Microsoft PowerPoint - Pr\344sentation
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Fakultät für Mathematik Anschauliche Vorstellungen zur Bruchrechnung 1. Einführung: Problemfelder der Bruchrechnung 2. Anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen • • Standortbestimmungen und Vorkenntnisse • Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten • Grundvorstellungen zu Bruchzahlen • Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter Pause © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Anschauliche Vorstellungen zur Bruchrechnung 3. Anschauliche Vorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen • Kenntnisse von Schülerinnen und Schülern • Typische Fehler • Grundvorstellungen zu den Rechenoperationen • Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche Bruchrechnung © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Einführung Problemfeld: Bruchrechnung als Regelspiel • häufig formales Bruchrechnen mit Hilfe von Regeln • Bruchrechenregeln in Form von Merksätzen • Gefahr: auswendig gelernte und unverstandene Rechenregeln © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Einführung Problemfeld: Umbrüche in den Grundvorstellungen Umbrüche bei den Zahlvorstellungen, z.B. • Vorgänger und Nachfolger • Eindeutigkeit der Zahldarstellung/ -schreibweise Umbrüche bei den Vorstellungen zu den Rechenoperationen, z.B. • Multiplizieren vergrößert • Dividieren verkleinert Mehrere Grundvorstellungen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen gelten nicht bei den Bruchzahlen! Gefahr: fehlerhafte Übertragungen aus den natürlichen Zahlen © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Einführung: Konsequenzen zur Behandlung der Bruchrechnung im Unterricht • Inhaltlich anschauliche Phase • anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen entwickeln • anschauliche Vorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen entwickeln • Formal-regelhafte Phase • formales Bruchrechnen mit Hilfe von Regel Betonung der ersten Phase • Grundlage der systematischen Behandlung • Vorerfahrungen der Kinder nicht ausreichend • Verständnisschwierigkeiten und Fehlvorstellungen vorbeugen (Gefahr: auswendig gelernte und unverstandene Rechenregeln) © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Standortbestimmung und Vorkenntnisse Standortbestimmung • Über welche (anschaulichen) Vorkenntnisse verfügen Schülerinnen und Schüler vor der Behandlung der Bruchrechnung? • Test unter www.bruchrechenunterricht.de © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Standortbestimmung und Vorkenntnisse Ausgewählte Untersuchungsergebnisse 1. Pizzabäckerei Caruso und Pizzabäckerei Donato backen gleich große Pizzen. Caruso teilt seine Pizzen in 6 gleich große Teile. Sarah kauft 3 Teile. Donato teilt die runden Pizzen in 8 gleich große Teile. Jan kauft 4 Teile. Wer hat mehr Pizza bekommen? ca. 40% korrekt 1 3 2. Kreuze die größere Zahl an: und 1 4 . ca. 50% korrekt Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Standortbestimmung und Vorkenntnisse Ausgewählte Untersuchungsergebnisse 3. Schraffiere zunächst die Hälfte (ein Viertel) dieses Rechtecks, danach schraffiere noch ein Viertel (ein Drittel) dieses Rechtecks. Wie viel hast du insgesamt schraffiert? _________ ca. 20% korrekt (Zeichnung u. Bruch) 0% korrekt (15% korrekte Zeichnung) Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Standortbestimmung und Vorkenntnisse Ausgewählte Untersuchungsergebnisse 4. Lukas hat einen drei viertel Meter langen Stab. Er sägt hiervon ein Stück von einem halben Meter Länge ab. Wie lang ist das Reststück? Das Reststück ist ____ Meter lang. 1m lang Benutze zur Lösung die Skizze! ca. 30% korrekt 5. Ein Saftgefäß enthält vier fünftel Liter Apfelsaft. Der Saft wird gerecht an zwei Kinder verteilt. Wie viel erhält jedes Kind? _________ ca. 15% korrekt Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Standortbestimmung und Vorkenntnisse Ausgewählte Untersuchungsergebnisse 6. Sophie macht einen halben (zwei drittel) Meter lange Schritte. Wie viele Schritte macht sie auf einer 6 (4) Meter langen Strecke? Anzahl der Schritte von Sophie? ______ 6 m lang ca. 65% korrekt 4 m lang ca. 5% korrekt Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Standortbestimmung und Vorkenntnisse Ausgewählte Untersuchungsergebnisse (Zusammenfassung) • Bruchsymbole können häufig gelesen werden • Zusammenhang zwischen der Zahlenwelt der Brüche und der Bilderwelt konkreter Größen wird kaum hergestellt • mit der Ausnahme von 2 und 4 sind die Vorkenntnisse zu den Stammbrüchen gering • die Grundvorstellungen "Bruch als Teil eines Ganzen" und "Bruch als Teil mehrer Ganzer" sind wenig ausgebildet 1 1 Lit.: Padberg (2009): Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten Brüche als alternative Schreibweise für Größenangaben: ¼ kg = 250 g ¾ Std. = 45 Minuten ½ km = 500 m Problem: Bruchteile werden als feste natürliche Zahlen verstanden ½ = 50 oder 500, weil ½ m = 50 cm; ½ t = 500kg Aber: ½ Std. = 30 min. © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Fehlvorstellungen und Verständnisschwierigkeiten Mögliche Ursachen • Fehlende anschauliche