Regelheft Klasse 5 / Klasse 6

Mathematik
Regelheft
Teile der Inhalte aus Klasse 5 und 6
Friedrich Hattendorf
Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid
16. September 2007
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Diese Seiten enthalten eine (noch nicht vollständige) Zusammenstellung der
- nach meiner Meinung - wichtigsten Inhalte des Mathematikunterrichtes der
Klassen 5.und 6
Kritik und Hinweise auf Fehler bitte an [email protected]
Insbesondere bitte ich auch um Rückmeldungen zu Fehlern und zu fehlenen
Einträgen im Index auf den letzten Seiten
1
Inhaltsverzeichnis
5 Klasse5
5.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Zahlwörter für große Zahlen . . . . . . . . . .
5.3 Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Geldwerte . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Zeitspannen . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Rechnen mit Größen . . . . . . . . . .
5.5 Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Ausführbarkeit von Addition und Subtraktion
5.7 Vorrang-regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 entgegengesetzte Rechenarten . . . . . . . . .
5.9 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Assoziativgesetze . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Kommutativgesetze . . . . . . . . . . .
5.9.3 Distributivgesetz für die Multiplikation
5.9.4 Distributivgesetz für die Division . . .
5.9.5 zu beachten! . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Überschlagsrechnungen . . . . . . . . . . . . .
5.11 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Stellenwertsysteme . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.2 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . .
5.14 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . .
5.14.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.2 allgemeingültige Gleichungen . . . . . .
5.14.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . .
5.15 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
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10
10
10
10
10
6 Klasse 6
6.1 Bruchrechnung . . . . . . . . .
6.1.1 Teiler einer Zahl . . . .
6.1.2 Teilbarkeit von Summen
6.1.3 Teilbarkeitsregeln . . . .
6.1.4 Primzahlen . . . . . . .
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11
11
11
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13
2
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und Produkten
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Mathematik Klasse 5/6
(ht)
6.1.5
6.1.6
6.1.7
6.1.8
6.1.9
6.1.10
6.1.11
6.1.12
6.1.13
6.1.14
6.1.15
6.1.16
6.1.17
6.1.18
6.1.19
6.1.20
6.1.21
Regelheft
16. September 2007
gemeinsame Teiler, ggT . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV . . . . . . . .
Die Bestimmung des ggT und des kgV . . . . . . . . .
Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . .
Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . .
Vielfache und Teile einer Größe . . . . . . . . . . . .
Bruchteile und -zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bruchteile einer Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erweitern und Kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hauptnenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anordnung der Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bruchzahlen sind dicht angeordnet . . . . . . . . . . .
Addition und Subtraktion von Bruchzahlen . . . . . .
Die Addition von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Subtraktion von Brüchen . . . . . . . . . . . . . .
Vielfache und Teile eines Bruchteil es . . . . . . . . .
Vielfache eines Bruchteil es . . . . . . . . . . . . . . .
Teile eines Bruchteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bruchteile eines Bruchteils . . . . . . . . . . . . . . . .
MULTIPLIZIEREN VON BRUCHZAHLEN . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ein weiterer wichtiger Hinweis: . . . . . . . . . . . . .
Exkurs : Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Permanenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Division von Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
Umkehrung der Multiplikation . . . . . . . . . . . . .
eine etwas andere Begründung : . . . . . . . . . . . . .
Beachte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brüche in Dezimalschreibweise . . . . . . . . . . . . .
Stellenwertsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dezimalschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umformen von der Bruch- in die Dezimalschreibweise
Verschiedene Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . .
Umwandlungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ordnen von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . .
Ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dichte Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Runden von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . .
Rundungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Genauigkeit, geltende Ziffern . . . . . . . . . . . . . .
Regeln für die Anzahl an geltenden Ziffern . . . . . . .
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3
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Technisches Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.22 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen . . . . .
Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen . . . . .
Addieren und Subtrahieren von Größen . . . . . . . . . .
Addieren und Subtrahieren gerundeter Dezimalbrüche . .
6.1.23 Multiplizieren und Dividieren mit Zehnerpotenzen . . . .
Multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.24 Multiplizieren von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplizieren von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.25 gegensinnige Kommaverschiebung . . . . . . . . . . . . .
6.1.26 Division von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.27 Begründung der schriftlichen Division . . . . . . . . . . .
6.1.28 Division von Dezimalbrüchen durch natürliche Zahlen . .
Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch .
6.1.29 Periodische Dezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entstehen der Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Periodenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.30 Brüche und (periodische) Dezimalzahlen . . . . . . . . . .
Die Umwandlungen eines Bruchs in eine (periodische) Dezimalzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Umwandlung einer nicht-periodischen Dezimalzahl in
einen Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Umwandlungen einer periodischen Dezimalzahl in einen
Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Klasse 7
8 Klasse 8
8.1 Variablen und Terme; Termumformungen
Terme . . . . . . . . . . . . . . . .
Variablen . . . . . . . . . . . . . .
Terme mit Variablen . . . . . . . .
Äquivalente Terme . . . . . . . . .
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4
Kapitel 5
Klasse5
5.1
Zahlen
Wir nennen die Zahlen 0,1,2,3,... (d.h. die Zahlen, die wir zum Abzählen oder
zur Festlegung einer Reihenfolge benutzen) natürliche Zahlen.
Man fasst die natürlichen Zahlen zu einer Menge N zusammen und schreibt
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..}
(5.1)
Manchmal benötigt man die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null. Dann
schreibt man:
N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, ..}
(5.2)
Achtung: Andere benutzen statt dessen oft N = {1,2,3,4,5,..} und N0 = {0,1,2,3,4,5,..}
(Vor allem )Bei Größen benutzen wir auch Bruchzahlen wie z.B. 21 und 34 oder
Kommazahlen wie z.B, 2,5 oder 0,91
5.2
Zahlwörter für große Zahlen
1 Tausend = 1 T
=
1000
1 Million
= 1 Mio. = 1000 T = 1000·1000 =
1 000 000
1 Milliarde = 1 Mrd. = 1000 Mio.
=
1 000 000 000
1 Billion
= 1 Bio. = 1000 Mrd.
=
1 000 000 000 000
1 Billiarde = 1000 Bio.
= 1 000 000 000 000 000
Es geht weiter mit Trillionen, Trilliarden, Quadrillionen, ...,Quintillionen,...
Achtung: Eine amerikanische billion“ ist eine deutsche Milliarde “. Eine
”
”
deutsche Billion “ ist eine amerikanische trillion “.
”
”
5.3
Runden
Wenn die erste wegfallende Ziffer eine 0,1,2,3 oder 4 ist, wird abgerundet,
wenn es eine 5,6,7,8 oder 9 ist, aufgerundet
Abrunden
Die folgenden Ziffern werden einfach weggelassen
Aufrunden
5
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Die letzte Ziffer, die bleibt, wird um 1 erhöht, die folgenden Ziffern werden
weggelassen
Beispiele : (Runden auf Hunderter) 5123 ≈ 5100; 5149 ≈ 5100 ; 5150≈ 5200;
5178 ≈ 5200
5.4
Größen
Zu jeder Größenangabe gehört eine Maßzahl und eine Maßeinheit. Dabei
kann die Maßzahl eine natürliche Zahl, eine Kommazahl oder eine Bruchzahl
sein.
5.4.1
Geldwerte
1 ¤= 100 Cent ; 1 Cent = 0,01 ¤
5.4.2
Längen
1 dm
10 dm
1m =
1 km = 1000m
1 mm = 0,1 cm =
1 cm =
5.4.3
Massen
1t
1 kg
1000 kg
=
5.4.4
1d
5.4.5
=
0,01 dm
0,1 dm
1 cm
1g
1000 g
1 cm
10 cm
100 cm
=
=
=
=
=
=
0,001
0,01
0,1
1
1000 mg
=
=
=
m
m
m
m
10 mm
100 mm
1000 mm
=
1 mg
0,001 km
=
0,001 g
1g
=
0,001 kg
1kg
Zeitspannen
=
1h
24h
=
=
1 min
60 min
1440 min
=
=
60 s
3600 s
Rechnen mit Größen
ˆ Man kann nur Größen der gleichen Größen-Art addieren(subtrahieren).
