aber I3 ist ein Modell von N2 .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
116
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir wollen nun aus den Modellen In der Mn ein Modell I für M
konstruieren. Dazu definieren wir stufenweise die Wahrheitswerte
I(An ) der Atome An .
Dazu benötigen wir folgende Indexmengen:
n = 0: J0 = IN+ = {1, 2, . . . },
n − 1 → n: Sei
1
Jn−1
= { j ∈ Jn−1 | Ij (An ) = 1 },
0
Jn−1
= { j ∈ Jn−1 | Ij (An ) = 0 }.
Dann setzen wir

J 1 , falls J 1 unendlich
n−1
n−1
Jn =
J 0 , sonst
n−1
Prof. Dr. Dietmar Seipel
117
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wenn wir z.B. die fehlenden Tabelleneinträge auf 0 und In = I6 , für
n ≥ 6, setzen, dann erhalten wir folgende Mengen Jn :
a
b
c
d
c1
c2
I1
0
0
0
0
0
0
I2
0
1
0
0
0
0
I3
1
0
1
0
0
0
I4
1
0
1
0
0
0
I5
1
0
1
0
0
0
I6
1
0
1
0
1
0
Jn = { 3, . . . }, für 1 ≤ n ≤ 4,
Jn = { 6, . . . }, für 5 ≤ n.
Auf den ersten 4 Atomen sind alle Interpretationen In ab n = 3 gleich,
auf den weiteren Atomen erst ab n = 6.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
118
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Offenbar gilt
J0 ⊇ J1 ⊇ . . . ⊇ Jn .
Per Induktion nach n zeigt man, daß alle Indexmengen Jn unendlich
sind, denn
• J0 ist unendlich, und
1
0
• es muß immer mindestens eine der beiden Mengen Jn−1
oder Jn−1
unendlich sein.
Für alle Ij mit j ∈ Jn hat An denselben Wahrheitswert:
Ij (An ) = V ∈ {0, 1}, für alle j ∈ Jn ,
und wir setzen
I(An ) = V.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
119
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir wollen nun zeigen, daß I ein Modell von M ist.
Sei also F ∈ M eine beliebige Formel.
Dann gilt F ∈ Mn , für ein n ∈ IN+ , denn in F können nur endlich viele
Atome Ai1 , . . . , Ail , mit 1 ≤ i1 < i2 < . . . < il ≤ n, vorkommen.
Aus Mn ⊆ Mi , für alle i ≥ n, folgt nun F ∈ Mi .
Deshalb ist jede Interpretation Ii , mit i ≥ n, auch ein Modell für F .
Da Jn unendlich ist, gibt es einen Index i ∈ Jn , mit i ≥ n.
Für diesen Index i gilt:
Ii (A1 ) = I(A1 ), . . . , Ii (An ) = I(An ).
Denn der Index i liegt in Jn , und damit auch in allen Jm , mit
0 ≤ m ≤ n, und es gilt i ∈ Jm ⇒ Ii (Am ) = I(Am ).
Deshalb ist I natürlich auch ein Modell für F , da I auf allen relevanten
Atomen A1 , . . . , An mit Ii übereinstimmt.
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120
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Endlichkeitssatz gilt nur für Formelmengen M , in denen alle Formeln
F ∈ M endlich sind.
Sei zum Beispiel
F0 = A1 ∨ A2 ∨ . . . =
∨∞
n=1
An
die unendliche Disjunktion der Atome Ai , und
Fn = ¬An , für n ∈ IN+ .
Dann hat die Formelmenge
M = { Fn | n ∈ IN0 }
kein Modell, obwohl jede endliche Teilmenge M 0 ⊆ M ein Modell besitzt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
121
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die komplette Menge M hat kein Modell I, da
• wegen F0 mindestens ein Atom An in I wahr sein müsste und
• wegen der Formeln Fn , mit n ∈ IN+ , aber alle Atome An in I falsch
sein müssten.
Es müßte also gelten: (∃n ∈ IN+ I(An ) = 1) ∧ (∀n ∈ IN+ I(An ) = 0).
Für eine endliche Teilmenge M 0 ⊆ M kann man aber ein Modell I
angeben. Es gibt es einen Index n ∈ IN+ , mit Fm 6∈ M 0 , für alle m > n.
• Wir setzen I(Am ) = 0, für m ≤ n, und erfüllen damit die Formeln
Fm , mit 1 ≤ m ≤ n, und
• wir setzen I(Am ) = 1, für m > n, und erfüllen damit die Formel F0 .
Damit ist I ein Modell für M 0 .
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122
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Hier hat sogar jede echte Teilmenge M 0 ( M ein Modell. Wir setzen
• I(An ) = 0, für alle n ∈ IN+ , mit Fn ∈ M 0 , und
• I(An ) = 1, für alle n ∈ IN+ , mit Fn 6∈ M 0 .
Dann erfüllt I alle Formeln Fn , mit n ∈ IN+ und Fn ∈ M 0 .
• Falls F0 6∈ M 0 , so erfüllt I auch M 0 .
• Falls F0 ∈ M 0 , so muß es wegen M 0 ( M eine Formel Fn geben, mit
n ∈ IN+ und Fn 6∈ M 0 . Dann ist I(An ) = 1, und somit erfüllt I auch
F0 . Also erfüllt I auch wieder M 0 .
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123
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Eine alternative Beweisidee für den Endlichkeitssatz baut auf dem
Erfüllbarkeits–Algorithmus auf.
Wir starten mit einem leeren Berechnungsbaum, und wir verwenden
sukzessive die endlichen Klauselmengen Mn0 zur Erweiterung.
• Falls irgendwann alle Äste abgestorben sind, so ist Mn0 unerfüllbar.
• Andernfalls bleibt immer mindestens ein Ast am Leben.
Wir können dann wie folgt einen Ast finden, der nicht abstirbt:
• Wir starten in der Wurzel des Berechnungsbaums.
• Wir folgen einem Ast, dessen Teilbaum nicht komplett abstirbt.
Auf diese Weise finden wir eine Menge I von Atomen, so daß die
zugehörige Interpretation I 0 ein Modell für M ist.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
124
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
1.6
Resolution
Ein Klausel K ist eine Disjunktion von Literalen:
K = L1 ∨ . . . ∨ Ln .
Die Reihenfolge der Literale in K ist unerheblich; wir können K auch als
Menge { L1 , . . . , Ln } von Literalen ansehen.
Deswegen schreiben wir Li ∈ K, für 1 ≤ i ≤ n, und wir bezeichnen mit
K\Li = L1 ∨ . . . ∨ Li−1 ∨ Li+1 ∨ . . . ∨ Ln
die Klausel, welche man aus K durch Weglassen von Li erhält.
Eine endliche Klauselmenge M entspricht einer Formel F in KNF:
F = (L1,1 ∨ . . . ∨ L1,n1 ) ∧ . . . ∧ (Lm,1 ∨ . . . ∨ Lm,nm ).
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125
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Resolvente)
Seien K1 und K2 Klauseln mit A ∈ K1 und ¬A ∈ K2 , für ein Atom A.
Dann heißt
K = (K1 \A) ∨ (K2 \¬A)
eine Resolvente von K1 und K2 nach A.
K1
K2
U K
Spezialfall
Für K1 = A ∨ K und K2 = ¬A ∨ K erhalten wir die Resolvente
(K1 \A) ∨ (K2 \¬A) = K ∨ K = K.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
126
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Resolvente)
Für die beiden Klauseln
K1 = A ∨ B ∨ C,
K2 = ¬A ∨ B ∨ ¬D
gilt
K1 \ A
= B∨C
A∨B∨C
¬A ∨ B ∨ ¬D
R B ∨ C ∨ ¬D
K2 \ ¬A = B ∨ ¬D,
und wir erhalten die Resolvente K = B ∨ C ∨ ¬D.
Nur wenn eine Klausel K ein Atom A und dessen Negation ¬A enthält
(z.B. K = A ∨ B ∨ ¬A), dann kann man sie mit sich selbst resolvieren:
K1 = K2 = K. Dann ist K eine Tautologie, und die Resolvente ist wieder K.
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127
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Resolvente)
Die beiden möglichen Resolventen aus K1 = A ∨ ¬B ∨ C und
K2 = B ∨ ¬C sind Tautologien:
A ∨ ¬B ∨ C
B ∨ ¬C
R A ∨ C ∨ ¬C
A ∨ ¬B ∨ C
B ∨ ¬C
R A ∨ ¬B ∨ B
¬A
A
R 2
Wir bezeichnen hier die leere Disjunktion 2D kurz mit 2.
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128
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Resolutionslemma
Sei M ein Klauselmenge und K1 , K2 ∈ M .
Ist K eine Resolvente von K1 und K2 (nach einem Atom A), so sind M
und M ∪ {K} äquivalent: M ≡ M ∪ {K}.
Beweis:
Sei I eine zu M – und damit auch zu M ∪ {K} – passende Interpretation.
Falls I |= M ∪ {K}, dann gilt natürlich auch I |= M .
Also nehmen wir nun I |= M an.
Sei K1 = A ∨ K10 und K2 = ¬A ∨ K20 . Dann gilt K = K10 ∨ K20 .
• Falls I |= A, so folgt aus I |= K2 auch I |= K20 .
• Falls I |= ¬A, so folgt aus I |= K1 auch I |= K10 .
Also gilt in beiden Fällen I |= K10 ∨ K20 = K.
Deshalb gilt I |= M ∪ {K}.
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129
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Resolutionsmengen)
Sei M eine Klauselmenge.
Res(M ) = M ∪ { K | K ist eine Resolvente
zweier Klauseln K1 , K2 ∈ M }.
Ferner definieren wir:
Res 0 (M )
= M,
Res n+1 (M ) = Res(Res n (M )), für n ≥ 0,
∪
∗
Res (M )
= n≥0 Res n (M ).
Offensichtlich gilt die sogenannte Monotonie–Eigenschaft:
M ⊆ M 0 ⇒ Res(M ) ⊆ Res(M 0 ).
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130
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Resolutionsmengen)
Für die Klauselmenge
M = { c ∨ ¬a, a ∨ b, c1 ∨ c2 ∨ ¬a, d ∨ ¬b }
erhalten wir die folgenden Resolutionsmengen:
Res 0 (M ) = M,
Res 1 (M ) = M ∪ { b ∨ c, b ∨ c1 ∨ c2 , a ∨ d },
Res 2 (M ) = Res 1 (M ) ∪ { c ∨ d, c1 ∨ c2 ∨ d },
Res 3 (M ) = Res 2 (M ).
1. Iteration:
• Aus c ∨ ¬a und a ∨ b erhalten wir b ∨ c.
• Aus a ∨ b und c1 ∨ c2 ∨ ¬a erhalten wir b ∨ c1 ∨ c2 .
• Aus a ∨ b und d ∨ ¬b erhalten wir a ∨ d.
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131
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
c ∨ d kann redundant auf zwei unterschiedlichen Wegen abgeleitet werden:
c ∨ ¬a
U b∨c
a∨b
d ∨ ¬b
U c∨d
a∨b
c ∨ ¬a
d ∨ ¬b
U a∨d
U c∨d
In diesem Fall sind die verwendeten Klauseln aus M (an den Blättern des
Baumes) jeweils dieselben. Nur die inneren Knoten der Bäume sind anders.
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132
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Iteration:
• Aus c ∨ ¬a und a ∨ d erhalten wir c ∨ d.
• Aus c1 ∨ c2 ∨ ¬a und a ∨ d erhalten wir c1 ∨ c2 ∨ d.
• Aus d ∨ ¬b und b ∨ c erhalten wir ebenfalls c ∨ d.
• Aus d ∨ ¬b und b ∨ c1 ∨ c2 erhalten wir ebenfalls c1 ∨ c2 ∨ d.
Sowohl c ∨ d als auch c1 ∨ c2 ∨ d werden also redundant auf zwei
unterschiedlichen Wegen abgeleitet.
In der Praxis versucht man redundante Ableitungen möglichst zu
vermeiden.
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133
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für die Klauselmenge
M = { p ∨ q, ¬p ∨ ¬q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ q }
erhalten wir die folgenden Resolutionsmengen:
Res 0 (M ) = M,
Res 1 (M ) = M ∪ { p, q, ¬p, ¬q, p ∨ ¬p, q ∨ ¬q },
Res 2 (M ) = Res 1 (M ) ∪ { 2 },
Res 3 (M ) = Res 2 (M ).
Aus ¬p ∨ ¬q und p ∨ ¬q erhalten wir z.B. die Resolvente ¬q.
In Iteration 2 kann die leere Klausel 2 kann auf zwei unterschiedlichen
Wegen abgeleitet werden:
• aus p und ¬p und
• aus q und ¬q.
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134
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Man kann zeigen:
M = Res 0 (M ) ⊆ Res 1 (M ) ⊆ . . . ⊆ Res n (M ) ⊆ Res ∗ (M ).
Außerdem gilt:
M ≡ Res n (M ) ≡ Res ∗ (M ), für alle n ∈ IN0 ,
und wegen Res 0 (M ) ⊆ Res 1 (M ) auch
∪
∪
∗
n
Res (Res(M )) = n≥1 Res (M ) = n≥0 Res n (M ) = Res ∗ (M ).
Resolutionssatz der Aussagenlogik (Widerlegungsvollständigkeit)
Eine Klauselmenge M ist genau dann unerfüllbar, wenn 2 ∈ Res ∗ (M ).
Beweis:
Korrektheit: Angenommen 2 ∈ Res ∗ (M ). Dann ist Res ∗ (M ) unerfüllbar,
und wegen M ≡ Res ∗ (M ) ist auch M unerfüllbar.
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135
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Vollständigkeit: Angenommen M ist unerfüllbar.
Aufgrund des Endlichkeitstatzes gibt es bereits eine endliche Teilmenge
M 0 ⊆ M , welche unerfüllbar ist. Wir können zusätzlich voraussetzen, daß
M 0 keine Tautologien der Form A ∨ ¬A ∨ C enthält.
Seien A1 , . . . , An alle in M 0 vorkommenden Atome. Wir zeigen nun per
Induktion nach n, daß 2 ∈ Res ∗ (M ).
n = 0: Da M 0 = ∅ erfüllbar ist, gilt M 0 = {2} und somit
2 ∈ M 0 ⊆ Res ∗ (M 0 ) ⊆ Res ∗ (M ).
n → n + 1: Wir resolvieren Klauselpaare K1 ∨ An+1 und K2 ∨ ¬An+1
aus M 0 nach An+1 und setzen:
M1 = { K1 | K1 ∨ An+1 ∈ M 0 },
M2 = { K2 | K2 ∨ ¬An+1 ∈ M 0 }.
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136
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Sei ferner
M3 = { K3 ∈ M 0 | An+1 kommt nicht in K3 vor }
die Menge aller Klauseln aus M 0 , in denen An+1 werder positiv als
An+1 noch negativ als ¬An+1 vorkommt. Dann gilt
M 00 = (M1 ∨ M2 ) ∪ M3 ⊆ Res(M 0 ),
wobei M1 ∨ M2 = { K1 ∨ K2 | K1 ∈ M1 , K2 ∈ M2 }.
Die Menge M 00 enthält nur Formeln über A1 , . . . , An .
Angenommen M 00 ist erfüllbar mit einem Modell I.
• Angenommen I 6|= M1 und I 6|= M2 .
Dann gibt es K1 ∈ M1 und K2 ∈ M2 mit I 6|= K1 und I 6|= K2 ,
und somit I 6|= K1 ∨ K2 ∈ M1 ∨ M2 ⊆ M 00 , ein Widerspruch.
• Also gilt I |= M1 oder I |= M2 (oder beides).
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137
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir zeigen: wenn M 0 unerfüllbar ist, dann ist auch M 00 unerfüllbar.
M0 ≡ M
M1
? R
M2
M3
N
?
M = (M1 ∨ M2 ) ∪ M3 ⊆ Res(M 0 )
00
M 0 = ({An+1 } ∨ M1 ) ∪ ({¬An+1 } ∨ M2 ) ∪ M3
Wenn M 0 die Atome A1 , . . . , An+1 enthält, dann kann M 00 nur noch
die Atome A1 , . . . , An enthalten.
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138
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir konstruieren nun ein Modell I 0 für M 0 :
M 0 = ({An+1 } ∨ M1 ) ∪ ({¬An+1 } ∨ M2 ) ∪ M3 .
1. Falls I |= M1 , so setzen wir:

I(B), falls B ∈ {A , . . . A }
1
n
I 0 (B) =
0,
falls B = An+1
• Wegen I |= M1 gilt I 0 |= {An+1 } ∨ M1 .
• Wegen I 0 |= ¬An+1 gilt auch I 0 |= {¬An+1 } ∨ M2 .
2. Falls I |= M2 , so setzen wir:

I(B), falls B ∈ {A , . . . , A }
1
n
I 0 (B) =
1,
falls B = An+1
• Wegen I |= An+1 gilt I 0 |= {An+1 } ∨ M1 .
• Wegen I 0 |= M2 gilt auch I 0 |= {¬An+1 } ∨ M2 .
In beiden Fällen gilt wegen I |= M3 auch I 0 |= M3 .
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139
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Also gilt in beiden Fällen I 0 |= M 0 ,
im Widerspruch zu der Annahme, daß M 0 unerfüllbar ist.
Also haben wir gezeigt, daß M 00 unerfüllbar ist.
Da M 00 nur noch die n Atome A1 , . . . , An enthalten kann, gilt somit
nach Induktionsannahme
2 ∈ Res ∗ (M 00 ).
Wegen
Res ∗ (M 00 ) ⊆ Res ∗ (Res(M 0 )) = Res ∗ (M 0 ) ⊆ Res ∗ (M ),
gilt nun also 2 ∈ Res ∗ (M ).
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140
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Konstruktion aus dem Beweis zum Resolutionssatz funktioniert für
beliebige Klauselmengen M und Atome A:
M1 = { K1 | K1 ∨ A ∈ M },
M2 = { K2 | K2 ∨ ¬A ∈ M },
M3 = { K3 ∈ M | A kommt nicht in K3 vor }.
Die Transformation
M 7→ M 00 = (M1 ∨ M2 ) ∪ M3
erhält die Widerlegungseingenschaften:
M ist unerfüllbar ⇔ 2 ∈ Res ∗ (M ) ⇔
M 00 ist unerfüllbar ⇔ 2 ∈ Res ∗ (M 00 )
M 00 enthält das Atom A nicht mehr.
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141
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Transformation)
Aus der Klauselmenge
M = { p ∨ q, ¬p ∨ ¬q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ q }
erhalten wir für das Atom A = p:
M1 = { q, ¬q } = M2 , M3 = ∅,
M 00 = M1 ∨ M2 = { q ∨ ¬q, q, ¬q } ≡ { q, ¬q }.
Tautologien – wie q ∨ ¬q – kann man frühzeitig aus der weiteren
Betrachtung ausschließen.
Die nochmalige Transformation für das Atom A = q erzeugt aus M 00 nun
M 0000 = { 2 }.
Also ist M unerfüllbar.
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142
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Deduktion)
Eine Deduktion (Herleitung, Beweis) einer Klausel K aus einer
Klauselmenge M ist eine Folge
K1 , K2 , . . . , Km
von Klauseln, mit Km = K, und
∀ 1 ≤ i ≤ m:
• Ki ∈ M oder
• Ki ist die Resolvente aus zwei Klauseln Ki1 und Ki2 ,
mit 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ i − 1.
Eine Klauselmenge M ist genau dann unerfüllbar, wenn eine Deduktion der
leeren Klausel K = 2 aus M existiert.
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143
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Deduktion)
Für die Klauselmenge
M = { c ∨ ¬a, a ∨ b, c1 ∨ c2 ∨ ¬a, d ∨ ¬b }
erhalten wir z.B. die folgende Deduktion K1 , . . . , K5 von K = c ∨ d:
K1 = c ∨ ¬a
K2 = a ∨ b
U K3 = b ∨ c
K4 = d ∨ ¬b
U K5 = c ∨ d
Prof. Dr. Dietmar Seipel
144
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Deduktion)
M = { p ∨ q, ¬p ∨ ¬q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ q }.
Deduktion:
K1 = p ∨ q,
Resolutionsgraph:
K1
K2
K4
K5
K2 = p ∨ ¬q,
K3 = p,
K4 = ¬p ∨ ¬q,
N K3
N K6
K5 = ¬p ∨ q,
K6 = ¬p,
K7 = 2.
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R K7 = 2
145
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Lineare Deduktion)
Eine lineare Deduktion (Herleitung, Beweis) einer Klausel K aus einer
Klauselmenge M ist eine Folge
K1 , K2 , . . . , K2·m+1
ungerader Länge von Klauseln, mit K2·m+1 = K und
• K1 ∈ M und
• ∀ 1 ≤ i ≤ m:
K2·i+1 ist eine Resolvente aus K2·i−1 und einer Klausel K2·i ∈ M .
K1 und die Klauseln K2·i mit geradem Index sind also alle in M ,
die anderen Klauseln K2·i+1 mit ungeradem Index sind Resolventen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
146
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
K1 ∈ M
K2 ∈ M
?
K3
?
K2·i−1
K2·i ∈ M
?
K2·i+1
?
K2·m−1 K2·m ∈ M
?
K2·m+1
Prof. Dr. Dietmar Seipel
147
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Lineare Deduktion)
1. Für die Horn–Klauselmenge
M = { c ∨ ¬a, a ∨ b, c1 ∨ c2 ∨ ¬a, d ∨ ¬b }
haben wir bereits eine lineare Deduktion K1 , . . . , K5 von K = c ∨ d
gesehen.
2. Man kann zeigen, daß es für die Nicht–Horn–Klauselmenge
M = { p ∨ q, ¬p ∨ ¬q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ q }
keine lineare Deduktion der leeren Klausel K = 2 gibt.
Die oben angegebene Deduktion von K = 2 war nicht linear.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
148
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aus dem Erfüllbarkeitstest für Horn–Klauselmengen folgt:
Für alle unerfüllbaren Horn–Klauselmengen M gibt es eine lineare
Deduktion
K1 , K2 , . . . , K2·m+1
der leeren Klausel K = 2, die mit einer Integritätsbedingung K1 ∈ M
beginnt. Für diese Deduktion gilt dann:
• Auch alle anderen Klauseln K2·i+1 mit ungeradem Index sind
Integritätsbedingungen.
• Alle Klauseln K2·i mit geradem Index sind Regeln (einschließlich der
Fakten) aus M mit einem positiven Atom, dem Kopfatom.
Auch die leere Klausel K = 2 kann man als Integritätsbedingung ansehen,
da sie keine positiven Atome enthält.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
149
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Lineare Deduktion)
Für die unerfüllbare Horn–Klauselmenge
M = { a, b, ¬a ∨ ¬b }
gibt es z.B. die folgende lineare Deduktion von K = 2:
K1 = ¬a ∨ ¬b
K2 = a
?
K3 = ¬b
K4 = b
?
K5 = 2
Prof. Dr. Dietmar Seipel
150
Logik für Informatiker
2
Wintersemester 2015/16
Prädikatenlogik
In der Prädikatenlogik kann man die in der Aussagenlogik bereits
betrachteten atomaren Aussagen eleganter formulieren:
A = „Bayern München ist deutscher Fußballmeister“:
deutscher _fussballmeister (’Bayern Muenchen’, 2013 ).
B = „eine Stadt mit mindestens 100000 Einwohnern ist groß“:
grosse_stadt(Stadt) ← einwohner (Stadt, X ) ∧ X ≥ 100000 .
C = „Würzburg hat über 300.000 Einwohner“:
einwohner (’Wuerzburg’, 300000 ).
Dann kann man generische Aussagen machen. Z.B. ist die Formel zu B auf
alle Städte mit mindestens 100000 Einwohnern anwendbar.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
151
Logik für Informatiker
2.1
Wintersemester 2015/16
Grundbegriffe der Prädikatenlogik
Erweiterung der Aussagenlogik um
Variablen–
}
Funktions–
U, V, W, X, Y, Z
Symbole
Prädikaten–
f, g, h
a, b, c
p, q, r
und Quantoren:
• Existenzquantor: ∃,
• Allquantor: ∀.
Die bekannten Junktoren ∧, ∨, ¬ und → sind weiterhin erlaubt.
Wir nehmen im Folgenden meist an, daß Variablensymbole mit
Großbuchstaben beginnen, und daß Funktions– und Prädikatensymbole mit
Kleinbuchstaben beginnen oder in Hochkommata eingeschlossen sind.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
152
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Prädikatenlogiche Formeln)
1. Konvergenz, Grenzwert:
limn→∞ f (n) = a ist in der Analysis definiert als
∀ > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 |f (n) − a| < .
Hier sind – ausnahmsweise – , n0 und n Variablensymbole (nur über
diese kann man quantifizieren), 0, a, f , − und || sind
Funktionssymbole, und >, ≥ und < sind Prädikatensymbole.
Funktionssymbole ohne Argumente – wie 0 und a – nennt man auch
Konstantensymbole; ihre Stelligkeit ist 0. f und || sind 1–stellig, − ist
2–stellig. Hier sind auch alle Prädikatensymbole 2–stellig.
Für f (n) = 1/n gilt z.B. limn→∞ f (n) = limn→∞ 1/n = 0 = a.
Für jede vorgegebene reelle Zahl > 0 existiert ein n0 ∈ IN , etwa
n0 = d1/e + 1, so daß für alle n ≥ n0 gilt |1/n − 0| < .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
153
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Konjunktion:
(∃ Jahr weltmeister (brasilien, Jahr )) ∧
(∀ Jahr ¬weltmeister (nigeria, Jahr ))
• Brasilien war bereits Fußballweltmeister, d.h.:
es gibt ein Jahr, in dem Brasilien Fußballweltmeister war;
• Nigeria aber noch nicht.
3. Implikation:
∀ Stadt ∀X ( grosse_stadt(Stadt) ←
einwohner (Stadt, X ) ∧ X ≥ 100000 )
ist äquivalent zu
∀ Stadt ( grosse_stadt(Stadt) ←
∃X ( einwohner (Stadt, X ) ∧ X ≥ 100000 ) )
Prof. Dr. Dietmar Seipel
154
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
4. Die unendliche Formelmenge M = { Fn | n ∈ IN0 } aus Kapitel 1 mit
∨∞
F0 = A1 ∨ A2 ∨ . . . = n=1 An ,
Fn = ¬An , für n ∈ IN+ ,
mit der unendlichen – in der Aussagenlogik eigentlich nicht erlaubten –
Disjunktion F0 kann man für An = p(n) in der Prädikatenlogik als
eine Formel G1 ∧ G2 ausdrücken mit
G1 = ∃n ∈ IN+ p(n),
G2 = ∀n ∈ IN+ ¬p(n).
Auch hier ist – ausnahmsweise – n wieder ein Variablensymbol.
Die unendliche Formelmenge M 0 = { G1 } ∪ { ¬p(n) | n ∈ IN+ }
zeigt, daß der Kompaktheitssatz in der Prädikatenlogik nicht gilt.
