6. ¨Ubungsblatt 1. Aufgabe 2. Aufgabe 3. Aufgabe

Theoretische Informatik
Sommersemester 2009
Prof. S. Lange, Dr. B. Baumgarten
6. Übungsblatt
Im Folgenden bezeichne bin(x) die Binärdarstellung einer Zahl x ∈ IN.
1. Aufgabe
Es sei x natürliche Zahl. x ist eine Quadratzahl, falls es eine natürliche Zahl y
mit y 2 = x gibt.
Es ist bekannt, daß es zu jeder Quadratzahl x eine natürliche Zahl m gibt, so daß
sich x als Summe der ersten m ungeraden Zahlen darstellen läßt. Beispielsweise
gilt 9 = 1 + 3 + 5 bzw. 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Es sei f (.) die folgende Funktion über den natürlichen Zahlen:
(
f (x) =
1,
0,
falls x eine Quadratzahl ist
falls x keine Quadratzahl ist
Geben Sie eine RAM-Programm R an, das die Funktion f (.) berechnet.
2. Aufgabe
Zu einem Wort w ∈ Σ∗ mit Σ = {0, 1} bezeichnet r(w) dasjenige Wort über
dem Alphabet Σ = {0, 1}, das man erhält, wenn das Wort w rückwärts gelesen
wird. Ferner sei f (.) die folgende Funktion über den natürlichen Zahlen:
(
f (x) =
1,
0,
falls r(bin(x)) = bin(x)
falls r(bin(x)) =
6 bin(x)
Geben Sie ein Programm für eine 1-Band-Turing-Maschine an, welche die Funktion f (.) berechnet.
3. Aufgabe
Es sei L = {1n 0n | n ≥ 1}. Ferner sei f (.) die folgende Funktion über den
natürlichen Zahlen:
(
f (x) =
1,
0,
falls bin(x) ∈ L
falls bin(x) ∈
/L
Geben Sie ein Programm für eine 2-Band-Turing-Maschine an, welche die Funktion f (.) berechnet.
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4. Aufgabe
Es sei M eine 1-Band Turing-Maschine mit der Zustandsmenge Z, dem Anfangszustand z0 , dem Endzustand ze , dem Bandalphabet Γ und der Zustandsüberführungsfunktion δ. Ferner sei bekannt, daß M die folgende Funktion f (.) über
den natürlichen Zahlen (in Binärdarstellung) berechnet:
(
f (x) =
1,
0,
falls x eine Primzahl ist
falls x keine Primzahl ist
Geben Sie eine 1-Band Turing-Maschine M 0 an, die die folgende Funktion g(.)
über den natürlichen Zahlen (in Binärdarstellung) berechnet:
(
g(x) =
2,
3,
falls x eine Primzahl ist
falls x keine Primzahl ist
Hinweis: Es genügt, daß Sie die Zustandsmenge Z 0 , den Anfangs- und Endzustand sowie die Zustandsüberführungsfunktion δ 0 (., .) der Turing-Maschine
M 0 angeben.
Viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!
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