Blatt 3 - Fachrichtung Mathematik

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
Fachrichtung 6.1 (Mathematik)
Prof. Dr. Mark Groves
Benedikt Hewer
Lineare Algebra 2, SS 2017
Übungsblatt 3
1. Berechnen Sie die Normalform der Quadriken
(i) 3x2 + 6y 2 − 2z 2 + 4xy − 12xz + 6yz = 1,
(ii) 3x2 − 2y 2 − z 2 − 4xy − 12yz − 8xz = 1,
(iii) x2 + y 2 + z 2 = 43 (x + y + z)2 ,
(v) 9x2 + 5y 2 + 5z 2 + 12xy + 6xz + 5x − 6y − 3z = 2.
Geben Sie eine genaue geometrische Beschreibung aller verwendeten Koordinatentransformationen an.
2. Es seien V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K und b eine Bilinearform auf V . Ferner seien B eine Basis für V und B 0 die Dualbasis für V 0 .
(a) Zeigen Sie: MB,B0 (Lb ) = MB (b)T .
(b) Nun sei b nicht ausgeartet. Zeigen Sie, dass es zu jeder linearen Abbildung T : V → V
eindeutige lineare ‘adjungierte’ Abbildungen T ∗ : V → V und T † : V → V mit den Eigenschaften
b(T v, w) = b(v, T ∗ w),
b(v, T w) = b(T † v, w)
für alle v, w ∈ V gibt. Bestimmen Sie Formeln für T ∗ und T † als Funktionen von T 0 , Rb
und Lb sowie für MB,B (T ∗ ) und MB,B (T † ) als Funktionen von MB,B (T ) und MB (b).
(c) Finden Sie eine Bilinearform auf R2 und lineare Abbildungen T1 , T2 : R2 → R2 so, dass
(T1∗ )∗ 6= T1 und (T2† )† 6= T2 . Wie lauten die richtigen Formeln für die ‘biadjungierten’ Abbildungen?
3. (a) Es seien V ein n-dimensionaler euklidischer Raum und T : V → V eine orthogonale
Abbildung. Zeigen Sie: Es gibt einen Unterraum W von V mit T [W ] = W und dim W = 1,
falls n ungerade ist, bzw. dim W = 2, falls n gerade ist. Folgern Sie, dass T [W ⊥ ] = W ⊥ .
(b) Nun berechnen wir die Normalform einer Matrix in O(n, R).
(i) Was sind die Elemente von O(1, R)?
(ii) Zeigen Sie: Ist A ∈ O(2, R), so ist sie eine Rotationsmatrix Rθ für irgendein θ ∈ [0, 2π),
falls det A = 1, oder kongruent zu diag(1, −1), falls det A = −1. Interpretieren Sie
die durch A beschreibene Transformation geometrisch.
(iii) Ziegen Sie: Ist A ∈ O(3, R), so ist sie kongruent zur Matrix
1 0
,
0 Rθ
falls det A = 1, oder kongruent zur Matrix
−1 0
,
0 Rθ
falls det A = −1, wobei θ eine Zahl in [0, 2π) ist. Interpretieren Sie die durch A
beschreibene Transformation geometrisch.
(iv) Nun sei A ∈ O(n, R). Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
– Ist n = 2m + 1 ungerade, so ist sie kongruent zur Matrix


±1
0


Rθ1




.
.


.
0
Rθm
für det A = ±1,
– Ist n = 2m gerade und det A = 1, so ist sie kongruent zur Matrix


Rθ1
0


Rθ2



,
.
.


.
0
Rθm
– Ist n = 2m gerade und det A = −1, so ist sie kongruent zur Matrix


−1
0


1




R
θ
1



,
Rθ2




.
.


.
0
Rθm−1
wobei θi eine Zahl in [0, 2π) ist.