Grundbegriff Definition Zufallsvorgänge, Ereignisse

Grundbegriff
Definition
Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Seien A, B, A1, A2, A3,...⊆ Ω Ereignisse und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu einem Zufallsversuch.
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Annahme/ dem Wissen, dass ein bestimmtes
Ereignis B eintritt/ eingetreten ist, schreiben wir mit P(A│B).
Man spricht von der _______________ Wahrscheinlichkeit von A unter (der Bedingung) B.
Seien A, B zwei Ereignisse, P(B) > 0.
P(A│B) =
Zufallsvariablen und Verteilungen
Ist ein Zufallsvorgang mit der Ergebnismenge Ω gegeben, so heißt jede Abbildung X: Ωℝ (eindimensionale)
Zufallsvariable.
X kann nur endlich oder abzählbar unendliche Werte annehmen: {x1, x2, x3,…}.
Zu jedem xi existiert eine Zahl pi>0 mit pi=P(X=xi), wobei p1+p2+p3+…=1 gelten muss.
Funktion, die jeder reellen Zahl x die Wahrscheinlichkeit zuordnet, mit der sie von X angenommen wird.
pi, falls x = xi
f(x) = P(X=x) =
0, sonst
Verteilung diskret: Verteilungsfunktion ist Treppenfunktion mit Sprüngen in jedem xi und Sprunghöhe f(xi) = pi
z.B.:
A ist Ereignis, das bei wiederholbarem Zufallsvorgang eintreten kann,
mögliche Ereignisse: Erfolg (A), Misserfolg (Ᾱ),
n- Wiederholungen (ohne gegenseitige Beeinflussung),
Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A: p = P(A), für Ᾱ: P(Ᾱ) = 1-p,
Xi =
Die Anzahl X der Durchführungen, bei denen A eintritt, ist eine Zufallsvariable mit dem Wertebereich {0,1,…,n}.
Sie lässt sich offenbar in der Form X =
darstellen.
Eine eindimensionale Zufallsvariable, für die es eine Funktion
gibt, sodass die Verteilungsfunktion von
folgende Gestalt besitzt:
Eine solche Funktion, mit der Eigenschaft
Wahrscheinlichkeitsdichte von
für alle
bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable
mit
, wird als Dichtefunktion oder
mit der Dichte
annimmt, ist gleich dem Integral
x-Achse und Dichtefunktion repräsentiert.
Werte zwischen zwei Zahlen
. Sie wird durch die Fläche zwischen
und
Verteilung einer stetigen Zufallsvariable
im Intervall
mit der Dichtefunktion
Verteilungsfunktion einer Gleichverteilung:
Verteilung einer stetigen Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
Wobei
Gaußsche Glockenkurve.
ist, wird auch als Gauß-Verteilung bezeichnet. Die Dichtefunktion nennt man auch
Eigenschaften:
- Dichte
- Globales Maximum im Punkt
-
ℝ
symmetrisch zu :
ist Lageparameter und
(Erwartungswert), sowie zwei Wendepunkte an den Stellen
Streuungsparameter
Für die spezielle Parameterwahl
und
Ist die Zufallsvariable
verteilt, so ist die standardisierte Zufallsvariable
gemäß
erhält man die Standardnormalverteilung
gemäß
Verteilungsfunktion
Für positive
Für negative
der
verteilt.
-verteilten Zufallsvariable :
:
:
Verteilung einer stetigen Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
 Parameter
und
bestimmt den „Startpunkt“
Exponentialverteilte Zufallsvariable X erfüllt für alle
und
die Bedingung:
 Verteilung ohne Gedächtnis
.