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155
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Syntax
Wir setzen folgende abzählbaren Mengen voraus:
• Variablensymbole:
V = { X1 , X2 , . . . },
• Funktionssymbole: F = { f1 , f2 , . . . },
• Prädikatensymbole: P = { p1 , p2 , . . . }.
Jedes Funktions– bzw. Prädikatensymbol hat eine Stelligkeit k ∈ IN0 .
Schöningh schreibt fik , pki , wir schreiben fi /k, pi /k.
Allerdings kann dasselbe Funktions– bzw. Prädikatensymbol in einer
Formel mit unterschiedlichen Stelligkeiten auftreten. In
f (f (a), f (a, a, a))
ist das erste Auftreten von f zweistellig, das zweite einstellig, und das dritte
dreistellig. Eigentlich handelt es sich dabei um unterschiediche
Funktionssymbole f /2, f /1 und f /3 mit demselben Namen f .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
156
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Induktive Definitionen
Terme
1. Jedes Variablensymbol X ∈ V ist ein Term.
2. Ist f ein Funktionssymbol der Stelligkeit k, und sind t1 , . . . , tk
(ebenso viele) Terme, so ist auch f (t1 , . . . , tk ) ein Term.
3. Ist k = 0, so schreibt man kurz f ausstelle von f (), und man nennt f
dann eine Konstante.
Beispiel (Terme)
• f1 (X2 ),
• f3 (f2 , f1 (X3 )).
Stelligkeiten:
Prof. Dr. Dietmar Seipel
f1
f2
f3
1
0
2
157
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Formeln
1. Für ein k–stelliges Prädikatensymbol p und Terme t1 , . . . tk ist
p(t1 , . . . , tk ) eine atomare Formel.
Falls k = 0 ist, so schreiben wir kurz p anstelle von p().
2. Für jede Formel F ist auch ¬F eine Formel.
3. Sind F1 und F2 Formeln, so auch (F1 ∧ F2 ) und (F1 ∨ F2 ).
4. Falls X ein Variablensymbol ist und F eine Formel, so sind auch
∃X F und ∀X F Formeln.
Man kann wieder redundante Klammerpaare weglassen, und Teilformeln
werden analog zur Aussagenlogik definiert.
Man könnte weitere Formeln mittels anderer Junktoren bilden, z.B. die
Implikation F1 → F2 . Andererseits könnte man diese Formel auch wie
¬F1 ∨ F2 auffassen.
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158
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Formeln)
1. In der Formel
F = (∃X1 p1 (X1 , f1 (X2 ))) ∨ (∀X2 p2 (X2 , f3 (f2 , f1 (X3 ))))
haben die Prädikatensymbole die folgenden Stelligkeiten:
p1
p2
2
2
2. Man kann auch über Variablensymbole quantifizieren, die nicht in der
betroffenen Formel vorkommen: F = ∀X p(Y ).
3. In der folgenden Implikation bezeichnen die beiden Vorkommen von X
dasselbe: F = ∀X ( student(X) → person(X) ).
4. In F = ∀X ( p(X ) → ∃X q(X) ) bezieht sich die Allquantifizierung
∀X auf p(X), die Existenzquantifizierung ∃X auf q(X). Es gibt
keinen Zusammenhang zwischen den beiden Vorkommen von X.
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159
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Klammerungsregeln
1. Wir nehmen an, daß die Quantoren am stärksten binden. D.h.
QX F ⊗ G bedeutet (QX F ) ⊗ G,
für einen Quantor Q ∈ { ∀, ∃ } und einen Junktor ⊗ ∈ { ∧, ∨, → }.
Z.B. bedeutet
∀X ∀ Y ( ∃Z (p(X, Z) ∧ p(Z, Y )) → p(X, Y ) )
dasselbe wie
∀X ∀ Y ( (∃Z (p(X, Z) ∧ p(Z, Y ))) → p(X, Y ) )
2. Wir nehmen an, daß die Negation stärker bindet als die Konjunktion,
die Disjunktion und die Implikation, und wir nehmen an, daß die
Konjunktion stärker bindet als die Disjunktion (Punkt vor Strich) und
die Implikation, und die Disjunktion stärker als die Implikation. D.h.
F ∨ ¬ G ∧ G0 → H bedeutet (F ∨ ((¬ G) ∧ G0 )) → H.
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160
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Schreibweisen
Die Formel
∀ > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 |f (n) − a| < müßte man eigentlich ausführlicher wie folgt schreiben:
∀ ( ∈ IR ∧ > 0 →
∃n0 ( n0 ∈ IN ∧
∀n ( n ∈ IN ∧ n ≥ n0 → |f (n) − a| < ) ) ).
In der Kurzschreibweise wurde implizit angenommen, daß eine reelle
Zahl ist, und daß n und n0 natürliche Zahlen sind.
Daneben wurde die vereinfachende Infix– bzw. Zirkumfix–Notation für
Funktions– und Prädikatensymbole verwendet.
Manchmal schreibt man anstelle von ∀X F auch ∀X : F ; analog für ∃.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
161
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Infix– und Zirkumfix–Notation
Zur leichteren Lesbarkeit kann man gewisse binäre Funktions– und
Prädikatensymbole in Infix–Notation schreiben.
Anstelle der Präfix–Notation (t1 , t2 ) schreiben wir dann die
Infix–Notation t1 t2 .
Die atomare Formel
|f (n) − a| < mit dem binären Prädikatensymbol < und dem binären Funktionssymbol −
würde in Präfix–Notation wie folgt aussehen:
< ( || (−(f (n), a)), )
Einen Term ||(t) mit dem unären Funktionssymbol || (Betrag) können wir in
Zirkumfix–Notation |t| schreiben.
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162
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Freie und gebundene Variablen
1. Ein Vorkommen einer Variable X in einer Formel F heißt gebunden,
falls X quantifiziert in einer Teilformel von F der Form ∃X G oder
∀X G vorkommt (d.h. im Geltungsbereich eines Quantors über X).
2. Andernfalls heißt das Vorkommen von X frei.
3. Eine Formel F ohne Vorkommen von freien Variablen heißt
geschlossen, oder eine Aussage. Andernfalls heißt F offen.
Beispiel: Die folgende Formel F ist offen:
F = (∃X1 p1 (X1 , f1 (X2 ))) ∨ (∀X2 p2 (X2 , f3 (f2 , f1 (X3 )))).
• Die beiden unterstrichenen Vorkommen der Variablen X1 und X2 sind
gebunden. Alle anderen Vorkommen sind frei.
• Das (einzige) Vorkommen von X3 ist frei.
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163
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Semantik der Prädikantenlogik)
Eine Struktur ist ein Paar A = (UA , IA ) mit
1. UA ist eine beliebige, nicht–leere Menge, genannt Grundmenge von A,
Grundbereich, Individuenbereich, Universum.
2. IA ist eine partielle Abbildung auf V ∪ F ∪ P mit
• jedem k–stelligen Prädikantensymbol p ∈ P ∩ def (IA ) ist ein
k–stelliges Prädikat IA (p) über UA zugeordnet, d.h. eine Relation
k
.
IA (p) ⊆ UA
• jedem k–stelligen Funktionssymbol f ∈ F ∩ def (IA ) ist eine
k
k–stellige Funktion IA (f ) : UA
→ UA zugeordnet.
• jedem Variablensymbol X ∈ V ∩ def (IA ) ist ein Individuum
IA (X) ∈ UA zugeordnet.
k
die Menge aller k–Tupel mit Komponenten aus UA .
Dabei ist UA
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164
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Definitionsbereich def (IA ) der partiellen Abbildung IA ist meist eine
echte Teilmenge von V ∪ F ∪ P:
def (IA ) ⊆ V ∪ F ∪ P.
Die Struktur A paßt zu einer Formel F , falls IA für alle in F
vorkommenden Prädikaten–, Funktions– und Variablensymbole für freie
Variablen definiert ist.
Abkürzung:
IA (α) = αA , für alle α ∈ V ∪ F ∪ P.
Falls α außerhalb des Definitionsbereichs def (IA ) liegt, so ist αA
undefiniert.
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165
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Struktur)
Die folgende Struktur A paßt zur Formel
F = ∀X p(X, f (X)) ∧ q(g(a, Z)).
Die Grundmenge von A und die Interpretation der Prädikaten– und
Funktionssymbole seien wie folgt:
UA
= IN0 = { 0, 1, 2, . . . },
pA
= { (m, n) ∈ IN02 | m < n },
qA
= { (n) ∈ IN01 | n ist eine Primzahl },
f A (n)
= n + 1, d.h. f A ist die Nachfolgerfunktion auf IN0 ,
g A (n, m) = n + m, d.h. g A ist die Additionsfunktion auf IN0 .
Das 0–stellige Funktionssymbol a werde als aA = 2 interpretiert, und die
Variablensymbole als X A = 23, Z A = 3.
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166
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
In dieser Struktur A gilt F offensichtlich (die entsprechenden Definitionen
der Semantik folgen noch), denn
• die Nachfolgerfunktion f A paßt zur Kleiner–Relation pA :
p(X, f (X)) entspricht in A dem Vergleich X < X + 1; und
• g A (aA , Z A ) = 2 + 3 = 5 ist in der Primzahl–Relation q A .
Ändert man dagegen q A zu
q
A0
= { (n) ∈ IN01 | n ist eine gerade Zahl },
und läßt den Rest unverändert, so gilt F in der veränderten Struktur A0
nicht, da 5 keine gerade Zahl ist.
Wenn man eine fest vorgegebene Interpretation eines Funktions– oder
Prädikatensymbols betrachten will, dann muß man diese durch Hinzunahme
geeigneter Axiome zu F erzwingen.
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167
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Semantik der Prädikatenlogik)
Wir betrachten im folgenden Formeln F und zu F passende Strukturen A.
Der Wert A(t) eines Terms t wird induktiv definiert als:
1. A(t) = tA , falls t ∈ V eine Variable ist.
2. A(t) = f A (A(t1 ), . . . , A(tk )), falls t = f (t1 , . . . , tk ) ein komplexer
Term ist.
Eine Herbrand–Struktur bildet alle Terme auf sich selbst ab.
Für X ∈ V und u ∈ UA sei A[X|u] diejenige Struktur B, welche man aus A
erhält, indem man X A auf X B = u ändert und A ansonsten unverändert läßt:
• für alle α ∈ P ∪ F ∪ V \ {X} gilt αB = αA ,
• X B = u (unabhängig von X A ).
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168
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Wahrheitswert A(F ) wird dann ebenfalls induktiv definiert:

 1, falls (A(t ), . . . , A(t )) ∈ pA
1
k
A(p(t1 , . . . , tk )) =
 0, sonst
A(¬G)
= ¬A(G),
A(F1 ∧ F2 )
= A(F1 ) ∧ A(F2 ),
A(F1 ∨ F2 )
= A(F1 ) ∨ A(F2 ),

 1, falls für alle u ∈ U gilt A
A
[X|u] (G) = 1
=
 0, sonst

 1, falls es ein u ∈ U gibt mit A
A
[X|u] (G) = 1,
=
 0, sonst
A(∀XG)
A(∃XG)
Damit gilt offensichtlich auch A(F → G) = A(F ) → A(G).
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169
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Definitionen für die booleschen Junktoren sind exakt analog zur
Aussagenlogik. Die Fallunterscheidungen könnte man wie folgt abkürzen:
A(p(t1 , . . . , tk )) = (A(t1 ), . . . , A(tk )) ∈ pA ,
A(∀XG)
= ∧u∈UA A[X|u] (G),
A(∃XG)
= ∨u∈UA A[X|u] (G).
1. Ersteres gilt, da der Test e ∈ M auf Elementschaft in einer Menge
einen der Wahrheitswerte 1 oder 0 als Resultat hat.
2. Die – potentiell unendliche – Konjunktion im zweiten Teil ist genau
dann 1, wenn für alle u ∈ UA gilt A[X|u] (G) = 1.
3. Die – potentiell unendliche – Disjunktion im dritten Teil ist genau
dann 1, wenn es (mindestens) ein u ∈ UA gibt mit A[X|u] (G) = 1.
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170
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Prädikatenlogik verallgemeinert die Aussagenlogik.
Die atomaren Formeln p der Aussagenlogik entsprechen 0–stelligen
Prädikatensymbolen.
Es gibt es nur zwei mögliche Relationen pA ⊆ UA0 = {( )} :
• Falls pA = {( )} nur das 0–stellige Tupel ( ) enthält, so ist A(p) = 1.
• Falls pA = {} leer ist, so ist A(p) = 0.
In der Aussagenlogik gibt es keine höherstelligen Prädikatensymbole, und
deswegen braucht man auch keine Variablen– bzw. Funktionssymbole um
Terme zu bilden.
Auch die Quantifizierung ist in der Aussagenlogik sinnlos, da es dort keine
Variablensymbole gibt.
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171
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Modelle)
1. Eine Struktur A erfüllt eine Formel F , falls A zu F paßt und
A(F ) = 1 ist.
2. Dann sagen wir auch, daß die Formel F in A gilt.
3. Dann ist A ein Modell von F , und wir schreiben auch A |= F .
Herbrand–Strukturen
In der Praxis arbeitet man meist mit geschlossenen Formeln F und
Herbrand–Strukturen A = (UA , IA ) :
1. Ihre Grundmenge UA besteht aus den Termen über den
Funktionssymbolen von F . Terme werden nicht interpretiert.
2. Herbrand–Strukturen können also alleine durch die Interpretation der
Prädikatensymbole charakterisiert werden.
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172
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Grundmenge UA einer Herbrand–Struktur)
• In der Formel
F = married (a, b) ∧ ∀X (student(X ) → person(X ))
gibt es nur 0–stellige Funktionssymbole (Konstanten); diese bilden die
Grundmenge UA = { a, b }.
• Die Formel
F = p(f (a), g(b))
enthält zwei Konstanten (0–stellige Funktionssymbole) a und b und
zwei einstellige Funktionssymbole f und g. Hier ist die Grundmenge
UA unendlich groß, denn sie enthält alle Terme, die man daraus bilden
kann: UA = { a, b, f (a), f (b), g(a), g(b), f (f (a)), f (g(a)), . . . }.
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173
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
• Die Formel
G = boolean_normalize_knf (−((a, (b; c))), F )
enthält drei Konstanten (0–stellige Funktionssymbole) a, b und c, ein
einstelliges Funktionssymbol ”−”, und zwei zweistellige
Funktionssymbole ”,” und ”;”.
Auch hier ist die Grundmenge UA unendlich groß, denn sie enthält alle
Terme, die man daraus bilden kann:
UA = { a, b, c, −a, . . . , (a, b), (a; b), −(a, (b; c)), . . . }.
Diese Terme bilden Datenstrukturen zur Repräsentation von
aussagenlogischen Formeln. Die entsprechenden Regeln zum
Prädikatensymbol boolean_normalize_knf /2 werten diese Terme
nicht aus; sie operieren nur symbolisch darauf.
Ähnlich kann man auch Listen und Bäume als Terme repräsentieren.
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174
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Variablenbelegungen
• Für geschlossene Formeln F ist die Belegung der Variablen X ∈ V mit
Werten X A ∈ UA irrelevant.
• Für eine quantifizierte Variable X werden sowieso alle Strukturen
A[X|u] für u ∈ UA untersucht – ohne den Wert X A zu beachten.
• Der Wert X A einer Variable X ist nur relevant, falls X mindestens
einmal frei in F vorkommt.
Für die Formel F = ( ∀X p(X) ) ∧ q(X) mit je einem gebundenen
und einem freien Vorkommen des Variablensymbols X, ist X A nur für
das zweite Vorkommen von X relevant. Es gilt pA[X|u] = pA und
A(F ) = ∧u∈UA A[X|u] (p(X)) ∧ A(q(X))
= ∧u∈UA (u) ∈ pA ∧ (X A ) ∈ q A .
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175
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Herbrand–Struktur, Modell)
Wir betrachten die folgende geschlossene Formel F :
F = f ∧ ∀X r,
f = married (a, b),
r = student(X ) → person(X ).
a und b sind verheiratet, und jeder Studierende ist eine Person.
Wir betrachten eine Herbrand–Struktur A. Diese bildet alle
Funktionssymbole auf sich selbst ab. Hier gibt es nur 0–stellige
Funktionssymbole (Konstanten); diese bilden die Grundmenge UA .
UA = { a, b },
αA = α, für alle Konstanten α ∈ UA .
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176
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir werden später sehen, daß man das gebundene Variablensymbol X in
∀X r umbenennen könnte, z.B. in Y . Dann würde man die Teilformel
∀ Y ( student(Y ) → person(Y ) )
erhalten, die – entsprechend unserer Anschauung – zu ∀X r äquivalent ist,
da man für X und Y sowieso alle Werte u ∈ UA einsetzen kann.
A interpretiert die Prädikatensymbole wie folgt:
married A = { (a, b) },
student A = { (a), (b) },
person A
= { (a) }.
Diese Interpretationen könnte man durch eine einzige Menge von Atomen
repräsentieren:
I = { married (a, b), student(a), student(b), person(a) }.
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177
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Dann gilt
A(f )
= (a, b) ∈ married A = 1,
A(∀X r) = ∧u∈UA ( (u) ∈ student A → (u) ∈ person A )
= ( (a) ∈ student A → (a) ∈ person A ) ∧
( (b) ∈ student A → (b) ∈ person A ) = 0,
da (b) ∈ student A und (b) 6∈ person A .
Da student und person 1–stellige Prädikatensymbole sind, werden Tupel
1
(u) ∈ UA
mit nur einer Komponente untersucht.
Also ist die untersuchte Struktur A zwar ein Modell von f , aber kein
Modell von ∀X r, und somit auch kein Modell von F .
Die Struktur A paßt zu F auch ohne eine Interpretation X A des
Variablensymbols X anzugeben, da über X quantifiziert wird.
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178
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Herbrand–Struktur, Modell)
Wir betrachten die folgende geschlossene Formel F :
F = f1 ∧ f2 ∧ f3 ∧ ∀X ∀Y ∀Z r,
f1 = father (a, b),
f2 = brother (b, c),
f2 = brother (b, d ),
r = father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z ) → uncle(X , Z ).
Ein Onkel Z von X ist ein Bruder des Vaters Y . Man könnte father und
brother auch mittels zweier Prädikate parent und male definieren.
Wir betrachten wieder eine Herbrand–Struktur A, die die Konstanten (hier
die einzigen Funktionssymbole) in F auf sich selbst abbildet:
UA = { a, b, c, d },
αA = α, für alle Konstanten α ∈ UA .
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179
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
A interpretiert die Prädikatensymbole wie folgt:
father A
= { (a, b) },
brother A = { (b, c), (b, d) },
uncle A
= { (a, c) }.
Für die Variablenbelegung
X A = a, Y A = b, Z A = c,
ist A ein Modell für die Fakten f1 , f2 , f3 , und die Regel r:
A(r) = A(father (X , Y )) ∧ A(brother (Y , Z )) → A(uncle(X , Z ))
= (a, b) ∈ father A ∧ (b, c) ∈ brother A → (a, c) ∈ uncle A
= 1 ∧ 1 → 1 = 1.
Der Wahrheitswert von e ∈ M ist 1, falls e ∈ M gilt, sonst 0.
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180
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Struktur A[Z|d] interpretiert die Prädikatensymbole wie A.
A[Z|d] ist ebenfalls ein Modell für die Fakten f1 , f2 , f3 .
Da (a, d) 6∈ uncleA , ist A[Z|d] aber kein Modell für die Regel r:
A[Z|d] (r) = A[Z |d] (father (X , Y )) ∧ A[Z |d] (brother (Y , Z ))
→ A[Z |d] (uncle(X , Z ))
= (a, b) ∈ father A ∧ (b, d ) ∈ brother A → (a, d ) ∈ uncle A
= 1 ∧ 1 → 0 = 0.
Also ist A auch kein Modell für die quantifizierte Regel ∀X ∀Y ∀Z r, und
somit auch kein Modell für die komplette Formel F .
Wenn wir die Interpretation von uncle erweitern zu
uncle
A0
= { (a, c), (a, d) }
und sonst alles wie in A belassen, dann erhalten wir ein Modell A0 von F .
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181
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Logische Folgerung, Erfüllbarkeit, Gültigkeit
Seien F und G prädikatenlogische Formeln.
1. G folgt logisch aus F , falls jedes Modell A von F auch ein Modell von
G ist. Dann schreiben wir F |= G.
2. F ist erfüllbar, falls es ein Modell von F gibt.
3. F ist gültig, falls jede zu F passende Struktur ein Modell von F ist.
Man kann die logische Folgerung auf die Erfüllbarkeit bzw. die Gültigkeit
zurückführen:
F |= G ⇐⇒
F ∧ ¬ G ist unerfüllbar ⇐⇒ ¬ (F ∧ ¬ G) ist gültig.
Man kann die bekannten Begriffe auf Formelmengen F ausdehnen.
Eine endliche Formelmenge F = { f1 , . . . , fn } ist dabei äquivalent zu
einer Konjunktion f1 ∧ . . . ∧ fn .
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182
Logik für Informatiker
2.2
Wintersemester 2015/16
Normalformen
Wir werden im folgenden sehen, daß man eine prädikatenlogische Formel
äquivalent umformen kann, so daß alle Quantoren am Anfang der Formel
stehen (Pränexform).
Man kann sogar noch – mittels Skolemfunktionen – alle Existenzquantoren
entfernen (Skolemform). Die Skolemform ist genau dann erfüllbar, wenn die
Ausgangsformel erfüllbar ist.
Die Skolemform kann man dann – wie in der Aussagenlogik – auf
Klauselform bringen (KNF). Darauf können wir dann eine verallgemeinerte
Resolutionsmethode anwenden.
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183
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Äquivalenz)
Zwei prädikatenlogische Formeln F und G heißen äquivalent,
falls für alle sowohl zu F als auch zu G passenden Strukturen A gilt:
A(F ) = A(G).
Dann schreiben wir F ≡ G.
Satz (Äquivalenz)
1. Negation vertauscht die Quantoren ∀ und ∃:
¬ ∀X F
≡
∃X ¬ F,
¬ ∃X F
≡
∀X ¬ F.
Nicht alle Strukturen passen zu F ist z.B. äquivalent zu
es gibt Strukturen, die nicht zu F passen.
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184
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Falls X in G nicht frei vorkommt:
(QX F ⊗ G) ≡ QX (F ⊗ G),
für einen Quantor Q ∈ { ∀, ∃ } und einen Junktor ⊗ ∈ { ∧, ∨ }.
3. Ausklammern von Quantoren:
(∀X F ∧ ∀X G)
≡ ∀X (F ∧ G),
(∃X F ∨ ∃X G)
≡ ∃X (F ∨ G).
4. Vertauschen gleichartiger Quantoren:
∀X ∀Y F
≡ ∀Y ∀X F,
∃X ∃Y F
≡ ∃Y ∃X F.
Dagegen sind die folgenden Formeln im allgemeinen nicht äquivalent:
Prof. Dr. Dietmar Seipel
(∀XF ∨ ∀XG)
6≡ ∀X (F ∨ G),
(∃XF ∧ ∃XG)
6≡ ∃X (F ∧ G).
185
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Äquivalenz)
1. Nach 1. gilt
¬ ∀X r(X, Y ) ≡ ∃X ¬ r(X, Y ).
2. Da X und Y nicht frei in ¬ q(Z) vorkommen, kann man nach 2. die
Quantoren ∀X und ∃Y sich auf beide Formeln erstrecken lassen:
∀X ∃Y p(X, g(Y, f (X))) ∨ ¬ q(Z)
≡ ∀X ∃Y (p(X, g(Y, f (X))) ∨ ¬ q(Z)).
Da X frei in q(X) vorkommt, kann man den Quantor ∀X nicht sich auf
beide Formeln erstrecken lassen:
∀X p(X) ∧ q(X) 6≡ ∀X ( p(X) ∧ q(X) ).
3. Für Konjunktionen kann man nach 3. universelle Quantoren ausklammern:
∀X p(X) ∧ ∀X q(X) ≡ ∀X ( p(X) ∧ q(X) ).
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186
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
4. Dagegen kann man unterschiedliche Quantoren im Allgemeinen nicht
vertauschen:
∀X ∃Y F
6≡ ∃Y ∀X F.
Für F = Y > X (Infix–Notation) gilt: wenn man > als die
Größer–Relation auf den natürlichen Zahlen interpretiert, d.h.
UA = IN0 = { 0, 1, 2, . . . },
>A = { (m, n) ∈ IN02 | m > n },
dann erfüllt A die Formel ∀X ∃Y F , da es für alle X ∈ IN0 eine
größere Zahl Y ∈ IN0 gibt, während ∃Y ∀X F nicht erfüllt ist,
da es kein Y ∈ IN0 gibt, das größer ist als alle Zahlen X ∈ IN0 :
A(∀X ∃Y F ) = 1 6= 0 = A(∃Y ∀X F ).
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187
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Äquivalenz vs. Implikation
1. F ≡ G gilt genau dann,
wenn F → G und G → F gültig (Tautologien) sind.
2. Aus F ≡ G folgt, daß F → G und G → F gültig sind.
Für die nicht geltenden Äquivalenzen
(∀XF ∨ ∀XG)
6≡ ∀X (F ∨ G),
(∃XF ∧ ∃XG)
6≡ ∃X (F ∧ G).
sind zumindest die folgenden Implikationen gültig:
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(∀XF ∨ ∀XG)
→ ∀X (F ∨ G),
(∃XF ∧ ∃XG)
← ∃X (F ∧ G).
188
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Ersetzung von Variablen)
1. Sei F eine Formel, X eine Variable und t ein Term. Dann bezeichnet
F [X|t] diejenige Formel, die man aus F erhält, indem man jedes freie
Vorkommen von X durch t ersetzt.
2. [X|t] wird als Substitution bezeichnet.
3. Eine Folge
θ = [X1 |t1 ] . . . [Xn |tn ]
von Substitutionen wird auch als Substitution bezeichnet.
4. Für eine Formel F bezeichnet F θ die Formel
(((F [X1 |t1 ])[X2 |t2 ]) . . . )[Xn |tn ],
die man durch sukzessive Anwendung der Substitutionen [Xi |ti ] erhält.
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189
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Substitution)
Sei θ = [X|h(Z)] [Y |U ]. In der folgenden Formel sind die ersten beiden
Vorkommen von X gebunden und werden nicht durch h(Z) ersetzt:
(∀X p(X, f (X), g(Y )) ∨ q(X)) θ =
(∀Xp(X, f (X), g(U )) ∨ q(h(Z))).
Gebundene Umbenennung
Ist F = QX G eine Formel mit einem Quantor Q ∈ { ∃, ∀ } und X 0 eine
Variable, die in G nicht vorkommt, dann gilt
F = QX G ≡ QX 0 G [X|X 0 ].
Beispiel (Gebundene Umbenennung)
Für G = p(X, g(Y, f (X))) gilt
∃Y G ≡
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∃Y 0 G [Y |Y 0 ] = ∃Y 0 p(X, g(Y 0 , f (X))).
190
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Gebundene Umbenennung)
1. Die folgenden offenen Formeln sind nicht äquivalent:
F = p(X),
G = p(Y ).
