Beweise zur Unendlichkeit von Primzahlen

Beweise zur Unendlichkeit von
Primzahlen
HAUPTSEMINAR: EINE EINLADUNG IN DIE MATHEMATIK
L E I T U N G : P R O F. D R . LU K A C O VA
REFERENTIN: SELINA KLEIN
D AT U M : 0 2 . 1 1 . 2 0 1 5
Überblick
Einleitung
Beweis nach Euklid
Spezielle Primzahlen
Beweis mittels Fermat-Zahlen
Beweis mittels Mersenne-Zahlen
Beweis nach Euler
Fazit und Ausblick
Einleitung - Primzahlen
Definition (Primzahlen):
Eine Zahl p > 1 ∈ ℕ heißt Primzahl, wenn sie genau zwei [natürliche/ echte/
ganzzahlige] Teiler besitzt hat, nämlich 1 und sich selbst.
(Bartholomé, A. [u.a.], Wiesbaden 72010, S.81)
Fundamentalsatz der Arithmetik:
Jeden natürliche Zahl größer 1 lässt sich auf eindeutige Weise [bis auf
Reihenfolge] als Produkt von Primzahlen schreiben.
(Ribenboim, Paulo, Berlin [u.a.] 22011, S.2)
Einleitung - Primzahlen
• Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen:
 Sieb des Erathostenes
 …?
• Überprüfung, ob Zahl n prim ist:
 Teiler suchen (zeitaufwändig bei großem n)
 Kleiner Satz von Fermat (𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝, 𝑝 𝑝𝑟𝑖𝑚)  Lucas-Test
 Pépin-Test
 Fermat-Test
 Miller-Rabin-Test
…
Beweis nach Euklid
Ann: Sei ℙ = 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑙 eine beliebig endliche
Menge von Primzahlen.
.𝑝 .… .𝑝
Betrachte n = 𝑝1 2
𝑙 +1
Sei p Primteiler von n  𝑝 ∉ ℙ = 𝑝1 , … 𝑝𝑙
Euklid von Alexandria
3. Jhdt. v. Chr.
ℙ = 𝑝1 , … 𝑝𝑙 ist nicht die Menge aller Primzahlen
 Es existieren unendlich viele Primzahlen
#
Beweis nach Kummer
– elegante Variante von Euklids Beweis
„Dieser Beweis eines bedeutenden Mathematikers gleicht einer
Perle: Er ist rund, glanzvoll und schön in seiner Einfachheit.“
Ernst Eduard Kummer
1810 - 1893
Ann.: Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1 <p2 < … < pr
Sei N > 2, sodass N = p1p2.….pr und
N – 1 als natürliche Zahl ein Produkt von Primzahlen.
 pi gemeinsamer Teiler von N und N - 1
 pi | N - (N - 1) =1
 pi ∉ p1 <p2 < … < pr
 Es existieren unendlich viele
Primzahlen
#
Spezielle Primzahlen:
1. Fermat-Zahlen:
Eine Primzahl der Form p = 2n + 1 (n ∈ ℕ) heißt Fermat´sche
Primzahl.
Für 2n + 1 eine Primzahl ⇒ n = 2m mit m ∈ ℕ
Umkehrung gilt i.A. nicht!
Betracht dazu:
m=0:
0
2
2
+1 = 21 +1
= 3
Pierre de Fermat
1607-1665
(Kupferstich von François de
Poilly dem Älteren)
3 ist Primzahl
(Kramer, Jürg, Wiesbaden 2008, S.27)
Spezielle Primzahlen:
Aufgabe:
Für 2n + 1 eine Primzahl ⇒ n = 2m mit
m∈ℕ
zzg: Umkehrung gilt i.A. nicht!
Betracht dazu:
0
2
m=0:
2 +1 = 21 +1 = 3
Berechne
2𝑚
2 für m =
1,2,3,4
3 ist Primzahl
Spezielle Primzahlen:
Für 2n + 1 eine Primzahl ⇒ n = 2m mit m ∈ ℕ
zzg: Umkehrung gilt i.A. nicht!
