9-Hiebeler_Quantentheorie_des_Lichts

Die Quantentheorie des Lichts
Inhalt:
1) Hohlraumstrahlung
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Plancksches Strahlungsgesetz
2) Photoelektrischer Effekt
Interpretation mit Teilchenmodell bzw. Probleme bei der
Interpretation mit dem Wellenmodell
Bestimmung der Planckkonstante
3) Quantentheoretische Betrachtungen
Hamiltonformalismus
natürliche Quantisierung (mittels Kommutatorrelationen)
1. Die Hohlraumstrahlung
Ziel: Bestimmung der spektralen Energiedichte und der
Strahlung eines schwarzen Körpers
Schwarzer Körper=Körper mit Absorptionsvermögen 1
Man kann einen schwarzen Körper
experimentell in guter Näherung
durch einen Hohlraum mit
absorbierenden Wänden und kleiner
Öffnung (im Verhältnis zur
Innenfläche) realisieren.
Durch eine Erhitzung der Wände eines Hohlraumes wird
dieser zur Strahlungsquelle mit Emissionsvermögen 1.
Beschreibung im Wellenmodell
Wir gehen von einem würfelförmigen Hohlraum aus.
Wir suchen mögliche Lösungen der
Wellengleichung mit der
Randbedingung, dass am Rand die
Tangentialkomponente von E=0 ist.

 1 2E
E  2 2
c t
Allgemeine Lösung:
 E x (t ) cos(k x x) sin(k y y ) sin(k z z ) 



E (t )   E y (t ) sin(k x x) cos(k y y ) sin(k z z ) 
 E (t ) sin(k x) sin(k y ) cos(k z ) 
x
y
z
 z

Beschreibung im Wellenmodell
 E x (t ) cos(k x x) sin(k y y ) sin(k z z ) 



E (t )   E y (t ) sin(k x x) cos(k y y ) sin(k z z ) 
 E (t ) sin(k x) sin(k y ) cos(k z ) 
x
y
z
 z

Mit Randbedingung:
 n1 
  
k   n2 
L 
 n3 
  k c 
c
L
n1 , n2 , n3  N
n12  n 22  n32
Anzahl der Moden
Anzahl der Moden=Anzahl möglicher k-Vektoren
Betrachte also folgendes Koordinatensystem mit Gitterabstand
/L (Jeder Gitterpunkt stellt dann eine Mode dar):
Wir suchen also die Anzahl der
relevanten Gitterpunkte bei einer
gegebenen Frequenz 
  k c 
L

c
c
L
n12  n 22  n32
n12  n 22  n32
Anzahl der Moden
L

c
n12  n 22  n32
Wegen Polarisation
Anzahl der Moden=2*Volumen des Kugeloktanden
mir Radius L/(c)
1 4
N ( )  2  
8 3
  L  2  8 3 L3
 L 

  
 
3

c
3

c
3
c




3
3
Dividiere durch L3 für Moden pro Volumeneinheit und
differenziere nach  für spektrale Dichte:
8 2
n( )dv  3 dv
c
Rayleigh-Jeans Gesetz
Klassische Physik: Jede Mode besitzt die Mittlere Energie k*T:
8 2
u ( )d  n( )  E  d  3 kT  d
c
Dieses Gesetz kann für hohe Frequenzen aber nicht gültig sein.
Da die emittierte Leistung mit dem Quadrat der Frequenz
zunimmt, müsste jeder schwarze Körper eine intensive UV-,
und eine noch intensivere Röntgenquelle sein.
Dies ist offenbar nicht der Fall (Bsp. Sterne als „fast“ schwarzer
Körper). Außerdem divergiert das Integral dieses Ausdrucks, die
emittierte Leistung wäre also unendlich.
-> Begriff der UV-Katastrophe!!!
Interpretation mit dem Teilchenmodell
Plancks Annahmen:
 Jede Mode des Feldes kann nur
diskrete Energien annehmen:
En  nh
 Im thermodynamischen Gleichgewicht
ist die Wahrscheinlichkeit Pn dass eine
Mode die Energie En hat durch die
Boltzmann-Verteilung gegeben:
nh
exp(
)
kT
Pn 
nh
exp(