Für die Struktur A mit der Grundmenge UA = { 1, 2 } und
pA = { (1) } und der Variablenbelegung X A = 1, Y A = 2 gilt
A(F ) = (1) ∈ pA = 1 6= 0 = (2) ∈ pA = A(G).
2. Die folgenden quantifizierten Formeln sind dagegen äquivalent:
F = ∀ X p(X),
G = ∀ Y p(Y ).
Es gilt G = ∀ Y p(X) [X|Y ].
Für gebundene Vorkommen kann man das Variablensymbol umbenennen.
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191
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Ausklammern nach gebundener Umbenennung)
1. Die folgenden Formeln sind bekanntermaßen im allgemeinen nicht
äquivalent:
(∀XF ∨ ∀XG) 6≡
∀X (F ∨ G),
(∃XF ∧ ∃XG) 6≡
∃X (F ∧ G).
2. Sei F = rot(X) und G = blau(X).
• Dann besagt (∀XF ∨ ∀XG) : entweder alle Kugeln sind rot, oder
alle Kugeln sind blau.
• Dagegen besagt ∀X (F ∨ G), daß jede Kugel entweder rot oder
blau ist. Aber es kann sowohl rote als auch blaue Kugeln geben.
In den folgenden Strukturen mit einfarbigen Kugeln unterscheiden sich
auch die Formeln mit der existentiellen Quantifizierung.
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192
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
F1 = (∀Xrot(X) ∨ ∀Xblau(X))
6≡
F2 = ∀X (rot(X) ∨ blau(X)),
G1 = (∃Xrot(X) ∧ ∃Xblau(X))
6≡
G2 = ∃X (rot(X) ∧ blau(X)).
Die folgenden Strukturen Ai mit einfarbigen Kugeln erfüllen G2 nicht,
da es keine Kugeln gibt, die gleichzeitig rot und blau sind.
A1
A2
A3
A1 erfüllt F2 und G1 , aber nicht F1 und G2 , denn jede Kugel ist
entweder rot oder blau (mit Punkt in der Mitte), und es gibt rote und
blaue Kugeln.
A2 und A3 erfüllen F1 und F2 , aber nicht G1 und G2 , denn in beiden
Strukturen haben alle Kugeln dieselbe Farbe, rot bzw. blau.
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193
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
3. Für ein frisches Variablensymbol X 0 , das nicht in (∀XF ∨ ∀XG)
vorkommt, gilt:
(∀XF ∨ ∀XG) ≡ (∀X 0 F [X|X 0 ] ∨ ∀XG)
≡ ∀X 0 (F [X|X 0 ] ∨ ∀XG) ≡ ∀X 0 ∀X (F [X|X 0 ] ∨ G).
Also gilt z.B.
(∀X rot(X) ∨ ∀X blau(X)) ≡ ∀X 0 ∀X (rot(X 0 ) ∨ blau(X)).
Prinzipiell können Kugeln mehrfarbig sein. Wenn es aber eine rote
Kugel r gäbe, die nicht auch blau ist, und eine blaue Kugel b, die nicht
auch rot ist, dann wäre A[X 0 |b][X|r] (rot(X 0 ) ∨ blau(X)) = 0.
4. Für ein frisches Variablensymbol X 0 , das nicht in (∃XF ∧ ∃XG)
vorkommt, gilt analog auch:
(∃XF ∧ ∃XG) ≡ ∃X 0 ∃X (F [X|X 0 ] ∧ G).
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194
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
5. Auch aus einer Implikation kann man nach gebundener Umbenennung
ausklammern:
F = ∀X ( p(X ) → ∃X q(X) )
≡ ∀X ( p(X ) → ∃X 0 q(X 0 ) )
≡ ∀X ∃X 0 ( p(X ) → q(X 0 ) ).
Hier mußte X gebunden in X 0 umbenannt werden, da das Vorkommen
von X in p(X) durch ∀X und das Vorkommen von X in q(X) durch
∃X gebunden waren.
Nach dem Vorziehen des Quantors ∃X 0 erstrecken sich nun beide
Quantoren auf p(X ) → q(X 0 ), also auf beide Teilformeln.
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195
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (BPF, bereinigte Pränexform)
1. Eine Formel F heißt bereinigt,
• wenn es keine Variable X gibt, die in F sowohl gebunden als auch
frei vorkommt, und
• wenn hinter allen vorkommenden Quantoren verschiedene
Variablen stehen.
2. Eine Formel F heißt Pränex oder in Pränexform, falls sie von der Form
Q1 X1 Q2 X2 . . . Qn Xn G
ist, mit Quantoren Qi ∈ { ∃, ∀ } und Variablen Xi , und falls ferner G
quantorenfrei ist.
Satz (BPF)
Für jede Formel F gibt es eine äquivalente Formel G in BPF.
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196
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
∨
Beispiel (BPF)
Aus
¬ ∀X r(X, Y )
∨
¬ ∀X r(X, Y )
≡ ∃X 0 ¬ r(X 0 , Y ),
∀X ∃Y p(X, g(Y, f (X)))
¬q(Z)
∀X ∃Y p(X, g(Y, f (X))) ∨ ¬ q(Z)
≡ ∀X ∃Y 0 (p(X, g(Y 0 , f (X))) ∨ ¬ q(Z)),
folgt:
F
= (∀X ∃Y p(X, g(Y, f (X))) ∨ ¬ q(Z)) ∨ ¬ ∀X r(X, Y )
≡
∀X ∃Y 0 ∃X 0 ( p(X, g(Y 0 , f (X))) ∨ ¬ q(Z) ∨ ¬ r(X 0 , Y ) ).
Die Quantoren ∀X und ∃Y beziehen sich nicht auf ¬ ∀X r(X, Y ).
Deswegen benennen wir Y vorne in Y 0 gebunden um und X hinten in X 0 .
Danach können alle Quantoren ganz nach vorne gezogen werden.
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197
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die enstandene Formel in BPF hat immer noch 2 freie Vorkommen von
Variablensymbolen, nämlich Y und Z.
∀X ∃Y 0 ∃X 0
∨
∨
p(X, g(Y 0 , f (X)))
¬ r(X 0 , Y )
¬q(Z)
Die gebundenen Umbenennungen waren erforderlich,
• da X einmal universell und einmal existentiell quantifiziert ist, und
• da sich der Quantor ∃Y 0 nicht auf ¬ r(X 0 , Y ) beziehen soll.
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198
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (BPF)
In der folgenden BPF–Formel F kommt das universell quantifizierte
Variablensymbol Y nur im Regelrumpf von r vor:
F = ∀X ∀Y ∀Z r,
r = father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z ) → uncle(X , Z ).
Dann könnte man den vor r stehenden Allquantor ∀Y auch als
Existenzquantor ∃Y in den Regelrumpf von r ziehen:
∀Y r
≡
∀Y (¬ (father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z )) ∨ uncle(X , Z ))
≡
∀Y ¬ (father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z )) ∨ uncle(X , Z )
≡ ¬ ∃Y (father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z )) ∨ uncle(X , Z )
≡ ∃Y (father (X , Y ) ∧ brother (Y , Z )) → uncle(X , Z ).
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199
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Exkurs: Existenzquantor im Regelkopf
Ein Existenzquantor ∃ Y im Kopf einer BPF–Regel,
F = ∀X ( kugel (X ) → ∃ Y farbe(X , Y ) ),
entspricht dagegen einem vor der Regel stehenden Existenzquantor ∃ Y :
F ≡ ∀X ∃ Y ( kugel (X ) → farbe(X , Y ) ).
Für eine vorgegebene Struktur A ergibt er eine Disjunktion im Regelkopf:
A(F ) = ∧u∈UA ( (u) ∈ kugel A → ∨v ∈UA (u, v ) ∈ farbe A ).
Da die Grundmenge U = UA für Herbrand–Strukturen unabhängig von A
ist, könnte man F praktisch wie eine Regel mit einem disjunktiven Kopf
auffassen:
F =
ˆ ∀X ( kugel (X ) → ∨v ∈U farbe(X , v ) ).
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200
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
In der Praxis möchte man allerdings für v ∈ U nur Farben zulassen, etwa
rot, grün, blau. Dann meint man eigentlich die folgende Formel:
∀X ( kugel (X ) →
farbe(X , rot) ∨ farbe(X , grün) ∨ farbe(X , blau) ).
Diese könnte man wieder mit einem Existenzquantor ∃ Y im Regelkopf
ausdrücken,
G = ∀X ( kugel (X ) → ∃ Y (farbe(Y ) ∧ farbe(X , Y )) ).
Man könnte dazu ein 1–stelliges Prädikat farbe, das die zugelassenen
Farben angibt, mit Hilfe geeigneter Formeln definieren.
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201
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Skolemform)
Zu einer Formel F in BPF erhält man die Skolemform durch Elimination
der Existenzquantoren nach folgendem Schema:
1. Wir betrachten den ersten Existenzquantor in F :
F = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xn ∃X G.
2. Sei f ein neues bisher in F nicht vorkommendes n–stelliges
Funktionssymbol. Dann setzen wir
F 0 = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xn G [X|f (X1 , . . . , Xn )].
Nun eliminieren wir nach demselben Schema alle weiteren
Existenzquantoren in F 0 .
3. Sobald die so erhaltene Formel F 00 keine Existenzquantoren mehr
enthält, ist sie in Skolemform:
F 00 = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xk F ∗
mit quantorenfreier Formel F ∗ , die wir Matrix nennen.
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202
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Skolemform)
Wir betrachten die folgende Formel F in BPF:
F
= ∃X ∀Y ∃Z ∀V ∃W ¬p(X, Y, Z, V, W )
F0
=
∀Y ∃Z ∀V ∃W ¬p(a, Y, Z, V, W )
F 00 =
∀Y
∀V ∃W ¬p(a, Y, f (Y ), V, W )
F 000 =
∀Y
∀V
¬p(a, Y, f (Y ), V, g(Y, V )).
Wir ersetzen die existentiell quantifizierten Variablen durch Terme:
• Zuerst ersetzen wir X durch eine frische Konstante a.
• Dann ersetzen wir Z im Scope von Y durch einen Term f (Y ).
• Schließlich ersetzen wir W im Scope von Y und V durch einen Term
g(Y, V ).
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203
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Skolemform)
Das 3–stellige Prädikatensymbol p steht für eine Gruppenoperation;
wir schreiben p(X, Y, Z) anstelle von X ◦ Y = Z (Produkt).
Die folgende Formel beschreibt die Gruppenaxiome zur Existenz eines
links–neutralen Elements (X) und zur Existenz von Links–Inversen (Z):
F = ∃X ( ∀Y p(X, Y, Y ) ∧ ∀Y ∃Z p(Z, Y, X) ).
Wir bringen F zuerst in BPF, und dann mittels zweier Skolemfunktionen e
(0–stellig) und i (1–stellig) in Skolemform F 0 :
F
≡ ∃X ∀Y ∃Z ( p(X, Y, Y ) ∧ p(Z, Y, X) ),
F0
= ∀Y ( p(e, Y, Y ) ∧ p(i(Y ), Y, e) ).
Bei der Erzeugung der BPF wurde der bekannte Satz zur Verschiebung der
Quantoren ∀Y und ∃Z angewendet.
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204
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Erfüllbarkeitsäquivalenz)
Zwei prädikatenlogische Formeln F und G heißen erfüllbarkeitsäquivalent,
wenn gilt: F ist genau dann erfüllbar, wenn G erfüllbar ist.
F und G müssen nicht dieselben Modelle haben.
Die Erfüllbarkeitsäquivalenz bedeutet aber, daß F und G entweder beide
ein Modell besitzen, oder daß keine der beiden Formeln ein Modell besitzt.
Beispiel (Erfüllbarkeitsäquivalenz)
Indem man die freie Variable X in
G = ∀Y p(X, Y, Y ) ∧ ∀Y ∃Z p(Z, Y, X)
existentiell quantifiziert, erhält man eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel
F = ∃X ( ∀Y p(X, Y, Y ) ∧ ∀Y ∃Z p(Z, Y, X) ).
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205
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Satz (Skolemform)
Eine Formel F in BPF ist genau dann erfüllbar, wenn ihre Skolemform
erfüllbar ist.
Beweis:
Wir betrachten den Eliminationsschritt F 7→ F 0 für den ersten
Existenzquantor:
F = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xn ∃X G.
1. Annahme: F 0 ist erfüllbar mit einer passenden Struktur A0 , d.h.
A0 (F 0 ) = 1. Dann paßt A0 auch zu F und es gilt
∀u1 , . . . , un ∈ UA0 :
A0[X1 |u1 ]...[Xn |un ] (G[X|f (X1 , . . . , Xn )]) = 1.
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206
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Daraus folgt
∀u1 , . . . , un ∈ UA0 :
A0[X |u ]...[X |u ][X|f A0 (u
1
1
n
n
1 ,... ,un )]
(G) = 1.
Daraus folgt
0
∀u1 , . . . , un ∈ UA0 : ∃u = f A (u1 , . . . , un ) ∈ UA0 :
A0[X1 |u1 ]...[Xn |un ][X|u] (G) = 1.
Daraus folgt
A0 (∀X1 . . . ∀Xn ∃X G) = 1.
Also ist A0 auch ein Modell für F .
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207
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Annahme: F ist erfüllbar mit einer passenden Struktur A,
d.h. A(F ) = 1.
Wir können annehmen, daß IA auf keinen anderen als den in F
vorkommenden Funktionssymbolen, Prädikatensymbolen und freien
Variablen definiert ist.
Dann gilt:
∀u1 , . . . , un ∈ UA : ∃u ∈ UA :
A[X1 |u1 ]...[Xn |un ][X|u] (G) = 1.
Wir erweitern nun die Struktur A zu einer neuen Struktur A0 durch
A0
Definition einer Funktion f mit
f
A0
(u1 , . . . , un ) = u
durch Verwendung des Auswahlaxioms. Es gilt UA0 = UA .
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208
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Daraus folgt
∀u1 , . . . , un ∈ UA0 :
A0[X |u ]...[X |u ][X|f A0 (u
1
1
n
n
1 ,... ,un )]
(G) = 1.
Daraus folgt
∀u1 , . . . , un ∈ UA0 :
A0[X1 |u1 ]...[Xn |un ] (G[X|f (X1 , . . . , Xn )]) = 1.
Daraus folgt
A0 (∀X1 . . . ∀Xn G[X|f (X1 , . . . , Xn )]) = 1.
Also ist A0 ein Modell für F .
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209
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Zusammenfassung (BPF, Skolemform)
1. Für jede Formel F gibt es eine äquivalente Formel G in BPF.
2. F und G haben genau dieselben Modelle.
3. Für jede Formel F gibt es eine Formel H in Skolemform.
• F und H müssen nicht dieselben Modelle haben.
• Insbesondere unterscheiden sich die Modelle in der Regel aufgrund
der Skolemfunktionen in H.
• Die Skolemform H wird durch Elimination der Existenzquantoren
aus der BPF G konstruiert.
4. Eine Formel F ist genau dann erfüllbar, wenn ihre Skolemform H
erfüllbar ist.
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210
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Klauselform
Aus einer Formel F kann man über die Skolemform eine Klauselmenge M
gewinnen. Eine Klausel ist eine Disjunktion prädikatenlogischer Literale.
1. Durch systematisches Umbenennen der gebundenen Variablen in F
bilden wir eine neue, bereinigte Formel F1 , die zu F äquivalent ist.
2. Seien Y1 , . . . , Yn die in F1 vorkommenden freien Variablen.
Dann enthält F2 = ∃Y1 . . . ∃Yn F1 keine ungebundenen Variablen
mehr, und F2 ist erfüllbarkeitsäquivalent zu F1 .
3. Sei F3 = ∀X1 . . . ∀Xm G3 eine Skolemform zu F2 mit der
(quantorenfreien) Matrix G3 . Dann sind alle Variablen in F3 universell
quantifiziert, und F3 ist erfüllbarkeitsäquivalent zu F2 .
4. Man kann die Matrix G3 in eine KNF G4 = ∧ki=1 βi mit Klauseln βi
umformen. Dann ist F4 = ∀X1 . . . ∀Xm G4 zu F3 äquivalent.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
211
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Insgesamt gilt:
• F4 ist erfüllbarkeitsäquivalent zu F , und
• alle Variablen in F4 sind universell quantifiziert.
Die Klauselmenge M = { β1 , . . . , βk } spielt später bei Inferenzmethoden
eine entscheidente Rolle. Man kann mittels der Resolutionsmethode genau
dann die leere Klausel aus M ableiten, wenn F unerfüllbar ist.
Beispiel (Klauselmenge)
Die Formel
G = ∀Y p(X, Y, Y ) ∧ ∀Y ∃Z p(Z, Y, X)
wird zur Klauselmenge
M = { p(e, Y, Y ), p(i(Y ), Y, e) }.
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212
Logik für Informatiker
2.3
Wintersemester 2015/16
Unentscheidbarkeit
Es gibt prädikatenlogische Formeln F , die zwar erfüllbar sind, jedoch nur
unendliche Modelle A = (UA , IA ) besitzen, also solche mit unendlicher
Grundmenge UA :
F = ∀X p(X, f (X)) ∧
∀X ¬p(X, X) ∧
∀X ∀Y ∀Z ( (p(X, Y ) ∧ p(Y, Z)) → p(X, Z) )
Dann gibt es das folgende unendliche Modell A = (UA , IA ) :
UA
= IN0 = { 0, 1, 2, . . . },
pA
= { (m, n) ∈ IN02 | m < n },
f A (n) = n + 1.
Die Formel F besitzt jedoch kein endliches Modell.
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213
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Angenommen B = (UB , IB ) ist ein Modell mit endlicher Grundmenge UB .
Für ein beliebiges Element m0 ∈ UB betrachten wir die Folge
m0 , m1 , m2 , . . . ∈ UB , mit mi+1 = f B (mi ).
Wegen des ersten Konjunktionsgliedes von F gilt
(m0 , m1 ), (m1 , m2 ), . . . , (mi , mi+1 ) ∈ pB , für alle i ∈ IN0 .
Wegen des dritten Konjunktionsgliedes von F ist pB transitiv, d.h.
(mi , mj ) ∈ pB , für alle i, j ∈ IN0 mit i < j.
Da UB endlich ist, muß es zwei Indizes i und j mit i < j geben, mit
mi = mj = m.
Also gibt es (m, m) ∈ pB , im Widerspruch zum zweiten Konjunktionsglied
von F (Irreflexivität).
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214
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Obiges Beispiel zeigt, daß sich die Wahrheitstafelmethode nicht in die
Prädikatenlogik übertragen läßt.
Entscheidbarkeit
Ein (ja/nein–) Problem heißt entscheidbar oder rekursiv, falls es ein
Rechenverfahren gibt (z.B. formuliert als Programm in C++), das für alle
Eingaben immer nach endlicher Zeit stoppt, und dann korrekt “ja” oder
“nein” ausgibt.
Anderenfalls heißt ein Problem unentscheidbar.
Gültigkeitsproblem der Prädikatenlogik:
Gegeben eine prädikatenlogische Formel F .
Frage: Ist F eine gültige Formel ?
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215
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Satz (Church)
Das Gültigkeitsproblem der Prädikatenlogik ist unentscheidbar.
Beweis durch Zurückführung auf das unentscheidbare Postsche
Korrespondenzproblem:
• Gegeben eine endliche Folge (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) von Paaren
xi , yi ∈ {0, 1}+ von nicht–leeren Strings über {0, 1}.
• Frage: Gibt es eine Folge von Indizes i1 , . . . , im ∈ { 1, . . . , n }, mit
m ≥ 1, so daß die Konkatenationen der entsprechenden Strings
übereinstimmen ?
xi1 xi2 . . . xim = yi1 yi2 . . . yim .
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216
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Postsches Korrespondenzproblem)
Sei K = ((x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )) mit
x1 = 1 und y1 = 101,
x2 = 10 und y2 = 00,
x3 = 011 und y3 = 11.
Lösung: i1 = 1, i2 = 3, i3 = 2, i4 = 3
x1
x3
x2
x3
z}|{ z }| { z}|{ z }| {
x1 x3 x2 x3 = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 = y1 y3 y2 y3 .
| {z } |{z} |{z} |{z}
y1
y3
y2
y3
Folgerung (Erfüllbarkeitsproblem)
Das Erfüllbarkeitsproblem der Prädikatenlogik
Ist eine gegebene prädikatenlogische Formel F erfüllbar ?
ist ebenfalls unentscheidbar.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
217
Logik für Informatiker
2.4
Wintersemester 2015/16
Herbrand–Theorie
Jacques Herbrand, Kurt Gödel, Thoralf Skolem
Definition (Herbrand–Universum)
Das Herbrand–Universum HUF einer Formel F ist die Menge aller
variablenfreien Terme, die aus Bestandteilen von F gebildet werden
können.
Falls F keine Konstante (d.h., kein 0–stelliges Funktionssymbol) enthält,
so nehmen wir eine beliebige Konstante a zur Konstruktion von HUF hinzu.
Das Herbrand–Universum HUF ist meist unendlich groß, aber man kann es
systematisch konstruieren.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
218
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Induktive Konstruktion:
1. Alle in F vorkommenden Konstanten sind in HUF .
2. Falls F keine Konstanten enthält, so nimmt man eine beliebige
Konstante a zu HUF hinzu.
3. Für jedes in F vorkommende
• n–stellige Funktionssymbol f und
• Terme t1 , . . . , tn ∈ HUF
ist auch der Term f (t1 , . . . , tn ) in HUF .
Für ein 1–stelliges Funktionssymbol f und eine Konstante a setzen wir
• f 0 (a) = a und
• f k+1 (a) = f (f k (a)), für alle k ∈ IN0 .
Z.B. entsteht f 2 (a) = f (f (a)) durch 2–malige Anwendung von f auf a.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
219
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Herbrand–Universum)
Die Formel F = p(f (a), g(b)) enthält zwei Konstanten (0–stellige
Funktionssymbole) a und b und zwei einstellige Funktionssymbole f und g.
Daraus setzen sich die Terme des Herbrand–Universums zusammen.
1. a und b sind in HUF . Da F bereits Konstanten enthält, ist keine
zusätzliche Konstante erforderlich.
2. Mit den Funktionssymbolen f und g kann man weitere Terme bilden.
Die Tatsache, daß a in F nur als Argument von f vorkommt und b nur
als Argument von g ist dabei unerheblich. Auch die “gekreuzten”
Terme f (b) und g(a) sind in HUF .
3. Falls h1 , . . . , hn eine beliebige Folge von Funktionssymbolen ist, mit
hi ∈ {f, g}, so sind auch h1 (. . . (hn (a))) und h1 (. . . (hn (b))) in HUF .
4. HUF = { a, b, f (a), f (b), g(a), g(b), f (f (a)), f (g(a)), . . . }.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
220
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
HUF ist genau dann unendlich groß, wenn F ein n–stelliges
Funktionssymbol mit n ≥ 1 enthält.
Für ein 1–stelliges Funktionssymbol f in F und eine Konstante a ∈ HUF
sind z.B. auch alle Terme f k (a) in HUF .
Beispiel (Herbrand–Universum)
Die Formel F in BPF enthält ein einstelliges Funktionssymbol f :
F
= ∃X p(f (X)),
HUF = { a, f (a), f (f (a)), . . . } = { f k (a) | k ∈ IN0 }.
Da F keine Konstanten enthält, nehmen wir die Konstante a zu HUF hinzu.
Dasselbe Herbrand–Universum würden wir auch für die variablenfreie
Formel F 0 = p(f (a)) erhalten.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
221
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Man kann das Herbrand–Universum HUF wie folgt systematisch als
unendliche Vereinigung endlicher Mengen konstruieren:
1. HU1 sei die Menge aller in F vorkommenden Konstanten,
bzw. HU1 = { a }, falls F keine Konstanten enthält.
0
2. HUk+1
sei die Menge aller Terme f (t1 , . . . , tn ) aus einem in F
vorkommenden n–stelligen Funktionssymbol f und Termen
0
t1 , . . . , tn ∈ HUk , und HUk+1 = HUk ∪ HUk+1
.
3. Dann sind alle Mengen HUk endlich, die Folge (HUk )k∈IN+ ist
aufsteigend, und HUF = ∪∞
k=1 HUk .
Also ist das Herbrand–Universum HUF abzählbar. Man erhält per
Induktion eine injektive Abbildung HUF → IN, indem man sukzessive die
endlichen Mengen HUk+1 \ HUk fortlaufend durchnummeriert.
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222
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Herbrand–Universum)
Die folgende Formel F enthält vier Funktionssymbole:
F = ∀X ∀Y p(a, f (X), g(Y, b)).
a und b sind 0–stellig, und somit Konstanten. f ist 1–stellig, g ist 2–stellig.
HU1
= { a, b },
HU2
= HU1 ∪ { f (a), f (b), g(a, a), g(a, b), g(b, a), g(b, b) },
HUk+1 = HUk ∪ { f (t) | t ∈ HUk } ∪ { g(t1 , t2 ) | t1 , t2 ∈ HUk }.
Sobald eine Formel F mindestens ein n–stelliges Funktionssymbol f ,
mit n ≥ 1, enthält, ist das Herbrand–Universum HUF unendlich groß:
HUF enthält immer eine Konstante, und man kann aus jedem Term
t ∈ HUk+1 \ HUk einen neuen Term f (t, . . . , t) ∈ HUk+2 \ HUk+1 bilden.
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223
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Herbrand–Strukturen)
Sei F eine Formel und A = (UA , IA ) eine zu F passende Struktur.
Dann heißt A eine Herbrand–Struktur für F , falls gilt:
1. Die Grundmenge von A ist UA = HUF .
2. Für alle Terme f (t1 , . . . , tn ) ∈ HUF :
A(f (t1 , . . . , tn )) = f A (A(t1 ), . . . , A(tn )) = f (t1 , . . . , tn ).
Terme werden also von Herbrand–Strukturen durch sich selbst interpretiert.
Herbrand–Strukturen für geschlossene Formeln sind vollständig durch die
Interpretation pA der Prädikatensymbole charakterisiert.
Man nennt die entsprechende Menge I eine Herbrand–Interpretation:
I = { p(t1 , . . . , tn ) | t1 , . . . , tn ∈ HUF ∧ (t1 , . . . , tn ) ∈ pA }
Eine Herbrand–Struktur, welche ein Modell für eine Formel F ist, heißt
Herbrand–Modell für F .
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224
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Wintersemester 2015/16
Beispiel (3–Färbbarkeit)
Gesucht ist eine Färbung der Knoten eines Graphen G = h V, E i mit drei
Farben (rot, grün, blau), so daß adjazente Knoten unterschiedliche Farben
haben:
b
a
d
e
c
Wir repräsentieren die Knoten und Kanten des Graphen als Fakten:
f1 = node(a), f2 = node(b), . . . , f5 = node(e),
e1 = edge(a, b), e2 = edge(a, c), . . . , e6 = edge(d , e).
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225
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
g = color
,
(X , red ) ∨ color (X , green) ∨ color (X , blue) ← node(X )
c0 = ← edge(X , Y ) ∧ color (X , C ) ∧ color (Y , C ),
c1 = ← color (X , red ) ∧ color (X , green),
c2 = ← color (X , red ) ∧ color (X , blue),
c3 = ← color (X , green) ∧ color (X , blue).
