Klausur zur Mechanik Winter 15/16 Name und Matrikelnummer:

Klausur zur Mechanik
Winter 15/16
Donnerstag, 11.2.16, 10-12 Uhr
Name und Matrikelnummer:
Aufgabe
1
2
3
4
5
Summe
Punkte
Erforderliche Punktzahl: 23 von 66
Aufgabe 1: Eindimensionale Bewegung
Betrachte die Bewegung eines Massenpunktes der Masse m entlang der reellen Achse im Potential
V (x) = −
α
,
ch (βx)
2
α, β > 0 .
(i) Bestimme die Gleichgewichtslagen der Bewegung und skizziere das Potential!
(ii) Skizziere das Phasenraumporträt (Trajektorien in x-p-Ebene) der Bewegung! Welches ist
die Bedingung für gebundene Bewegung?
(iii) Löse die Bewegungsgleichung für den Fall gebundener Bewegung! Welche Periode hat die
Bewegung? Welche Periode und welche Lösung ergeben sich für E → 0−?
12 Punkte
Aufgabe 2: Zwangskraft
Ein Punktteilchen der Masse m im Schwerefeld, das sich in
zwei Dimensionen bewegen könne, ruhe anfangs oben auf
einem Halbkreis vom Radius h. Es erfahre dann einen vernachlässigbar kleinen Stoß in positiver x-Richtung (s. Skizze),
so dass es unter Einfluss der Schwerkraft den Halbkreis reibungsfrei hinabzugleiten beginne. In welcher Höhe h0 löst es
sich vom Halbkreis?
z
g
h
x
8 Punkte
Aufgabe 3: Gekoppelte Schwingungen
Zwei Massenpunkte gleicher Masse m im Schwerefeld seien auf einem Keil mit Öffnungswinkel
π
4 beweglich gemäß Skizze. Zusätzlich zum Schwerefeld wirke eine ihrem Abstand proportionale
anziehende Kraft zwischen ihnen.
(i) Stelle die Lagrangefunktion auf! Verwende dazu die Projektionen z1 , z2 der Ortsvektoren auf die z-Richtung (s. Skizze) als
verallgemeinerte Koordinaten.
(ii) Wie lauten die Bewegungsgleichungen? Welches sind die
Gleichgewichtslagen der Massenpunkte?
(iii) Führe als neue Koordinaten die Abstände von den Gleichgewichtslagen ein, und löse die Bewegungsgleichungen! Welches
sind die Eigenfrequenzen und die zugehörigen Normalmoden
der Bewegung?
z
g
x
π
4
z1
z2
16 Punkte
Aufgabe 4: Rollender Zylinder
Betrachte einen Zylinder (Radius r, Höhe h, Masse m). Seine Dichte in Zylinderkoordinaten
ρ, ϕ, z sei beschrieben durch
D(x) = 2πh θ(z) − θ(z − h) θ(r − ρ)d(ρ)
mit d(ρ) ≥ 0.
(i) Berechne das Trägheitsmoment bezüglich der Zylinderachse, ausgedrückt durch m und r,
für die Fälle, dass die Masse homogen über den Zylinder verteilt ist, beziehungsweise dass
die gesamte Masse auf dem Zylindermantel lokalisiert ist! Bestimme eine kleinste obere
Schranke für das Trägheitsmoment bezüglich der Zylinderachse! Welches ist somit dessen
Wertebereich?
(ii) Der Zylinder ruhe zunächst auf einer horizontalen Ebene. Dann
erfahre er einen waagerechten Stoß, bei dem der Impuls ∆p übertragen werde. Nach dem Stoß rolle der Zylinder, ohne zu gleiten.
Auf welcher Höhe h wurde er angestoßen? Hinweis: Geschwindigkeit und Winkelgeschindigkeit nach dem Stoß folgen aus Impulsund Drehimpulsübertrag.
Ω
(iii) Nun rolle der Zylinder kräftefrei im Innern eines Hohlzylinders vom
r
ω
Radius R > r ab. Bestimme das Verhältnis von Rotationsenergie
zu Translationsenergie! Was ändert sich, wenn der kleine Zylinder
außen auf dem großen Zylinder abrollt? Welche Schlüsse kann man
R
aus dem Ergebnis für das Rollen auf einer beliebigen Kurve ziehen?
∆p
r
h
20 Punkte
Aufgabe 5: Hamilton-Jacobi
Ein Teilchen (Koordinatenvektor x = (x, y, z), Masse m) bewege sich im Potential V (x) =
α(x + y + z), α 6= 0.
(i) Bestimme ein vollständiges Integral der Hamilton-Jacobi-Gleichung mittels Separation der
Variablen!
(ii) Berechne mit Hilfe von (i) die Lösung der Bewegungsgleichung und interpretiere das
Ergebnis!
10 Punkte