ˆ Wenn die Größen in derselben Maßeinheit gegeben sind, addiert (subtrahiert) man die Maßzahlen und behält die Maßeinheit bei. Beachte :
Komma unter Komma!
ˆ Wenn die Größen in verschiedenen Maßeinheiten gegeben sind (z.B. cm
und m) rechnet man zuerst alle Werte in dieselbe Maßeinheit um.
ˆ Man multipliziert eine Größe mit einer Zahl, indem man die Maßzahl mit
der Zahl multipliziert und die Einheit beibehält.
6
=
0,001 t
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
5.5
16. September 2007
Grundrechenarten
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
5.6
Regelheft
1.Summand
Minuend
1.Faktor
Dividend
+
·
:
2. Summand
Subtrahend
2. Faktor
Divisor
=
=
=
=
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
Ausführbarkeit von Addition und Subtraktion
Die Addition zweier natürlicher Zahlen ist immer ausführbar, d.h. die Summe
zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist nur dann eine natürliche Zahl, wenn
der Minuend mindestens so groß ist wie der Subtrahend.
5.7
Vorrang-regeln
ˆ Kommen in einem Term (Rechen-Ausdruck) Klammern vor, so ist zuerst
das aus zurechnen, was in den Klammern steht. Die Klammern werden
durch ihren Wert ersetzt.
ˆ Kommen in einem Term innere und äußere Klammern vor, so ist zuerst
das aus zurechnen, was in den inneren Klammern steht.
ˆ Potenzen werden vor den anderen Rechen-Operationen ausgewertet
ˆ Multiplikationen und Divisionen haben Vorrang vor Additionen und Subtraktionen ( Punkt- vor Strichrechnung“)
”
ˆ Wenn keine anderen Regeln greifen, wird von links nach rechts gerechnet
5.8
entgegengesetzte Rechenarten
ˆ Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenarten. Jeder Subtraktionsgleichung entspricht eine Additionsgleichung und umgekehrt
a−b=c⇔a=c+b
(5.3)
a+b=c⇔a=c−b⇔b=c−a
(5.4)
ˆ Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenarten. Jeder Divisionsgleichung entspricht eine Multiplikationsgleichung und umgekehrt
a:b=c⇔a=c·b
(5.5)
a·b=c⇔a=c:b⇔b=c:a
(5.6)
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Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
5.9
Rechengesetze
5.9.1
Assoziativgesetze
16. September 2007
In einer Summe (in einem Produkt) mit drei - oder mehr - Summanden (Faktoren) darf man die Summanden (Faktoren) durch Klammern beliebig zusammenfassen.
Für alle natürlichen Zahlen gilt:
5.9.2
(a + b) + c = a + (b + c)
(5.7)
(a · b) · c = a · (b · c)
(5.8)
Kommutativgesetze
In einer Summe (in einem Produkt) darf man die Reihenfolge der Summanden
(Faktoren) vertauschen.
Für alle natürlichen Zahlen gilt:
5.9.3
(a + b) = b + a
(5.9)
a·b=b·a
(5.10)
Distributivgesetz für die Multiplikation
Für alle natürlichen Zahlen gilt:
5.9.4
a · (b + c) = a · b + a · c
(5.11)
a · (b − c) = a · b − a · c
(5.12)
Distributivgesetz für die Division
Falls a und b Vielfache von c sind, gilt:
(a + b) : c = a : c + b : c
(5.13)
(a − b) : c = a : c − b : c
(5.14)
(5.15)
5.9.5
zu beachten!
ˆ Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nicht für die Subtraktion und
die Division.
ˆ Es gibt kein Distributivgesetz für die Division, falls der Divisor eine Summe oder eine Differenz ist.
ˆ Im Bereich der natürlichen Zahlen N gilt:
Subtraktionen sind nur ausführbar, wenn der Minuend größer ist, als der
Subtrahend. Divisionen sind nur ausführbar, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. (Die beiden letzten Einschränkungen werden mit der
Einführung der Bruchzahlen B bzw. der rationalen Zahlen Q wegfallen.)
8
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
5.10
Regelheft
16. September 2007
Überschlagsrechnungen
Überschlagsrechnungen sind keine genauen Rechnungen. das Ziel ist es, die
Größenordnung des Ergebnisses zu erhalten.
Man sollte versuchen, die Zahlen so zu runden, dass man ein möglichst genaues
Ergebnis erhält, die Rechnung aber noch ohne Probleme im Kopf ausführen
kann. Eindeutige Regeln gibt es nicht.
ˆ Beim Addieren und Multiplizieren sollte man möglichst einen Wert auf-,
den anderen abrunden.
ˆ Beim Subtrahieren und Dividieren sollte man möglichst beide Werte aufbzw. abrunden.
5.11
Potenzen
BasisExponent = P otenz
Der Exponent (die Hochzahl) gibt an, wie oft die Basis (die Grundzahl) als
Faktor auftritt.
Potenzen mit dem Exponenten zwei nennen wir Quadratzahlen, solche mit dem
Exponenten drei Kubikzahlen.
5.12
Stellenwertsysteme
In unserem Zahlensystem hängt der Wert einer Ziffer von der Stelle ab, an der
sie steht:
vor dem Komma stehen die Einer, davor die Zehner usw.. Hinter dem Komma
stehen die Zehntel, Hundertstel usw..
Unser Zahlensystem basiert auf der Zehn als Stufenzahl. Es sind andere Stufenzahlen möglich.
Gängig sind die Stufenzahlen zwei (Binärsystem), acht(Oktalsystem), zehn (Dezimalsystem) und Sechzehn (Hexadezimalsystem).
5.13
Aussagen
5.13.1
Aussagen
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde (Satz), das entweder wahr oder falsch
ist.
Fragen und Aufforderungen z.B. sind keine Aussagen.
5.13.2
Aussageformen
Aussageformen enthalten Platzhalter (Variablen). Sie selbst sind weder falsch
noch wahr. Wenn man für die Variablen geeignete Dinge einsetzt, werden sie zu
Aussagen.
9
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
5.14
Gleichungen und Ungleichungen
5.14.1
Gleichungen
Eine Aussageform, die aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwischen besteht, nennen wir eine Gleichung. Setzt man in die Gleichung Zahlen
ein, so wird die Gleichung zu einer wahren oder einer falschen Aussage.
Die Zahlen, für die die Gleichung zu einer wahren Aussage wird, fassen wir zur
Lösungsmenge L zusammen.
Wir sagen auch: Diese Zahlen erfüllen die Gleichung.
Beispiel:
(3x + 2)(x − 1) = 2x2 + 3x − 5
Diese Gleichung hat die Lösungsmenge L = {1; 3}
5.14.2
allgemeingültige Gleichungen
Es gibt Gleichungen, die werden von jeder Zahl erfüllt. Solche Gleichungen heißen allgemeingültig.
5.14.3
Ungleichungen
Das obige gilt auch für Ungleichungen, nur dass diese erfüllt sind, wenn die
zwei Terme auf den beiden Seiten des Ungleich-Zeichens (6=) beim Einsetzen
der Zahlen verschiedene Werte annehmen.
5.15
Geometrie
Geometrie fehlt derzeit in diesem Papier noch!
10
Kapitel 6
Klasse 6
6.1
Bruchrechnung
6.1.1
Teiler einer Zahl
Bleibt beim Dividieren einer Zahl a durch eine Zahl b kein Rest, gibt es also
eine natürliche Zahl n mit n = a : b, bzw. ist a = n · b, so nennen wir a ein
Vielfaches von b oder b einen Teiler von a
Wir sagen auch : a ist teilbar durch b oder b teilt a (geschrieben a | b).
Bleibt bei der Division a : b ein Rest, bzw. ist a = n · b + c, so ist a nicht teilbar
durch b.
Beispiel : Es ist 2 · 6 = 12, also ist 2 ein Teiler von 12; es ist 14 = 2 · 6 + 2, also
ist 6 kein Teiler von 14.