Die disjunktive Regel g wählt für jeden Knoten eine Farbe aus.
Die Integritätsbedingung c0 verhindert, daß adjazente Knoten die gleiche
Farbe bekommen. Die Integritätsbedingungen c1 , c2 , c3 verhindern, daß ein
Knoten zwei Farben bekommt.
Nebenbemerkung: Jeder planare Graph ist 4–färbbar.
Für allgemeine Graphen ist der Test auf 3–Färbbarkeit N P–vollständig.
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226
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wir betrachten dann die Formel
F = f1 ∧ . . . ∧ f5 ∧ e1 ∧ . . . ∧ e6 ∧
∀Xg ∧
∀X∀Y ∀C c0 ∧
∀Xc1 ∧ . . . ∧ ∀Xc3 .
F ist äquivalent zur folgenden Formel F 0 in Skolemform:
F 0 = ∀X ∀ Y ∀ C
(f1 ∧ . . . ∧ f5 ∧ e1 ∧ . . . ∧ e6 ∧ g ∧ c0 ∧ . . . ∧ c3 ).
Das Herbrand–Universum ist
HUF = { a, b, c, d, e, red , green, blue }.
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227
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
b
a
d
e
c
Die folgende Herbrand–Interpretation I repräsentiert ein Herbrand–Modell
für die Formel F :
I = { node(a), . . . , node(e), edge(a, b), . . . , edge(d , e),
color (a, red ), color (b, green), color (c, blue),
color (d , red ), color (e, green) }.
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228
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die zugehörigen Interpretationen pA der Prädikatensymbole sind folgende:
node A = { (a), . . . , (e) },
edge A = { (a, b), . . . , (d, e) },
color A = { (a, red), (b, green), (c, blue),
(d, red), (e, green) }.
Die Herbrand–Interpretation I faßt diese Mengen pA zu einer einzigen
Menge zusammen.
Damit man die Tupel (t1 , . . . , tn ) ∈ pA korrekt zuordnen kann, werden sie
in I als Atome p(t1 , . . . , tn ) mit Prädikatensymbol notiert:
I = { p(t1 , . . . , tn ) | t1 , . . . , tn ∈ HUF ∧ (t1 , . . . , tn ) ∈ pA }.
Würde man einfach die Vereinigung der Mengen pA benutzen, so könnte
man z.B. nicht wissen, ob ein Paar (t1 , t2 ) zu edge A oder zu color A gehört.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
229
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Satz (Herbrand–Modell)
Eine Aussage F in Skolemform ist genau dann erfüllbar,
wenn F ein Herbrand–Modell besitzt.
Beweis:
1. ⇐: Klar.
2. ⇒: Sei A = (UA , IA ) ein beliebiges Modell für F .
Falls F keine Konstanten enthält und a als zusätzliche Konstante
gewählt wurde, so setzen wir aA = a0 , für ein beliebiges Element
a0 ∈ UA . A ist danach immer noch ein Modell für F .
Wir konstruieren nun aus A eine Herbrand–Struktur B = (UB , IB )
für F , d.h. mit der Grundmenge UB = HUF .
Dazu müssen wir die Prädikatensymbole p aus F interpretieren.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
230
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Sei p ein n–stelliges Prädikatensymbol, und seien t1 , . . . , tn ∈ HUF :
(t1 , . . . , tn ) ∈ pB g.d.w. (A(t1 ), . . . , A(tn )) ∈ pA
Wir zeigen nun, daß B ein Modell für F ist. Mehr noch:
Für jede Aussage G in Skolemform, die aus den Bestandteilen von F
aufgebaut ist, gilt:
A |= G ⇒ B |= G.
Wir führen eine Induktion über die Anzahl n der Allquantoren von G.
n = 0: G enthält keine Quantoren.
Dann haben alle Atome von G unter A und B denselben Wahrheitswert,
und deshalb gilt A(G) = B(G).
n → n + 1: Sei G eine Formel mit n + 1 Allquantoren, und zwar von der
Form G = ∀X H, wobei H nur n Allquantoren enthält.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
231
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wegen A |= G gilt:
∀ u ∈ UA : A[X|u] (H) = 1.
Insbesondere gilt für alle u = A(t) ∈ UA mit t ∈ HUG :
A[X|A(t)] (H) = 1.
Deshalb gilt:
∀ t ∈ HUG : A(H[X|t]) = A[X|A(t)] (H) = 1.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt nun:
∀ t ∈ HUG : B(H[X|t]) = 1.
Deshalb gilt:
∀ t ∈ HUG : B[X|B(t)] (H) = B(H[X|t]) = 1.
Also gilt B(G) = B(∀X H) = 1.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
232
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der obige Satz über Herbrand–Modelle wäre falsch, wenn wir nicht eine
frische Konstante a zu HUF hinzunehmen würden, falls F keine
Konstanten enthält – denn dann wäre die Grundmenge HUF = ∅.
Beispiel (Herbrand–Modell)
Für die Formel
F = ∃X p(X)
ist das Herbrand–Universum HUF = { a }, und das einzige
Herbrand–Modell A ist gegeben durch
pA = { (a) }.
Ohne die frische Konstante a könnte man kein Herbrand–Modell bilden, da
F fordert, daß pA mindestens ein Tupel (t), mit t ∈ HUF , enthalten muß.
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233
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Satz (Löwenheim und Skolem)
Jede erfüllbare Formel F der Prädikatenlogik besitzt ein abzählbares
Modell B = (UB , IB ), d.h. mit einer abzählbaren Grundmenge UB .
Man kann für B ein Herbrand–Modell der Skolemform von F wählen.
Definition (Herbrand–Expansion)
Sei F = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xn G eine Formel in Skolemform mit der
(quantorenfreien) Matrix G.
Dann ist die Herbrand–Expansion von F definiert als
E(F ) = { G[X1 |t1 ] . . . [Xn |tn ] | t1 , . . . , tn ∈ HUF }.
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234
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Herbrand–Expansion)
Für die folgende Formel F in Skolemform
F = ∀X (f ∧ r),
f = married (a, b),
r = student(X ) → person(X ),
ist HUF = { a, b }, und die Herbrand–Expansion
E(F ) = { married (a, b) ∧ (student(a) → person(a)),
married (a, b) ∧ (student(b) → person(b)) }
hat 2 Elemente, da man das Variablensymbol X mit den zwei Konstanten
aus HUF belegen kann.
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235
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Herbrand–Expansion)
Für die Formel F = ∀X1 ∀X2 ∀X3 G, mit G = F1 ∧ F2 ∧ F3 ∧ F4 ∧ F5 und
F1 = ancestor(X1 , X2 ) ← parent(X1 , X2 ),
F1 = ancestor(X1 , X2 ) ← parent(X1 , X3 ) ∧ ancestor(X3 , X2 ),
F3 = parent(a, b),
F4 = parent(b, c),
F5 = parent(c, d),
git HUF = { a, b, c, d }, und E(F ) hat 43 = 64 Elemente. Eines davon ist
z.B. Gθ = F1 θ ∧ F2 θ ∧ F3 ∧ F4 ∧ F5 , für θ = [X1 |a] [X2 |c] [X3 |b]:
F1 θ = ancestor(a, c) ← parent(a, c),
F2 θ = ancestor(a, c) ← parent(a, b) ∧ ancestor(b, c).
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236
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Falls F Variablensymbole und Funktionssymbole der Stelligkeit n ≥ 1
enthält, so sind HUF und E(F ) unendlich groß.
Beispiel (Herbrand–Expansion)
Für die Formel
F = ∀X1 ∀X2 p(X1 , f (X2 ), g(X1 , X2 ))
in Skolemform erhalten wir die folgende Herbrand–Expansion:
HUF = { a, f (a), g(a, a), f (f (a)), f (g(a, a)),
g(a, f (a)), g(a, g(a, a)),
g(f (a), a), g(f (a), f (a)), g(f (a), g(a, a)),
g(g(a, a), a), g(g(a, a), f (a)), g(g(a, a), g(a, a)), . . . },
E(F ) = { p(t1 , f (t2 ), g(t1 , t2 )) | t1 , t2 ∈ HUF }.
Da F keine Konstante enthält, wurde a zu HUF hinzugenommen.
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237
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Im Grunde genommen kann E(F ) als eine – meist unendliche –
aussagenlogische Formelmenge angesehen werden, wenn man die in E(F )
vorkommenden Grundatome als atomare Formeln der Aussagenlogik
auffaßt.
Satz (Gödel, Herbrand und Skolem)
Eine Aussage F in Skolemform ist genau dann unerfüllbar,
wenn es eine endliche Teilmenge von E(F ) gibt,
die (im aussagenlogischen Sinne) unerfüllbar ist.
Beweis:
Mittels des Satzes von Gödel, Herbrand und Skolem und des
Endlichkeitssatzes der Aussagenlogik.
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238
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Semi–Entscheidungsverfahren für die Prädikatenlogik
Gilmore:
Für jede prädikatenlogische Formel F ist die Herbrand–Expansion
E(G) = { G1 , G2 , . . . }
der Skolemform G von F abzählbar, da auch das Herbrand–Universum
HUF abzählbar ist.
F ist genau dann erfüllbar, wenn alle Konjunktionen
G1 ∧ G2 ∧ . . . ∧ Gn ,
mit n ∈ IN+ = { 1, 2, . . . }, erfüllbar sind. Durch sukzessives Testen dieser
Konjunktionen auf Unerfüllbarkeit erhält man also ein Verfahren, welches
für unerfüllbare Formeln F nach endlicher Zeit stoppt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
239
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für erfüllbare Formeln F terminiert das Verfahren offensichtlich nicht
immer.
→ Semi–Entscheidbarkeit des Unerfüllbarkeitsproblems.
Durch Anwendung des Testverfahrens auf ¬F kann man auf Gültigkeit
testen.
→ Semi–Entscheidbarkeit des Gültigkeitsproblems.
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240
Logik für Informatiker
2.5
Wintersemester 2015/16
Resolution
Wir betrachten eine prädikatenlogische Formel
F = ∀X1 ∀X2 . . . ∀Xm G
in Skolemform ohne freie Variablen und mit der Matrix G in KNF.
• Die Matrix G ist quantorenfrei und von der Form G = ∧ki=1 βi .
• Wir untersuchen nun die zugehörige Klauselmenge
M = { β1 , . . . , βk }.
Eine Struktur A heißt Modell für M , falls A ein Modell für F ist.
Wir betrachten eine Klauselmenge M also wie eine KNF zusammen mit
Allquantoren für alle vorkommenden Variablen.
Eine Klausel β = L1 ∨ . . . ∨ Ln wird auch oft als Menge { L1 , . . . , Ln }
von Literalen repräsentiert.
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241
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Resolutionsableitung)
Sei M eine Klauselmenge.
Eine Folge K1 , K2 , . . . , Kn von Klauseln nennt man Resolutionsableitung,
falls für alle 1 ≤ i ≤ n gilt:
1. Ki ist eine Grundinstanz einer Klausel K ∈ M ,
d.h. Ki = K[X1 |t1 ] . . . [Xk |tk ], mit t1 , . . . , tk ∈ HUF , oder
2. Ki ist eine (aussagenlogische) Resolvente
zweier Klauseln Ka und Kb mit 1 ≤ a, b ≤ i − 1.
M ist genau dann unerfüllbar, wenn es eine Resolutionsableitung der leeren
Klausel Kn = 2 gibt.
Dasselbe gilt für die entsprechende prädikatenlogische Formel F .
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242
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Resolution)
Wir betrachten die Klauselmenge M = { F1 , F2 , F3 } mit
F1 = ¬p(X) ∨ ¬p(f (a)) ∨ q(Y ),
F2 = p(Y ),
F3 = ¬p(g(b, X)) ∨ ¬q(b).
Dann kann man
• F1 [X|f (a)] [Y |b] und F2 [Y |f (a)] zu K = { q(b) } resolvieren, und
• F2 [Y |g(b, a)] und F3 [X|a] zu K 0 = { ¬q(b) }.
Aus K und K 0 erhält man schließlich die leere Klausel 2.
Also sind die Klauselmenge M und die zugehörige Formel F unerfüllbar:
F = ∀X ∀ Y (F1 ∧ F2 ∧ F3 ).
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243
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Baumdarstellung:
{ ¬p(X), ¬p(f (a)), q(Y ) }
[X|f (a)] [Y |b]
{ p(Y ) }
[Y |f (a)]
?
{ ¬p(f (a)), q(b) }
{ ¬p(g(b, X)), ¬q(b) }
[Y |g(b, a)]
R
{ p(f (a)) }
{ p(g(b, a)) }
U [X|a]
?
{ ¬p(g(b, a)), ¬q(b) }
U { q(b) }
{ ¬q(b) }
s
2
+
Die Klausel { p(Y ) } wurde in der Resolutionsableitung zweimal benutzt.
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244
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
{ ¬p(X), ¬p(f (a)), q(Y ) }
[X|f (a)] [Y |b]
{ p(Y ) }
{ ¬p(g(b, X)), ¬q(b) }
[Y |f (a)]
?
[Y |g(b, a)]
K1 = { ¬A, B }
R
K2 = { A }
K3 = { C }
U [X|a]
?
K4 = { ¬C, ¬B }
U K5 = { B }
K6 = { ¬B }
s
+
K7 = 2
Durch die vollständige Grundinstanziierung auf
A = p(f (a)), B = q(b), C = p(g(b, a)),
wird das Problem auf die Aussagenlogik reduziert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
245
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aus Effizienzgründen versucht man Substitutionen aber nur auszuführen,
wenn es für den direkt nachfolgenden Resolutionsschritt erforderlich ist.
{ ¬p(X), ¬p(f (a)), q(Y ) }
[Y |f (a)]
[X|f (a)]
?
{ p(Y ) }
{ ¬p(f (a)), q(Y ) }
[Y |g(b, X)]
R
{ p(f (a)) }
?
{ p(g(b, X)) } { ¬p(g(b, X)), ¬q(b) }
U U { q(Y ) }
{ ¬q(b) }
[Y |b]
?
?
{ q(b) }
{ ¬q(b) }
s
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{ ¬p(g(b, X)), ¬q(b) }
2
+
246
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Unifikator, allgemeinster Unifikator)
Sei θ = [X1 |t1 ] . . . [Xn |tn ] eine Substitution.
1. Für eine endliche Literalmenge
L = { L1 , . . . , Lk }
setzen wir Lθ = { L1 θ, . . . , Lk θ }.
2. θ ist ein Unifikator von L, falls
L1 θ = L2 θ = . . . = Lk θ.
θ
R
θ0
?
γ
3. Ein Unifikator θ von L heißt allgemeinster Unifikator von L,
falls für jeden Unifikator θ0 von L eine Substitution γ existiert mit
θ0 = θγ,
d.h. F θ0 = (F θ)γ für alle Formeln F .
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247
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Allgemeinster Unifikator)
1. θ ist ein allgemeinster Unifikator für die Literalmenge
L = { p(X), p(f (a)) }.
θ0 ist ein weiterer Unifikator, und es gilt θ0 = θγ.
θ = [X|f (a)]
R
θ0 = [X|f (a)] [Y |b]
γ = [Y |b]
?
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248
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. θ ist ein allgemeinster Unifikator für die Literalmenge
L = { p(Y ), p(g(b, X)) }.
θ0 ist ein weiterer Unifikator, und es gilt θ0 = θγ.
θ = [Y |g(b, X)]
R
θ0 = [Y |g(b, a)] [X|a]
γ = [X|a]
?
Prof. Dr. Dietmar Seipel
249
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Allgemeinste Unifikatoren sind i.a. nicht eindeutig:
L = { p(X), p(Y ) }
hat z.B. die beiden folgenden allgemeinsten Unifikatoren:
θ1 = [X|Y ],
θ2 = [Y |X].
Es gilt θ1 θ2 = θ2 und θ2 θ1 = θ1 .
Der folgende weitere Unifikator
θ3 = [X|Z][Y |Z]
ist allerdings kein allgemeinster Unifikator.
Es gilt θ1 [Y |Z] = θ3 und θ2 [X|Z] = θ3 .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
250
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Substitutionen bilden keine Gruppe. Es gibt ein neutrales Element [ ].
Aber für
θ3 = [X|Z][Y |Z]
gibt es z.B. kein Rechts–Inverses γ3 mit
θ3 γ3 = [ ].
Man kann die Anwendung von θ3 nicht rückgängig machen, da man für ein
Z nicht weiß, ob es von einem X oder einem Y herrührt. Ebenso gibt es für
θ4 = [X|a]
kein Rechts–Inverses, da man die Konstante a nicht auf eine Variable X
abbilden kann. Auch für θ1 und θ2 gibt es keine Rechts–Inverse.
Deswegen sind θ1 θ2 = θ2 und θ2 θ1 = θ1 möglich. Interessanterweise gilt
hier außerdem θ1 θ1 = θ1 und θ2 θ2 = θ2 (Idempotenz).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
251
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Unifikationssatz (J.A. Robinson)
Jede unifizierbare Menge von Literalen besitzt auch einen allgemeinsten
Unifikator.
Wir interessieren uns hauptsächlich für denjenigen allgemeinsten
Unifikator, der durch den folgenden Algorithmus bestimmt wird.
Unifikationsalgorithmus
Eingabe: eine endliche, nicht–leere Literalmenge (Literalfolge) L
θ = [ ]; ([ ] ist die leere Substitution, d.h. die identische Abbildung)
while |Lθ| > 1 do begin
durchsuche die Literale in Lθ von links nach rechts, bis die erste
Position gefunden ist, wo sich mindestens zwei Literale L1 und L2
unterscheiden (Prädikaten– oder Argument–Position);
Prof. Dr. Dietmar Seipel
252
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
if keines der beiden Zeichen an den gefundenen Positionen
ist eine Variable
then stoppe mit der Ausgabe “nicht unifizierbar”
else begin
sei X die an der einen Position gefundene Variable
und t der Term an der anderen Position;
if X kommt in t vor (“Occurs Check”)
then stoppe mit der Ausgabe “nicht unifizierbar”
else θ = θ [X|t];
end;
end;
Ausgabe: θ ist ein allgemeinster Unifikator von L
Prof. Dr. Dietmar Seipel
253
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Unifikationsalgorithmus)
1. Für die Literalmenge L = { p(X), p(f (a)), p(Y ) } sind die
Prädikatenpositionen alle gleich p.
?
?
?
L = { p(|{z}
X ), p(f (a)), p(|{z}
Y )}
|{z}
6
6
6
Die ersten Unterschiede liegen in den Argumenten. Also setzen wir
θ1 = [X|f (a)] und erhalten Lθ1 = { p(f (a)), p(Y ) }, da die ersten
beiden Atome zusammenfallen.
Mittels θ2 = [Y |f (a)] erhalten wir θ = θ1 θ2 = [X|f (a)][Y |f (a)] und
Lθ = { p(f (a)) }. Wegen |Lθ| = 1 ist θ ein allgemeinster Unifikator.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
254
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Für die Literalmenge L = { L1 , L2 }, mit
L1 = p(f (Z, g(a, Y )), h(Z)),
L2 = p(f (f (U, V ), W ), h(f (a, b))),
sind die ersten unterschiedlichen Positionen X = Z und t = f (U, V ).
Somit erhalten wir θ1 = [Z|f (U, V )].
Für Lθ1 = { L1 θ1 , L2 θ1 }, mit
L1 θ1 = p(f (f (U, V ), g(a, Y )), h(f (U, V ))),
L2 θ1 = L2 ,
sind die ersten unterschiedlichen Positionen X = W und t = g(a, Y ).
Somit erhalten wir θ2 = [W |g(a, Y )].
Prof. Dr. Dietmar Seipel
255
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für Lθ1 θ2 = { L1 θ1 θ2 , L2 θ1 θ2 }, mit
L1 θ1 θ2 = p(f (f (U, V ), g(a, Y )), h(f (U, V ))) und
L2 θ1 θ2 = p(f (f (U, V ), g(a, Y )), h(f (a, b))),
sind die ersten unterschiedlichen Positionen X = U und t = a. Somit
erhalten wir θ3 = [U |a]. Abschließend erhalten wir noch θ4 = [V |b].
Insgesamt erhalten wir die Substitution
θ = θ1 θ2 θ3 θ4
= [Z|f (U, V )][W |g(a, Y )][U |a][V |b]
= [Z|f (a, b)][W |g(a, Y )][U |a][V |b],
und
L1 θ = p(f (f (a, b), g(a, Y )), h(f (a, b))) = L2 θ.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
256
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
3. Die Literalmenge L = { p, q } ist nicht unifizierbar,
da die Prädikatensymbole nicht übereinstimmen.
4. Die Literalmenge L = { p(a), p(b) } ist nicht unifizierbar,
da die Argumente unterschiedliche Konstanten sind.
5. Die Literalmenge L = { p(f (X)), p(g(X)) } ist nicht unifizierbar,
da die Funktionssymbole f und g nicht übereinstimmen.
6. Die Literalmenge L = { p(X), p(f (X)) } ist ebenfalls nicht
unifizierbar, denn der Occurs Check stellt fest,
daß der Term t = f (X) die Variable X enthält.
Wenn man X mittels θ = [X|t0 ] durch einen Term t0 ersetzt, etwa
durch t0 = t = f (X), dann enthält p(X)θ = p(t0 ) immer ein Auftreten
des Funktionssymbols f weniger als p(f (X))θ = p(f (t0 )).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
257
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Occurs Check
In P ROLOG wird der Occurs Check aus Effizienzgründen meist
weggelassen, da der auf X zu testende Term t sehr groß sein kann.
?- X = f(X).
X = f(**).
• Das Ergebnis der Unifikation von X und f (X) ist in S WI–P ROLOG die
Substitution [X|f (**)].
• Wie bei Dauerschleifen in herkömmlichen Programmiersprachen wie
JAVA, geht man aber davon aus, daß ein Programmierer in der Praxis
diese fehlerhaften Unifikationen vermeidet.
• Aus rein theoretischer Sicht könnte man über unendlichen
Termstrukturen als Ergebnis die Substitution [X|f (f (f (...)))] angeben,
die X durch einen unendlich tief verschachtelten Term ersetzt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
258
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Definition (Prädikatenlogische Resolution)
Seien K1 und K2 prädikatenlogische Klauseln.
1. Seien θ1 und θ2 Substitutionen, welche die Variablen von K1 und K2
so umbenennen, daß K1 θ1 und K2 θ2 keine gemeinsamen Variablen
mehr enthalten – wir nennen sie dann variablendisjunkt.
2. Für ein Atom A setzen wir A = ¬A und ¬A = A.
3. Es gebe nun Literale L1 , . . . , Lm ∈ K1 θ1 und L01 , . . . , L0n ∈ K2 θ2 ,
mit m ≥ 1 und n ≥ 1, so daß
K1
K2
L = { L , . . . , L , L0 , . . . , L0 }
1
m
1
n
unifizierbar ist mit einem allgemeinsten Unifikator θ.
4. Dann ist die folgende prädikatenlogische Klausel K eine
prädikatenlogische Resolvente von K1 und K2 :
U K
K = ((K1 θ1 \{ L1 , . . . , Lm }) ∪ (K2 θ2 \{ L01 , . . . , L0m }))θ.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
259
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Alternative, abstraktere Formulierung
• 1. und 2. wie oben.
• Für eine Literalmenge L setzen wird L = { L | L ∈ L }.
• Es gebe nun nicht–leere Literalmengen
L1 ⊆ K1 θ1 , L2 ⊆ K2 θ2 ,
so daß L1 ∪ L2 unifizierbar ist mit einem allgemeinsten Unifikator θ.
• Dann ist die prädikatenlogische Klausel
K1
K2
K = ((K1 θ1 \ L1 ) ∪ (K2 θ2 \ L2 ))θ
eine prädikatenlogische Resolvente von K1 und K2 .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
U K
260
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Prädikatenlogische Resolution)
Da die Klauselmenge { K1 , K2 } für die Formel
∀X (p(X) ∧ ¬p(f (X))) ≡ (∀X p(X)) ∧ (∀X ¬p(f (X)))
steht, können wir K1 und K2 variablendisjunkt machen.
K1 = { p(X) }
K2 = { ¬p(f (X)) }
?
K10 = { p(X) }
?
K20 = { ¬p(f (U )) }
j
K=2
Wir setzen K10 = K1 , d.h. θ1 = [ ], und K20 = K2 θ2 , mit θ2 = [X|U ].
Dann ist θ = [X|f (U )] ein allgemeinster Unifikator für
L = { p(X), p(f (U )) }, und wir erhalten die Resolvente K = 2 = ∅.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
261
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Prädikatenlogische Resolution)
K1 = { p(f (X)), ¬q(Z), p(Z) }
K2 = { ¬p(X), r(g(X), a) }
^
K = { ¬q(f (X)), r(g(f (X)), a) }
Wir setzen
θ1 = [ ],
θ2 = [X|U ],
θ = [U |f (X)] [Z|f (X)].
θ ist ein allgemeinster Unifikator für L = { p(f (X)), p(Z), p(U ) }.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
262
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Resolutionsmengen werden analog zur Aussagenlogik definiert.
Definition (Resolutionsmengen)
Sei M eine prädikatenlogische Klauselmenge.
Res(M ) = M ∪ { K | K ist eine prädikatenlogische Resolvente
zweier Klauseln K1 , K2 ∈ M }.
Ferner definieren wir:
Res 0 (M )
= M,
Res n+1 (M ) = Res(Res n (M )), für n ≥ 0,
∪
∗
Res (M )
= n≥0 Res n (M ).
Es gibt meist sehr viele Resolventen, die wir nicht alle aufzählen können.
Außerdem ist das Variablendisjunkt–Machen nicht eindeutig.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
263
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Resolutionsmengen)
Für die Klauselmenge M = { F1 , F2 , F3 } mit
F1 = ¬p(X) ∨ ¬p(f (a)) ∨ q(Y ),
F2 = p(Y ),
F3 = ¬p(g(b, X)) ∨ ¬q(b),
zur Formel F = ∀X ∀ Y (F1 ∧ F2 ∧ F3 ) erhalten wir folgendes:
• Je nachdem ob wir bei der Resolution von F1 und F2 beide p–Literale
aus F1 gegen F2 = p(Y ) resolvieren oder jeweils nur eines, erhalten
wir drei unterschiedliche Resolventen:
q(Y ), ¬p(f (a)) ∨ q(Y ), ¬p(X) ∨ q(Y ).
• Die Resolution von F2 und F3 über die p–Literale ergibt
¬q(b).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
264
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
• Die Resolution von F1 und F3 über die q–Literale ergibt
¬p(X) ∨ ¬p(f (a)) ∨ ¬p(g(b, X 0 )).
Um die Klauseln variablendisjunkt zu machen, haben X in F3 durch
X 0 ersetzt. Diese Substitution ist natürlich nicht eindeutig.
Wir erhalten also die folgenden Resolutionsmengen:
Res 0 (M ) = M,
Res 1 (M ) = M ∪ { ¬p(f (a)) ∨ q(Y ), ¬p(X) ∨ q(Y ), q(Y ), ¬q(b),
¬p(X) ∨ ¬p(f (a)) ∨ ¬p(g(b, X 0 )) },
Res 2 (M ) = Res 1 (M ) ∪ { 2, . . . }.