)
n
kT
Vereinfache Nenner:
h
exp(

) 
n
kT
n
1
1  exp(
h
)
kT
nh
h
Pn  exp( 
)  (1  exp(  ))
kT
kT
Interpretation mit dem Teilchenmodell
Pn  exp( 
nh
h
)  (1  exp(  ))
kT
kT
Setze:
h
U  exp(  )
kT
Pn  U n (1  U )
Bilde den Erwartungswert um die „mittlere Energie einer
Mode“ zu berechnen:
 E   nh  U n (1  U )  h (1  U )   nU n
n

 h (1  U ) U
U
n
1
U
n U  h 1  U  h U 1  1
n
Plancksches Strahlungsgesetz
Rücksubstituieren von
U  exp( 
h
)
kT
1
 E  h
h
exp( )  1
kT
Und somit ergibt sich für die spektrale Energiedichte:
8 2
u ( )d  n( )  E  d  3
c
h
 d
h
exp( )  1
kT
Vergleich mit Experiment
Sehr gute Übereinstimmung des Planckschen
Strahlungsgesetzes mit dem Experiment
2. Der Photoelektrische Effekt
Bestrahlt man eine Metallplatte mit ultraviolettem Licht, so
können Elektronen die Platte verlassen. Dieser Vorgang
wird als Photoelektrischer Effekt bezeichnet.
Wichtigkeit dieses Effekts
Sowohl das Wellen- als auch das Teilchenmodell können das
Auftreten eines solchen Effektes erklären. Jedoch ist die
Abhängigkeit des Photostroms und der Grenzspannung von
der Frequenz und Intensität von der Wahl des Modells
abhängig.
Experimentelle Durchführung liefert Hinweis auf
richtiges Modell
Außerdem kann mit diesem Experiment die Planckkonstante
experimentell bestimmt werden.
Das Experiment
Versuchsaufbau:
gemessen wird:
 Der Stromfluss in Abhängigkeit von der Intensität
 Grenzspannung (=Spannung ab der kein Stromfluss mehr
stattfindet)
 Durchführung des Experiments bei verschiedenen
Lichtfrequenzen
Ergebnisse des Experiments
 Die Grenzspannung ist von der Frequenz abhängig, nicht
aber von der Intensität.
 Der Stromfluss ist proportional zur Lichtintensität.
 Zwischen Lichteinfall und Elektronenaustritt gibt es keine
messbare Verzögerung.
Die Photoelektronen müssen die angelegte Spannung
überwinden. Wird die Grenzspannung angelegt, schafft es
kein Photoelektron mehr bis zur Kathode. Somit gilt:
max
Ekin
 q U0  e U0
U0...Grenzspannung (U0<0)
Ergebnisse des Experiments
Der Stromfluss ist proportional zu der Anzahl der
Photoelektronen
Umformulierung der Ergebnisse
 Die kinetische Energie der Photoelektronen ist nur von
der Frequenz des Lichts, nicht von der Intensität
abhängig.
 Die Anzahl der Photoelektronen ist proportional zur
Lichtintensität
 Zwischen Lichteinfall und Elektronenaustritt gibt es keine
messbare Verzögerung.
Interpretation mit dem Teilchenmodell
Die Lichtquelle emittiert Photonen. Die Anzahl der emittierten
Photonen ist proportional zur Intensität. Trifft ein Photon auf
ein Elektron der Metallplatte, gibt es seine Energie
vollständig an dieses ab.
Die Energie eines Photons ist proportional zur Frequenz. Die
Proportionalitätskonstante h heißt das Planck`sche
Wirkungsquantum:
EPhoton  h 
Die Energie h• wird also an ein Elektron
abgegeben.
Interpretation mit dem Teilchenmodell
Somit erhalten wir:
max
Ekin
 h   Wa
Wa...Austrittsarbeit (notwendig zur
Überwindung der Bindungsenergie)
Die kinetische Energie der Photoelektronen ist proportional zur
Frequenz des einfallenden Lichts.
Eine Erhöhung der Intensität bedeutet mehr emittierte
Photonen. Jedes dieser Photonen besitzt die Energie h*.
Somit ist die kinetische Energie der emittierten Elektronen
nicht von der Intensität abhängig.
Interpretation mit dem Teilchenmodell
Werden mehr Photonen emittiert, können mehr Elektronen
diese absorbieren. Die Anzahl der Photoelektronen ist also
proportional zu der Intensität.
Die Absorption des Photons in nicht messbar kurzer Zeit steht
auch in keinem Widerspruch zu dem Teilchenmodell.
Übereinstimmung zum Experiment
Probleme bei der Interpretation mit dem
Wellenmodell
Der Energietransport wird durch die Intensität der Welle
beschrieben. Wird das Experiment also zweimal mit
verschiedenen Frequenzen und der gleichen Intensität
durchgeführt, müsste dies (laut Wellenmodell) zum selben
Ergebnis führen.
Außerdem:
Eine höhere Intensität bedeutet, dass auf einem
gegebenen Flächenelement mehr Energie einfällt. Das
Wellenmodell erklärt nicht, warum dadurch die Anzahl
der emittierten Elektronen steigt und die maximale
kinetische Energie der Elektronen unverändert bleibt.
Widerspruch zum Experiment
Berechnung der Planckkonstante
Wir haben bereits die Zusammenhänge:
max
kin
E
 h   Wa
max
Ekin
 q U0  e U0
und somit:
 e U0  h   Wa
Durch Messung von U0 bei verschiedenen
Frequenzen kann h aus der Steigung einer Geraden
berechnet werden.
Berechnung der Planckkonstante
 e U0  h   Wa
y
h  tan( ) 
x
Berechnung der Planckkonstante
Bsp: Bestimmung mittels rotem und violetten Licht:
y  1,176eV  0,078eV  1,098eV  1,76  1019 J
x  (7,35  4,81) 1014 Hz  2,54 1014 Hz
y
1,76  1019 J
34
h