Wenn gilt : a teilt b, kann - außer wenn a und b gleich sind - nicht gelten : b
teilt a .
Zu jedem Teiler einer Zahl a gehört ein komplementärer Teiler. Das Produkt
zweier komplementärer Teiler ist die Zahl a.
Beispiel: 6|24; der zu 6 komplementärer Teiler ist 4, denn 6 · 4 = 24
Bemerkung : Ist a = b2 (also Quadratzahl) ist b komplementärer Teiler zu sich
selbst.
Die Menge der Teiler einer Zahl a heißt Teilermenge Ta von a.
Beispiel: Die Zahlen 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 sind die Teiler der Zahl 60;
T60 ={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}
ˆ Jede Zahl hat sich selbst als Teiler;
ˆ 1 ist Teiler jeder Zahl;
ˆ Null ist durch jede Zahl teilbar.
6.1.2
Teilbarkeit von Summen und Produkten
ˆ Ist eine Zahl a durch eine Zahl b teilbar, dann ist auch jedes Vielfache von
a durch b teilbar.
Beispiel: 12 ist durch 4 teilbar; 60 ist ein Vielfaches von 12; also ist auch
60 durch vier teilbar.
11
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Regelheft
16. September 2007
ˆ Lässt sich eine Zahl a in ein Produkt zerlegen und ist wenigstens einer der
Faktoren durch eine Zahl b teilbar, so ist auch a durch b teilbar.
Beispiel: 182 lässt sich in das Produkt 2 · 91 zerlegen. Da 91 durch 13
teilbar ist,ist auch 182 durch 13 teilbar.
ˆ Ist in einer Summe a + b (Differenz a − b) sowohl a als auch b teilbar durch
eine Zahl c, dann ist auch die Summe a+b (Differenz a−b) durch c teilbar.
Beispiel : 65 und 39 sind beide durch 13 teilbar; 39+65=104 und 65-39
=26 sind auch durch 13 teilbar
ˆ Ist dagegen nur eine der beiden Zahlen a und b durch c teilbar, die andere
aber nicht, so ist die Summe a + b (die Differenz a − b) nicht teilbar durch
c.
Beispiel : 65 ist durch 13 teilbar, 38 nicht; 38+65=103 und 65-38 =27
sind beide nicht durch 13 teilbar
ˆ Eine Summe a + b ist genau dann teilbar durch eine Zahl c, wenn die
Summe der Reste, welche a und b bei der Division durch c lassen, durch c
teilbar ist.
BBeispiel :3497 + 1743 ist durch 5 teilbar; 3497 hat den Fünfer-Rest 2;
1743 den Fünfer-Rest 3; die Summe der Reste ist 5 und durch 5 teilbar;
dagegen haben 23 und 38 jeweils den Fünfer-Rest 3; die Summe der Reste
ist 6 und nicht durch 5 teilbar; also ist auch 23+38=61 nicht durch fünf
teilbar.
ˆ Ist mindestens eine von zwei Zahlen a und b teilbar durch c, so ist auch
ihr Produkt a · b teilbar durch c. ( siehe auch 4.5))
Beispiel: 8 und 12 sind teilbar durch 4; also ist 8 · 12 = 96 teilbar durch 4;
aber auch 8 · 13 = 104 ist durch vier teilbar, da es reicht, dass ein Faktor
ein Vielfaches von vier ist.
6.1.3
Teilbarkeitsregeln
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch
ˆ 2 , wenn die Einer-Ziffer gerade ist.
ˆ 3 , wenn die Quersumme (d.i. die Summe aller Ziffern) durch 3 teilbar ist
ˆ 4 , wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar
ist.
ˆ 5 , wenn sie die Einer-Ziffer 0 oder 5 hat.
ˆ 6 , wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
ˆ 8 , wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.
ˆ 9 , wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
ˆ 10, wenn sie die Einer-Ziffer 0 hat.
ˆ 11, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
ˆ 12, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
12
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ˆ 20, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 20 teilbar
ist.
ˆ 25, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 25 teilbar
ist.
Zu 11 : alternierende Quersumme: man addiert zuerst die an 1.,3.,5.,7.,... usw.
Stelle stehenden Ziffern ; dann die an 2.,4.,6.,8.,... usw. Stelle stehenden Ziffern;
die Ergebnisse subtrahiert man voneinander.
Beispiel : 85976 ist durch 11 teilbar, denn es ist: 8+9+6 =23; 5+7 =12; 23-12
=11
6.1.4
Primzahlen
Zahlen mit genau zwei Teilern bezeichnet man als Primzahlen. Es sind dies die
Zahlen (größer als 1), die nur sich selbst und die 1 als Teiler haben.
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Die Primzahlen bis 200 sind : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131,
137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
Jede natürliche Zahl (größer als 1) ist entweder Primzahl oder lässt sich aus
Primzahlen durch Multiplizieren erzeugen. Die dazu notwendigen Primzahlen
sind eindeutig bestimmt; zu jeder Zahl gehören ganz bestimmte Primfaktoren.
Ein Primfaktor kann dabei mehrfach auftreten. Wenn man eine Zahl als Produkt
von Primfaktoren darstellt spricht man von einer Primzahlzerlegung.
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren)
eindeutig.
Beispiele :
420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 22 · 3 · 5 · 7; 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32
Ist eine Primzahl Teiler einer Zahl, sprechen wir von einem Primteiler
Sind a und b Primteiler einer Zahl c, so ist auch das Produkt a · b Teiler von c .
Dies gilt nur für Primteiler.
Beispiel : 2 und 3 sind Teiler von 60, also auch 6; aber 4 und 6 sind zwar Teiler
von 60, aber keine Primteiler; 4 · 6 = 24 ist kein Teiler von 60
Bestimmen der Primzahlzerlegung
ˆ versuche, die Zahl in Faktoren zu zerlegen
ˆ prüfe, ob die bisher ermittelten Faktoren Primfaktoren sind; sonst zerlege
sie weiter
ˆ wenn nur noch Primfaktoren auftreten, sind diese noch zu ordnen
Beispiel : 1848 = 12·154 = 2·2·3·2·77 = 2·2·3·2·7·11 = 2·2·2·3·7·11 = 23 ·3·7·11
6.1.5
gemeinsame Teiler, ggT
Einen Teiler, der sowohl eine Zahl a als auch eine Zahl b teilt, nennen wir einen
gemeinsamen Teiler von a und b
Wenn zwei Zahlen a und b einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben, heißen
sie teilerverwandt; ist 1 der einzige gemeinsame Teiler, so sagen wir: a und b
sind teilerfremd.
13
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Beispiele:
gesucht werden die gemeinsamen Teiler von 48 und 56:
T48 = { 1; 2; 3; 4; 6; ; 8; 12; 16; 24;48};
T56 = { 1; 2;4;7; 8; 14; 28;56};
T48 ∩ T56 ={ 1; 2;4;8 }
sind 462 und 1001 teilerverwandt?
462 =2 · 3 · 7 · 11
1001 = 7 · 11 · 13
also sind 1,7,11,77 gemeinsame Teiler
Unter allen gemeinsamen Teilern zweier Zahlen a und b gibt es einen größten.
Dieser größte gemeinsame Teiler (ggT) ist das Produkt aller gemeinsamen
Primteiler von a und b.
Sind a und b teilerfremd, so ist die Zahl 1 ihr ggT.
Alle gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen sind Teiler des ggT.
Sind zwei Teiler a und b einer Zahl c teilerfremd, so ist auch a·b ein Teiler von
c.
6.1.6
Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV
Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen a und b gibt es ein kleinstes,
das kgV.
Die Vielfachen des kgV von a und b sind Vielfache sowohl von a als auch von b.
Das kgV von a und b erhält man, wenn man die Primfaktoren von a notiert
und dann die Primfaktoren von b, die noch nicht (oder weniger oft) notiert sind,
hinzufügt.
Sind a und b teilerfremd, so ist a · b das kgV von a und b.
6.1.7
Die Bestimmung des ggT und des kgV
Man ermittelt zuerst die Primfaktorzerlegungen von a und b. Dabei schreibt
man die Primfaktoren von b, die schon in a auftraten unter diese.