Res 2 (M ) enthält hier – neben der leeren Klausel 2 – weitere Resolventen,
die wir nicht alle aufzählen wollen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
265
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Resolutionssatz der Prädikatenlogik
Sei F eine prädikatenlogische Formel in Skolemform ohne freie Variablen
und mit (quantorenfreier) Matrix in KNF, und sei M die zugehörige
Klauselmenge.
F ist genau dann unerfüllbar, wenn 2 ∈ Res ∗ (M ).
Eine Resolutionsableitung verwendet immer nur endlich viele Klauseln.
Deswegen ist der Kompaktheitssatz entscheident, der besagt, daß eine
unerfüllbare Formelmenge bereits eine endliche unerfüllbare Teilmenge
haben muß.
Der Beweis des Resolutionssatzes erfolgt durch Lifting des
aussagenlogischen Satzes.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
266
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Lifting–Lemma
Seien K1 und K2 zwei prädikatenlogische Klauseln, und seien K10 und K20
beliebige Grundinstanzen von K1 bzw. K2 .
• Sei K 0 eine Resolvente von K10 und K20 im aussagenlogischen Sinn.
• Dann gibt es eine prädikatenlogische Resolvente K von K1 und K2 ,
so daß K 0 eine Grundinstanz von K ist.
K1
K2
j
K
?
K10
?
K20
j ?
K0
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267
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Lifting–Lemma)
{ p(f (X)), ¬q(Z), p(Z) }
{ ¬p(X), r(g(X), a) }
j
θ1 = [X|b] [Z|f (b)]
θ2 = [X|f (b)]
{ ¬q(f (X)), r(g(f (X)), a)
?
?
{ p(f (b)), ¬q(f (b)), p(f (b)) }
{ ¬p(f (b)), r(g(f (b)), a) }
j
?
{ ¬q(f (b)), r(g(f (b)), a)
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268
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Resolution mit Gruppenaxiomen)
Wir schreiben p(X, Y, Z) anstelle von X ◦ Y = Z (Produkt).
(1) Abgeschlossenheit:
∀X∀Y ∃Z p(X, Y, Z).
(2) Assoziativität:
∀U ∀V ∀W ∀X∀Y ∀Z
( p(X, Y, U ) ∧ p(Y, Z, V ) → (p(X, V, W ) ↔ p(U, Z, W ) ).
äquivalent: ∀ . . . ( X ◦ (Y ◦ Z) = W ↔ (X ◦ Y ) ◦ Z = W ).
(3) Existenz eines links–neutralen Elements (X) und Existenz von
Links–Inversen (Z):
∃X ∀Y (p(X, Y, Y ) ∧ ∃Z p(Z, Y, X)).
äquivalent: ∃X ∀Y ((X ◦ Y = Y ) ∧ ∃Z (Z ◦ Y = X)).
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269
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
(4) Existenz von Rechts–Inversen:
∃X ∀Y (p(X, Y, Y ) ∧ ∃Z p(Y, Z, X)).
äquivalent: ∃X ∀Y ((X ◦ Y = Y ) ∧ ∃Z (Y ◦ Z = X)).
Es stellt sich heraus, daß man die Existenz von Rechts–Inversen nicht
separat in einem Axiom fordern muß, da sie bereits aus den anderen
Gruppenaxiomen (1), (2) und (3) folgt.
Um dies zu zeigen, betrachten wir die Negation von (4).
Diese ist äquivalent zur BPF
∀X ∃Y ∀Z (¬p(X, Y, Y ) ∨ ¬p(Y, Z, X)).
• Da Z nicht in der Teilformel p(X, Y, Y ) vorkommt, kann man in (4)
den Existenzquantor ∃Z nach vorne ziehen.
• Die Negation vertauscht All– und Existenzquantoren, und sie
verwandelt nach De Morgan eine Konjunktion in eine Disjunktion.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
270
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Formel zur Assoziativität wird z.B. schematisch wie folgt umgeformt:
∀...
∀...
∀...
∀...
( α → (A ↔ B) ) ≡
( α → ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)) ) ≡
( α → ((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)) ) ≡
( (α ∧ B → A) ∧ (α ∧ A → B) ).
Es wurde zweimal verwendet, daß ein negiertes Literal ¬B im Kopf einer
Regel als B in den Rumpf verschoben werden kann:
∀ . . . ( α → (A ∨ ¬B) ) ≡
∀ . . . ( ¬ α ∨ A ∨ ¬B ) ≡
∀ . . . ( α ∧ B → A ).
Wir erhalten also aus (2) zwei Implikationen.
Die Folgerung { (1), (2), (3) } |= (4) gilt genau dann, wenn
{ (1), (2), (3), ¬(4) } unerfüllbar ist.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
271
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Klauselform von (1) ∧ (2) ∧ (3) ∧ ¬(4) mit Skolemfunktionen m, e, i, j:
(1) Abgeschlossenheit:
(a) { p(X, Y, m(X, Y )) }.
(2) Assoziativität:
(b) { ¬p(X, Y, U ), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(X, V, W ), p(U, Z, W ) },
(c) { ¬p(X, Y, U ), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(U, Z, W ), p(X, V, W ) }.
(3) Existenz eines links–neutralen Elements e und Existenz von
Links–Inversen i(Y ) für Gruppenelemente Y :
(d) { p(e, Y, Y ) },
(e) { p(i(Y ), Y, e) }.
(4) Negation der Existenz von Rechts–Inversen:
(f) { ¬p(X, j(X), j(X)), ¬p(j(X), Z, X) }.
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272
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Resolutionsherleitung der leeren Klausel
(f ) { ¬p(X, j(X), j(X)), ¬p(j(X), Z, X) }
|
(d) { p(e, Y, Y ) }
↓ .
{ ¬p(j(e), Z, e) }
|
(b) { ¬p(X, Y, U ), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(X, V, W ), p(U, Z, W ) }
↓ .
{ ¬p(X, Y, j(e)), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(X, V, e) }
|
(e) { p(i(Y ), Y, e) }
↓ .
{ ¬p(i(V ), W, j(e)), ¬p(W, Z, V ) }
|
(d) { p(e, Y, Y ) }
↓ .
{ ¬p(i(V ), e, j(e)) }
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273
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
|
(c) { ¬p(X, Y, U ), ¬p(Y, Z, V ), ¬p(U, Z, W ), p(X, V, W ) }
↓ .
{ ¬p(i(V ), Y, U ), ¬p(Y, Z, e), ¬p(U, Z, j(e)) }
|
(d) { p(e, Y, Y ) }
↓ .
{ ¬p(i(V ), Y, e), ¬p(Y, j(e), e) }
|
(e) { p(i(Y ), Y, e) }
↓ .
{ ¬p(i(V ), i(j(e)), e) }
|
(e) { p(i(Y ), Y, e) }
↓ .
2
Also folgt das vierte Gruppenaxiom aus den ersten dreien:
(1) ∧ (2) ∧ (3) |= (4).
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274
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Da wir in diesem Beispiel ausschließlich Horn–Klauseln vorliegen haben,
können wir die Resolutionsherleitung auch in Implikationsnotation schreiben:
(f ) ← p(X, j(X), j(X)) ∧ p(j(X), Z, X)
|
(d) p(e, Y, Y )
↓ .
← p(j(e), Z, e)
|
(b) p(U, Z, W ) ← p(X, Y, U ) ∧ p(Y, Z, V ) ∧ p(X, V, W )
↓ .
← p(X, Y, j(e)) ∧ p(Y, Z, V ) ∧ p(X, V, e)
|
(e) p(i(Y ), Y, e)
↓ .
← p(i(V ), W, j(e)) ∧ p(W, Z, V )
|
(d) p(e, Y, Y )
↓ .
← p(i(V ), e, j(e))
Prof. Dr. Dietmar Seipel
275
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
|
(c) p(X, V, W ) ← p(X, Y, U ) ∧ p(Y, Z, V ) ∧ p(U, Z, W )
↓ .
← p(i(V ), Y, U ) ∧ p(Y, Z, e) ∧ p(U, Z, j(e))
|
(d) p(e, Y, Y )
↓ .
← p(i(V ), Y, e) ∧ p(Y, j(e), e)
|
(e) p(i(Y ), Y, e)
↓ .
← p(i(V ), i(j(e)), e)
|
(e) p(i(Y ), Y, e)
↓ .
2
Es handelt sich um eine lineare Herleitung von Goals. Bis auf den ersten
Schritt wird immer zuerst das rechteste Atom des Goal–Rumpfes resolviert.
Wenn man zuerst mit (b) und dann mit (d) resolvieren würde, dann wäre
dies – wie bei der SLD–Resolution – immer der Fall.
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276
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Prädikatenlogik der zweiten Stufe (PL2)
Die Prädikatenlogik ist zwar ausdrucksstärker als die Aussagenlogik.
Aber trotzdem kann auch im Rahmen der Prädikatenlogik nicht jede
mathematische Aussage formuliert werden.
Wir erhalten eine noch größere Ausdrucksstärke, wenn wir zusätzlich
Quantifizierungen über
• Prädikaten– und
• Funktionssymbolen
erlauben.
Beispiel (PL2)
F = ∀p ∃f ∀X p(f (X)).
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277
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Exkurs: Induktionsaxiom der natürlichen Zahlen in PL2
Das Induktionsaxiom wurde ursprünglich in der PL2 formuliert:
∀p ( p(0) ∧ ∀N (N ∈ IN0 ∧ p(N ) → p(s(N ))) →
∀N (N ∈ IN0 → p(N )) ).
Es verwendet ein 1–stelliges Funktionssymbol s zur Bezeichnung des
Nachfolgers einer natürlichen Zahl, und es quantifiziert über ein 1–stelliges
Prädikatensymbol p.
Das Axiom besagt, daß jede induktive Teilmenge von IN0 – beschrieben
durch das Prädikat p – gleich IN0 sein muß:
• Falls p für die Zahl 0 gilt, und
• falls für alle N ∈ IN0 aus p(N ) auch p(s(N )) folgt,
d.h., wenn p für N gilt, dann gilt p auch für N + 1,
• dann gilt p für alle N ∈ IN0 .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
278
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Peano–Axiome der natürlichen Zahlen
(P1)
∀N ¬ (s(N ) ≡ 0),
(P2)
∀N ∀M (s(N ) ≡ s(M ) → N ≡ M ),
(P3)
∀p ( p(0) ∧ ∀N (p(N ) → p(s(N ))) → ∀N p(N ) ).
(P3) ist eine verkürzte Version des Induktionsaxioms in der PL2.
Zusätzlich muß das Gleichheitsprädikat ≡ geeignet axiomatisiert werden.
Dann sind alle Modelle A der Gesamtformelmenge F isomorph.
Z.B. gibt es das (eindeutige) Herbrand–Modell mit der Grundmenge
HUF = { 0, s(0), s(s(0)), . . . } = { sn (0) | n ∈ IN0 }.
Das Herbrand–Modell repräsentiert eine natürliche Zahl n ∈ IN als einen
Term sn (0) mit n Auftreten des Funktionssymbols s.
Wir setzen dazu s0 (0) = 0 und sn+1 (0) = s(sn (0)), für n ∈ IN0 .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
279
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Ein anderes Modell A, das von John von Neumann vorgeschlagen wurde,
repräsentiert eine natürliche Zahl n ∈ IN als eine Menge.
Dazu werden die Terme sn (0) aus HUF folgendermaßen interpretiert:
0A
= ∅,
s(t)A = tA ∪ {tA }.
Wenn wir (sn (0))A = sn schreiben, dann erhalten wir:
s0
= ∅,
s1
= s0 ∪ { s0 } = ∅ ∪ { ∅ } = { ∅ } = { s0 },
s2
= s1 ∪ { s1 } = { ∅, { ∅ } } = { s0 , s1 },
sn+1 = sn ∪ { sn } = { s0 , s1 , . . . , sn }.
Man kann dagegen zeigen, daß jede Axiomatisierung der natürlichen
Zahlen als Peano–Struktur im Rahmen der PL1 Nicht–Standardmodelle
aller unendlichen Kardinalitäten zuläßt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
280
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Mathematische Theorien
Eine Theorie ist eine Menge T von Formeln (möglicherweise beschränkt
auf solche Formeln, die nur aus bestimmten vorgegebenen Bestandteilen –
z.B. bestimmten Prädikaten– und Funktionssymbolen – aufgebaut ist), die
gegenüber Folgerbarkeit abgeschlossen ist. D.h., falls
{ F1 , . . . , Fn } ⊆ T
gilt und
F eine Folgerung aus { F1 , . . . , Fn } ist,
dann gilt auch
F ∈T
Die Formeln F ∈ T heißen auch Sätze der Theorie.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
281
Logik für Informatiker
Prof. Dr. Dietmar Seipel
Wintersemester 2015/16
282
Logik für Informatiker
2.6
Wintersemester 2015/16
Hyperresolution für Hornformeln
Eine prädikatenlogische Klausel K = L1 ∨ . . . ∨ Ln ist eine Hornklausel,
falls maximal ein Literal Li positiv ist – wie in der Aussagenlogik.
Es gibt auch wieder drei interessante Spezialfälle;
im folgenden seien A und B1 , . . . , Bm prädikatenlogische Atome:
• Eine (definite) Regel ist eine Hornklausel K = A ∨ ¬B1 ∨ . . . ∨ ¬Bm
mit genau einem positiven Literal.
• Ein (definites) Fakt ist eine Regel K = A ohne negative Literale (m = 0).
• Eine Goal (Ziel, Anfrage) ist eine Hornklausel K = ¬B1 ∨ . . . ∨ ¬Bm
ohne positives Literal.
Ein definites Logikprogramm ist eine Menge von definiten Regeln (bzw.
Fakten) in Implikations–Notation.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
283
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
In der Logikprogrammierung verwendet man – aufgrund der Regeln von De
Morgan – für Hornklauseln folgende Implikations–Notation:
Fakt:
A,
Regel: A ← B1 ∧ . . . ∧ Bm , m ≥ 0,
Goal: ← B1 ∧ . . . ∧ Bm , m ≥ 0.
Regeln und Fakten:
• Das Atom A heißt Kopf einer Regel r = A ← β.
• Die Konjunktion β = B1 ∧ . . . ∧ Bm ist der Rumpf der Regel r.
Die Atome Bi , mit 1 ≤ i ≤ m, heißen Rumpfatome.
• Falls m = 0 ist, so wird die Regel mit dem Fakt A gleichgesetzt.
Goals werden bei der SLD–Resolution für Anfragen benutzt; in diesem
Abschnitt zur Hyperresolution verwenden wir keine Goals.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
284
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
DATALOG–Programme: verwendet in Deduktiven Datenbanken
In der Aussagenlogik enthalten Hornformeln keine Variablensymbole.
Als Erweiterung betrachten wir nun in der Prädikatenlogik Hornformeln,
bei denen jedes Variablensymbol in mindestens einem Rumpfatom
vorkommt. Solche Hornformeln nennen wir bereichsbeschränkt.
Eine Menge von bereichsbeschränkten Hornformeln in
Implikationsnotation nennen wir DATALOG–Programm.
• Im strengen Sinne können DATALOG–Programme P auch keine
Funktionssymbole enthalten. Dann ist das Herbrand–Universum HUP
endlich, und es können nur endlich viele Atome abgeleitet werden.
• In praktischen Anwendungen verwendet man aber oft die Erweiterung
um Funktionssymbole namens DATALOGfun . Dann liegt es am
Programmierer, Dauerschleifen bei der Ableitung zu vermeiden.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
285
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (DATALOG–Programm)
Die folgenden Regeln bilden ein DATALOG–Programm P zur Berechnung
der Vorfahren (ancestor ) aufgrund der Eltern–Relation (parent):
ancestor(X, Y ) ← parent(X, Y ),
ancestor(X, Y ) ← parent(X, Z) ∧ ancestor(Z, Y ).
Zugehörige Eltern–Fakten:
parent(a, b), parent(b, c), parent(c, d).
Jeder Elternteil ist ein Vorfahre (Regel 1), und jeder Vorfahre der Eltern ist
ebenfalls ein Vorfahre (Regel 2).
In P ROLOG sind auch Regeln sinnvoll, bei denen Variablensymbole nur im
Kopf vorkommen – wie z.B. das Fakt zu hres_iteration/3 am Ende
dieses Abschnittes.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
286
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Hyperresolution
Die sukzessive, n–fache Anwendung der binären Resolution auf eine Regel
A ← B1 ∧ . . . ∧ Bn und geeignete Fakten Ai nennt man Hyperresolution.
Die Rumpfatome Bi werden sukzessive mit den Fakten Ai resolviert.
A ∨ ¬B1 ∨ ¬B2 ∨ . . . ∨ ¬Bn
θ1
(A ∨
(A ∨
?9
¬B2 ∨ . . . ∨ ¬Bn ) θ1
θ2
..?9
.
?9
¬Bn ) θ1 . . . θn−1
θn
A1
A2
..
.
An
?9
A θ1 . . . θ n
Wir nennen das berechnete Fakt A θ1 . . . θn eine Hyperresolvente.
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287
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
DATALOG–Fakten enthalten keine Variablensymbole.
Deswegen muß man die Fakten Ai und die zwischendurch erhaltenen
Regeln nicht variablendisjunkt machen.
Es genügt Substitutionen θi zu finden, so daß
(Bi θ1 . . . θi−1 ) θi = Ai .
Wir bezeichen
θ = θ1 . . . θn
als die berechnete Substitution. Die berechnete Hyperresolvente
Aθ
ist dann automatisch auch ein Fakt ohne Variablensymbole,
da ja alle Variablensymbole aus dem Regelkopf A in den Rumpfatomen Bi
enthalten sind und somit von θ grundinstanziiert werden.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
288
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Hyperresolution)
Für das DATALOG–Programm P mit den Regeln
anc(X, Y ) ← par(X, Y ),
anc(X, Y ) ← par(X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
und den Eltern–Fakten
par(a, b),
par(b, c),
par(c, d),
erhalten wir folgendes:
1. Die Fakten aus P werden mittels einer Hyperresolution durch n = 0
Anwendungen der binären Resolution abgeleitet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
289
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Dann kann aus dem Fakt par (b, c) und der ersten Regel ein Fakt
anc(b, c) abgeleitet werden:
anc(X, Y ) ← par (X, Y )
θ1 = [X|b] [Y |c]
par (b, c)
?)
anc(b, c)
Die berechnete Substitution ist
θ = θ1 = [X|b] [Y |c],
und es wird anc(X, Y )θ = anc(b, c) abgeleitet.
Ebenso werden die Fakten anc(a, b) und anc(c, d) abgeleitet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
290
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
3. Danach kann aus den Fakten par (a, b) und anc(b, c) und der zweiten
Regel das Fakt anc(a, c) abgeleitet werden:
anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y )
θ1 = [X|a] [Z|b]
?9
anc(a, Y ) ← anc(b, Y )
θ2 = [Y |c]
par (a, b)
anc(b, c)
?9
anc(a, c)
Die berechnete Substitution ist
θ = θ1 θ2 = [X|a] [Z|b] [Y |c],
und es wird anc(X, Y )θ = anc(a, c) abgeleitet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
291
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Ebenso kann das Fakt anc(b, d) abgeleitet werden.
4. Zuletzt kann aus dem Fakt anc(b, d) das Fakt anc(a, d) abgeleitet
werden:
anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y )
θ1 = [X|a] [Z|b]
?9
anc(a, Y ) ← anc(b, Y )
θ2 = [Y |d]
par (a, b)
anc(b, d)
?9
anc(a, d)
Insgesamt haben wir also die folgenden anc–Fakten abgeleitet:
anc(a, b), anc(b, c), anc(c, d), anc(a, c), anc(b, d), anc(a, d).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
292
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
In Iteration n ≥ 2 werden also die anc–Fakten zu den Pfaden der Länge
n − 1 in der Vorfahrenhierarchie abgeleitet:
dY
6
c
I
6
b
6
a
Die durchgezogenen Linien zeigen die par –Fakten und die entsprechenden
anc–Fakten zu den Pfaden der Länge 1.
Die gestrichelten Linien zeigen die anc–Fakten zu den Pfaden der Länge 2
und 3. Das Fakt anc(a, d ) zur Länge 3 wird in Iteration 4 aus par (a, b) und
anc(b, d ) abgeleitet.
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293
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Hyperresolutionsmengen
Sei P ein DATALOG–Programm und I eine Herbrand–Interpretation.
1. Hres(P, I) ist die Menge aller Hyperresolventen, die man aus den
Regeln aus P und den Fakten aus I herleiten kann:
2. Also besteht Hres(P, I) aus allen Grundatomen Aθ, so daß es eine
Regel A ← B1 ∧ . . . ∧ Bn ∈ P gibt, mit Bi θ ∈ I, für alle 1 ≤ i ≤ n.
3. Man könnte auch sagen: Hres(P, I) besteht aus allen Grundatomen A,
so daß es eine Grundinstanz A ← B1 ∧ . . . ∧ Bn einer Regel aus P
gibt, mit Bi ∈ I, für alle 1 ≤ i ≤ n.
4. Wenn gnd (P ) die Menge dieser Grundinstanzen ist, dann gilt:
Hres(P, I) = { A | A ← β ∈ gnd (P ) ∧ I |= β }.
Für ein festes P , schreibt man anstelle von Hres(P, I) oft auch Hres P (I).
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294
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Man kann auch wieder Potenzen Hres n (P ) bilden:
Hres 0 (P )
= ∅,
Hres n+1 (P ) = Hres(P, Hres n (P )),
∪
∗
Hres (P )
= n∈IN+ Hres n (P ).
Offensichtlich gilt auch hier die Monotonie–Eigenschaft:
P ⊆ P 0 ∧ I ⊆ I 0 ⇒ Hres(P, I) ⊆ Hres(P 0 , I 0 ).
Also kann man wieder durch vollständige Induktion folgendes zeigen:
Hres n (P ) ⊆ Hres n+1 (P ).
Wir schreiben Fakten in den Hyperresolutionsmengen als Atome.
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295
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Hyperresolutionsmengen)
Für das DATALOG–Programm P mit den Regeln
anc(X, Y ) ← par(X, Y ),
anc(X, Y ) ← par(X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
und den Eltern–Fakten
par(a, b), par(b, c), par(c, d),
erhalten wir folgendes:
Hres 0 (P ) = ∅,
Hres 1 (P ) = { par (a, b), par (b, c), par (c, d) },
Hres 2 (P ) = Hres 1 (P ) ∪ { anc(a, b), anc(b, c), anc(c, d) },
Hres 3 (P ) = Hres 2 (P ) ∪ { anc(a, c), anc(b, d) },
Hres 4 (P ) = Hres 3 (P ) ∪ { anc(a, d) }.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
296
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Man kann die Definition der Hyperresolutionsmenge Hres(P, I) auf ein
beliebiges definites Logikprogramm P anwenden,
Hres(P, I) = { A | A ← β ∈ gnd (P ) ∧ I |= β },
selbst wenn P nicht bereichsbeschränkt ist und Funktionssymbole enthält.
• Wenn ein Regelkopf Variablensymbole enthält, die nicht im
Regelrumpf vorkommen, dann kann man diese in den zur Ableitung
benutzten Grundinstanzen A ← β ∈ gnd (P ) mit I |= β unabhängig
von I mit allen Termen des Herbranduniversums HUP instanziieren.
• Dann kann man manchmal unabhängig von I sehr viele Atome A
ableiten.
• Wenn HUP unendlich ist, dann kann das nicht mehr berechnet werden.
In diesem Fall müßte man alternativ Nicht–Grundatome ableiten.
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297
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für das definite Logikprogramm P mit den Regeln
anc(X, X),
anc(X, Y ) ← par(X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
und den Eltern–Fakten
par(a, b), par(b, c), par(c, d),
gibt es sehr viele Grundinstanzen des Faktes anc(X, X), die man zur
Ableitung benutzen kann, nämlich eines für jedes Element des
Herbranduniversums HUP = { a, b, c, d } :
anc(a, a), anc(b, b), anc(c, c), anc(d, d).
Diese sind unabhängig von I, da ihr leerer Rumpf β immer gilt.
Wenn das Herbranduniversum HUP noch größer wäre, dann wären das
entsprechend mehr.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
298
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Dagegen kann man für
I = { par (a, b), par (b, c), par (c, d),
anc(a, b), anc(b, c), anc(c, d) }
nur die folgenden Grundinstanzen der zweiten Regel zur Ableitung
benutzen:
anc(a, c) ← par(a, b) ∧ anc(b, c),
anc(b, d) ← par(b, c) ∧ anc(c, d).
Diese hängen von I ab.
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299
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Theorem 2.1 (Charakterisierung von Herbrand–Modellen)
Sei P ein definites Logikprogramm. Eine Herbrand–Interpretation I von P
ist ein Herbrand–Modell von P , g.d.w. gilt Hres(P, I) ⊆ I.
Beweis:
“⇐” Sei I eine Herbrand–Interpretation von P mit Hres(P, I) ⊆ I.
Sei A ← β eine Grundinstanz einer Regel aus P mit I |= β.
Dann gilt A ∈ Hres(P, I), und wegen Hres(P, I) ⊆ I folgt A ∈ I.
Also ist I ein Herbrand–Modell von P .
“⇒” Sei I ein Herbrand–Modell von P .
Für jedes A ∈ Hres(P, I) gibt es eine Grundinstanz einer Regel
A ← β aus P mit I |= β. Da I ein Herbrand–Modell von P ist, folgt
sofort A ∈ I. Also gilt Hres(P, I) ⊆ I.
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300
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Minimales Herbrand–Modell MP
Für ein definites Logikprogramm P kann man folgendes zeigen:
1. Jedes Herbrand–Modell muß MP = Hres ∗ (P ) enthalten.
2. MP ist ein Herbrand–Modell, denn Hres(P, MP ) ⊆ MP .
Also ist MP das eindeutige minimale Herbrand–Modell von P .
Für DATALOG–Programme ist MP endlich, und es kann effizient berechnet
werden. Im allgemeinen kann MP unendlich sein.
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301
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2.7
SLD–Resolution
Die SLD–Resolution (Linear Resolution with Selection Function for
Definite Clauses) wurde ursprünglich zum automatischen Theorembeweisen
für allgemeine Klauseln verwendet, vgl. J.A. Robinson (1965).
• Sei s eine Selektionsfunktion, die aus jedem Goal ein Atom auswählt.
• Sei G ein Goal und r = A ← β eine definite Regel:
G = ← β1 ∧ B ∧ β2 .
Dabei seien β1 und β2 Konjunktionen von Atomen und s(G) = B das
von s selektierte Atom. Falls M GU(A, B) = θ existiert, dann heißt
G0 = ← ( β1 ∧ β ∧ β2 ) θ
eine Resolvente von G und r bezüglich s.
Falls r ein Fakt ist (d.h. β ist leer), dann ist G0 um ein Atom kürzer als G.
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302
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die SLD–Resolution ergibt sich aus der binären Resolution der PL1.
