Übungsaufgaben Ulmer Universitätstrainingscamp

Aufgaben zum Mathematik-Trainingscamp 2016
22. September 2016
Wahrscheinlichkeiten Teil II
Aufgabe 1. Welche der folgenden Folgerungen ist auf Grund des Tests gerechtfertigt?
a) Das Haber-Bosch-Verfahren (Herstellung von Amoniak) läuft schneller ab unter der
Anwesenheit von α-Eisen, welches dadurch nicht verbraucht wird (Testergebnis).
Es wirkt α-Eisen als Katalysator (Folgerung).
b) Im Haber-Bosch-Verfahren findet sich in den Daten signifikant mehr α-Eisen, wenn
mehr Amoniak produziert wurde (Testergebnis). Folglich entsteht im Haber-BoschVerfahren α-Eisen (Folgerung).
c) Ameisen, die sich auf Blattunterseiten aufhalten, sind häufiger durch den Pilz
Ophiocordyceps unilateralis befallen (Testergebnis). Folglich findet die Infektion
auf Blattunterseiten statt (Folgerung).
d) Ameisen, die sich auf Blattunterseiten aufhalten, sind häufiger durch den Pilz
Ophiocordyceps unilateralis infiziert (Testergebnis). Eine Infektion mit Ophiocordyceps unilateralis bringt die Ameisen dazu sich auf Blattunterseiten zu gehen (Folgerung).
Aufgabe 2. Sie haben eine Münze gegeben. Sie wollen nun herausfinden, ob die Münze
fair, oder unfair ist. Ihre Strategie ist wie folgt:
Falls bei 20 Würfen mehr als 11-mal oder weniger als 9-mal Kopf erscheint, dann gehen
Sie von einer unfairen Münze aus.
Sie werfen die Münze nun 20 mal (unabhängig voneiander).
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie von einer unfairen Münze ausgehen,
obwohl diese fair ist.
b) Kann man die Wahrscheinlichkeit angeben, dass Sie von einer fairen Münze ausgehen, obwohl diese unfair ist? Was müssten Sie noch über die möglichen unfairen
Münzen wissen?
c) Kann man die Wahrscheinlichkeit angeben, dass die Münze unfair ist, wenn wir
davon ausgehen? Was müssten Sie noch über die möglichen Münzen wissen, um
das bereechnen zu können?
d) Begründen Sie in eigenen Worten, dass die Zahl in (a) als Unsicherheit dafür zu
sehen ist, dass Sie dem Test glauben können, wenn dieser von einer unfairen Münze
ausgeht.
Aufgabe 3. Zeigen Sie über die Rechenregeln
P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B) ≤ P(A) + P(B)
P(A und B) ≥ P(A) + P(B) − 1
Wahrscheinlichkeiten Teil II
und
P(A oder B) ≥ max{P(A), P(B)}
P(A und B) ≤ min{P(A), P(B)}.
Aufgabe 4. Benutzen Sie das Gesetz der großen Zahlen in der Formulierung aus der
Vorlesung, um folgende Fragen zu beantworten:
a) Beschreiben Sie das Gesetz der großen Zahlen noch einmal in Worten. Welche
Größen lassen sich durch die Teilerhebung bestimmen, welche durch die Gesamterhebung? Was ist der maximale Fehler den man machen will und mit welcher
Wahrscheinlichkeit überschreitet man diesen Fehler nicht?
b) Wenn man die relative Häufigkeit einer Ausprägung eines Merkmals bis auf 0.1 genau kennen will und sich zu 99% sicher sein will, Wie viele Personen muss man dann
befragen (Beantworten Sie die Frage, indem Sie die nicht optimale Abschätzung aus
dem Gesetz der großen Zahlen aus der Vorlesung benutzen)?
c) Wenn man die relative Häufigkeit einer Ausprägung eines Merkmals bis auf 0.1
genau kennen will und dazu 1000 Personen befragt. Zu wie viel Prozent können
wir uns dessen sicher sein (Beantworten Sie die Frage, indem Sie die nicht optimale
Abschätzung aus dem Gesetz der großen Zahlen aus der Vorlesung benutzen)?
d) Wenn man die relative Häufigkeit einer Ausprägung eines Merkmals bestimmen will
und dazu 1000 Personen befragt. Wie genau kennen wir die Häufigkeit, wenn wir uns
zu 99% sicher sein wollen (Beantworten Sie die Frage, indem Sie die nicht optimale
Abschätzung aus dem Gesetz der großen Zahlen aus der Vorlesung benutzen)?
e) Sie wollen nun m relative Häufigkeiten einer sehr großen Grundgesamtheit bestimmen (von demselben oder von verschiedenen Merkmalen). Benutzen Sie die Aufgabe
3 um zu zeigen:
m
Alle m echten relativen Häufigkeiten entsprechen denen der
≥1−
P
Teilerhebung (der Größe n) bis auf einen Fehler < 4n2
f) Wie viele Personen müsste man nach dieser (schlechten) Abschätzung befragen,
wenn man bei einer Wahlumfrage mit 7 Parteien (inklusive der Rubrik Sonstige)
die Ergebnisse bis auf einen Fehler von 0.03 und mit einer Sicherheit von 99%
kennen will.