Der ggT ist nun das Produkt der Primfaktoren, die in beiden Zeilen auftreten.
Man notiert alle Faktoren, die in einer Spalte überall stehen.
Das kgV ist das Produkt der Primfaktoren, die mindestens einmal auftreten.
Man notiert in jeder Spalte den Primfaktor einmal. Dieses Verfahren lässt sich
auf mehrere Zahlen erweitern.
Beispiel:
gesucht sind ggT und kgV der Zahlen 84,630,1050
84 = 2 · 2 · 3 · 7
630 = 2
· 3 · 7 · 3 · 5
1050 = 2
· 3 · 7
· 5 · 5
42 = 2
· 3 · 7
6300 = 2 · 2 · 3 · 7 · 3 · 5 · 5
Es ist: ggT(84,630,1050) = 42; kgV(84,630,1050)=6300
Beispiel:
Gesucht sind ggT und kgV der drei Zahlen 76440, 5040, 2625
Primzahlzerlegung:
14
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76440
76440 ist teilbar durch 20
= 4 · 5 · 3822
3822 ist gerade, Quersumme 15, also teilbar durch 6
= 4 · 5 · 2 · 3 · 637
637 = 630+7; teilbar durch 7
= 4 · 5 · 2 · 3 · 7 · 91
= 4 · 5 · 2 · 3 · 7 · 7 · 13
= 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 13
7644 vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet
5040
5040 ist teilbar durch 20
= 4 · 5 · 252
252 ist teilbar durch 4 und 9, also durch 36
= 4·5·4·9·7
= 2·2·2·2·3·3·5·7
5040 vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet
2625
2625 ist teilbar durch 25
= 25 · 105
105 teilbar durch 5 und 3, also 15
= 25 · 15 ·7
= 3·5·5·5·7
2625 vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet
kgV und ggT bestimmen
76440 =2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 13
5040 =2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 2 · 3
2625 =3 · 5 · 7 · 5 · 5
ggT : 3 · 5 · 7=105
kgV : 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 13 · 2 · 3 · 5 · 5 =11466000
Beispiel: Wie viele 24 cm lange, 10 cm breite und 5 cm hohe Ziegelsteine braucht
man mindestens, um einen massiven Würfel aufzuschichten ?
Die Kantenlänge des Würfels muss ein vielfaches der drei Seitenlängen eines
Ziegelsteins sein. Also muss ich das kgV bestimmen.
24 = 2 · 2 · 2 · 3
10 = 2 · 5
5=5
kgV : 2 · 2 · 2 · 3 · 5 =120
d.h. der Würfel muss 120 cm Kantenlänge haben; es ist120 =5 · 24; 20 = 12 ·
10; 120 =24 · 5;
also werden 5 · 12 · 24 =1440 Steine benötigt.
6.1.8
Der Euklidische Algorithmus
Die nach Euklid benannte Vorschrift zur Bestimmung des ggT zweier ganzer
Zahlen lautet wie folgt:
1. man nimmt die größere Zahl als Dividend , die kleinere als Divisor und
führt die Division mit Rest aus.
2. ist der Rest Null, so ist der letzte Divisor der ggT
sonst nimmt man den letzten Divisor als neuen Dividenden und den letzten
Rest als Divisor und wiederholt das Verfahren.
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Beispiel
Gesucht wird der ggT von 1870 und 2415
2415 : 1870 = 1 Rest 545
1870 :
545 = 1 Rest 235
545 :
235 = 2 Rest
75
235 :
75 = 3 Rest
10
75 :
10 = 7 Rest
5
10 :
5 = 2 Rest
0
Also ist ggT(2415;1870) =5
Beispiel
Gesucht wird der ggT von 12 und 35
35 : 12 =
2 Rest 11
12 : 11 =
1 Rest
1
11 :
1 = 11 Rest
0
Also ist ggT(12,35) =1 ; d.h. 12 und 35 sind teilerfremd.
Begründung des Verfahrens:
Wenn a und b die beiden Zahlen sind, die wir untersuchen, ergibt sich zuerst:
a : b = f1 Restr1 ( f wie Faktor; r wie Rest)
dies können wir auch so schreiben
a = f1 · b + r1
ist r1 = 0 so ist b Teiler von a, also ggT(a,b) =b;
sonst gilt: der ggT(a,b) ist Teiler von a und von b, also auch (vgl. 2.1) von
a − f 1 · b = r1
also ist
ggT(b,r1 ) =ggT(a,b).
Nun ist b < a und r1 < b . Wenn wir das Verfahren wiederholen, wird der
jeweilige Rest immer kleiner.
Das Verfahren muss also irgendwann abbrechen - wenn der Rest 0 ist.
6.1.9
Das Sieb des Eratosthenes
Sollen alle Primzahlen unter 100 gefunden werden, so schreibt man die Zahlen
von 2 bis 100 auf.
Die erste Primzahl ist 2 ; man streicht alle (außer 2 selbst) durch 2 teilbaren
Zahlen durch.
(hier durch rote Schriftgekennzeichnet)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
20
21 22 23 24 25 26 27 28 29
30
31 32 33 34 35 36 37 38 39
40
41 42 43 44 45 46 47 48 49
50
51 52 53 54 55 56 57 58 59
60
61 62 63 64 65 66 67 68 69
70
71 72 73 74 75 76 77 78 79
80
81 82 83 84 85 86 87 88 89
90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Dasselbe mit 3; also: alle Vielfachen von 3 (außer der 3 selbst!) streichen.
hier durch blaue Schriftgekennzeichnet; beim Streichen sollte man auch schon
gestrichene noch einmal streichen; es gibt weniger Fehler)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
20
21 22 23 24 25 26 27 28 29
30
31 32 33 34 35 36 37 38 39
40
41 42 43 44 45 46 47 48 49
50
51 52 53 54 55 56 57 58 59
60
61 62 63 64 65 66 67 68 69
70
71 72 73 74 75 76 77 78 79
80
81 82 83 84 85 86 87 88 89
90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Die 4 ist schon gestrichen, also keine Primzahl. Damit sind auch schon alle
Vielfachen der 4 gestrichen. Nun werden also die Viel fachen von 5 gestrichen.
Beachte, dass das zwei-, drei- und vierfache von fünf bereits gestrichen ist. Die
erste neu zu streichende Zahl ist also 5 · 5 = 25.
hier durch grüne Schriftgekennzeichnet)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
20
21 22 23 24 25 26 27 28 29
30
31 32 33 34 35 36 37 38 39
40
41 42 43 44 45 46 47 48 49
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51 52 53 54 55 56 57 58 59
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61 62 63 64 65 66 67 68 69
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71 72 73 74 75 76 77 78 79
80
81 82 83 84 85 86 87 88 89
90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Die 6 ist schon gestrichen; nun dasselbe mit 7; die erste neu zu streichende Zahl
ist 7 · 7 = 49.
hier durch unterstrichene Zahlen gekennzeichnet)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
20
21 22 23 24 25 26 27 28 29
30
31 32 33 34 35 36 37 38 39
40
50
41 42 43 44 45 46 47 48 49
51 52 53 54 55 56 57 58 59
60
61 62 63 64 65 66 67 68 69
70
71 72 73 74 75 76 77 78 79
80
81 82 83 84 85 86 87 88 89
90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Die 8,9,10 sind schon gestrichen.
Die nächste Primzahl ist 11. Nun sind das 1,2,3...10-fache von 11 aber schon
gestrichen; die erste neu zu streichende Zahl wäre erst 11 · 11 = 121; diese Zahl
ist aber größer als 100.
Alle noch nicht gestrichenen Zahlen - d.h
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
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- sind Primzahlen.
6.1.10
Vielfache und Teile einer Größe
Vielfache einer Größe
Eine Größe besteht aus Maßzahl und Maßeinheit. Beispiel : 4m, 3kg, 23min
Gleichartige Größen (d.h.Größen mit derselben Einheit) lassen sich zu einer
neuen Größe zusammensetzen :
3kg + 5kg =8kg.