Bekanntlich ist ein Goal G = ← β1 ∧ B ∧ β2 äquivalent zu einer
Disjunktion
α1 = ¬β1 ∨ ¬B ∨ ¬β2 ,
und eine Regel r = A ← β ist äquivalent zu einer Disjunktion
α2 = A ∨ ¬β.
Durch die bekannte binäre Resolution der PL1 erhält man mittels eines
allgemeinsten Unifikators θ von A und B eine neue Disjunktion
α = (¬β1 ∨ ¬β ∨ ¬β2 )θ,
die wieder einem Goal G0 = ← ( β1 ∧ β ∧ β2 ) θ entspricht.
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303
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
SLD–Widerlegung
Sei P ein definites Logikprogramm und Q eine Anfrage.
• Eine SLD–Widerlegung von h P, Q i ist eine endliche Folge
h Gi i0≤i≤n , wobei G0 = Q und Gn = 2,
von Goals zusammen mit einer Folge h ri i1≤i≤n von Regeln und einer
Folge h θi i1≤i≤n von Substitutionen, wobei für alle 1 ≤ i ≤ n gilt:
– ri ist eine Variante einer Regel aus P ,
– Gi ist eine Resolvente aus Gi−1 und ri bezüglich s, und
– θi ist der benutzte allgemeinste Unifikator.
θ = θ1 · θ2 · . . . · θn heißt Antwortsubstitution.
• Die SLD–Widerlegung einer atomaren Anfrage Q = ← A ist
äquivalent zu dem Beweis, daß die Instanz Aθ, welche man Antwort
nennt, aus P abgeleitet werden kann.
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304
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
• Ein SLD–Widerlegungsbaum veranschaulicht eine SLD–Widerlegung:
G0
r1
?
r2
?
r3
G1
G2
?
G3
..
.
..
.
rn
?
Gn = 2
Man kann eine SLD–Widerlegung natürlich auch einfach als eine
r1
r2
r3
rn
lineare Kette G0 −→
G1 −→
G2 −→
. . . −→
Gn = 2 repräsentieren,
wenn man die Kanten mit den verwendeten Regeln markiert.
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305
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (SLD–Resolution)
Für das DATALOG–Programm P = { r, f1 , f2 }, mit
r = p ← a ∧ b,
f1 = a,
f2 = b,
erhalten wir mit der Selektionsfunktion sl , welche stets das linkeste (erste)
Atom eines Goals selektiert, eine SLD–Widerlegung zum Goal Q = ← p.
←p
?
←a∧b
?
←b
?
2
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r
f1
f2
306
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
In Klauselschreibweise
r = p ∨ ¬a ∨ ¬b,
f1 = a,
f2 = b,
erhalten wir folgende Folge von binären Resolutionen zum Goal Q = ¬p :
¬p
r
?
¬a ∨ ¬b
f1
?
¬b
f2
?
2
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307
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Nicht–Lineare Resolution
Für die inkonsistente Klauselmenge
F = { p ∨ q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ q, ¬p ∨ ¬q }
gibt es keine lineare Widerlegung, aber folgende Resolutionsableitung:
p∨q
p ∨ ¬q ¬p ∨ q
Rp
¬p ∨ ¬q
R¬p
s
2
+
Diese Klauselmenge ist keine Hornklauselmenge.
Für eine inkonsistente Hornklauselmenge gibt es immer eine lineare
Ableitung der leeren Klausel, die mit einer Integritätsbedingung startet.
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308
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Neue Notation für Substitutionen
Wir schreiben eine Substitution [X1 |t1 , . . . Xn |tn ], bei der alle Ersetzungen
parallel angewendet werden, als Menge θ = { X1 7→ t1 , . . . , Xn 7→ tn }.
θ definiert eine Abbildung von einer Struktur t auf eine neue Struktur tθ:
• Für eine Konstante t gilt tθ = t.
• Für eine Variable t = X gilt: falls es eine Ersetzung Xi 7→ ti ∈ θ gibt,
mit X = Xi , so erhalten wir tθ = ti , und ansonsten tθ = t.
• Für eine komplexe Struktur gilt f (t1 , . . . , tn )θ = f (t1 θ, . . . , tn θ).
Dann entspricht die Substitution θ1 = [X|Z][Z|Y ] der Substitution
[X|Y, Z|Y ], da X zuerst durch Y und dieses dann durch Z ersetzt wird.
Sie ist damit verschieden von θ2 = [X|Z, Z|Y ].
Für t = f (X, Y, Z) gilt z.B. tθ1 = f (Y, Y, Y ) und tθ2 = f (Z, Y, Y ).
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309
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (SLD–Resolution)
Wir betrachten das nicht–rekursive, definite Logikprogramm
P = { r, f1 , f2 , f3 , f4 } und die Anfrage Q = ← grandparent(X, Z):
r = grandparent(X, Z) ← parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z),
f1 = parent(’Elizabeth’, ’Queen Mum’),
f2 = parent(’Elizabeth’, ’George’),
f3 = parent(’Charles’, ’Elizabeth’),
f4 = parent(’William’, ’Charles’).
’Queen Mum’
’George’
f1
f2
’Elizabeth’
f3
’Charles’
Aus G0 = Q erhält man mittels r und θ1 = ∅ die Resolvente
G1 = ← parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z).
f4
’William’
Daraus kann man mit der Selektionsfunktion sl , welche stets das linkeste
Literal eines Goals auswählt, z.B. folgende SLD–Widerlegungen erhalten:
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310
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
• Mittels f3 und θ2 = { X 7→ ’Charles’, Y 7→ ’Elizabeth’ } erhalten wir
G2 = ← parent(’Elizabeth’, Z).
– Mittels f1 und θ3 = { Z 7→ ’Queen Mum’ } erhalten wir G3 = 2
und die Antwortsubstitution
θ = { X 7→ ’Charles’, Y 7→ ’Elizabeth’, Z 7→ ’Queen Mum’ }.
– Mittels f2 und θ3 = { Z 7→ ’George’ } erhalten wir ebenfalls
G3 = 2; nun ist die Antwortsubstitution
θ0 = { X 7→ ’Charles’, Y 7→ ’Elizabeth’, Z 7→ ’George’ }.
• Mittels f4 und f3 erhalten wir aus G1 die Antwortsubstitution
θ00 = { X 7→ ’William’, Y 7→ ’Charles’, Z 7→ ’Elizabeth’ }.
Später werden wir alle SLD–Widerlegungen in einem SLD–Baum
zusammenfassen.
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311
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (SLD–Resolution)
Betrachten wir das rekursive, definite Logikprogramm P = { r, e, f } mit
den folgenden Regeln (bzw. Fakten):
r = anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
e = anc(X, X),
f = par (a, b).
Zur Vereinfachung benutzen wir anstelle der üblichen bereichsbeschränkten
Regel
e0 = anc(X, Y ) ← par (X, Y )
das Fakt e = anc(X, X) mit Variablen zusammen mit der rekursiven
Regel r. Dadurch wird im folgenden anc als die reflexive, transitive Hülle
von par berechnet.
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312
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Hier kann das Goal G0 = ← anc(X, b) von allen Selektionsfunktionen
mittels der Regel r zu
G1 = ← A1 ∧ A2 ,
mit A1 = par (X, Z1 ) und A2 = anc(Z1 , b), resolviert werden.
Sei sl (sr ) die Selektionsfunktion, welche stets das linkeste (rechteste)
Literal eines Goals auswählt.
1. sl wählt das erste (linkeste) Atom A1 = par (X, Z1 ) in G1 .
Dieses kann nur mit dem Fakt f = A = par (a, b) resolviert werden.
Mit M GU(A1 , A) = { X 7→ a, Z1 7→ b } erhält man das verkürzte Goal
G2 = ← anc(b, b).
Eine weitere Resolution mit dem Fakt e würde die leere Klausel
G3 = 2 liefern, und somit die Antwort anc(a, b).
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313
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
2. Die Selektionsfunktion sr wählt das zweite (rechteste) Atom eines
Goals; in G1 ist das A2 = anc(Z1 , b). Die folgende Baumdarstellung
zeigt das weitere Vorgehen:
G0 = ← anc(X , b)
r
?
G1 = ← par (X , Z1 ) ∧ anc(Z1 , b)
r2
e2
s
G02 = ← par (X, Z1 ) ∧ par (Z1 , Z2 ) ∧ anc(Z2 , b) G002 = ← par (X, b)
f
?
G003 = 2
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314
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
A2 = anc(Z1 , b) kann mit Varianten
r2 = anc(X2 , Y2 ) ← par (X2 , Z2 ) ∧ anc(Z2 , Y2 ),
e2 = anc(X2 , X2 ),
der Regeln r bzw. e resolviert werden. Sei A jeweils deren Regelkopf.
• Mit r2 , A = anc(X2 , Y2 ) und
M GU(A2 , A) = { X2 7→ Z1 , Y2 7→ b }
erhält man das verlängerte Goal
G02 = ← par (X, Z1 ) ∧ par (Z1 , Z2 ) ∧ anc(Z2 , b).
• Mit e2 , A = anc(X2 , X2 ) und
M GU(A2 , A) = { X2 7→ b, Z1 7→ b }
erhält man das verkürzte Goal
G002 = ← par (X, b).
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315
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Eine weitere Resolution mit dem Fakt f würde
M GU(par (X, b), f ) = { X 7→ a }
und die leere Klausel G003 = 2 liefern, und somit die Antwort anc(a, b).
Mittels des Faktes e kann das Goal G0 = ← anc(X, Y ) von allen
Selektionsfunktionen zur leeren Klausel G01 = 2 resolviert werden.
Dabei wird
M GU(anc(X, Y ), anc(X, X)) = { Y 7→ X }
berechnet, und somit die Antwort anc(X, X).
Diese Antwort enthält noch das Variablensymbol X. Also kann die
SLD–Resolution Nicht–Grundatome als Antworten ableiten.
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316
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (SLD–Widerlegungsbäume)
Wir betrachten weiterhin das definite Logikprogramm P = { r, e, f },
jetzt aber mit den Anfragen
Q1 = ← anc(X, b),
Q2 = ← anc(X, Y ).
Die Regeln (bzw. Fakten) sind folgende:
r
=
anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
e
=
anc(X, X),
f
=
par (a, b).
Anders als in Q1 , ist in Q2 auch die zweite Argumentposition mit einem
Variablensysmbol – hier Y – belegt. Deswegen kann eine Antwort
berechnet werden, die noch Variablensymbole enthält.
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317
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Im folgenden wird ein SLD–Widerlegungsbaum T1 für Q1 angegeben:
T1 :
← anc(X, b)
?9
← par (X, Z1 ) ∧ anc(Z1 , b)
?9
← anc(b, b)
r1 = anc(X1 , Y1 ) ← par (X1 , Z1 ) ∧ anc(Z1 , Y1 )
θ1 = { X1 7→ X, Y1 7→ b }
f = par (a, b)
θ2 = { X 7→ a, Z1 7→ b }
e2 = anc(X2 , X2 )
?9
2
θ3 = { X2 7→ b }
Die Antwortsubstitution ist
θ = θ1 · θ2 · θ3 = { X 7→ a, X1 7→ a, X2 7→ b, Y1 7→ b, Z1 7→ b },
und die berechnete Antwort ist anc(a, b).
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318
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die SLD–Resolution kann auch nicht–bereichsbeschränkte definite
Logikprogramme mit Funktionssymbolen behandeln.
Sie hat keine Probleme mit Fakten, die Variablen enthalten, wie etwa
e = anc(X, X).
T2 :
← anc(X, Y )
?)
2
e = anc(X, X)
θ = { Y 7→ X }
Allerdings ist die erzeugte Antwortsubstitution θ dann unter Umständen
keine Grundsubstitution. Im obigem Beispiel für Q2 = ← anc(X, Y ) ist
die berechnete Antwort anc(X, X) dann ein Fakt mit Variablen, das zeigt,
daß die beiden Grundinstanzen anc(a, a) und anc(b, b) aus P ableitbar sind.
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319
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Listenkonkatenation
In der Logik dienen Terme als Datenstruktur. Eine Liste [1, 2, 3] wird als
Term list(1 , list(2 , list(3 , nil ))) repräsentiert. Dabei ist list ein 2–stelliges
Funktionssymbol, und nil ist ein 0–stelliges Funktionssymbol, welches das
Listenende markiert.
Die folgenden Regeln können zwei Listen Xs und Ys mittels des Aufrufs
← append (Xs, Ys, Zs) zu einer Liste Zs konkatenieren:
append (list(X , Xs), Ys, list(X , Zs)) ←
append (Xs, Ys, Zs),
append (nil , Ys, Ys).
X
Xs
Ys
Zs
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320
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
In der gezeigten kompakten Fassung der ersten Regel erfolgt die
Listenzerlegung und der Listenaufbau in der Kopfzeile:
append (list(X , Xs), Ys, list(X , Zs)) ←
append (Xs, Ys, Zs).
Die folgende ausführlichere Fassung hat dafür separate Zeilen. Außerdem
verdeutlicht die funktionale Notation Zs := append (Xs, Ys), daß Zs durch
die Konkatenation von Xs und Ys berechnet wird:
append (Xs 0 , Ys, Zs 0 ) ←
Xs 0 = list(X , Xs) ∧
Zs := append (Xs, Ys) ∧
Zs 0 = list(X , Zs).
% Listenzerlegung
% Listenaufbau
In der relationalen Notation append (Xs, Ys, Zs) war die Ausgabe Zs
dagegen lediglich das letzte Argument – und ansonsten gleichberechtigt mit
der Eingabe Xs und Ys.
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321
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (SLD–Widerlegungsbaum)
← append(list(1 , list(2 , nil )), list(3 , nil ), Zs)
?
9
θ1
← append(list(2 , nil ), list(3 , nil ), Zs1 )
?
9
2
9
r2
θ2
← append(nil , list(3 , nil), Zs2 )
?
r1
f3
θ3
r1 = append(list(X1 , Xs1 ), Ys1 , list(X1 , Zs1 )) ← append(Xs1 , Ys1 , Zs1 ),
r2 = append(list(X2 , Xs2 ), Ys2 , list(X2 , Zs2 )) ← append(Xs2 , Ys2 , Zs2 ),
f3 = append(nil, Ys3 , Ys3 ).
θ1 = { X1 7→ 1, Xs1 7→ list(2 , nil), Ys1 7→ list(3 , nil), Zs 7→ list(1 , Zs1 ) },
θ2 = { X2 7→ 2, Xs2 7→ nil, Ys2 7→ list(3 , nil), Zs1 7→ list(2 , Zs2 ) },
θ3 = { Ys3 7→ list(3 , nil), Zs2 7→ Ys3 = list(3 , nil) }.
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322
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Im Endergebnis θ = θ1 · θ2 · θ3 gilt
Zs 7→ list(1 , Zs1 ) 7→ list(1 , list(2 , Zs2 ))
7→ list(1 , list(2 , list(3 , nil ))).
Die berechnete Antwort ist also
append (list(1 , list(2 , nil )), list(3 , nil ), Zs)θ =
append (list(1 , list(2 , nil )), list(3 , nil ), list(1 , list(2 , list(3 , nil )))),
denn die Konkatenation der Listen [1, 2] und [3] liefert die Liste [1, 2, 3].
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323
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Vollständigkeit und Korrektheit der SLD–Resolution
Sei P ein definites Logikprogramm und Q = ← A eine atomare Anfrage.
1. Es gibt genau dann eine SLD–Widerlegung mit der Antwort Aθ,
wenn Aθ im minimalen Modell MP von P liegt.
2. Dieses Resultat ist unabhängig von der verwendeten
Selektionsfunktion s.
P ROLOG verwendet immer die Selektionsfunktion sl , welche stets das
linkeste (erste) Literal eines Goals auswählt.
Durch Umstellung der Atome in den Regelrümpfen kann der
Programmierer de facto eine andere Selektionsfunktion simulieren.
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324
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
SLD–Bäume
Sei P ein definites Logikprogramm, Q eine Anfrage und s eine
Selektionsfunktion.
s
Der SLD–Baum TP,Q
faßt alle möglichen SLD–Ableitungen zusammen:
s
1. Die Knoten von TP,Q
sind mit Goals markiert,
s
und die Kanten von TP,Q
sind mit Regeln r ∈ P markiert.
s
2. Die Wurzel von TP,Q
ist mit Q markiert.
3. Ein Knoten v, der mit einem Goal G markiert ist, hat für jede
SLD–Resolvente G0 , die man aus G und einer Regel r ∈ P bezüglich s
bilden kann, einen Nachfolgerknoten v 0 .
4. Dieser ist mit G0 markiert, und die Kante h v, v 0 i ist mit r markiert.
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325
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Jeder mit dem Goal G = 2 endende Ast eines SLD–Baumes entspricht
einer SLD–Widerlegung bzw. einem SLD–Widerlegungsbaum:
• Die Blätter dieser Äste werden als erfolgreich (success) markiert.
• Alle anderen Blätter werden als erfolglos (failure) markiert.
• Daneben kann es noch unendliche Äste im Baum geben.
s2
s1
und TP,Q
zu unterschiedlichen
Zwei SLD–Bäume TP,Q
Selektionsfunktionen s1 , s2 haben immer dieselben Antworten
(success–Äste).
Sie unterscheiden sich aber in der Regel hinsichtlich ihrer failure–Äste bzw.
ihrer unendlichen Äste.
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326
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (SLD–Bäume)
Wir betrachten das nicht–rekursive, definite Logikprogramm
P = { r, f1 , f2 , f3 , f4 } und die Anfrage Q = ← grandparent(X, Z):
r = grandparent(X, Z) ← parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z),
f1 = parent(’Elizabeth’, ’Queen Mum’),
f2 = parent(’Elizabeth’, ’George’),
f3 = parent(’Charles’, ’Elizabeth’),
f4 = parent(’William’, ’Charles’).
In diesem Falle sind alle SLD–Bäume – unabhängig von der
Selektionsfunktion – endlich.
sl
Wir zeigen unten den SLD–Baum TP,Q
zur Selektionsfunktion sl .
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327
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
← grandparent(X, Z)
r
?
← parent(X, Y ) ∧ parent(Y, Z)
f1
9
f2
← parent(’Queen Mum’, Z )
← parent(’George’, Z )
failure
failure
2
)
{ X 7→ ’Charles’,
Y 7→ ’Elizabeth’,
Z 7→ ’Queen Mum’ }
success
Prof. Dr. Dietmar Seipel
f3
f4
j
← parent(’Elizabeth’, Z )
f1
f2
?
2
{X →
7 ’Charles’,
Y 7→ ’Elizabeth’,
Z→
7 ’George’ }
success
z
← parent(’Charles’, Z )
f3
?
2
{X →
7 ’William’,
Y →
7 ’Charles’,
Z 7→ ’Elizabeth’ }
success
328
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (SLD–Bäume)
Wir betrachten wieder das rekursive, definite Logikprogramm
P = { r, e, f } und die Anfrage Q = ← anc(X, b):
r = anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
e = anc(X, X),
f = par (a, b).
Die SLD–Bäume zu den Selektionsfunktionen sl bzw. sr haben dieselben
Antworten (success–Äste).
• Allerdings ist in diesem Falle Tl endlich,
• wohingegen Tr unendliche Äste hat.
Für sr könnte man in obigem Beispiel die unendlichen Äste vermeiden,
indem man die Reihenfolge der Rumpfatome invertiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
329
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der SLD–Baum Tl zur Selektionsfunktion sl ist endlich:
← anc(X, b)
Tl :
r
← par (X, Z1 ) ∧ anc(Z1 , b)
f
?
← anc(b, b)
r
← par (b, Z2 ) ∧ anc(Z2 , b)
failure
Prof. Dr. Dietmar Seipel
e
R
2
{ X 7→ b }
success
e
R
2
{ X 7→ a }
success
330
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der SLD–Baum Tr zur Selektionsfunktion sr ist unendlich, hat aber die
gleichen Antwortsubstitutionen in den success–Blättern wie Tl :
← anc(X, b)
Tr :
r
e
← par (X, Z1 ) ∧ anc(Z1 , b)
r
e
← par (X, Z1 ) ∧ par (Z1 , Z2 ) ∧ anc(Z2 , b)
r
)
← par (X, Z1 ) ∧ par (Z1 , Z2 )
∧ par (Z2 , Z3 ) ∧ anc(Z3 , b)
r
e
R
R
R
2
{ X 7→ b }
success
← par (X, b)
e
f
s
← par (X, Z1 ) ∧ par (Z1 , b)
f
?
R
2
{ X 7→ a }
success
← par (X, a)
failure
(unendlicher Ast)
Prof. Dr. Dietmar Seipel
331
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Steuerung der SLD–Resolution
Der Logikprogrammierer kann bei gegebener Selektionsfunktion durch
• die Reihenfolge der Regeln und
• die Reihenfolge der Rumpfatome in den Regeln
die Abarbeitung steuern:
• Wenn wir in unserem letzten Beispiel die Regel e vor die Regel r
stellen, dann wandern im neuen SLD–Baum Tr0 zur Selektionsfunktion
sr die mit e markierten Kanten vor die mit r markierten.
• Bei Backtracking findet der LWR–Durchlauf von Tr0 nun die beiden
Antworten, bevor der unendliche Ast zu einer Dauerschleife führt.
• Wenn wir dagegen die Reihenfolge der Rumpfatome von r vertauschen,
dann hat der neue SLD–Baum Tr00 zu sr dieselbe Struktur wie der alte
SLD–Baum Tl zu sl : r00 = anc(X, Y ) ← anc(Z, Y ) ∧ par (X, Z).
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332
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
• Generell ist es am besten die nicht–rekursive Regel e vor die rekursive
Regel r zu stellen:
e = anc(X, X),
r = anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ).
• Für die Standard–Selektionsfunktion sl sollte in der rekursiven Regel r
der nicht–rekursive Aufruf par (X, Z) vor dem rekursiven Aufruf
anc(Z, Y ) stehen. Dies garantiert die Terminierung für azyklische
par –Relationen.
• Bei zyklischer par –Relation enthält der SLD–Baum Tl aber leider
trotzdem unendliche Äste. Für die Fakten
f1 = par (a, b),
f2 = par (b, a),
und die Anfrage Q = ← anc(a, Y ) generiert die alternierende
Verwendung von f1 und f2 abwechselnd die Antworten Y 7→ a und Y 7→ b.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
333
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
← anc(a, Y )
Tl :
e
r
R
← par (a, Z1 ) ∧ anc(Z1 , Y )
2
{Y →
7 a}
success
f1
?
← anc(b, Y )
e
r
R
← par (b, Z2 ) ∧ anc(Z2 , Y )
2
{ Y 7→ b }
f2
success
?
← anc(a, Y )
(unendlicher Ast)
Prof. Dr. Dietmar Seipel
334
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Redundanz in SLD–Bäumen)
Wir betrachten nun das etwas erweiterte rekursive, definite Logikprogramm
P = { r, e, f1 , f2 } und die Anfrage Q = ← anc(X, Y ):
r = anc(X, Y ) ← par (X, Z) ∧ anc(Z, Y ),
e = anc(X, X),
f1 = par (a, b), f2 = par (b, c).
Der SLD–Baum Tl zur Selektionsfunktion sl ist endlich.
Die success–Äste leiten der Reihe nach die folgenden Grundinstanzen ab:
• success–Äste 1 bis 3: tc(a, c), tc(a, b), tc(b, c);
• success–Ast 4: tc(a, a), tc(b, b), tc(c, c).
Die Unteranfrage ← anc(c, Y ) wurde redundant in zwei success–Ästen
(1 und 3) mit Y 7→ c beantwortet. Derartige Redundanz tritt bei Graphen
mit längeren Ketten (hier: a → b → c) noch verstärkt auf.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
335
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
← anc(X, Y )
Tl :
r
e
R
← par (X, Z1 ) ∧ anc(Z1 , Y )
2
{ X 7→ Y }
success
f1
f2
← anc(b, Y )
r
e
R
R
← anc(c, Y )
r
R
e
z
← par (b, Z2 ) ∧ anc(Z2 , Y )
← par (c, Z2 ) ∧ anc(Z2 , Y )
2
2
{ X 7→ a, Y 7→ b }
{ X 7→ b, Y 7→ c }
f2
failure
success
success
?
← anc(c, Y )
r
e
R
← par (c, Z3 ) ∧ anc(Z3 , Y )
2
{ X 7→ a, Y 7→ c }
failure
success
Prof. Dr. Dietmar Seipel
336
Logik für Informatiker
3
Wintersemester 2015/16
Logikprogrammierung
P ROLOG ermöglicht
• deklarative Programmierung
• kompakte Programme
• agile Softwareentwicklung, rapid Prototyping
Die Auswertungsstrategie der SLDNF–Resolution benutzt
• Tiefensuche
• Backtracking
• Unifikation
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337
Logik für Informatiker
3.1
Wintersemester 2015/16
Grundlagen von P ROLOG
Datentypen und Datenstrukturen
• Die Beschränkung auf wenige Basisdatentypen und einen einzigen
komplexen Datentyp, nämlich die Strukturen (Atome, Terme), der
generisch ist und alle anderen Datentypen subsumiert, standardisiert
die Datenstrukturen ganz entscheident.
• Es gibt keine expliziten Typdeklarationen.
Man kann aber rein syntaktisch zwischen P ROLOG–Atomen (Strings),
Zahlen und Variablensymbolen unterscheiden; aus diesen kann man
komplexere Strukturen bilden.
• Es gibt eine große Kollektion von generischen Operationen, die auf alle
Strukturen anwendbar sind – und somit auf alle Datentypen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
338
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Methoden und Kontrollstrukturen
• Prädikate realisieren Methoden. Alle Parameter – auch die
Rückgabewerte – werden als Argumente eines Prädikats übergeben.
Kommentare helfen zu erkennen, welche Argumente die Eingabe bzw.
die Ausgabe bilden.
• Manche Prädikate kann man mit unterschiedlichen Bindungsmustern
aufrufen, und für dieselbe Eingabe kann es unterschiedliche Ausgaben
geben (relationales Programmieren).
Die meisten Prädikate sind aber funktional.
• Häufig werden Meta–Prädikate verwendet.
Auch Kontrollstrukturen basieren auf Meta–Prädikaten. Zusätzlich zu
den Standardkontrollstrukturen, wie Verzweigungen (if–then–else),
Schleifen (for, while), und Rekursion, können benutzerdefinierte
Kontrollstrukturen in Form von Meta–Prädikaten gebildet werden.
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339
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Strukturen in P ROLOG
P ROLOG–Atom: z.B. a, books, ’Books’, kt_321_xy
Konstante: P ROLOG–Atom | Number: z.B. books, 0, 123
Variable: beginnend mit Großbuchstaben oder mit “_”
z.B. X, Y, Books, _, _A, _a
Funktor (Funktions– bzw. Prädikatensymbol):
Operator | P ROLOG–Atom: z.B. +, -, ≤, ancestor
Struktur: Konstante | Variable | Funktor(Struktur, . . . , Struktur)
z.B. +(1,7), ancestor(’William’,’Elizabeth’);
Listen sind spezielle Strukturen zum Funktor “.”
