Aufgabenblatt 2 - Institut für Mathematik

Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 2
Frühlingssemester 2016
Aufgabenblatt 2
40 Punkte
Aufgabe 1 (Vereinfachen logischer Aussageformen)
Ersetzen Sie die nachstehenden Aussageformen durch möglichst einfache logisch äquivalente Aussageformen.
Weisen Sie die Äquivalenzen durch schrittweises Umformen nach und geben Sie in jedem Schritt
• das verwendete Gesetz (vgl s.19) beziehungsweise welche Umformungsregel (vgl s.18) an, und
• welche Substitutionsregel (vgl s.20)
verwendet wurde.
a) ¬[(p → q) → q] → p
3
b) ¬(p ↔ q) → p
4
7
Aufgabe 2 (Nicht Oder)
Normalerweise schreiben wir Aussageformen mit den drei Operationen ¬, ∨ und ∧ auf. Man kann aber alle
Aussageformen auch nur mit Hilfe einer einzigen Operation umschreiben. Diese Operation wird mit dem Symbol
↓ (“nicht oder”) dargestellt und hat die folgende Wahrheitstafel:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↓q
1
0
0
0
Finden Sie nun Aussageformen in denen nur ↓ als Operation vorkommt und welche äquivalent sind zu
a) ¬p
2
b) p ∨ q
2
c) p ∧ q
2
Beweisen Sie die Äquivalenz mittels Wahrheitstafel oder Umformen.
Machen Sie nun das umgekehrte, finden Sie möglichst einfache Ausdrücke für
d) (p ↓ p) ↓ p
2
e) (p ↓ q) ↓ (q ↓ (p ↓ q))
3
11
Aufgabe 3 (Logische Schlüsse I)
Prüfen Sie die Korrektheit des nachstehenden logischen Schlusses; übersetzen Sie ihn in eine aussagenlogische
Aussageform und geben Sie dabei an, welche Bedeutung die verwendeten Variablen haben.
Prämisse 1 Entweder ist Sonntag oder Pinguine sind schwarz.
Prämisse 2 Wenn Pinguine nicht schwarz sind, dann sind Sie nicht am Nordpol.
Konklussion Wenn Sie am Nordpol sind, ist Sonntag.
3
Aufgabe 4 (Logische Schlüsse II)
Prüfen Sie die Korrektheit des nachstehenden logischen Schlusses; übersetzen Sie ihn in eine aussagenlogische
Aussageform und geben Sie dabei an, welche Bedeutung die verwendeten Variablen haben.
UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 08.04.2016 , 8:00 Uhr
Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 2
Frühlingssemester 2016
Prämisse 1 Im Aargau hat es heute Nebel, oder Gösgen wurde abgestellt.
Prämisse 2 Wenn es morgen nicht regnet dann wurde Gösgen abgestellt, oder es hat heute keinen Nebel im
Aargau.
Prämisse 3 Entweder es regnet morgen nicht, oder der Wetterbericht ist falsch.
Konklussion Wenn der Wetterbericht richtig ist, hat es im Aargau heute Nebel.
4
Aufgabe 5 (Quantoren I)
Gegeben sind die folgenden prädikatenlogischen Aussageformen über die ganzen Zahlen:
φ(n) ∶ n2 − 1 > 0
und
ψ(n) ∶ ∣n − 1∣ > ∣n + 1∣
Vereinfachen Sie die folgenden Formeln weitmöglichst (arithmetisch und logisch) und geben Sie an, ob die
Aussagen wahr oder falsch, beziehungsweise die Aussageformen allgemeingültig, teilgültig oder unerfüllbar sind.
a) ¬(∀n φ(−n))
2
b) ¬(∃m [φ(n + m) → ψ(m)])
3
5
Aufgabe 6 (Quantoren II)
Wir wollen uns Punkt 3. aus dem Buch auf Seite 30 etwas genauer ansehen.
Sei
φ(x) ∶ x ist ungerade
Finden sie eine prädikatlogische Aussageformen ψ(x), so dass gilt
∃x φ(x) ∧ ∃x ψ(x)
aber nicht
∃x [φ(x) ∧ ψ(x)]
2
Aufgabe 7 (Element und Teilmenge)
Es sei die Menge M ∶= {a, b} gegeben. Welche der folgenden Relationen sind erfüllt? Begründen Sie.
a) ∅ ∈ ∅
e) ∅ ⊂ {∅}
i) a ⊂ M
m) ∅ ∈ M
b) ∅ ∈ {∅}
f) ∅ = {∅}
j) M ∈ {M }
n) {a, b} ∈ M
c) ∅ ⊂ ∅
g) {b, a} = M
k) M ⊂ {M }
o) b ∈ M ∪ {c}
d) ∅ ⊆ ∅
h) M ⊂ {a, a, b, b}
l) a ∈ {{∅}, {M }}
p) {b} ∈ M
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UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 08.04.2016 , 8:00 Uhr