Universität des Saarlandes Fakultät 7 – Physik und Mechatronik

Universität des Saarlandes
Fakultät 7 – Physik und Mechatronik
Fachrichtung 7.1 – Theoretische Physik
Prof. Dr. K. Kruse, A. Dreher
Gebäude E2 6, Zi. 1.07.3
Mail: [email protected]
Web: http://www.uni-saarland.de/fak7/kruse/index.html
Saarbrücken, den 16.10.2014
Übungen zum mathematischen Vorkurs für Studienanfänger
Blatt 12
Aufgabe 1 (Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik)
a) Sie werfen eine einzelne perfekte Münze drei Mal hintereinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass alle drei Mal Kopf erscheint? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den ersten beiden Würfen
Kopf und beim dritten Wurf Zahl geworfen wird?
b) Jetzt werfen Sie Ihre einzelne Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass Kopf zum ersten Mal beim n-ten Wurf auftritt?
c) Nun haben Sie n identische Münzen, die Sie alle gleichzeitig einmal werfen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit,
dass genau k Münzen Kopf zeigen? Wie nennt sich diese Wahrscheinlichkeitsverteilung?
d) Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ergebnisses
eines idealen Würfels an.
e) Berechnen Sie den Mittelwert der folgenden Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung:
2x für 0 ≤ x ≤ 1
P (X) =
0 sonst
f ) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatblatt (32 Spielkarten) zwei Karten zu ziehen, die
beide von der gleichen Farbe sind bzw. von zwei unterschiedlichen Farben.
g) Eine Fernsehanstalt möchte eine neue Serie übernehmen. Sie befragt daher im Anschluss an eine Pilotsendung
Zuschauer: Von den Zuschauern, die diese Sendung gesehen hatten, waren 55 % älter als 30 Jahre. 30 %
von diesen und 60 % der übrigen fanden die Sendung gut. Berechnen Sie den Anteil der Zuschauer, die
eine positive Meinung von der Sendung hatten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter
Zuschauer, der eine positive Meinung der Serie hat, älter als 30 Jahre?
Aufgabe 2 (Lottogewinn)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres im Lotto 6 Richtige aus 49 Möglichkeiten zu
gewinnen, wenn jede Woche zwei mal getippt wird?
Aufgabe 3 (Die Gauß-Verteilung)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit bei einer Stichprobe folgende Werte zu erhalten.
a) 2
b) 2σ
c) 0
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Experiments folgt einer Gauß-Verteilung mit Mittelwert x0 = 0 und
Varianz σ 2 = 1.
Aufgabe 4 (Bayes Theorem)
Joe führt einen Test zur Feststellung einer schlimmen Krankheit durch. Joe’s Zustand beschreiben wir durch
die Variable a (a = 0: Joe ist gesund; a = 1: Joe ist krank). Der Test ist entweder positiv (b = 1) oder
negativ (b = 0) und liefert in 95% aller Fälle das korrekte Ergebnis. 1% aller Menschen in Joe’s Alter haben
die Krankheit. Der Test bei Joe ist postiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Joe die Krankheit hat?
Beginnen Sie mit der Ermittlung aller bekannten bedingten Wahrscheinlichkeiten P (b =∈ {0, 1}|a ∈ {0, 1})
und berechnen Sie unter Verwendung von Theorem (257) die gesuchte Wahrscheinlichkeit P (b = 1|a = 1).