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340
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
P ROLOG–Klauseln
Eine P ROLOG–Klausel (Regel, Fakt) ist eine Infix–Struktur der Form
Kopf :– Rumpf.
“:-” spricht man dabei als “falls” aus. Falls der Rumpf leer ist (Fakt), so
kann man “:-” weglassen und kurz “Kopf” schreiben.
Der Regelrumpf kann folgende Junktoren enthalten:
• Konjunktion “,”,
• Disjunktion “;”, und
• Negation “\+”, “not”.
Eine negierte Formel kann man als “\+ F” oder als “not(F)” schreiben.
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341
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Prädikatensymbole: ancestor, parent
Regel:
ancestor(X, Z) :ancestor(X, Y), parent(Y, Z).
Ein Elternteil Z eines Vorfahren Y von X ist ebenfalls ein Vorfahre.
Fakten:
parent(a, b).
parent(b, c).
parent(c, d).
Goal:
?- ancestor(a, Z).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
342
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Prädikatensymbole: likes, woman, nice, loves
Regeln:
likes(george, Y) :woman(Y),
likes(Y, books).
likes(mary, Y) :( nice(Y)
; loves(Y, cats) )
Fakten:
woman(mary).
likes(mary, books).
loves(george, cats).
Goal:
?- likes(george, Y).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
343
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Das Prädikat likes besteht aus 2 Regeln und einem Fakt. Diese decken
unterschiedliche Fälle ab:
• Die erste Regel besagt, daß George alle Frauen mag, die Bücher mögen.
• Die zweite Regel besagt, daß Mary alles, was schön (nice) ist, und
alle Lebewesen, die Katzen lieben, mag.
Ein Fakt besagt außerdem, daß Mary Bücher mag.
In der prozeduralen Programmierung könnte man eine Fallunterscheidung
in einem case–Statement ausdrücken.
Die likes–Regel zu Mary mit dem disjunktiven Rumpf könnte man in
zwei separate Regeln zerlegen. Die Bündelung der Information zu Mary –
zu der man eventuell auch noch das Fakt hinzunehmen könnte – erscheint
aber softwaretechnisch auch sehr sinnvoll. Da uns momentan keine
Information zu nice vorliegt, ist der erste Teil der Regel inaktiv.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
344
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Bündelung liefert folgende Regel mit einem disjunktiven Regelrumpf:
likes(mary, Y) :( nice(Y)
; loves(Y, cats)
; Y = books ).
Diese ist äquivalent zu drei einzelnen Regeln:
likes(mary,
nice(Y).
likes(mary,
loves(Y,
likes(mary,
Y) :Y) :cats).
books).
Die Reihenfolge der Regeln und Fakten zum selben Prädikatensymbol ist –
wie in klassischen Programmiersprachen auch – wichtig.
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345
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Infix–Notation, Domain Specific Language (DSL)
Wenn man geeignete Operatoren (Infix, Präfix, Postfix) definiert, dann kann
man die P ROLOG–Klauseln etwas natürlicher notieren:
X has_ancestor Z :X has_ancestor Y and
Y has_parent Z.
george likes Y :Y is_a_woman and Y likes books.
mary likes Y :Y is_nice or Y loves cats.
mary is_a_woman.
mary likes books.
george loves cats.
Man könnte H :- B sogar als B implies H schreiben.
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346
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Anfragen in P ROLOG
Ein P ROLOG–Interpreter versucht ein Goal durch Inferenz zu beweisen.
Dies erfolgt Top–Down vom Goal ausgehend durch DFS–Durchlauf
(Tiefensuche, Depth–First–Search) des SLD–Baumes.
Beispiel (Anfragen)
?- likes(george, Y).
Y = mary
?- likes(X,
X = george,
X = mary, Y
X = mary, Y
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Y).
Y = mary ;
= george ;
= books .
347
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
P ROLOG gibt eine Antwort auf eine Anfrage zurück:
• Falls die Anfrage erfolgreich beantwortet wurde, so gibt P ROLOG die
erzeugte Variablenbelegung als Antwort zurück; falls keine Variablen
belegt wurden, so ist die Antwort true.
• Falls die Anfrage erfolglos beantwortet wurde, so ist die Antwort
false.
Bei erfolgreicher Beantwortung der Anfrage kann man hinter der Antwort
einen Strichpunkt gefolgt von Return eingeben. Dieser stößt Backtracking
an, so daß P ROLOG versucht eine weitere Antwort zu finden.
Wenn man nur Return eingibt, so ist die Anfrageauswertung beendet.
Ebenso ist die Anfrageauswertung nach der Antwort false automatisch
sofort beendet.
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348
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Auswertung von Anfragen in P ROLOG
• Die Auswertung von P ROLOG–Regeln erfolgt Top–Down mittels der
Methode der SLDNF–Resolution: aus einer Anfrage an das Kopfatom
einer Regel werden Unteranfragen an die Rumpfatome erzeugt.
• Dies entspricht dem Vorgehen bei der Abarbeitung von prozeduralen
Programmiersprachen.
• Falls ein Rumpfatom mehrere Antworten liefert, so wird zuerst mit
einer solchen Antwort weitergerechnet (Tiefensuche); falls die
Berechnung später fehlschlägt, so kann mit der nächsten Antwort
fortgefahren werden (Backtracking).
• In der Praxis sind viele P ROLOG–Prädikate aber funktional: aus einer
Eingabe wird genau eine Ausgabe erzeugt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
349
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aus der Anfrage
← likes(X, Y )
wird mittels der Ersetzung X 7→ george und der Regel
r1 = likes(george, Y ) ← woman(Y ) ∧ likes(Y , books)
eine Folge von Unteranfragen erzeugt:
← woman(Y ) ∧ likes(Y , books)
Aufgrund des Fakts f1 wird die erste Unteranfrage mit Y 7→ mary
beantwortet. Der neue Wert für Y wird in der zweiten Unteranfrage sofort
berücksichtigt, so daß wir also
← likes(mary, books)
zu beantworten haben. Aufgrund des Fakts f2 ist die Antwort dafür ja.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
350
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
SLD–Baum
← likes(X, Y )
r1
9
← woman(Y ) ∧ likes(Y, books)
f1
?
← likes(mary, books)
r2
← nice(books)
∨ loves(books, cats)
failure
r2
?
f2
q
← nice(Y ) ∨ loves(Y, cats)
2
{X 7→ mary, Y 7→ books}
f3
success
?
2
{X →
7 mary, Y 7→ george}
f2
j
success
2
{X 7→ george, Y 7→ mary}
success
Der SLD–Baum faßt alle SLD–Ableitungen zusammen. Jeder success–Ast
gibt eine Antwort.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
351
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Kontrollprimitive, welche über die PL1 hinausgehen
• Eingabe und Ausgabe: read und write.
• Meta–Prädikate wir findall und maplist realisieren komplexe
Kontrollstrukturen.
• assert und retract verändern die interne Datenbank von
P ROLOG; clause sucht in dieser.
• call und apply rufen Goals auf, die vorher zusammengebaut
werden können.
• Der Cut “!” friert die bisherige Variablenbelegung in der aktuellen
Regel ein.
• ...
Prof. Dr. Dietmar Seipel
352
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Start von P ROLOG und Konsultieren in die Datenbasis
P ROLOG kann mittels pl von der Kommandozeile eines Betriebssystems
oder von einer GUI aus gestartet werden:
% pl
Welcome to SWI-Prolog ...
Danach kann man mittels consult/1 bzw. [...] eine P ROLOG–Datei
in die Datenbasis von P ROLOG einlesen:
?- [’sources/projects/teaching/likes.pl’].
% sources/.../likes.pl compiled 0.00 sec, 0 bytes
Prof. Dr. Dietmar Seipel
353
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Eingabe und Ausgabe
Die Eingabe und Ausgabe von erfolgt mittels read/1,2 und
write/1,2:
?- read(X).
|: likes(mary, cats).
X = likes(mary, cats).
?- write(’Hello World’).
Hello World
true.
Die zweistelligen Prädikate read/2 und write/2 greifen auf Dateien zu.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
354
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Das Meta–Prädikat findall/3
Finden aller Lösungen für ein Goal:
findall( X,
goal(X),
Xs )
Das D DK erlaubt sogar die äquivalente Mengenschreibweise
Xs <= { X | goal(X) }.
Weitere wichtige Meta–Prädikate sind checklist/2 und maplist/3
für Listen sowie die Prädikate für Schleifen (Kontrollstrukturen) aus der
Loops–Bibliothek (z.B. foreach-do).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
355
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Mit dem Meta–Prädikat findall/3 kann man alle Antworten auf eine
Anfrage bestimmen:
?- findall( [X, Y],
likes(X, Y),
Pairs ).
Pairs = [[george,mary], [mary,george], [mary,books]].
Pairs wird als die Liste aller Paare [X, Y] bestimmt, für die
likes(X, Y) gilt. Die äquivalente Mengenschreibweise des D DK ist
?- Pairs <= { [X, Y] | likes(X, Y) }.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
356
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Verändern der Datenbasis: assert und retract
Man kann mittels assert/1 auch dynamisch die Datenbasis von P ROLOG
erweitern:
?- read(X), assert(X).
|: likes(mary, cats).
X = likes(mary, cats) .
Nachfolgende Aufrufe können die erweiterte Datenbasis benutzen:
?- likes(mary, cats).
true .
Mittels retract/1 kann man in der Datenbasis von P ROLOG löschen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
357
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Arbeiten mit Strukturen
Eine Struktur kann in eine Liste bestehend aus dem Funktor und den
Argumenten zerlegt werden:
?- likes(mary, books) =.. Xs.
Xs = [likes, mary, books] .
Eine Liste hat den Funktor ’.’ mit zwei Argumenten, dem ersten
Listenelement und der Restliste:
?- [likes, mary, books] =.. Ys.
Ys = [’.’, likes, [mary, books]] .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
358
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Eine Liste ist eine zweistellige Stuktur mit dem Funktor ’.’:
?- functor([a,b,c,d], F, N).
F = ’.’, N = 2 .
Mittels arg/3 kann man auf die Argumente einer Stuktur zugreifen; über
Backtracking erhält man der Reihe nach alle Argumente:
?- arg(N, [a,b,c,d], A).
N = 1, A = a ;
N = 2, A = [b,c,d] .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
359
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Man kann zur Laufzeit mittels =../2 dynamische Strukturen
zusammenbauen und mittels call/1 aufrufen:
?- read(P), S =.. [P, X, Y], call(S).
|: likes.
P = likes, S = likes(X, Y),
X = george, Y = mary .
Dies geht noch eleganter, wenn man stattdessen apply/2 verwendet, denn
S =.. [P,X1,...,Xn], call(S) ist äquivalent zu
apply(P, [X1,...,Xn]).
Der Aufruf read(P), P(X,Y) ist in P ROLOG nicht erlaubt, da eine
Variable – hier P – nicht an der Stelle eines Prädikatensymbols stehen kann.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
360
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Listen sind spezielle P ROLOG–Strukturen mit dem binären Funktor “.”.
Beispiel: [a,b,c,d] = .(a,.(b,.(c,.(d,[]))))
leere Liste: []
Listenkonstruktion: Falls X und Xs bereits gebunden (mit Werten belegt)
sind, so ist [X|Xs] die Liste, die man erhält, wenn man das Element X
an die Liste Xs vorne anhängt.
Für X = a und Xs = [b,c,d] ist [X|Xs] = [a,b,c,d].
Listenzerlegung: Falls X und Xs ungebunden sind, so liefert der Aufruf
[X|Xs] = [a,b,c,d] die Belegungen X = a und Xs =
[b,c,d]; man kann eine Liste also in ihren Kopf X und den Rest Xs
zerlegen.
Früher hatten wir das Funktionssymbol list anstelle von ”.” und die
Konstante nil anstelle von [] verwendet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
361
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Listenkonstruktion und Listenzerlegung erfolgen also mittels desselben
Aufrufs Xs = [Head|Tail].
Die folgenden beiden Prädikate bestimmen das erste Listenelement Head
und den Rest Tail der Liste.
list_to_head(Xs, Head) :Xs = [Head|_].
list_to_tail(Xs, Tail) :Xs = [_|Tail].
Um eine “singleton variable warning” zu vermeiden, wird der
jeweils nicht benötigte Listenteil mittels einer anonymen Variable “_”
(Wildcard) bezeichnet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
362
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Listenschreibweise
[X1 , . . . ,Xn ]
nennt man Syntactic Sugar. Eine Liste ist eigentlich eine stark
verschachtelte binäre Struktur:
.( X1 , .(X2 , .( . . . ,.(Xn ,[])))).
|{z}
|
{z
}
Head
Tail
Somit ist [Head|Tail] = .(Head, Tail).
Der Aufruf
.(a,.(b,.(c,.(d,[])))) = .(Head, Tail),
bestimmt mittels Unifikation Head = a und Tail =
.(b,.(c,.(d,[]))).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
363
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Listenkonstruktion aus einem gegebenen Kopf und einem Rest erfolgt –
wie bereits gezeigt – auch mittels des Aufrufs Xs = [Head|Tail]:
head_and_tail_to_list(Head, Tail, Xs) :Xs = [Head|Tail].
Dasselbe Prädikat kann man auch benutzen, um eine gegebene Liste in
Kopf und Rest zu zerlegen:
?- head_and_tail_to_list(a, [b,c,d], Xs).
Xs = [a,b,c,d] .
?- head_and_tail_to_list(Head, Tail, [a,b,c,d]).
Head = a, Tail = [b,c,d] .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
364
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Listenrekursion: das Prädikat member
/* member(?X, +Xs) <X is a member of the list Xs. */
member(X, [X|_]).
member(X, [_|Xs]) :member(X, Xs).
?- member(b, [a,b,c]).
true .
Ein Element liegt in einer Liste, falls es das erste Listenelement
(Listenkopf) ist, oder falls es in der Restliste liegt (rekursiver Aufruf).
Genauer gesagt wird eine Substitution gesucht, die X mit einem Element der
Liste Xs unifiziert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
365
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
In dieser kompakten Notation wird die Eingabeliste bereits im Regelkopf in
den Listenkopf und die Restliste zerlegt.
1. Der Kopf der ersten Regel testet auch gleich, ob der Listenkopf mit
dem gesuchten Element unifizierbar ist.
2. Die zweite Regel sucht in der Restliste rekursiv weiter.
Zur Verdeutlichung geben wir im folgenden die entsprechende Langfassung
an:
member(X, Xs) :list_to_head(Xs, Head),
X = Head.
member(X, Xs) :list_to_tail(Xs, Tail),
member(X, Tail).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
366
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Relationales Programmieren
member: Element × List 7→ Boolean
?- member(b, [a,b,c]).
true .
?- member(X, [a,b,c]).
X = a ;
X = b ;
X = c .
Beim Aufruf member(X, Xs) sind X und Xs nicht funktional
voneinander abhängig. Stattdessen realisiert member/2 eine
n : m–Beziehung (Relation) zwischen Listen und ihren Elementen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
367
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Das Prädikat member/2 definiert eine virtuelle Relation:
member
Element
List
a
b
c
[a,b,c]
[a,b,c]
[a,b,c]
a
[a,b]
...
...
Diese Relation ist unendlich, sie wird aber nie berechnet.
Es werden meist nur die Elemente einer gegebenen Liste bestimmt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
368
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Tracing
Man kann die Anfrageauswertung in P ROLOG mittels trace schrittweise
verfolgen:
?- trace.
true.
[trace] ?- member(X, [a,b]).
Call: (6) member(X, [a, b]) ? creep
Exit: (6) member(a, [a, b]) ? creep
X = a ;
Der initiale Aufruf member(X, [a,b]) wird zuerst mit dem Fakt
member(X, [X|_]) unifiziert. Dabei wird X auf a gesetzt und die
anonyme Variable (Wildcard) _ auf [b].
Somit ergibt sich die erste Antwort X = a.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
369
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Eingabe des Strichpunkts hinter der Antwort X = a stößt
Backtracking an:
Redo:
Call:
Exit:
Exit:
X = b ;
(6)
(7)
(7)
(6)
member(X,
member(X,
member(b,
member(b,
[a, b]) ? creep
[b]) ? creep
[b]) ? creep
[a, b]) ? creep
Nun wird der Aufruf member(X, [a,b]) mit dem Kopf
member(X, [_|Xs]) der Regel unifiziert.
Dabei wird X belassen, und es wird _ auf a und Xs auf [b] gesetzt.
Der neue Aufruf member(X, [b]) ergibt sich aus dem Rumpf der
Regel. Er wird mittels des Fakts mit X = b beantwortet (zweite Antwort).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
370
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die Eingabe des Strichpunkts hinter der Antwort X = b stößt noch einmal
Backtracking an:
Redo:
Call:
Fail:
Fail:
Fail:
Fail:
false.
(8)
(9)
(9)
(8)
(7)
(6)
member(X,
member(X,
member(X,
member(X,
member(X,
member(X,
[b]) ? creep
[]) ? creep
[]) ? creep
[b]) ? creep
[b]) ? creep
[a, b]) ? creep
Nun wird der Aufruf member(X, [b]) mit dem Kopf
member(X, [_|Xs]) der Regel unifiziert.
Dabei wird X belassen, und es wird _ auf b und Xs auf [] gesetzt.
Der neue Aufruf member(X, []) ergibt sich aus dem Rumpf der Regel.
Er kann nicht beantwortet werden. Also ergibt sich die Antwort false.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
371
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Bindungsmuster
Einige Prädikate, wie z.B. das boolean_and/3, können mit
unterschiedlichen Bindungsmustern für die Argumente aufgerufen werden:
/* boolean_and(U, V, W) <W is derived as the boolean conjunction
of the truth values U and V. */
boolean_and(0,
boolean_and(0,
boolean_and(1,
boolean_and(1,
0,
1,
0,
1,
0).
0).
0).
1).
Hier kann man beliebig viele (auch 0) Argumente mit Werten versehen und
die restlichen Werte berechnen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
372
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wenn die ersten beiden Argumente gebunden sind, dann realisiert das
Prädikat eine Funktion:
?- boolean_and(1, 0, W).
W = 0 .
Man kann die Berechnung umkehren, und nach allen Paaren von
Wahrheitswerten U und V fragen, deren Konjunktion 0 ist; dann realisiert
das Prädikat eine n : m–Beziehung (Relation):
?- boolean_and(U, V, 0).
U = 0, V = 0 ;
U = 0, V = 1 ;
U = 1, V = 0 .
Dabei wird durch die Eingabe von ; hinter einer Lösung die Berechnung
der nächsten Lösung angestoßen.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
373
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Arithmetik
Im Gegensatz zum Unifikationsprädikat =/2 wertet das Prädikat is/2 den
arithmetischen Ausdruck zu seiner rechten aus und unifiziert das Ergebnis
mit dem Ausdruck zu seiner linken:
?- X = 3, Y is e^X + sin(X).
X = 3, Y = 20.2267.
Der entsprechende Aufruf mit =/2 würde Y dagegen lediglich mit dem
Term e^3 + sin(3) unifizieren. Einfacheres Beispiel:
?- X = 3, Y = e^X.
X = 3, Y = e^3.
Die Präfix–Notation +(1,7) ist äquivalent zur Infix–Notation 1+7.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
374
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Symbolisches Differenzieren
Das Prädikat diff/3 differenziert beim Aufruf diff(F, X, DF) einen
Funktionsterm F symbolisch nach der Variablen X – die beim Aufruf durch
eine Konstante instanziiert sein muß – und liefert DF als Ergebnis:
?- diff(e^x + sin(x), x, DF).
DF = e^x + cos(x).
?- diff(x^7 + 3 * x^6, x, DF).
DF = 7 * x^6 + 3 * 6 * x^5.
Bei den Aufrufen des folgenden Prädikats diff/3 muß die Unbekannte,
nach der differenziert wird, durch ein P ROLOG–Atom repräsentiert sein.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
375
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Dasselbe Prädikat diff/3 kann bei einem anderen Bindungsmuster zum
symbolischen Integrieren benutzt werden, wenn stattdessen X und DF
gebunden sind.
?- diff(F, x, 7 * x^6).
F = x^7.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
376
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die ersten beiden Regeln behandeln die Spezialfälle, daß F identisch ist
mit X, oder daß F ein anderes P ROLOG–Atom ist:
diff(X, X, 1) :!.
diff(C, X, 0) :atomic(C).
Der Cut, “!”, weist P ROLOG an, keine weiteren Regeln zu versuchen, falls
die aktuelle Regel anwendbar ist.
Ohne den Cut würde der Aufruf diff(x,x,DF) sowohl das Resultat
DF=1 (die richtige Antwort aus Regel 1) als auch DF=0 (die falsche
Antwort aus Regel 2) liefern.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
377
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
diff(X^N, X, N*X^M) :N > 0,
M is N - 1.
diff(sin(X), X, cos(X)).
diff(e^X, X, e^X).
diff(F+G, X, DF+DG) :diff(F, X, DF),
diff(G, X, DG).
diff(C*F, X, C*DF) :atomic(C),
!,
diff(F, X, DF).
Der Cut in der letzten Regel ist hier eigentlich nicht erforderlich. Er wird
erst dann wichtig, wenn man das Regelsystem noch erweitert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
378
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Hyperresolution in P ROLOG
Wir kodieren eine DATALOG–Regel A ← B1 ∧ . . . ∧ Bn als eine
Paar–Struktur
[A]-[B1 ,...,Bn ].
Die Liste [A] enthält das Kopfatom, die Liste [B1 ,...,Bn ] die
Rumpfatome. Ein Fakt, d.h., eine Regel ohne Rumpfatome (n = 0), kann
auch kurz als [A] kodiert werden.
Um auch Regeln A1 ∨ . . . ∨ Ak ← B1 ∧ . . . ∧ Bn mit disjunktiven
Regelköpfen kodieren zu können, wird der Regelkopf als Liste
repräsentiert:
[A1 ,...,Ak ]-[B1 ,...,Bn ],
was bei DATALOG zunächst eigentlich nicht erforderlich wäre.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
379
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
parse_rule/2 zerlegt eine DATALOG–Regel in Kopf und Rumpf.
Dann wird aus einem Fakt [A] eine Paar–Struktur [A]-[] mit einem
leeren Rumpf.
parse_rule(Head-Body, Head-Body) :!.
parse_rule(Head, Head-[]).
Im D DK wird diese Repräsentation noch um Default Negation erweitert.
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380
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Das Prädikat hres/3 generiert zu einem DATALOG–Programm Program
und einer Herbrand–Interpretation Int_1 eine neue
Herbrand–Interpretation Int_2 bestehend aus den Hyperresolventen.
% hres(+Program, +Int_1, -Int_2) <hres(Program, Int_1, Int_2) :findall( A,
( member(Rule, Program),
parse_rule(Rule, [A]-Body),
members(Body, Int_1) ),
Int_2 ).
Der Aufruf findall(A,Goal,Int_2) sammelt über Backtracking alle
Hyperresolventen A in einer Liste Int_2. Das D DK erlaubt die äquivalente
Mengenschreibweise Int_2 <= {A|Goal}.
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381
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Aufruf member(B, Int_1) für ein Atom B und eine
Herbrand–Interpretation Int_1 findet geeignete Grundinstanzen
von B, die in Int_1 liegen.
?- Int_1 = [ par(a, b), par(b, c) ],
B = par(X, Z),
member(B, Int_1).
B = par(a, b), X = a, Z = b ;
B = par(b, c), X = b, Z = c ;
No
?-
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382
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Aufruf members(Body, Int_1) in hres/3 kann wie folgt
implementiert werden:
Variante 1 (foreach–do–Schleife):
members(Xs, Ys) :foreach(X, Xs) do member(X, Ys).
Variante 2 (Listenrekursion):
members([X|Xs], Ys) :member(X, Ys),
members(Xs, Ys).
members([], _).
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383
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Wenn man in der Listenrekursion X=B1 und Xs=[B2,...,Bn] setzt, so
wird aus dem Aufruf
members([B1,B2,...,Bn],Ys)
wegen [B1,B2,...,Bn]=[B1|[B2,...,Bn]] ein Aufruf
member(B1,Ys) und ein rekursiver Unteraufruf
members([B2,...,Bn],Ys)
erzeugt. Per Induktion kann man zeigen, daß daraus wiederum die Aufrufe
member(B2,Ys), . . . , member(Bn,Ys) erzeugt werden.
Für feste Listenlänge n könnte man members/2 also wie folgt
implementieren:
members([B1,...,Bn], Ys) :member(B1, Ys), ..., member(Bn, Ys).
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384
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Innerhalb des findall/3 wird jede Regel Rule aus Program zunächst
mittels parse_rule/2 in Kopf und Rumpf zerlegt, und dann wird Body
so instanziiert, daß alle instanziierten Rumpfatome in Int_1 liegen.
?- Rule = [anc(X,Y)]-[par(X,Z),anc(Z,Y)],
parse_rule(Rule, [A]-Body),
Int_1 = [ par(a,b), par(b,c), anc(b,c) ],
members(Body, Int_1).
X=a, Y=c, Z=b, A=anc(a,c), Body=[par(a,b),anc(b,c)].
Nach dem Aufruf von parse_rule/2 ist Body=[par(X,Z),anc(Z,Y)]
.
Erst durch den Aufruf von members/2 wird Body weiter gebunden.
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385
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Dies instanziiert auch den Kopf A der Regel zu einer Hyperresolvente.
Über Backtracking werden für alle Regeln alle Hyperresolventen gefunden.
hres/3 berechnet durch Kombination der par–Fakten und der
anc–Fakten aus der Interpretation Int_1 eine neue Interpretation Int_2:
?- Program = [
[anc(X, Y)]-[par(X, Z), anc(Z, Y)] ],
Int_1 = [
par(a, b), par(b, c), par(c, d),
anc(b, c), anc(b, d), anc(c, d) ],
hres(Program, Int_1, Int_2).
Int_2 = [ anc(a, c), anc(a, d), anc(b, d) ]
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386
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Für DATALOG kann das minimale Herbrand–Modell MP = Hres ∗ (P )
durch Iteration von hres/3 berechnet werden:
% hres_iteration(+Program, -Interpretation) <hres_iteration(Program, Interpretation) :hres_iteration(Program, [], Interpretation).
hres_iteration(Program, Int_1, Int_2) :writeln(Int_1),
hres(Program, Int_1, Int_3),
sort(Int_3, Int_4),
Int_4 \= Int_1,
!,
hres_iteration(Program, Int_4, Int_2).
hres_iteration(Program, Int, Int).
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387
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Komplette Hyperresolution in P ROLOG)
?- Program = [
[anc(X, Y)]-[par(X, Y)],
[anc(X, Y)]-[par(X, Z), anc(Z, Y)],
[par(a, b)], [par(b, c)], [par(c, d)] ],
hres_iteration(Program, Interpretation).
[]
[par(a, b), par(b, c), par(c, d)]
[..., anc(a, b), anc(b, c), anc(c, d)]
[..., anc(a, c), anc(b, d)]
[..., anc(a, d)]
Interpretation = [
par(a, b), par(b, c), par(c, d),
anc(a, b), anc(b, c), anc(c, d),
anc(a, c), anc(b, d), anc(a, d) ].