6
,
9

10
Js
14
x 2,54  10 Hz
Java-Applet
Berechnung der Planckkonstante
Bemerkung:
Dieses Ergebnis muss natürlich unabhängig von der Wahl
des Kathodenmaterials sein:
Theoretische Sichtweise
Bis jetzt:
Phänomenologische Sichtweise -> ermöglicht eine
Beschreibung der Realität, aber keine Vorhersagen.
Ab jetzt:
Theoretische Sichtweise: Vorraussagen mittels der zu
Grunde liegenden Theorie
Hamiltonprinzip
Hamiltonprinzip
= Prinzip der Kleinsten Wirkung
Ein mechanisches System bewegt sich so, dass die Wirkung
stationär (in der Regel minimal) wird.
tb
A   L(q (t ), q (t ), t )dt
ta
L... Lagrangefunktion
L=T-U (T...kinetische Energie
U...potentielle Energie)
Die Lagrangefunktion besitzt nur mathematische Bedeutung!
Hamiltonprinzip
Hamiltongleichungen
Aus dem Hamiltonprinzip sind die Hamiltongleichungen
herleitbar:
H
qi 
pi
wobei
H
p i  
qi
H (q, p, t )   pi qi  L( p, q, t )
... Hamiltonfunktion
i
2T
T-U
H=T+U
Die Hamiltonfunktion entspricht der Gesamtenergie des
Systems und hat damit eine physikalische Bedeutung
Anwendungsbeispiel
Harmonischer Oszillator
p 2 m 2 x 2
H  T U 

2m
2
Hamiltonsche Gleichungen
x 
H p

p m
p   H  m  2 x
x
p  m2 x
x  
  2 x
m
m
Anwendungsbeispiel
Lösung mit Lösungsansatz e t und Randbedingung p(0)=0
x( t )  A cos(t )
p( t )  mA sin(t )
p 2 m 2 x 2 m 2 A 2
HE


2m
2
2
Einführung von Operatoren
der Ort qj
den Ortsoperator qj
der Impuls
den Impulsoperator
die Hamiltonfunktion
den Hamiltonoperator
p2
H  T U 
U
2m
p  i
U  V( x )
pi  i