Betracht dazu:
m=0:
m=1:
m=2:
m=3:
m=4:
20
2 +1
1
22 +1
22
2 +1
3
2
2 +1
4
2
2 +1
=
=
=
=
=
21 +1
22 +1
24 +1
28 +1
21 +1
=
=
=
=
=
3
5
17
257
65 537
3 ist Primzahl
5 ist Primzahl
17 ist Primzahl
257 ist Primzahl
65 537 ist Primzahl
Spezielle Primzahlen:
Für 2n + 1 eine Primzahl ⇒ n = 2m mit m ∈ ℕ
zzg: Umkehrung gilt i.A. nicht!
(Ribenboim, Paulo, Berlin [u.a.] 22011, S.71)
Betracht dazu:
m=0:
0
2
2
…
ABER!
m=5:
+1 = 21 +1 = 3
3 ist Primzahl
5
22 +1 = 4 294 967 297 = 641 . 6700417
Fermat glaubt, dass alle Fermat-Zahlen
prim sind und versuchte auch deren
Primalität zu beweisen
Euler konnte aber diesen
Teiler ermitteln!
Vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen
F 5 = 641 × 6700417
F 6 = 274177 × 67280421310721
F 7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F 8 = 1238926361552897 × P62
von Euler (1732)
Faktor 1 von Clausen (unver, 1855),
Landry und Le Lasseur (1880)
Morrison und Brillhart (1970)
Faktor 1 von Brent und Pollard (1980)
F 9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657
Faktor 1 Western (1903),
× P99
andere Faktoren Lenstra und Manasse (1990)
F 10 = 45592577 × 6487031809
Faktor 1 Selfridge (1953), Faktor 2 Brillhart (1962),
× 4659775785220018543264560743076778192897 × P252
andere Faktoren Brent (1995)
F 11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137
× 3560841906445833920513 × P564
(Ribenboim, Paulo, Berlin [u.a.] 22011, S.73)
Faktoren 1 und 2 Cunningham (1899),
andere Faktoren Brent (1988),
Primalität von Faktor 5 Morain (1988)
(Pn bezeichnet eine n-stellige Primzahl)
Unvollständig faktorisierte Fermat-Zahlen
F 12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 1256132134125569
× 568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C 1133
F 13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969
× 319546020820551643220672513 × C 2391
F 14 = 116928085873074369829035993834596371340386703423373313 × C 4880
F 15 = 1214251009 × 2327042503868417 ×168768817029516972383024127016961 × C 9808
F16 = 825753601 × 188981757975021318420037633 × C 19694
F17 = 31065037602817 × C 39444
F18 = 13631489 × 81274690703860512587777 × C 78884
F19 = 70525124609 × 646730219521 × 37590055514133754286524446080499713 × C 157770
F21 = 4485296422913 × C 631294
F22 = 64658705994591851009055774868504577 × C 1262577
F23 = 167772161 × C 2525215
(Ribenboim, Paulo, Berlin [u.a.] 22011, S.74)
Cn bezeichnet eine n-stellige zerlegbare Zahl)
Fermat-Zahlen - Interessantes
•Zerlegbare Fermat-Zahlen ohne bekannten Faktor
F 20 : Buell und Young (1987)
F 24 : Mayer, Papadopoulos und Crandall (1999)
(Ribenboim, Paulo, Berlin [u.a.] 22011, S.74)
• C. F. Gauß zeigte, dass ein regelmäßiges p-Eck (p ∈ ℙ) genau dann mit Zirkel
und Lineal konstruierbar ist, wenn p eine Fermat´sche Primzahl ist, d. h. eine
Primzahl von der Form p = 2𝑚 + 1 (m ∈ ℕ) ist.
