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Beweisen und Argumentieren für Lehrer(innen)
Die Aufgaben, die hier vorgestellt werden, befassen sich mit den
folgenden Punkten:
• Beweise, die eine Behauptung nicht nur bestätigen, sondern
auch erklären, warum sie gilt
• Die Rolle von Bildern für die Entwicklung besser zugänglicher
Beweise
• Wie helfe ich meinen Schüler(inne)n eigene Beweise zu
entwickeln?
• Erkunden der Struktur eines algebraischen Objektes um
herauszufinden, wo das Ergebnis herkommt
• Mögliche Ausgangspunkte für Beweise
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Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist immer eine
Quadratzahl.
Was ist der Unterschied zwischen „Bestätigen“ und „Erklären“?
Welcher der beiden folgenden Beweise gefällt Ihnen besser?
Erläutern Sie seine Vorteile.
Ein Beweis, der bestätigt
Ein Beweis, der erklärt
Sn =
1 +
3 + ... + ( 2n − 3) + ( 2n − 1)
S n = ( 2n − 1) + ( 2n − 3) + ... + 3
2 S n = 2n
2 S n = n × 2n
Sn = n2
+ 2n
+ ... + 2n
+ 1
+ 2n
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Wenn Sie zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen addieren,
erhalten Sie immer eine Quadratzahl. Zum Beispiel:
1 + 3 = 22
6 + 10 = 4
2
36 + 45 = 9
2
Finden Sie einen Beweis, der diese Behauptung bestätigt.
Finden Sie einen Beweis, der diese Behauptung erklärt.
Begründen Sie, warum Sie der Meinung sind, dass Ihr erster
Beweis bestätigt und der zweite erklärt.
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1+ 2 + 3 = 6
8× 6 +1 = 7
2
Multiplizieren Sie eine beliebige Dreieckszahl mit 8 und addieren
sie 1.
Beweisen Sie, dass das Ergebnis immer eine Quadratzahl ist
• mit Hilfe eines Diagramms und
• auf eine andere Art und Weise.
Warum ist es sinnvoll im Unterricht nicht nur einen, sondern
beide Beweise zu behandeln?
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Quadratzahlen, die auf eine 5 enden
35 = 1225
65 = 4225
2
3× 4
5
195 = 38025
2
2
6× 7
5
2
2
19 × 20
5
Beweisen Sie auf zwei verschiede Arten, dass diese Methode
immer funktionert.
2
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Stellen Sie sich eine dreistellige Zahl vor,
für die alle drei Stellen verschieden sind.
Schreiben Sie diese Zahl rückwärts, um
eine neue dreistellige Zahl zu erhalten.
Subtrahieren Sie die kleinere der beiden
Zahlen von der größeren und nennen Sie
das Ergebnis X.
Schreiben Sie X rückwärts und addieren
Sie die neue Zahl zu X.
386
683
683 – 386 = 297
792 + 297 = 1089
Ihre Schüler(innen) wenden das Verfahren für einige
Beispielzahlen an und erhalten immer dasselbe Ergebnis: 1089.
Wie würden Sie mit ihnen einen Beweis dafür erarbeiten, dass
dieses Verfahren immer die Zahl 1089 zum Ergebnis hat?
Was passiert bei zweistelligen Zahlen? Und bei vierstelligen?
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Erläutern Sie, wie diese Darstellungen genutzt werden können, um den Satz
des Pythagoras zu beweisen.
a +b = c
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2
2
Der Satz des Pythagoras handelt von Quadraten und Dreiecken. Kann er auch
ohne das Benutzen von Formen bewiesen werden? Welche mathematischen
Ideen werden miteinander verknüpft, wenn Schüler(inne)n zusätzlich ein
algebraischer Beweis vom Satz des Pythagoras vorgestellt wird?
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n n 2 n3
+ +
3 2 6
ist eine ganze Zahl für alle
natürlichen Zahlen n.
Erfinden Sie ein weiteres Beispiel dieser Art.
Nach welchen Eigenschaften haben Sie gesucht, als Sie sich ein
Beispiel ausgedacht haben?
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Was kann man annehmen?
Die Summe der Winkel an den Ecken eines fünfzackigen Sterns beträgt 180°.
Beweis 1
Beweis 2
Warum hat der Erfinder von Beweis 2 Hilfslinien eingezeichnet?
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Teilbarkeit
Diese Tabelle lässt
vermuten, dass
n ( n + 1)( 2n + 1)
immer durch 6 teilbar ist.
Stimmt das?
Welche Rolle spielt eine
Tabelle, wenn es um
Beweise geht?
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Primzahlen
1
7
2
8
3 4 5 6
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
„Alle Primzahlen größer als 3 sind
entweder um eins größer oder
kleiner als ein Vielfaches von 6.“
• Wie würden Sie das beweisen?
• Spielt die Zahl 6 in diesem
Zusammenhang eine
besondere Rolle?
• Was stellen Sie fest, wenn Sie
die Primzahlen in einer Tabelle
mit einer anderen
Spaltenanzahl betrachten?
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Längen von Kreisbögen
Länge des Kreisbogens AB = 4,95
Länge des Kreisbogens A’B’ = 4,95
Der Radius des großen Kreises ist der
Durchmesser des kleinen Kreises.
Mein dynamisches GeometrieComputerprogramm gibt an, dass die
Längen der Kreisbögen AB und A’B‘
immer gleich sind.
Warum ist das kein Beweis dafür, dass sie tatsächlich immer gleich
sind?
Wie würden Sie beweisen, dass sie immer gleich sind?
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Der Sehnensatz
Um zu beweisen, dass die zwei Produkte immer gleich sind, ist es hilfreich
zunächst Hilfslinien einzuzeichnen und dann die Kreissätze anzuwenden,…
Wie würden Sie Ihre Schüler(innen) dabei unterstützen einen Beweis zu
erfinden, ohne ihnen zu viel Hilfestellung zu geben oder sie in eine bestimmte
Richtung zu lenken?