Werden gleiche (d.h. gleiche Maßzahl und Einheit) Größen zusammengesetzt,
so schreiben wir statt
2kg +2kg +2kg +2kg +2kg +2kg + 2kg
kürzer
(2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2)kg
oder gleich
5 · (2kg) = (5 · 2)kg =10kg.
Eine Größe wird vervielfacht, d.h. mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem
man ihre Maßzahl mit dieser Zahl multipliziert und die Einheit beibehält.
Teile einer Größe
Größen lassen sich auch teilen; um einen Teile einer Größe anzugeben, wandeln
wir ihn i.a. in eine kleinere Einheit um, z.B. ist :
3 kg : 4 =3000 g : 4 =750 g
Dabei erhalten wir jedoch nicht immer eine natürliche Zahl als Maßzahl - z.B
wenn wir 1 kg in drei gleiche Teile teilen wollen.
Wir brauchen dann für die Teilgrößen einen neuen Namen: Brüche
Wird z. B. das Gewicht 1 kg in n gleiche Teile geteilt, so schreiben wir für eines
der entstandenen Teilgewichte :
1
n kg
6.1.11
Bruchteile und -zahlen
Bruchteile einer Größe
Teilt man z. ein Gewicht in gleiche Teile, kann man die entstandenen Teilgewichte wieder zu neuen Gewichten zusammensetzen:
so ergeben z.B zwei Teile des in drei gleiche Teile geteilten Gewichtes 1kg das
neue Gewicht .
2
3 kg
z
n
kg
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ist derjenige Bruchteil des Gewichtes 1 kg, den man erhält, wenn man 1 kg
in n gleiche Teile teilt und danach z solcher Teile zu einem neuen Gewicht
zusammensetzt. nennen wir einen Bruch, mit dem Zähler z und dem Nenner
n.
Der Bruch 43 bezeichnet den Anteil am Ganzen, z.B 34 m dreiviertel vom ganzen
Meter. Die Anteile nz bilden eine ’unbenannte’ Skala.
Die Brüche nz mit z ∈ Z und n ∈ N 1 sind Namen (Kennzeichen) für Bruchzahlen.
Jede Bruchzahl hat verschiedene Namen.
20
1482
Beispiel: 23 = 46 = 10
15 = 30 = 2223 = · · ·
Die Menge B0 der Bruchzahlen umfasst die Menge der natürlichen Zahlen N
Beispiel: Die natürliche Zahl n lässt sich als Bruchzahl n1 schreiben.
Der Quotient zweier natürlicher Zahlen z und n ist die Bruchzahl nz
Die Bruchzahl nennt man den Kehrwert der natürlichen Zahl n.
0 hat keinen Kehrwert , weil man durch 0 nicht dividieren kann.
Wegen 14 : 3 = (12 + 2) : 3 = 12 : 3 + 2 : 3 = 4 + 32 schreibt man auch 4 23 .
1
Dies nennt man die gemischte Schreibweise für die Bruchzahl 3 und bezeichnet
4
4 32 als gemischte Zahl.
6.1.12
Erweitern und Kürzen
Beispiele
Man hat 34 einer Torte. Teilt man nun jedes der Viertel in fünf gleiche Teile,
entstehen Zwanzigstel; man hat davon 3·5 =15 Stück.
15
Also ist . 43 = 20
9
12
15
18
Entsprechend kann man zeigen, dass 34 = 68 = 12
= 16
= 20
= 24
= · · · ist.
Man hat eine Torte in Zwölftel geschnitten; davon sind noch acht Stück über.
Legt man nun immer zwei Stück zusammen, so entstehen Sechstel; davon hat
man dann 4 Stück.
8
8:2
Also ist 12
= 46 = 12:2
8
Entsprechend kann man zeigen, dass 12
= 23 ist.
Erweitern
Wenn man den Zähler z und den Nenner n eines Bruchs nz mit derselben
z·k
natürlichen Zahl k multipliziert, so erhält man den Bruch n·k
; er stellt diez
selbe Bruchzahl dar, wie n .
z·k
Diese Umformung des Bruchs nz in den Bruch n·k
nennt man Erweitern von
z
mit
k.
n
Kürzen
Wenn Zähler z und Nenner n eines Bruchs nz einen gemeinsamen Teiler k
z:k
haben, so ist nz = n:k
. Diesen Übergang nennt man Kürzen mit k.
Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs teilerfremd sind, so heißt der Bruch
vollständig gekürzt .
1 N ist die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich Null); Z die der ganzen Zahlen; Z
besteht aus den natürlichen und ihren negativen Gegenzahlen
19
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Hauptnenner
3
Wir erweitern 10
und 16 so, dass zwei nennergleiche Brüche entstehen. Wir
probieren die verschiedenen Möglichkeiten aus und schreiben die Ergebnisse in
einer Tabelle auf:
Erweitert mit: 2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
3
10
1
6
6
20
2
12
9
30
3
18
12
40
4
24
15
50
5
30
18
60
6
36
21
70
7
42
24
80
8
48
27
90
9
54
30
100
10
60
36
120
15
90
60
200
20
120
wir sehen, dass es viele Möglichkeiten gibt, gemeinsame Nenner zu finden. Wir
wählen unter diesen allen den kleinsten (hier 30) aus .
Man nennt 30 den Hauptnenner der Brüche mit den Nennern 10 und 6.
Der Hauptnenner ist das kgV der Nenner der beiden Bruchzahlen.
6.1.13
Anordnung der Bruchzahlen
Es ist einfach, zwei natürliche Zahlen der Größe nach anzuordnen. Bei zwei
Bruchzahlen ist es wesentlich schwieriger anzugeben, welche die größere ist.
5
7
Beispiel : ist 21
größer oder kleiner als 30
?
Einfach ist es, zwei Bruchzahlen, die den gleichen Nenner haben,zu vergleichen
: diejenige mit dem größten Zähler ist die größere.
Ebenso kann man Brüche mit dem gleichen Zähler gut vergleichen: diejenige
mit dem kleineren Nenner ist die größere.
Um beliebige Brüche zu vergleichen, macht man sie durch Erweitern nennergleich.
Beispiel:
5
21
7
und 30
sollen verglichen werden.
zuerst bestimmen wir das kgV(21;30).
21
= 3 ·7
30
= 3 ·2 ·5
kgV : 3 · 7 · 2 · 5 = 210
5
5
50
21 müssen wir mit 2 · 5 = 10 erweitern, also 21 = 210
7
7
49
30 müssen wir mit 7 erweitern, also 30 = 210 . Damit gilt :
5
21
>
7
30 .
Bruchzahlen sind dicht angeordnet
Es ist . 74 > 57 .
8
10
Erweitert man diese Brüche mit 2 erhält man 14
und . 14
9
8
9
Dazwischen liegt noch die Bruchzahl 14 . Erweitern wir 14
und 14
mit 1000, so
8000
9000
erhalten wir 14000 und 14000 .
Nun ist:
4
8
8000
8001
8002
8998 8999
9000
9
10
5
7 = 14 = 14000 < 14000 < 14000 < · · · < 14000 14000 < 14000 = 14 < 14 = 7 .
8347
25038
42041
8346
Erweitern wir 14000 und 14000 mit 3 , so erhalten wir 42000 und 14000 , zwischen
25039
denen wieder die Bruchzahlen 42000
und 25040
42000 liegen.
Dies kann man beliebig fortsetzen. Wenn wir zwei Bruchzahlen haben, können
wir immer noch weitere Bruchzahlen angeben, die zwischen diesen beiden angeordnet sind.
Wir sagen :
Die Menge B der Bruchzahlen ist dicht angeordnet .
Im Gegensatz zu den natürlichen Zahlen hat eine Bruchzahl keinen Nachfolger.
20
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
6.1.14
Regelheft
16. September 2007
Addition und Subtraktion von Bruchzahlen
Zwei Bruchteile einer Größe G kann man zu einem neuen Bruchteil von G zusammensetzen.
Mit Hilfe einer genügend feinen Unterteilung von G erkennen wir, um welchen
Bruchteil es sich handelt.