Bruchvorstellung • Zusammenhang zwischen natürlichen Zahlen und Bruchzahlen unklar • Überwiegend formale Bearbeitung von Aufgaben ohne Verständnis für inhaltliche Zusammenhänge © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Grundvorstellungen zu Bruchzahlen (entnommen aus Malle 2004) Lit.: Malle (2004): Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. In: mathematik lehren, Heft 123, S. 4-8 © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Vorstellungen zu Bruchzahlen Bruchzahlaspekte • Teil vom Ganzen • Maßzahl • Operator zwei zentrale Grundvorstellungen • Teil des Ganzen • Teil mehrere Ganzer • Verhältnis • Quotient • Lösung einer linearen Gleichung • Skalenwert • Quasikardinalität © Dr. Nicole Wellensiek Gleichwertigkeit beider Grundvorstellungen Bruch Repräsentant "Brüche haben viele Gesichter" Fakultät für Mathematik Grundvorstellungen zu Bruchzahlen Anschauliche Vorstellungen zu Bruchzahlen entwickeln • an Alltagserfahrungen der Kinder anknüpfen • Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen • Modelle aus dem Bereich der Geometrie • Verteil-/Aufteilsituationen © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter • Einführung • 1. Unterrichtssequenz: Stationenarbeit • 2. Unterrichtssequenz: eine Ausstellung planen • 3. Unterrichtssequenz: eine Ausstellung durchführen © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter Einführung • reale Verteilsituation • Brainstorming zum Thema • Hinführende Fragestellung zur Stationenarbeit: • Was sind Bruchzahlen? © Dr. Nicole Wellensiek Fotos der Plakate Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter 1. Unterrichtssequenz: Stationenarbeit • Eigene Entdeckungen an Stationen • Selbstorganisation durch die Schüler • Auswertung mit Hilfe von Brüchealben: Darstellen der Lösungen • weiteres Ziel: über Lösungswege diskutieren, argumentieren, kreativ sein, mathematisieren © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter 2. Unterrichtssequenz: Ausstellung planen • Sammeln eigener Ideen • Planen von Ausstellungsplakaten: • je ein Plakat zu einer Bruchzahl • Diskussion über die Gestaltung • Planen und Vorbereiten der anderen Ideen • Planen des organisatorischen Rahmens © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter Ideensammlung zur Ausstellung: • Plakate mit Bildern zu verschiedenen Brüchen • ein extra Plakat zur Kleidung • Stationen vorstellen • Brüchealben ausstellen • DIN A4-Blätter in allen Größen • verschiedene Nahrungsmittel teilen und Karten dazu schreiben • die Besucher sollen selbst etwas teilen © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter Ideensammlung zur Ausstellung: • Wissenstest • Ausstellungsführer • Überblick am Eingang der Ausstellung • Einladungen © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter Kriterien zur Erstellung der Plakate • Überschrift • verschiedene Sachen zu einer Bruchzahl • genau teilen • genau zeichnen • genau erklären, dass wenig Fragen bleiben © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter Kriterien zur Erstellung der Plakate • gegenseitig helfen/Experten fragen • Schrift groß genug • Rechtschreibung • ordentlich/übersichtlich • Namen unter die Plakate für Rückfragen © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter 3. Unterrichtssequenz: Ausstellung durchführen • Aufbau der Ausstellung • Bilden von Expertengruppen • Eröffnung und Durchführung © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtseinheit: Brüche haben viele Gesichter © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Kenntnisse von Schülerinnen und Schülern (im 6. Schuljahr; nach der systematischen Behandlung der Bruchrechnung) 1. Addition 1 2 + Bruch plus Bruch (ungleichnamig), z.B. 5 3 1 3 + nat. Zahl plus Bruch, z.B. 5 ca. 71% korrekt ca. 56% korrekt 2. Subtraktion Bruch minus Bruch (ungleichnamig), z.B. 1 nat. Zahl minus Bruch, z.B. 5 − 3 3 5 − 4 8 ca. 69% korrekt ca. 43% korrekt 3. Multiplikation Bruch mal Bruch (ungleichnamig), z.B. nat. Zahl mal Bruch, z.B. 4 ⋅ 1 7 3 1 ⋅ 4 3 ca. 73% korrekt ca. 58% korrekt © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Typische Fehler (im 6. Schuljahr; nach der systematischen Behandlung der Bruchrechnung) 1. Addition 2. nat. Zahl plus Bruch: n+ a c (a + c) + = b d (b + d ) a (n + a) = b b Subtraktion 3. Bruch plus Bruch (ungleichnamig): Analoge Fehler wie bei der Addition Multiplikation © Dr. Nicole Wellensiek nat. Zahl mal Bruch: n⋅ a (n ⋅ a) = b ( n ⋅ b) Fakultät für Mathematik Grundvorstellungen zu den Rechenoperationen Lit.: Malle (2004): Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. In: mathematik lehren, Heft 123, S. 4-8 © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche Bruchrechnung • Tangram • EXI: Das zerlegte Rechteck • Rechtecksformen • Bruchquadrate • Geobrett • Cuisenaire-Stäbe • Kreisscheiben © Dr. Nicole Wellensiek Fakultät für Mathematik Unterrichtsmaterialien für die Anschauliche Bruchrechnung • Bruchdarstellung und Bruchauffassung (vgl. auch Mathe-Welt) • Bruchvergleiche • Erweitern und Kürzen • Addieren/Subtrahieren • Multiplizieren • Dividieren als Messen (Enthaltensein) • Didvidieren als Teilen (Verteilen) © Dr. Nicole Wellensiek