(Kramer, Jürg, Wiesbaden 2008, S.27)
Spezielle Primzahlen:
2. Mersenne-Zahlen:
Eine Primzahl der Form Mp = 2p −1 (p ∈ ℕ ) heißt
Mersenne´sche Primzahl.
Martin Mersenne
1588 - 1648
Für 2p − 1 eine Primzahl ⇒
p ist Primzahl
(Kramer, Jürg, Wiesbaden 2008, S.27)
 Umkehrung gilt i.A. nicht!
Gegenbsp: p = 11: 211 -1 = 2047 = 23 * 89
 Nicht jede Zahl der Form 2p -1 ist prim!
Spezielle Primzahlen:
2. Mersenne-Zahlen (2p −1):
p
2p −1
Entdecker
2,3,5,7
3, 7, 33, 127
-
13
8191
Unbekannt (1461)
17
131.071
Cataldi (1588)
19
524.287
Cataldi (1588)
31
2.147.483.647
Euler (1750)
…
…
…
30.402.457
(9.152.052 Dezimalstellen)
Cooper/Boone/u.a. (2005)
32.582.657
(9.808.358 Dezimalstellen)
Cooper/Boone/u.a. (2006)
…
…
…
[57.885.161
(17425170 Deziamalstellen)
Cooper, u. a. (2013)]
Spezielle Primzahlen – Exkurs:
Eine natürliche Zahl n heißt vollkommen, falls die Summe ihrer Teiler 2n ergibt,
d. h. falls 𝑑|𝑛 𝑑 = 2𝑛 gilt.
Im 1. Jahrhundert veröffentlichte der griechische Mathematiker Nikomachos die
ersten vier vollkommenen Zahlen: 6, 28, 496 und 8128.
Das Mysterium der vollkommenen Zahlen zog viele Mathematiker in seinen
Bann, u. a. Euklid, Mersenne und Euler.
Alle vollkommenen Zahlen, die man bisher fand, sind gerade. Bis heute weiß
man nicht, ob es ungerade-vollkommene Zahlen gibt.
(Kramer, Jürg, Wiesbaden 2008, S. 28)
Beweis mittels Fermat-Zahlen
- aus einem Brief von Christian Goldbach an Leonhard Euler 1730
CHRISTIAN GOLDBACH
LEONHARD EULER
1690 - 1764
1707 - 1783
2𝑛
Beweis mittels Fermat-Zahlen (2 + 1)
Idee: Je zwei Fermat-Zahlen sind relativ prim zueinander.
𝑛−1
Rekursion:
F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
F5 = 641 . 6700417
𝐹𝑘 = 𝐹𝑛 − 2
𝑘=0
Definition (Teilerfremd, relativ prim):
Gilt für zwei Zahlen a und b, mit a,b ≠ 0; ggT(a,b) = 1, so sind a und b teilerfremd;
man sagt auch: relativ prim
(Bossert, M., München 32013, S. 33)
2𝑛
Beweis mittels Fermat-Zahlen (2
F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
F5 = 641 . 6700417
+ 1)
zzg: Je zwei Fermat-Zahlen Fk und Fn sind relativ prim zueinander.
Ann.: Sei m| Fk und m|Fn
𝑛−1
𝐹𝑘 = 𝐹𝑛 − 2
→ m|2
 m=1
(k < n, m ∈ ℕ)
oder m = 2
𝑘=0
Unmöglich, da Fermat-Zahlen alle ungerade
→ Fk und Fn sind teilerfremd, d.h. relativ prim zueinander
2𝑛
Beweis mittels Fermat-Zahlen (2
+ 1)
- Verifizierung der Rekursion mittels vollständiger Induktion über n:
𝑛−1
𝐹𝑘 = 𝐹𝑛 − 2
Induktionsanfang :
𝑘=0
F0 = 3
F1 = 5
n=1: F1 - 2 = 5 – 2 = 3 = F0
.
.
