Q 11 / Kurs 3 / 2. Hj. — Schulaufgabe — Nachschrift am 28.6. 2013 1

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Arbeitszeit: 75 min
Mathematik — Q 11 / Kurs 3 / 2. Hj. — Schulaufgabe — Nachschrift am 28.6. 2013
Hinweis: Arbeiten Sie sauber und ordentlich. Achten Sie darauf, dass Ihre Vorgehensweise stets nachvollziehbar
ist!
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1. Gegeben ist die Funktion f (x) = 4xe− 2 x mit D = R.
a) Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion f ′ .
h
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zur Kontrolle: f ′ (x) = 2(2 − x)e− 2 x
i
b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion und geben Sie Lage und Art des Extrempunkts an.
c) Geben Sie das Verhalten von f für x → ∞ und x → −∞ an.
d) Skizzieren Sie den Graphen von f . Berechnen Sie dazu f (0) und f (6).
e) Der Graph der Funktion h geht aus dem Graphen von f durch Verschiebung um 2 nach links
hervor. Geben Sie den Funktionsterm von h an.
2 · ln x + 1
x2
Für welchen Wert von x hat der Graph von f eine waagrechte Tangente?
2. Geben Sie den Term der Ableitungsfunktion an: f (x) =
3. Die Punkte A(−3 | − 2 | − 1), B(1 | 2 | 6) und D(0 | 4 | 5) sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABD.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig ist mit Basis [BD].
b) Berechnen Sie die Größe des Winkels α (= ∡BAD).
c) Der Punkt C bildet mit den Punkten A, B und D die Raute ABCD. Fertigen Sie eine einfache
Skizze der Raute an und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C.
d) Berechnen Sie den Flächeninhalt ARaute der Raute ABCD.
√
[zur Kontrolle: ARaute = 3 53]
e) Die Raute bildet die Grundfläche von vierseitigen Pyramiden mit der Spitze S(4 | 4s | s) (s ∈ R).
Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramiden in Abhängigkeit von s und zeigen Sie somit, dass
alle diese Pyramiden das gleiche Volumen haben. Was folgt daraus für die Lage aller möglichen
Punkte S bzgl. der Grundfläche ABCD?
4. Eine Kugel mit dem Radius 11 und dem Mittelpunkt M(m1 | m2 | m3 ) (m1 > 0, m2 > 0, m3 > 0)
berührt die x1 x2 –Ebene und die x1 x3 –Ebene und geht durch den Punkt A(5 | 5 | 2).
Erstellen Sie eine zweidimensionale Überlegungsfigur und berechnen Sie die möglichen Koordinaten
des Mittelpunkts.
Gymnasium Maria Stern
Augsburg
Viel Erfolg!
M. Köhler