Beispiel : Wenn wir einen drittel Meter und einen halben Meter durch sechstel
Meter ausdrücken, erhalten wir:
1
1
2
3
5
3m + 2m = 6m + 6m = 6m
Man kann nennergleiche Brüche addieren:
a+b
a b
+ =
c
c
c
Die Zähler werden addiert,der gemeinsame Nenner wird beibehalten.
Die Addition von Brüchen
Sind die Nenner der zu addierenden Brüche verschieden, so machen wir die
Brüche zuerst nennergleich.
ˆ Wir bestimmen das kgV aller Nenner.
ˆ Dies ist der Hauptnenner (HN)
ˆ Die Brüche werden so erweitert, dass der Hauptnenner zum Nenner wird.
ˆ Die Zähler werden addiert
ˆ ggf. wird das Ergebnis noch gekürzt.
Beispiel:
5
8
+
4
9
+
11
24
=
45
72
+
32
72
+
33
72
=
45+32+33
72
=
110
72
=
55
36
= 1 19
36
Die Subtraktion von Brüchen
Bei Differenzen verfährt man entsprechend.
6.1.15
Vielfache und Teile eines Bruchteil es
Vielfache eines Bruchteil es
Das k-fache des Bruch es a1 ist der Bruch ka ;
Um das k-fache des Bruch es nz zu bestimmen, müssen wir (k · z) mal den Bruch
1
k·z
n nehmen; wir erhalten damit den Bruch n
Teile eines Bruchteils
Der k-te Teil des Bruchs
Der k-te Teil des Bruchs
1
a
z
n
ist der Bruch
ist der Bruch
1
k·a
z
k·n .
21
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Bruchteile eines Bruchteils
Beispiel: 34 einer Zahl bedeutet, dass zuerst der vierte Teil dieser Zahl gebildet
wird, und dann das Zwischenergebnis dreimal genommen wird.
5
also : 34 von 57 erhält man, indem man zuerst ein Viertel von 75 bildet. d.h 7·4
5·3
5
= 28 . (vgl.16.2) und dies dann mit 3 multipliziert , d.h. 28 .
Um den Bruchteil eines Bruchteils zu bestimmen, müssen wir nur die beiden
Zähler und die beiden Nenner der Bruchteile miteinander multiplizieren.
6.1.16
MULTIPLIZIEREN VON BRUCHZAHLEN
Wenn wir ganze Zahlen als Brüche mit dem Nenner 1 auffassen, stellen wir (
vergl. 16.3 ) fest, dass die Bildung von Bruchteilen“von Bruchteilen“in diesem
”
”
Fall genau die Multiplikation ganzer Zahlen ergibt.
Multiplikation von Bruchzahlen zu deuten.
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner
mit Nenner multipliziert.
Beispiel
3
5
3
· 12 = 10
oder in Worten : Die Hälfte von
3
5
ist
3
10
ein weiterer wichtiger Hinweis:
Bevor man - entsprechend der Regel -multipliziert, sollte man immer prüfen,
ob man kürzen kann!
Beispiel:
3 20
3·20
3 1 ·Z
205
1·5
1
8 · 9 = 8·9 = 82 ·93 = 2·3 = 6 ;
C ungeschickt wäre die Rechnung :
3 20
3·20
60
8 · 9 = 8·9 = 72
hier kann man zwar noch relativ leicht erkenne, dass man durch 12 - oder nacheinander durch 3 und durch 4 - kürzen kann, aber das nächste Beispiel stellt
uns bei ungeschicktem Vorgehen vor - fast - unlösbare Probleme:
17 46
782
23 · 51 = 1173
Ohne Anwendung des euklidischen Algorithmus wird wohl kaum jemand - im
Ergebnis! - auf die Möglichkeit stoßen, dass man durch 391 = 23 · 17 kürzen
kann
Wählt man dagegen das geschicktere Vorgehen - zuerst kürzen und dann multiplizieren, erhält man die folgende Rechnung:
17 46
17·46
171 ·Z
462
1·2
= 1·3
= 23 ;
23 · 51 = 23·51 = Z
231 ·
513
6.1.17
Exkurs : Rechengesetze
Für das Rechnen mit ganzen Zahlen gelten (u.a.) folgende Gesetze :
22
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
Kommutativgesetze (Vertauschungsgesetze)
Assoziativgesetze (Verbindungsgesetze)
Neutrales Element
16. September 2007
a+b=b+a
a·b=b·a
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
a+0=a
a·1=a
Umkehrung
Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion; die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.
a+b=c ⇔ c−a=b ⇔ c−b=a
c
c
a·b=c ⇔
⇔
a =b
b =a
Die Subtraktion a - b ist aber (falls die negativen Zahlen noch unbekannt sind)
nur möglich, wenn a ¿ b ist.
Die Division a : b ist in der Menge der natürlichen Zahlen nur dann umkehrbar,
wenn b ein Teiler von a ist. Nach Einführung der Bruchzahlen lässt sich der
Quotient a : b immer bilden, er ist die Bruchzahl ab .
Nur die Division durch ’Null’ ist weiterhin nicht durchführbar.
Permanenzprinzip
Die Bruchzahlen wurden eingeführt, um jede Division in der Menge der natürlichen Zahlen ausführen zu können.
Die natürlichen Zahlen bilden eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, sie lassen
sich als Bruchzahlen mit dem Nenner ’eins’ auffassen : n = n1 .
Das Permanenzprinzip führt zur Forderung, die Regeln für das Bruchrechnen
so zu fassen, dass alle Rechnungen mit natürlichen Zahlen das gleiche Ergebnis
haben,
ˆ wenn wir wie bisher rechnen, oder aber,
ˆ wenn wir die natürlichen Zahlen in der Form
regeln für Bruchzahlen anwenden.
n
1
schreiben und die Rechen-
ˆ weiter sollen die obigen Rechengesetze möglichst uneingeschränkt auch für
Bruchzahlen gelten.
Dass diese Bedingungen erfüllt. sind, müsste eigentlich bewiesen werden.
6.1.18
Division von Bruchzahlen
Umkehrung der Multiplikation
Wenn ich beim Rechnen mit natürlichen Zahlen eine Zahl p zuerst mit einer
Zahl q multipliziere, und dann das Ergebnis wieder durch q dividiere, erhalte
ich als Ergebnis wieder den Wert p :
(p · q) : q = p
Dieses soll nach dem Permanenzprinzip auch für Brüche gelten :
Es sei p = ab und q = dc
23
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Also soll sein:
(p · q) : q
a c c
:
·
b d
d
=
=
p
a
b
(6.1)
(6.2)
Nun muss gelten :
a · c c
:
b·d
d
=
a
b
(6.3)
Wir bemerken, dass wir das Ergebnis auf der rechten Seite erhalten können,
wenn wir statt durch dc zu dividieren, mit dc multiplizieren:
a · c d
·
b·d
c
=
a·c·d
a
=
b·d·c
b
(6.4)
Durch Vergleich erhalten wir die Regel für das Dividieren durch Brüche:
a d
a c
: = ·
b d
b c
(6.5)
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
eine etwas andere Begründung :
Zu der Multiplikations-Gleichung p · q = r gehört bei den ganzen Zahlen die
Divisions-Gleichung r : q = p.
Es sei nun p = ab , q = dc und r = fe ; ,
Wir vergleichen:
p·q =r
mit
r:q=p
a c
e
e
c
a
b · d = f
f : d = b
Um die Division auf der rechten Seite ein Ergebnis zu erhalten, suchen wir
geeignete Ausdrücke für a und b auf der linken Seite:
Offensichtlich wird die Gleichung zu einer wahren Aussage, wenn wir a = d · e
und b = c · f setzen:
a c
d·e c e
e
c
a
b · d = c·f · d f
f : d = b
Das gleiche muss auch auf der rechten Seite richtig sein:
d·e c e
e
c
a
d·e
e d
a c
b · d = c·f · d f
f : d = b = c·f = f · c
Beachte
Bei Divisionen gelten weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz!
d.h. : man darf die Zahlen nicht vertauschen und Klammern nicht umsetzen!