.
Induktionsschritt:
𝑛
𝑛−1
𝐹𝑘 =
𝑘=0
𝐹𝑘 𝐹𝑛
= 𝐹𝑛 − 2 𝐹𝑛 =
𝑘=0
=
𝑛+1
2
2
−1
𝑛
2
2
−1
= 𝐹𝑛+1 − 2
𝑛
2
2
+1
2𝑛
Beweis mittels Fermat-Zahlen (2
+ 1)
Je zwei Fermat-Zahlen sind relativ prim zueinander
Verifizierung der Rekursion
Existenz unendlich vieler Fermat-Zahlen
 Existenz unendlich vieler Primzahlen
#
Beweis mittels Mersenne-Zahlen (2𝑝 − 1)
Ann.: ℙ ist endlich und p ∈ ℙ die größte Primzahl.
Es existiert ein Primteiler q von 2𝑝 − 1

2𝑝 ≡ 1
𝑚𝑜𝑑 𝑞
Definition (Ordnung):
Es seien (G, ◦) eine Gruppe mit neutralem Element e und g ∈ G.
Die kleinste, von Null verschiedene natürliche Zahl n mit gn = e
heißt die Ordnung von g und wird mit ordG(g) bezeichnet.
Gibt es kein solches n ∈ ℕ, so definiert man die Ordnung von g als
unendlich, d. h. ordG(g) := ∞.
(Kramer, Jürg, Wiesbaden 2008, S.56)
𝑝
Beweis mittels Mersenne-Zahlen (2 − 1)
Ann.: ℙ ist endlich und p ∈ ℙ die größte Primzahl.
Es existiert ein Primteiler q von 2𝑝 − 1
Da p prim  ord(2) = p
Bemerke: ord(𝑍𝑞 \{0}) = q-1
in der mulipl. Gruppe 𝑍𝑞 \{0} des
Körpers 𝑍𝑞 .
𝑝
Beweis mittels Mersenne-Zahlen (2 − 1)
Ann.: 𝑃 ist endlich und p ∈ 𝑃 die größte Primzahl
q Primteiler von 2𝑝 − 1 
2𝑝 ≡ 1
𝑚𝑜𝑑 𝑞
 ord(2) = p
 ord(𝑍𝑞 \{0}) = q-1
Nach Satz von Lagrange: ord(2) | ord(𝑍𝑞 \{0})
 p | q-1
 p < q Widerspruch zur Annahme!
 p ist nicht die größte Primzahl, sodass ℙ unendlich ist!
#
Beweis nach Euler
- mit elementarer Analysis
Sei 𝜋 𝑥 ≔ # 𝑝 ≤ 𝑥 𝑝 ∈ 𝑃), 𝑥 ∈ ℝ
ℙ ≔ {𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 … }
𝑥
ln(x) =
1
1
𝑑𝑥
𝑡
Leonhard Euler
1707 - 1783
Beweis nach Euler
Leonhard Euler
Für n ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1:
1
2
1
3
ln(x) ≤ 1 + + + ⋯ +
≤
´ 1
𝑚
1707 - 1783
1
𝑛−1
+
1
𝑛
, 𝑚 ∈ ℕ, wobei m nur
Primfaktoren p ≤ x enthält
Beweis nach Euler
1
2
ln(x) ≤ 1 + +
≤
=
´
1
+
3
⋯+
1
1
+
𝑛−1
𝑛
Leonhard Euler
1707 - 1783
1
𝑚
(
𝑝 ∈ ℙ 𝑘 ≥0
𝑝 ≤𝑥
𝑝 𝑘𝑝
𝑚=
𝑝∈ℙ
𝑝≤𝑥
1
)
𝑘
𝑝
1
≤
𝑝∈ℙ
𝑝≤𝑥
1−
1
𝑝
Beweis nach Euler
1
ln(x) ≤
𝑝∈ℙ
𝑝≤𝑥
=
𝑝∈ℙ
𝑝≤𝑥
𝜋 𝑥
≤
𝑘=1
Leonhard Euler
1
1−
𝑝
1707 - 1783
𝜋(𝑥)
𝑝
𝑝−1
=
𝑘+1
𝑘
= 𝜋 𝑥 +1
𝑘=1
𝑝𝑘
𝑝𝑘 − 1
Beweis nach Euler
Leonhard Euler
ln(x) ≤ 𝜋 𝑥 + 1
1707 - 1783
ln(x) ist unbeschränkt
 𝜋 𝑥 ≔ # 𝑝 ≤ 𝑥 𝑝 ∈ 𝑃), 𝑥 ∈ ℝ
ist nicht beschränkt
 Es existieren unendlich viele
Primzahlen!