H 
  V ( x)
2m
Übergang zur Quantentheorie (dieser Schritt folgt
mit der Anwendung der Schrödingergleichung)

qi
Kommutatorrelationen
Zwischen den Operatoren gibt es Beziehungen. Diese
kommen daher, dass Operatoren i. A. nicht vertauschen!
Einige wichtige Kommutatorrelationen (1-dim):
x, p  xp  px  i
x, x  xx  xx  0
 p, p  pp  pp  0
Nur Observable für die der Kommutator Null ist, können
gleichzeitig scharf gemessen werden.
Quantisierung der klassischen Elektrodynamik
Licht wird durch ein elektromagnetisches Feld
beschrieben. Wollen wir also eine Quantisierung des
Lichts behandeln, müssen wir ein Feld quantisieren.
Manchmal erlauben Theorien eine Verallgemeinerung.
-> Versuch die kanonische Quantisierung auf ein Feld
anzuwenden.
Dazu führen wir aber zuerst ein weiteres Hilfsmittel ein:
den Auf- und Absteigeoperator -> zurück zum
harmonischen Oszillator
Harmonischer Oszillator in algebraischer Form
Hamiltonoperator in dimensionslosen Größen
X
ˆ
X :
l0
l0 P
ˆ
P :



Js
l0    2 2 1   m
 Js m s 
J  kgm2 s 2
m  kg  Jm2 s 2
wobei

l0 :
m
Xˆ , Pˆ
dimensionslos
Hamiltonoperator in dimensionslosen Größen
 2 Pˆ 2
l02
m 2 Xˆ 2l02  ˆ 2 ˆ 2
P 2 m 2 X 2
H




(P  X )
2m
2
2m
2
2
Definition von Auf- und Absteigeroperator:
1 ˆ
a :
( X  iPˆ )
2
1 ˆ

a :
( X  iPˆ )
2
...Absteigeoperator
...Aufsteigeoperator
1
ˆ
X
(a  a  )
2
i
ˆ
P : 
(a  a  )
2

H
(aa   a  a)
2
Hamiltonoperator in dimensionslosen Größen
Kommutatorumformungen
Xˆ , Pˆ    lX , l hP   1 X , P  i
0


0

a, a    1


      
1 ˆ ˆ

X , X  i Xˆ , Pˆ  i Pˆ , Xˆ  Pˆ , Pˆ  1
2
0
a, a   aa


1 ˆ ˆ  1 ˆ
( Xˆ  iPˆ ),
(Q  iP)  ( X  iPˆ ), ( Xˆ  iPˆ ) 
2
 2
 2

i
i
0
 a  a  1  aa  a  a  1
Hamiltonoperator in dimensionslosen Größen
aa  a  a  1


H
2
(aa  a  a)
1
H   ( a a  )
2

nützliche Rechenregeln mit Kommutatoren
AB, C   AB, C   A, C B
A, BC  BA, C   A, BC
denn:
AB, C  ABC  CAB  A(BC  CB)  ( AC  CA)B
 AB, C   A, C B
zweite Behauptung: analog
weitere Kommutatoren



1 

 1 


H , a  (aa  , a)    (aa , a)   , a)
2 

 2 



a  a, a  (a  , a) a
H , a  a
H , a   a

H , a   Ha



 a  H  a 
Ha  a  H  a 
0
1
 a
0
Bedeutung der Auf- und Absteigeoperatoren
 sei Eigenzustand zum Eigenwert E, d.h.: H   E 

a
 proportional zu einem normierten
Dann ist
Eigenzustand zum Eigenwert E  
Beweis:
H a    Ha    (a  H  a  )  a  H  a  a  
Ha  a  H  a 
H  E
 E a     a    ( E   ) a  
analog
a 
ist Eigenzustand zum Eigenwert E  
a
ist Eigenzustand zum Eigenwert
E  
Bedeutung der Auf- und Absteigeoperatoren
a  erhöht den Energiewert also um  
a reduziert den Energiewert um  
Bemerkung:
Wendet man a auf den Grundzustand Φ0 an, so muss
sich Null ergeben, denn:
1. Das Spektrum von H ist positiv definiert:
H  E
1
1
1 
E   H    (a  a  )    a  a     (  a  a  ) 
2
2
2
2
 a a   a  0
2
Bedeutung der Auf- und Absteigeoperatoren
2. Aber wegen: H a  (E  ) a
muss es ein Φ mit aΦ =0 geben
Weitere Bemerkung:
Mit dem Grundzustand sind dann alle weiteren
normierten Zustände berechenbar:
n
1

(a  ) n  0
n!
Folgt aus Normierung (ohne Beweis)
Bedeutung für die Quantenfeldtheorie
In der Quantenfeldtheorie werden die Auf- und
Absteigeoperatoren daher sehr wichtig, denn:
a  erzeugt ein Photon
a  ...Erzeugeroperator
a vernichtet ein Photon
a
....Vernichteroperator