6.1.19
Brüche in Dezimalschreibweise
Stellenwertsysteme
Wenn die Zahl zweitausendvierhundertdreiundsiebzig in der Form 2473 geschrieben wird, ist dies eine Kurzfassung von
2473 :=2 Tausender + 4 Hunderter + 7 Zehner + 3 Einer
24
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Unser Zahlensystem basiert auf der Zahl Zehn ( zehn Finger, an denen man
zählen kann !); Hundert ist 10·10, Tausend 10·10·10.
Denkbar ist es, dass man andere Zahlen als die Zehn zur Basis einer Zahlenschreibweise macht.
Wir denken uns z. ein Volk, das ein Fünfer-System benutzt ; dieses würde nur die
Ziffern 05 , 15 , 25 , 35 , 45 benötigen, da die Fünf bereits in der Form 105 geschrieben würde. (Die kleine 5“ deutet an, dass es eine Zahl in Fünfer-Schreibweise
”
ist.)
Die Zahl 19810 würde dann dargestellt als :1 Hundertfünfundzwanziger + 2
Fuenfundzwanziger + 4 Fünfer + 3 Einer, d.h. 12435
Dezimalschreibweise
Mit der Stellenwertschreibweise kann man nicht nur ganze, sondern auch (manche) Bruchzahlen gut darstellen:
Beispiel : 3 Zehner + 4 Einer + 2 Zehntel + 5 Hundertstel + 7 Tausendstel
schreibt man kürzer als 34,257
man schreibt die Zahlen also in der Form
... ¡Hunderter¿¡Zehner¿¡Einer¿,¡Zehntel¿¡Hundertstel¿¡Tausendstel¿ ...
Das Komma steht zwischen den Einern und den Zehnteln.
Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.
Beispiele
Die Zahl 3 Tausender + 4 Zehner + 5 Einer schreibt man 3045
Man muss die nicht aufgeführten 0 Hunderter berücksichtigen.
Entsprechend muss man bei 3 Einer + 2 Hundertstel die Zehntel berücksichtigen:
3 Einer + 0 Zehntel + 2 Hundertstel - also 3,02
Umformen von der Bruch- in die Dezimalschreibweise
Auch der Bruch 43 lässt sich als Dezimalbruch schreiben; hierzu erweitern wir
ihn zuerst so, dass der Nenner eine Potenz von 10 wird :
3
75
70
5
7
5
4 = 100 = 100 + 100 = 0 + 10 + 100 = 0, 75
Verschiedene Darstellungen
3
30
300
3000
= 100
= 1000
= 10000
= · · · , also ist 0, 3 = 0, 30 = 0, 300 = 0, 3000 =
Es ist 10
···.
Wir dürfen hinter einem Komma am Schluss des Dezimalbruchs beliebig viele
Nullen anfügen bzw. weglassen.
Umwandlungsprobleme
Der Bruch 31 lässt sich nicht so erweitern, dass der Zähler eine Potenz von 10
wird, da Potenzen von Zehn nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten können,
aber nicht die 3.
1
3 können wir also (vorläufig) nicht in eine Dezimalzahl umwandeln.
25
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
6.1.20
Regelheft
16. September 2007
Ordnen von Dezimalbrüchen
Ordnen
Stehen bei einer Dezimalzahl vor dem Komma verschiedene Zahlen, ist diejenige
die größere, bei der die größere Zahl vor dem Komma steht.
Stehen vor dem Komma die gleichen Zahlen, so werden die Ziffern hinter dem
Komma von links nach rechts verglichen. Diejenige ist dann die größere Zahl,
bei den zuerst eine höhere Ziffer steht.
Beispiele
98,76 ¡ 123,4 , da 98 ¡ 123
6,97599 ¡ 6,9760123 , da (von links!) in der dritten Dezimalen zum ersten mal
ein Unterschied auftritt; dabei sind die dann noch folgenden Dezimalen völlig
uninteressant
Dichte Ordnung
Es ist 1 ¡ 2
1,1¡ 1,2
1,13 ¡ 1,17
1,132 ¡ 1,133
.......
1,1328759 ¡ 1,1328760
1,13287595¡ 1,13287596
usw.
Bei ganzen Zahlen kann man immer den ’Nachfolger’ angeben. So folgt nach
der Zahl 165 die Zahl 166. Es gibt keine ganze Zahl, die ’zwischen’ 165 und 166
liegt.
Zwischen zwei verschiedenen Dezimalbrüchen kann man immer weitere (sogar
unendlich viele) Dezimalbrüche angeben, die dazwischen liegen.
Die Dezimalbrüche sind dicht angeordnet.
6.1.21
Runden von Dezimalbrüchen
Rundungen
Enthält ein Dezimalbruch überflüssige (oder ungenaue) Dezimalen, so muss gerundet werden.
Vor dem Runden muss man wissen, wie viele Stellen die gerundete Zahl haben
soll. Die überflüssigen Ziffern lässt man weg.
Lautet die erste wegzulassende Ziffer 0;1;2;3 oder 4, so wird abgerundet, d.h.
von dieser Ziffer an werden die nachfolgenden weggelassen.
Lautet die erste wegzulassende Ziffer 5;6;7;8 oder 9, so wird aufgerundet,d.h.
die letzte stehen bleibende Ziffer wird um 1 erhöht.
Ein gerundetes Ergebnis wird durch ≈“gekennzeichnet.
”
26
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Beispiele
104,465421968 ≈ 104,46542197 ≈ 104,4654220 ≈ 104,465422 ≈ 104,46542
≈ 104,46542 ≈ 104,4654 ≈ 104,465 ≈ 104,47 ≈ 104,5 ≈ 104
Vorsicht!!!:Bei mehrfachem Runden aufpassen;möglichst immer vom ursprünglichen Wert ausgehen !
4,4545 ≈ 4,455 ≈ 4,45 ≈ 4,5 ≈ 4
und nicht4,4545 ≈ 4,455 ≈ 4,46 ≈ 4,5 ≈ 5
Genauigkeit, geltende Ziffern
In der Mathematik werden Ergebnisse exakt (nach einem Gleichheitszeichen, =)
oder gerundet (nach einem Ungefähr-Zeichen“, ≈) angegeben.
”
In der Physik und der Technik gibt man alle Ergebnisse (Messwerte oder daraus
berechnete Werte) mit einer sinnvollen Anzahl an sog. geltenden Ziffern (andere
Bezeichnung: gültige Ziffern) an.
Im Rahmen der Messgenauigkeit bei z.B. Streckenlängen ist es je nach Messanordnung nur möglich, eine Genauigkeit z.B. im Zentimeterbereich anzugeben,
z.B. 12 cm. Dies bedeutet, die tatsächliche Länge kann im Bereich von [11,5 cm;
12,5 cm[ liegen. Gibt man dagegen den Messwert mit 12,0 cm an, so heißt dies,
dass der tatsächliche Wert im Bereich von [11,95 cm; 12,05 cm[ liegt. im ersten
Fall wurde auf den Zenti-, im zweiten auf den Milli-Meter genau gemessen.
Also:
Die physikalische“ Angabe 12 cm ist gleichbedeutend mit dem Intervall [11,5
”
cm; 12,5 cm[, die Angabe 12,0 cm ist gleichbedeutend mit dem Intervall [11,95
cm; 12,05 cm[. In der Physik und der Technik bedeuten 12 und 12,0 also nicht
das selbe!
Wenn nach dem Runden die letzte Ziffer eine Null ist, wird sie nicht weggelassen.
Regeln für die Anzahl an geltenden Ziffern
Beim Zählen der geltenden Ziffern werden (ohne Rücksicht auf das Komma)
alle von Null verschiedenen Ziffern, sowie Zwischen- und Endnullen gezählt.
Vornullen zählen nicht!
Technisches Runden
Die obigen Regeln gelten genau genommen nur im kaufmännischen Bereich; bei
wissenschaftlich-technischen Fragestellungen wird geringfügig anders vorgegangen, wenn nur eine ’5’ wegzulassen ist. Dies werden wir nicht behandeln.