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388
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
3.2
SLDNF–Resolution
Normales Logikprogramm, Anfrage
1. Ein normales Logikprogramm besteht aus Regeln in
Implikations–Notation mit jeweils genau einem Kopfatom:
Fakt:
A
Regel:
A ← B1 ∧ . . . ∧ Bm ∧ not C1 ∧ . . . ∧ not Cn .
Fakten stellen Wissen ohne Vorbedingung dar,
Regeln mit m ≥ 1 oder n ≥ 1 konditionales Wissen mit Vorbedingung.
2. Regeln mit n = 0 und ohne Kopfatom repräsentieren Anfragen:
Goal:
← B1 ∧ . . . ∧ Bm .
Dabei sind A, die Bi und die Ci Atome. not nennt man Default–Negation.
In P ROLOG schreibt man diese als “not(C)” oder “\+ C”.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
389
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
SLDNF–Resolution
Die SLDNF–Resolution erweitert die SLD–Resolution auf normale
Logikprogramme durch ein Konzept namens Negation–as–Finite–Failure
zur Behandlung negativer Literale not A:
• Wenn im Rahmen einer SLDNF–Resolution ein negatives Literal
not A abgeleitet werden soll, so wird eine neue SLDNF–Resolution für
das Goal G0 = ← A gestartet.
• Falls diese erfolglos abbricht, so ist not A abgeleitet; sonst war der
Ableitungsversuch für not A erfolglos.
not A bedeutet, daß A nicht ableitbar ist, und nicht etwa, daß ¬A ableitbar
ist. Damit sind die beiden wesentlich verschieden.
Zur Illustration der SLDNF–Resolution wollen wir damit im folgenden
Zwei–Personen–Gewinnspiele mit azyklischen Übergangsgraphen behandeln.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
390
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Zwei–Personen–Gewinnspiele
• Bei Tic–Tac–Toe markieren die Spieler abwechselnd Felder auf einem
3 × 3–Brett. Ein Spieler gewinnt, wenn er als erster eine Reihe, Spalte
oder Diagonale zu besetzt.
• Wenn beide Spieler allerdings optimal spielen, so gehen die Spiele
Unentschieden aus:
Prof. Dr. Dietmar Seipel
391
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
• Für Tic–Tac–Toe ist der Übergangsgraph azyklisch:
Es gibt 765 wesentlich verschiedene Positionen. Achsenspiegelungen
erzeugen strukturell gleiche Positionen.
• Für Schach ist der Übergangsgraph zyklisch.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
392
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Zwei–Personen–Gewinnspiele mit SLDNF)
Wir betrachten das normale Logikprogramm P = { r, f1 , f2 } und die
Anfrage Q = ← win(X) :
r = win(X) ← move(X, Y ) ∧ not win(Y ),
f1 = move(b, c), f2 = move(a, b).
a
-
b
-
c
Ein Spieler kann in Position X gewinnen, wenn es einen Zug von X nach Y
gibt, so daß man in Position Y nicht gewinnen kann.
• Offenbar kann man in Position b gewinnen, da man nach c ziehen kann,
und da es keinen Zug von c aus gibt; c ist eine Verlustposition.
• In Position a kann man nicht gewinnen, da man nach b ziehen muß,
und da b ja dann eine Gewinnposition für den Gegner ist.
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393
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Sei G0 = Q:
• Wir starten eine SLDNF–Resolution für G0 = ← win(X) :
– h G0 , r i 7→ G1 = ← move(X, Y ) ∧ not win(Y )
– h G1 , f1 i 7→ G2 = ← not win(c)
• Wir starten eine SLDNF–Resolution für H0 = ← win(c) :
– h H0 , r i 7→ H1 = ← move(c, Y1 ) ∧ not win(Y1 )
– H1 kann bezüglich sl nicht weiter resolviert werden,
und es gibt keine Möglichkeit zum Backtracking.
– Deshalb schlägt die SLDNF–Resolution für H0 fehl.
• Damit ist die SLDNF–Resolution für G0 erfolgreich mit der
Substitution { X 7→ b, Y 7→ c }, und somit ist win(b) abgeleitet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
394
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
• Backtracking innerhalb der SLDNF–Resolution für G0 liefert:
– h G1 , f2 i 7→ G02 = ← not win(b)
• Wir starten eine SLDNF–Resolution für H00 = ← win(b) :
– h H00 , r i 7→ H10 = ← move(b, Y1 ) ∧ not win(Y1 )
– h H10 , f1 i 7→ H20 = ← not win(c)
– Da die SLDNF–Resolution für ← win(c) bekanntermaßen
fehlschlägt, ist die SLDNF–Resolution für H00 = ← win(b)
erfolgreich.
• Damit bricht die aktuelle Berechnungslinie erfolglos ab.
• Jetzt gibt es keine weiteren Alternativen zum Backtracking innerhalb
der SLDNF–Resolution für G0 .
Prof. Dr. Dietmar Seipel
395
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
← win(X)
r
?
← move(X, Y ) ∧ not win(Y )
f1
f2
Tl :
)
q
← not win(b)
← not win(c)
R
R
failure
← win(c)
← win(b)
2
success
r
?
r
← move(c, Y1 ) ∧ not win(Y1 ) ← move(b, Y1 ) ∧ not win(Y1 )
failure
f1
← not win(c)
R
← win(c)
2
success
r
?
← move(c, Y2 ) ∧ not win(Y2 )
failure
Prof. Dr. Dietmar Seipel
f1 = move(b, c)
f2 = move(a, b)
396
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Zyklisches, nicht–terminierendes Verhalten
Wir betrachten nun das normale Logikprogramm P = { r, f3 } und die
Anfrage Q = ← win(X) :
r = win(X) ← move(X, Y ) ∧ not win(Y ),
f3 = move(c, c).
Die Relation move/2 ist hier zyklisch.
• In diesem Fall führt die SLDNF–Resolution für G0 = Q zu einer
Dauerschleife, da immer wieder das Goal ← win(c) auftritt.
• Deswegen kann weder win(c) noch not win(c) abgeleitet werden.
Das P ROLOG–System X SB kann solche Dauerschleifen durch eine
modifizierte Auswertung mit Zyklentest vermeiden.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
397
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Abhängigkeitsgraph
Es gibt ein DDK–Tool zur Veranschaulichung der Abhängigkeitsgraphen
von P ROLOG–Programmen. Da hier die Regeln keine Namen haben,
werden die Regel–Knoten mit den entsprechenden File–Namen markiert.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
398
Logik für Informatiker
3.3
Wintersemester 2015/16
Sortieren und Suchbäume
Im folgenden werden einige wohlbekannte Algorithmen zum Sortieren und
Suchen in P ROLOG formuliert.
Vorzüge von P ROLOG liegen hierbei
• im einfachen Umgang mit Datenstruktuen (Listen, Bäume, X ML) und
• in der kompakten Realisierbarkeit von Fallunterscheidungen durch
verschiedene Regeln.
Die Algorithmen sind typischerweise rekursiv. Die Rekursion wird durch
die kompakten Listenzugriffe gut formulierbar.
Auch Meta–Prädikate tragen zur eleganten Implementierung bei.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
399
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Quicksort
Quicksort wurde von C.A.R. Hoare (1962) entwickelt. Es ist
erfahrungsgemäß (im Mittel) eines der schnellsten, wenn nicht das
schnellste interne Sortierverfahren.
Quicksort ist ein In–situ–Sortierverfahren: d.h. es wird zur (Zwischen-)
Speicherung für die Datensätze kein zusätzlicher Speicher benötigt, außer
einer konstanten Anzahl von Hilfsspeicherplätzen für Tauschoperationen.
Quicksort sortiert eine Folge F durch rekursives Teilen nach aufsteigenden
Werten.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
400
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Quicksort in Pseudo–Code
Falls F die Länge N = 0 oder N = 1 hat, so ist F bereits sortiert und bleibt
unverändert. Sonst:
1. Divide: Wähle ein Pivotelement X von F (z.B. das letzte) und teile F
ohne X in Teilfolgen F1 und F2 bezüglich X:
• F1 enthält nur die Elemente X1 von F , mit X1 < X, und
• F2 enthält nur die Elemente X2 von F , mit X2 > X.
2. Conquer: Sortiere F1 und F2 rekursiv mit Quicksort
• Quicksort(F1 ) → F10 sortiert
• Quicksort(F2 ) → F20 sortiert
3. Merge: Bilde die Ergebnisfolge F 0 duch Hintereinanderhängen von
F10 , X, F20 in dieser Reihenfolge.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
401
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Quicksort in P ROLOG
% quicksort(+List, ?Sorted_List) <quicksort([], []) :!.
quicksort([X|Xs], Ys) :quicksort_divide(X, Xs, Xs1, Xs2),
quicksort(Xs1, Ys1),
quicksort(Xs2, Ys2),
append(Ys1, [X|Ys2], Ys).
Der eigentliche Aufwand steckt in der Listenaufteilung (Divide); der
Merge–Schritt ist einfach (append).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
402
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Quicksort)
[X|Xs] = [4,3,7,2,5,1,6]
quicksort_divide
R
Xs1 = [3,2,1]
Xs2 = [7,5,6]
quicksort
?
?
Ys1 = [1,2,3]
Ys2 = [5,6,7]
append
R
Ys = [ 1,2,3, 4, 5,6,7 ]
Prof. Dr. Dietmar Seipel
403
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
quicksort_divide(X, Xs, Xs1, Xs2) :findall( X1,
( member(X1, Xs),
X1 < X ),
Xs1 ),
findall( X2,
( member(X2, Xs),
X2 > X ),
Xs2 ).
append([], Ys, Ys).
append([X|Xs], Ys, [X|Zs]) :append(Xs, Ys, Zs).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
404
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Mittels des Meta–Prädikats sublist/3 kann man die Listenaufteilung
noch etwas kompakter formulieren:
quicksort_divide(X, Xs, Xs1, Xs2) :sublist(>(X), Xs, Xs1),
sublist(<(X), Xs, Xs2).
Ein Element X1 von Xs kommt nach Xs1, falls >(X, X1) gilt; in
Infix–Notation bedeutet dies X > X1. Analog kommen die Elemente X2 von
Xs mit <(X, X2) nach Xs2; in Infix–Notation bedeutet dies X < X2.
Falls ein Element mehrfach in der zu sortierenden Liste vorkommt, so ist es
trotzdem nur einmal in der Resultatsliste enthalten, denn das Pivot–Element
X wird nicht in Xs1 oder Xs2 aufgenommen.
Dies könnte man ändern, indem man > durch >= ersetzt, oder < durch =<.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
405
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Mergesort
Mergesort („Sortieren durch Mischen“) ist eines der ältesten und
bestuntersuchtesten Verfahren zum Sortieren mit Hilfe von Computern.
John von Neumann hat es bereits 1945 vorgeschlagen.
Mergesort eignet sich auch besonders für das Sortieren von Daten auf
Sekundärspeichern, das externe Sortieren.
Mergesort sortiert eine Folge F durch rekursives Teilen nach aufsteigenden
Werten.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
406
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Mergesort in Pseudo–Code
Falls F die Länge N = 0 oder N = 1 hat, so ist F bereits sortiert und bleibt
unverändert. Sonst:
1. Divide: Teile F in zwei etwa gleich große Teilfolgen F1 und F2 .
2. Conquer: Sortiere F1 und F2 rekursiv mit Mergesort
• Mergesort(F1 ) → F10 sortiert
• Mergesort(F2 ) → F20 sortiert
3. Merge: Bilde die Resultatfolge durch Verschmelzen von F10 und F20 .
Lasse dazu je einen Positionszeiger (Index) durch die Teilfolgen F10 , F20
so wandern: Bewege jeweils in einem Schritt denjenigen der beiden
Zeiger um eine Position weiter, der auf den kleineren Schlüssel zeigt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
407
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Mergesort in Java
public static void mergesort(int[] a, int l, int r) {
int i, j, k, m;
int[] b = new int[a.length];
if (r > l) {
/* Divide */
m = (l + r) / 2;
/* Conquer */
mergesort(a, l, m);
mergesort(a, m+1, r);
Prof. Dr. Dietmar Seipel
408
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
/* Merge */
// zuerst alle Werte ins Feld b kopieren:
// b = a[l],...,a[m],a[r],...a[m+1]
for (i=m; i >= l; i--) b[i] = a[i];
for (j=m+1; j <= r; j++) b[r+m+1-j] = a[j];
// dann die Werte der Groesse nach
// zurueckschreiben
i=l; j=r;
for (k=l; k <= r; k++) {
if (b[i] < b[j]) { a[k] = b[i++]; }
else { a[k] = b[j--]; }
}
}
}
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409
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Mergesort)
F = (2, 1, 3, 9, 5, 6, 7, 4, 8, 10)
wird aufgespalten in
F1 = (2, 1, 3, 9, 5),
F2 = (6, 7, 4, 8, 10).
Sortieren von F1 , F2 ergibt
F10 = (1, 2, 3, 5, 9),
F20 = (4, 6, 7, 8, 10).
Verschmelzen von F10 und F20 :
1 2 3 5 9 4 6 7 8 10
↓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prof. Dr. Dietmar Seipel
410
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Mergesort in P ROLOG
% mergesort(+List, ?Sorted_List) <mergesort(Xs, Xs) :length(Xs, N),
N =< 1,
!.
mergesort(Xs, Ys) :middle_split(Xs, Xs1, Xs2),
mergesort(Xs1, Ys1),
mergesort(Xs2, Ys2),
mergesort_merge(Ys1, Ys2, Ys).
Die Aufteilung (Divide mittels middle_split) ist einfach; der
eigentliche Aufwand steckt im Merge–Schritt.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
411
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
mergesort_merge([], Xs, Xs) :!.
mergesort_merge(Xs, [], Xs) :!.
mergesort_merge([X1|Xs1], [X2|Xs2], [X|Xs]) :( X1 < X2 ->
X = X1,
mergesort_merge(Xs1, [X2|Xs2], Xs)
; X = X2,
mergesort_merge([X1|Xs1], Xs2, Xs) ).
middle_split(Xs,Xs1,Xs2) splittet eine Liste Xs in zwei etwa
gleich große Teile Xs1 und Xs2.
Hier wird die Kontrollstruktur If -> Then ; Else verwendet.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
412
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Binäre Suchbäume in P ROLOG
Zur binären Suche versuchen wir zuerst der Suchbaum Tree in seine
Wurzel Root sowie seinen linken und rechten Teilbaum Lson und Rson
zu zerlegen. Dann gibt es 3 Fälle:
1. Ist der Schlüssel Key die Wurzel Root, so wird er gefunden, und die
Suche war erfolgreich.
2. Ist der Schlüssel Key kleiner als Root, so wird er rekursiv im linken
Teilbaum Lson weiter gesucht.
3. Ist der Schlüssel Key größer als Root, so wird er rekursiv im rechten
Teilbaum Rson weiter gesucht.
Falls der Suchbaum Tree leer ist, so schlägt der anfängliche
Zerlegungsversuch fehlt. Dann wird der Schlüssel Key also nicht gefunden.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
413
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
% search_in_binary_tree(+Key, +Tree) <search_in_binary_tree(Key, Tree) :Tree = tree(Root, Lson, Rson),
( Key = Root
; Key < Root ->
search_in_binary_tree(Key, Lson)
; Key > Root ->
search_in_binary_tree(Key, Rson) ).
Die Suchbäume liegen dabei in einer Termnotation in P ROLOG vor.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
414
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Suchbaum in P ROLOG
tree(8,
tree(4,
tree(2,
tree(1, nil, nil),
tree(3, nil, nil)),
tree(6,
tree(5, nil, nil),
tree(7, nil, nil)) ),
tree(12,
tree(10,
tree(9, nil, nil),
tree(11, nil, nil)),
tree(13, nil, nil) ) )
Prof. Dr. Dietmar Seipel
Visualisierung in P ROLOG mittels
binary_tree_to_picture(Picture, Tree)
415
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der leere Baum wird in P ROLOG als die Konstante
nil
dargestellt. Falls ein Knoten eines Suchbaumes nur genau einen Sohn hat,
so wird als anderer Sohn der leere Baum eingetragen:
2
tree(2, tree(1, nil, nil), nil)
Eine entsprechende JAVA–Klasse wäre folgende:
1
Class node { int key ; node lson, rson; ... }
Prof. Dr. Dietmar Seipel
416
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Einzelne Einfügeoperation
Die erste Einfügeregel ist rekursiv. Zuerst wird der alte Suchbaum Tree in
seine Wurzel Root sowie seinen linken und rechten Teilbaum Lson und
Rson zerlegt. Dann gibt es 3 Fälle:
1. Ist der einzufügende Schlüssel Key die Wurzel Root, so ist der neue
Suchbaum New_Tree gleich dem alten Suchbaum Tree.
2. Ist Key kleiner als Root, so ergibt sich der neue Suchbaum
New_Tree durch das Einfügen in Lson.
3. Ist Key größer als Root, so ergibt sich New_Tree durch das
Einfügen in Rson.
Die zweite Regel fügt in einen leeren Suchbaum nil ein. Dann enthält
New_Tree nur den einen Wert Key; der linke und rechte Teilbaum sind
leer.
Prof. Dr. Dietmar Seipel
417
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
% insert_into_binary_tree(+Key, +Tree, ?New_Tree) <insert_into_binary_tree(Key, Tree, New_Tree) :Tree = tree(Root, Lson, Rson),
( Key = Root ->
New_Tree = Tree
; Key < Root ->
insert_into_binary_tree(Key, Lson, L),
New_Tree = tree(Root, L, Rson)
; Key > Root,
insert_into_binary_tree(Key, Rson, R),
New_Tree = tree(Root, Lson, R) ).
insert_into_binary_tree(Key, nil, New_Tree) :New_Tree = tree(Key, nil, nil).
Prof. Dr. Dietmar Seipel
418
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Aufbau eines Suchbaums
Man kann aus einer Liste Keys von Schlüsseln durch sukzessives Einfügen
in den anfangs leeren Suchbaum nil einen entsprechenden Suchbaum
Tree aufbauen:
% keys_to_binary_tree(+Keys, ?Tree) <keys_to_binary_tree(Keys, Tree) :insert_into_binary_tree_(Keys, nil, Tree).
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419
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die zweite Regel beschreibt das sukzessive Einfügen einer Liste
[Key|Keys] von Schlüsselwerten in einen Suchbaum Tree.
Dabei wird zunächst der erste Wert Key einzeln eingefügt.
In das Zwischenergebnis Tree_2 werden danach rekursiv die Werte aus
der restlichen Liste Keys sukzessive eingefügt, um das Endergebnis
New_Tree zu erhalten:
% insert_into_binary_tree_(+Keys, +Tree, ?New_Tree) <insert_into_binary_tree_([], Tree, Tree).
insert_into_binary_tree_([Key|Keys], Tree, New_Tree) :insert_into_binary_tree(Key, Tree, Tree_2),
insert_into_binary_tree_(Keys, Tree_2, New_Tree).
Die nicht–rekursive, erste Regel läßt einen Suchbaum Tree unverändert,
wenn man die leere Liste [] von Schlüsselwerten einfügt.
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420
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Berechnung der Höhe eines Suchbaums
Die erste Regel berechnet die Höhe des leeren Baumes als -1.
Die zweite Regel zerlegt zuerst den Suchbaum Tree in seine Wurzel Root
sowie seinen linken und rechten Teilbaum Lson und Rson.
Dann werden rekursiv die Höhen L und R der beiden Teilbäume berechnet.
Die Höhe des Baumes ergibt sich abschließend aus dem Maximum von L
und R durch die Addition von 1.
L
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j
R
1
max(L,R)
421
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
% binary_tree_to_height(+Tree, ?H) <binary_tree_to_height(nil, -1) :!.
binary_tree_to_height(Tree, H) :Tree = tree(Root, Lson, Rson),
binary_tree_to_height(Lson, L),
binary_tree_to_height(Rson, R),
H is max(L, R) + 1.
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422
Logik für Informatiker
3.4
Wintersemester 2015/16
Suche in Graphen
Labyrinth
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423
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Der Graph ist in Form von Fakten für die Prädikate graph_arc/2 und
graph_sink/1 gegeben.
Labyrinth:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
6
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-
graph_arc(i,
graph_arc(i,
graph_arc(h,
graph_arc(g,
graph_arc(d,
graph_arc(d,
graph_arc(a,
graph_arc(b,
f).
h).
g).
d).
e).
a).
b).
c).
graph_sink(c).
424
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Die folgende Regel symmetrisiert das Prädikat graph_arc/2:
graph_edge(X, Y) :( graph_arc(X, Y)
; graph_arc(Y, X) ).
Dadurch ist es nicht nötig, für die Kanten die Rückrichtung explizit
anzugeben:
graph_edge(i,
graph_edge(f,
graph_edge(i,
graph_edge(h,
...
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f).
i).
h).
i).
425
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Berechnung einfacher Pfade mittels Backtracking
Das Prädikat graph_search/2 berechnet einen einfachen Pfad von
einem gegebenen Knoten zu einer Senke des Graphen. Es wird ein weiteres
Prädikat graph_search/3 mit demselben Prädikatensymbol aber einer
anderen Stelligkeit aufgerufen.
% graph_search(+Node, ?Path) <graph_search(X, Path) :graph_search(X, [X], Path).
Notation für die Argumente in der Kommentarzeile:
+: gebunden, -: frei, ?: gebunden oder frei
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426
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Path =
Visited [Y1 =Y, . . . ,Yn =Z]
-X-Y
-Z
Beim Aufruf graph_search(X, Visited, Nodes) mit einem
gebundenen Argument X, das keine Senke ist, und einer Liste Visited
von bereits besuchten Knoten, wird
• eine Kante von X zu einem bisher nicht besuchten Nachfolgerknoten Y
benutzt, und dann
• ein Weg Path von Y zu einer Senke Z berechnet,
der Y und die Knoten in Visited nicht benutzt.
Das Ergebnis Nodes = [X|Path] ist ein einfacher Pfad von X zu einer
Senke des Graphen.
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427
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Falls kein Weg von Y zu einer Senke gefunden werden kann, so muß ein
anderer Nachfolgerknoten von X benutzt werden (Backtracking).
Die Terminierung wird dadurch gewährleistet, daß Knoten nicht mehrfach
besucht werden dürfen.
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428
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Das Prädikat graph_search/3 ist aufgrund seiner zweiten Regel
rekursiv:
% graph_search(+Node, +Visited, ?Path) <graph_search(X, _, [X]) :graph_sink(X).
graph_search(X, Visited, [X|Path]) :Path =
graph_edge(X, Y),
[Y1 =Y,
Visited
-X-Y
not(member(Y, Visited)),
write(user, ’->’), write(user, Y),
graph_search(Y, [Y|Visited], Path).
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. . . ,Yn =Z]
-Z
429
Logik für Informatiker
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Der initiale Aufruf graph_search(X, [X], Path) berechnet einen
einfachen Pfad von X zu einer Senke des Graphen.
• Falls X bereits eine Senke ist, so bestimmt die erste Regel für
graph_search/3 den Pfad Path als die leere Liste.
• Ansonsten wählt die rekursive zweite Regel mittels graph_edge
(X, Y) einen Nachfolgerknoten Y und sucht von dort aus weiter.
Bei Backtracking können weitere einfache Pfade berechnet werden.
• Dazu können in der zweiten Regel alternative Nachfolgerknoten Y
betrachtet werden.
• In der obigen Implementierung kann über eine Senke hinaus zu
anderen Senken weitergesucht werden, indem man die zweite Regel
anstelle der ersten verwendet.
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430
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Beispiel (Berechnung in P ROLOG)
Das Prädikat graph_search/2 benutzt Tiefensuche, und es berechnet
einfache Pfade (ohne doppelte Knoten).
Labyrinth:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
-
6
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431
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Beim Aufruf graph_search(+Node, ?Path) können alle einfachen
Pfade von Node zu einer Senke (graph_sink) über Backtracking
berechnet werden:
?- graph_search(i, Path).
->f->h->g->d->e->a->b->c
Path = [i, h, g, d, a, b, c]
?- graph_search(e, Path).
->d->a->b->c
Path = [e, d, a, b, c] ;
->g->h->i->f
false.
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432
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Würde man eine weitere Kante graph_arc(e, b) in den Graphen
einfügen (die Wand zwischen e und b einreisen), so gäbe es einen weiteren
einfachen Pfad [e, b, c] von e zur Senke c.
Man kann alle Antworten mittels Backtracking und findall/3
bestimmen:
?- findall( Path,
graph_search(e, Path),
Paths ).
...
Paths = [ [e, d, a, b, c], [e, b, c] ]
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433
Logik für Informatiker
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Implizites und explizites Backtracking
In P ROLOG wird automatisch (implizit) Backtracking verwendet.
In einer prozeduralen Sprache muß man das Backtracking explizit
implementieren.
Falls man obigen Code eins–zu–eins in einer prozeduralen Umgebung
umsetzen würde, so könnte ein Aufruf graph_edge(X, Y) nur einen
einzigen Nachfolgerknoten Y von X produzieren – falls es dann keinen Pfad
von Y zu einer Senke gibt, so würde die Berechnung fehlschlagen.
Außerdem könnte nur maximal eine Lösung ermittelt werden.
Wenn man die Graph–Suche prozedural mit explizitem Backtracking
realisiert, so ergibt sich mehr Code als bei der P ROLOG–Implementierung.
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434
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Man kann in P ROLOG (im Gegensatz zur reinen Logikprogrammierung)
auch
• prozedural
• mit Seiteneffekten und
• mit globalen Variablen (realisiert mit Hilfe von assert und
retract)
programmieren.
Es gibt umfangreiche Programmbibliotheken und Erweiterungen:
• Datenstrukturen und Algorithmen, Kombinatorik,
• Datenbank– und Web–Programmierung,
• GUI–Programmierung, etc.
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435
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Anwendungsbereiche
• regelbasierte Diagnosesysteme (Medizin, Technik)
• symbolische Informationsverarbeitung, Parsing
• Datenbanken mit komplexen Strukturen (Hierarchien, X ML)
• Datenintegration
• Semantic Web
• Default Reasoning
• kombinatorische Suchprobleme
(Graphenprobleme, Spiele wie Sudoku oder Minesweeper, etc.)
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436
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Weitere Veranstaltungen
Sommersemester: Master
• Deduktive Datenbanken:
P ROLOG, DATALOG, SLD–Resolution, Auswertungsmethoden, . . .
• Datenbanken 2 / Advanced Databases:
Data Warehousing, Data Mining, X ML, Semantic Web, Ontologien, . . .
Wintersemester: Bachelor
• Datenbanken
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437
Logik für Informatiker
Wintersemester 2015/16
Literatur
1. U. Schöningh:
Logik für Informatiker. Spektrum Verlag, 5. Auflage, 2000.
2. H.–D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas:
Mathematical Logic. Springer, 2nd Edition, 1994.
3. J.W. Lloyd:
Foundations of Logic Programming. Springer, 1987.
4. W.F. Clocksin, C.S. Mellish:
Programming in P ROLOG, Springer, 5th Edition, 2003.
5. I. Bratko:
P ROLOG – Programming for Artificial Intelligence.
Addison–Wesley, 4th Edition, 2011.
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438