Stochastik für Physiker: Lösungsvorschlag, Klausur WS2006/2007

Stochastik für Physiker: Lösungsvorschlag, Klausur WS2006/2007
Simon Stützer
Stand: 24. Februar 2009
Aufgabe 1:
Eine Zufallsgröße X ist Laplace-Verteilt mit dem Parameterpaar (λ, µ) wobei λ > 0 und µ ∈ R wenn sie die Dichte
f (x) =
1 − |x−µ|
e λ ,x ∈ R
2λ
besitzt.
a) Skizzieren Sie die Dichte und markieren Sie dabei den Wert von µ
b) Welche Verteilung besitzt die Zufallsgröße |X − µ|?
Lösungsvorschlag 2:
a)
f (x) =
1 − |x−µ|
e λ
2λ
1
2λ
x
µ
b)
F|X−µ| (x) = P (|X − µ| ≤ x) = P (X − µ ∈ [−x, x]) = P (µ − x ≤ X ≤ µ + x)
µ+x
Z
=
µ−x
Zx
=
−x
Zx
=
−∞
1 − |t−µ|
e λ dt,
2λ
1 − |u|
e λ du = 2
2λ
Substitution: t − µ = u, dt = du
Zx
1 −u
e λ du
2λ
0
1 −u
e λ · 1(0,1) (x)du ∼ E λ1
λ
Stochastik für Physiker: Klausur WS 2006/2007 - Aufgaben und Lösungsvorschläge
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Aufgabe 2:
Der Durchmesser eines auf einem Automaten hergestellten Zylinders sei normalverteilt mit Erwartungswert µ = 6mm und
Standardabweichung σ = 0.03mm.
a) Wieviel Prozent der Produktion sind Ausschuss, wenn der Durchmesser um höchstens ±0.05mm vom Erwartungswert
abweichen darf?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 geprüften Zylindern mindestens 4 in Ordnung sind? Dabei soll angenommen werden, dass die Durchmesser der Zylinder voneinander unabhängig sind. (Da keine Taschenrechner erlaubt
sind, muss das Ergebnis nicht als Zahl angegeben werden. Aber es müssen die richtigen Zahlen in einer richtigen Formel
eingesetzt sein )
c) Auf einem anderen Automaten werden (unabhängig von dem ersten Automaten) Unterlegscheiben mit Löchern gestanzt.
Der Durchmesser sei normalverteilt mit Erwartungswert µ1 = 6.1mm und Standardabweichung σ1 = 0.04mm. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit passt ein auf dem Automaten hergestellter Zylinder (ohne dass vorher geprüft wird, ob ihr
Durchmesser im Toleranzbereich liegt) in das Loch einer Unterlegscheibe vom anderen Automaten?
Lösungsvorschlag 2:
a)
• Zufallsvariable X ... Durchmesser des Zylinders
• Ereignis: A ... ”Der Durchmesser des liegt nicht im Intervall [µ − 0.05mm, µ + 0.05mm].”
P (A) = 1 − P (X ∈ [µ − 0.05, µ + 0.05]) = 1 − P (µ − 0.05mm ≤ X ≤ µ + 0.05mm)
µ − 0.05 − µ
µ + 0.05 − µ
+Φ
= 1 − FX (µ + 0.05mm) + FX (µ − 0.05mm) = 1 − Φ
σ
σ
0.05
= 1 − 2Φ
+ 1 = 2 − 2 · 0.9515 = 0.07
0.03
b)
• X1 , ..., X5 ∼ Nµ,σ2
(
0
i.i.d. mit Xi =
1
Zylinder ist ok
Zylinder ist nicht ok
,X=
5
P
Xi
i=1
• Wahrscheinlichkeitsraum: [{0, 1}5 , €p({0, 1}5 ), P ], P Binomialverteilung mit p = 0.07
• Ereignis: B ... ”Von 5 Zylindern sind mindestens 4 in Ordnung.”
P (B) = 1 − P (B C ) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 −
n X
n
k=0
5 1
5 0
p (1 − p)4 +
p (1 − p)5
=1−
1
0
= 1 − 5 · 0.071 · 0.934 − 0.935 ≈ 0.042
k
pk (1 − p)n−k
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c)
• Zufallsgrößen: X ... Durchmesser des Zylinders, Y ... Durchmesser des Lochs in der Unterlegscheibe
• X ∼ Nµ1 ,σ12 , Y ∼ Nµ2 ,σ22
• Ereignis: C ... ”Der Zylinder passt in das Loch der Unterlegscheibe.”
• aus Vorlesung ist bekannt: X − Y ∼ Nµ1 −µ2 ,σ12 +σ22
P (C) = P (X − Y ≤ 0) =
Z0
−∞
x−µ
σ
1
=√
2π
Z
2
e
t
− 2σ
2
1
fX−Y (x)dx = √
2πσ
Z0
e−
(x−µ)2
2σ 2
dx,
σ=
q
σ12 + σ22 , µ = µ1 + µ2
−∞
µ
0.1
=Φ
dt = Φ −
≈ 0.977
σ
0.05
−∞
Aufgabe 3:
In einer Urne befinden sich 5 Kugeln, zwei blaue und drei rote. Zwei Spieler ziehen abwechselnd ohne Zurücklegen. Wer
zuerst eine blaue Kugel zieht, hat gewonnen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler gewinnt, der das Spiel
beginnt? Geben Sie zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
Lösungsvorschlag 3:
• Wahrscheinlichkeitsraum: [{r, r, r, b, b}, €p({r, r, r, b, b}), P ], P ist Gleichverteilung
• Ereignis: A ... ”Der Spieler, der begonnen hat, gewinnt.”’, A = {r} ∩ {b, b, r}
P (A) = P ({b}) + P ({r, r, b}) =
2 3 2 2
3
+ · · =
5 5 4 3
5
Aufgabe 4:
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des Maximums von n unabhängigen, auf (0, 1) gleichverteilten Zufallsgrößen, n ∈ N.
Lösungsvorschlag 4:


0 x < 0
• X1 , ..., Xn ∼ U (0, 1) i.i.d. mit Verteilungsdichte FX (x) x 1 ≥ x ≥ 0


1 x≥1
• aus Übung ist bekannt Fmax{X1 ,...,Xn } (x) = F (x)n ⇒ f (x) = nF (x)n−1 = nxn−1 1(0,1) (x)
Z∞
EX =
x · nx
n−1
Z1
1(0,1) (x)dx =
−∞
0
varX = E(X) − (EX) =
2
2
Z∞
1
n
n
n−1 nx dx =
x
=
n+1
n+1
0
n
x2 · nxn−1 1(0,1) (x)dx −
n2
(n + 1)2
−∞
1
n
n2
n(n2 + 2n + 1) − n2 (n + 2)
n+2 =
−
x
=
n+2
(n + 1)2
(n + 2)(n + 1)2
0
n
=
(n + 2)(n + 1)2