#
Fazit und Ausblick
• Unterschiedlichste Ansätze, die Unendlichkeit der Primzahlen zu beweisen
 Euklids Beweis als Bereicherung des math. Grundrepertoires
 alle mathematischen Bereiche:
- Zahlentheorie
- Analysis
- Topologie
-…
Fazit und Ausblick
Primzahlen, Fermat-Zahlen und die Mersenne-Zahlen sind in den vergangenen
Jahrhunderten und auch zukünftig Gegenstand des Interesses.
 offene Fragen:
1. Gibt es unendlich viele Fermat-Zahlen, die Prim bzw. zerlegbar sind?
2. Ist jede Fermat-Zahl quadratfrei (d.h., ohne quadratischen Faktor)?
3. Gibt es unendlich viele Mersenne-Zahlen?
4. Existieren ungerade vollkommene Zahlen?
…
Fazit und Ausblick
• Generierung von Primzahlen:
1. Aus Euklids Beweis für die Unendlichkeit von Primzahlen:
Ann: Sei ℙ = 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑙 eine beliebig endliche Menge von Primzahlen.
Betrachte n = 𝑝1 . 𝑝2 . … . 𝑝𝑙 +1
Sei p Primteiler von n  𝑝 ∉ ℙ = 𝑝1 , … 𝑝𝑙
 oder p = n
 Berechnung neues p
ℙ = 𝑝1 , … 𝑝𝑙 ist nicht die Menge aller Primzahlen
 Es existieren unendlich viele Primzahlen
Fazit und Ausblick
Generierung von Primzahlen:
2. Modifizierung von Euklids Beweis zur Form 4k +1 (bzw. 4k – 1)
3. Satz von Dirichlet:
Seien a,b ∈ ℕ teilerfremd. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen der Form
ak + b, k ∈ ℕ.
Beweis in Frey, G.: Elementare Zahlentheorie, Vieweg Verlag 1984, S.110.
(Müller-Stach, S./ Piontkowski, J., Wiesbaden 22011, S.2)
Literaturquellen:
• Aigner, Martin/ Ziegler, Günter: Das BUCH der Beweise. Berlin [u.a.] 42015.
• Bartholomé, A. [u.a.]: Zahlentheorie für Einsteiger. Wiesbaden 72010.
• Bossert, Martin: Kanalcodierung, München 32013.
• Kramer, Jürg: Zahlen für Einsteiger. Elemente der Algebra und Aufbau der Zahlbereiche. Wiesbaden 2008.
• Ribenboim, Paulo: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Berlin [u.a.] 22011.
• http://www.mathematik.ch/mathematiker/mersenne.php
Bildquellen:
• http://www.antike-griechische.de/Euklid.html
• http://hsm.stackexchange.com/questions/534/question-related-to-the-legitimacy-of-a-certain-portrait-of-christiangoldbach
• http://www.mathematik.ch/mathematiker/euler.php
• http://exbook.de/wp-content/uploads/2008/03/ln_funktion.png
• http://www.uni-graz.at/imawww/thaller/lehre/hm/hm1/hm1454x.png
VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT