Mathematik LK 11 M1, AB 16 Extremwertaufgaben 02 – Lösung

Mathematik LK 11 M1, AB 16 Extremwertaufgaben 02 – Lösung
06.06.2016
Aufgabe 1: Extremwertaufgabe
Gegeben ist ein Dreieck ABC, dessen Seite c und zugehörige Höhe h bekannt sind. In dieses
Dreieck soll ein Rechteck PQRS so gelegt werden, dass eine Rechtecksseite auf c liegt und der
Flächeninhalt dieses Rechtecks maximal groß wird. Berechne das Verhältnis dieses maximalen
Flächeninhalts des Rechtecks zum Flächeninhalt des Dreiecks.
Zielfunktion: Fläche des Rechtecks: A ( x , y )= x⋅ y
Nebenbedingung:
Die Dreiecke ABC und SRC sind ähnlich zueinander, also sind die Seitenverhältnisse gleich.
c
x
hx
h
h
=
⇔ h− y =
⇔ − y = x −h ⇔ y =− x + h
h (h− y )
c
c
c
h
h 2
h 2
h
c2 c2
2
Einsetzen: A R ( x)= x ⋅ − x +h =− x +hx =− ⋅( x − cx )= − ⋅ x − cx + −
c
c
c
c
4 4
Insbesondere gilt:
[(
h
=− ⋅
c
c
x−
2
)
2
(
]
)
( )
(| )
c2
h
c
−
= − ⋅ x−
4
c
2
Also liegt der Scheitelpunkt bei
2
+
(
)
hc
4
c hc
. Weil die Parabel nach unten geöffnet ist, handelt es
2 4
sich um einen Hochpunkt. (Alternativ kann man zur Maximumsbestimmung natürlich auch die
Differentialrechnung benutzen).
Maximale Fläche Rechteck: A Rmax =
Quotient
hc
Fläche Dreieck:
4
1
hc
A D = ⋅c⋅h=
2
2
hc
A Rmax 4 1
= =
A D hc 2
2
A: Das Rechteck mit maximaler möglicher Fläche nimmt genau die Hälfte der
Dreiecksfläche ein.
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Mathematik LK 11 M1, AB 16 Extremwertaufgaben 02
23.05.2016
Aufgabe 2:
Ein Unternehmen stellt E-Bikes her. Je mehr E-Bikes das Unternehmen pro Monat herstellt, desto
günstiger ist die Produktion. Im Intervall ]0 ; 2000 ] werden die Kosten durch die Funktion
K ( x )=
1
4
x2 − ⋅x +1200 dargestellt, wobei x die Anzahl der produzierten E-Bikes ist und
5000
5
K(x) die Kosten pro E-Bike in Euro.
Gleichzeitig hat eine Marktforschungsfirma herausgefunden, dass pro Monat mehr E-Bikes
verkauft werden, wenn diese günstiger sind. Dies kann im Intervall [0 ;1200 ] durch die Funktion
A ( p)=− p+1200 dargestellt werden, wobei p der Preis für ein einzelnes E-Bike in Euro ist und
A(p) der zu erwartende Absatz an E-Bikes.
Die Firma produziert exakt so viele E-Bikes wie pro Monat voraussichtlich verkauft werden.
Berechne den maximalen Gewinn, den das Unternehmen pro Monat erwirtschaften kann, wenn es
den Preis optimal festlegt.
Zielfunktion:
Gewinn pro Monat = (Absatz mal Preis pro Bike) minus (Kosten pro Bike mal hergestellte Bikes)
G( p , x )= A ( p)⋅ p – K ( x )⋅x
Nebenbedingung: hergestellte Bikes = Absatz
Einsetzen:
(
⇔ x = A ( p)
G( p )= A ( p)⋅ p – K ( A ( p))⋅ p= A ( p)⋅ p –
)
(
)
1
4
A ( p) 2− A ( p)+ 1200 ⋅ A ( p )
5000
5
1
4
A ( p) 2+ A ( p)− 1200
5000
5
1
4
=(− p+1400 )⋅ p−
( − p +1400)2 + (− p+1400)−1200
5000
5
1
4
=(− p+1400 )⋅ p−
( p 2− 2800 p+ 14002 )− p+ 1120−1200
5000
5
1
14
4
=(− p+1400 )⋅ p−
p 2+ p −392− p −80
5000
25
5
1
19
=(− p+1400 )⋅ −
p 2+ p− 472
5000
25
1
19
7
=
p3 − p2 +472 p− p2 +1064 p−660800
5000
25
25
1
26
=
p3 − p2 +1536 p−660800=G ( p)
5000
25
= A ( p)⋅ p –
⇒ G '( p)=
(
(
(
(
)
)
)
)
3
52
3
52
2
p –
p+1536 ⇒ G' '( p )=
p−
5000
25
2500
25
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Mathematik LK 11 M1, AB 16 Extremwertaufgaben 02
23.05.2016
Suche Maximum:
3
52
5000
p2 –
p + 1536 | ⋅
5000 E 25 E
3
10400
0= p2E –
p E +2560000 p-q-Formel:
3
0=
√(
√
)
2
5200
−5200
5200
4000000 5200 2000 5200±2000
p1/ 2=
±
−2560000=
±
=
±
=
3
3
3
9
3
3
3
3200
7200
⇒ p1 =
=1066, 6 ; p 2=
=2400
3
3
Hinreichende Bedingung:
G' ' ( p 1 )=
3 3200 52 32 52
4
⋅
− = − =− ⇒ Maximum
2500 3
25 25 25
5
G' ' ( p 2 )≈
3
52 72 52 4
⋅2400− = − = ⇒ Minimum (außerhalb des Definitionsbereiches)
2500
25 25 25 5
1
G( p 1)=
5000
( ) ( )
3200
3
3
26 3200
− ⋅
25
3
2
( )
+ 1536⋅
3200
−660800=37037,0374
3
Zusatz: Berechnen des Absatzes für den optimalen Preis: A ( p1 )=− p1 +1400=
1000
=333, 3
3
Das Unternehmen produziert also idealerweise 303 E-Bikes.
A: Wenn das Unternehmen einen Preis von 1066,67 € verlangt, macht es einen Gewinn von
37.037,04 € pro Monat.
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