6.1.22
Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen
Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen
Beim Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen schreiben wir diese
zunächst so auf, dass Komma unter Komma steht; danach addieren (subtrahieren) wir stellenweise; die Stellung des Komma bleibt.
27
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
2
+
+
=
2
1
7
9
0
2
8
1
7,
2,
1,
1,
Regelheft
3
5
1
9
4
1
5
7
7
16. September 2007
=
2
1
1
7
3
0
2
8
0
7,
2,
1,
3,
3
5
1
7
4
1
7
2
3
Addieren und Subtrahieren von Größen
Sollen Größen (z. Längen oder Gewichte ) addiert oder subtrahiert werden, so
müssen wir sie zuerst in der gleichen Einheit ausdrücken.
1073,4 dm + 2251,7 cm + 2,7811 km
=107,34 m + 22,517 m + 2781,1 m
Addieren und Subtrahieren gerundeter Dezimalbrüche
Beim Addieren (Subtrahieren) gerundeter Dezimalbrüche rechnet man zuerst
genau. Dann rundet man das Endergebnis stets auf die Anzahl der Dezimalen
des ungenauesten Dezimalbruchs.
1073,4 dm + 2251,7 cm + 2,7811 km
= 107,34 m + 22,517 m + 2781,1 m
= 2910,957 m
≈ 2912,0 m
6.1.23
Multiplizieren und Dividieren mit Zehnerpotenzen
Multiplizieren
Ein Dezimalbruch wird mit 10 ( 100; 1000; ... ) multipliziert, indem man das
Komma um 1 ( 2; 3; ... ) Stelle(n) nach rechts rückt.
Dividieren
Ein Dezimalbruch wird durch 10 ( 100; 1000; ... ) dividiert, indem man das
Komma um 1 ( 2; 3; ... ) Stelle(n) nach links rückt.
Beispiele
0,005 · 10
0,005 · 100
0,005 · 1000
0,005 · 10000
6.1.24
=
=
=
=
0,05
0,5
5
50
130 : 10
130 : 100
130 : 1000
130 : 10000
=
=
=
=
13
1,3
0,13
0,01
Multiplizieren von Dezimalbrüchen
Beispiel
Wie ein Dezimalbruch mit einem anderen multipliziert wird, erkennt man am
einfachsten mit Hilfe der Bruchstrich-Schreibweise:
Beide Faktoren haben in der Dezimalschreibweise eine Ziffer hinter dem Komma.
In der Bruchstrich-Schreibweise haben sie also beide den Nenner 10 (die Zähler
sollen ganze Zahlen sein). Für das Produkt ergibt sich damit der Nenner 100;
das Produkt hat also in Dezimalschreibweise zwei Dezimalen.
Entsprechend ergibt sich : Hat einer der beiden Faktoren eine Dezimale, der
andere zwei Dezimalen, so hat das Produkt drei Dezimalen.
28
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
Multiplizieren von Dezimalbrüchen
Dezimalbrüche werden multipliziert, indem man zunächst ohne Rücksicht auf
das Komma multipliziert. Das Produkt hat dann so viele Dezimalen , wie die
Faktoren zusammen.
Beispiele
0,37 · 8,1537
3 7 · 8
1
5
2
1
5
3
5
1
7
9
1
1 8
3 7
2 9 6
3 0 1 6 8 6 9
37·81537 ergibt 3016869. Die Zahl
0,37 hat zwei, die Zahl 8,1537 hat
sechs Dezimalen. Das Ergebnis muss
also sechs Dezimalen haben. Es ist
damit:
0,37 · 8,1537 = 3,016869
Ein Überschlagsrechnung sollte
zusätzlich gemacht werden: 0,37 ist
etwa ein drittel; ein Drittel von 8 ist
knapp 3. Damit muss das Ergebnis
3,016869 und nicht 30,16869 oder
0,3016869 sein.
6.1.25
0,25 · 6,4
2 5 ·
1
1 5
1 6
6
0
0
0
4
0
0
Die beiden Zahlen haben zusammen
drei Dezimalen, also ist das Ergebnis
0,25 · 6,4 = 1,600 =1,6.
Hier ist zu beachten, dass die Nullen
am Ende erst weggelassen werden
dürfen, wenn die Stellung des Komma bestimmt worden ist !
Aus hier empfiehlt sich die Überschlagsrechnung: Ein Viertel von
sechs ist etwa ein einhalb!
gegensinnige Kommaverschiebung
Nach der obigen Multiplikationsregel ergeben die beiden Produkte
0, 0429 · 76, 9 und 4, 29 · 0, 769
das gleiche Ergebnis.
Die Ziffernfolgen sind gleich und in beiden Produkten gibt es zusammen 5 Dezimalen.
Ein Produkt ändert sich nicht, wenn man das Komma bei den beiden Faktoren
um gleich viele Stellen im entgegengesetzten Sinn verschiebt.
Dies lässt sich für Überschlagsrechnungen benutzen:
Im obigen Beispiel lässt sich die Größenordnung der Produktes 0, 0429 · 76, 9 nur
schwer abschätzen.
Beim Produkt 4, 29 · 0, 769 kann man dagegen schnell und einfach nähern :
4, 29 · 0, 769 ≈ 4 · 0, 8 = 3, 2
Erhält man dann z.B durch eine Rechnung den Wert 32,298 oder 0,32298, so
sollte man seine Rechnung noch einmal genau prüfen.
29
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
6.1.26
Division von Dezimalbrüchen
6.1.27
Begründung der schriftlichen Division
Soll man 1134 im Kopf durch 7 dividieren, kann man so vorgehen:
- in 1134 ist die 7 100-mal enthalten; es bleibt ein Rest von448
- in 434
ist die 7 60-mal enthalten;
es bleibt ein Rest von 14
- in 14
ist die 7 4-mal enthalten;
es bleibt kein Rest
also ist die 7 in 1148 insgesamt (100+60+4)-mal enthalten.
Das - bekannte - Verfahren der schriftlichen Division lässt sich damit ganz einfach so erklären:
T H Z E
T H Z E
1 1 3 4 : 7 = 0 1 6 2
- 0
1T :7 = 0T Rest 1
1 1
7
11H:7 = 1H Rest 4
4 3
4 2
43Z:7 = 6Z Rest 1
1 4
- 1 4
14E:7 = 2E Rest 0
0
6.1.28
Division von Dezimalbrüchen durch natürliche Zahlen
Das Verfahren wird entsprechend angewandt, wenn der Dividend ein Dezimalbruch ist. ( T:Tausender; H:Hunderter; Z:Zehner; E:Einer; z:Zehntel; h:Hundertstel,
t : tausendstel)
H Z E , z h t
E , z h t
1 6 1 , 4 9
: 42 = 3 , 8 4 5
- 1 2 6
161E:42=3R+35E:42
3 5
4
3 3
6
354z:42=8z+18z:42
1
8 9
1
6 8
189h:42=4h+21h:42
2 1 0
2 1 0
210t:42=5t
Wir nutzen hier im vorletzten Schritt aus, dass 21 hundertstel in 210 tausendstel
umgewandelt werden können.
Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl wie bei natürlichen
Zahlen.
Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden ist auch im Ergebnis ein
Komma zu setzen..
Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl wie bei natürlichen
Zahlen. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden ist auch im Ergebnis
ein Komma zu setzen.
Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch
Die Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch lässt sich durch
Erweitern auf den schon bekannten Fall der Division eines Dezimalbruchs durch
30
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Regelheft
16. September 2007
eine ganze Zahl zurückführen: Beispiel :
16,149
16,149·10
161,49
= 3, 845
4,2 = 4,2·10 =
42
ˆ Bei Dividend und Divisor wird das Komma um gleich viele Stellen soweit nach rechts geschoben, dass der Divisor ganzzahlig wird.
ˆ Dann wird - wie bei natürlichen Zahlen - dividiert.
ˆ Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden wird im Ergebnis ein
Komma gesetzt
6.1.29
Periodische Dezimalbrüche
Berechnet man nach dem obigen Verfahren den Quotienten 100 : 88 , so erhält
man :
1 0 0 : 8 8 = 1 , 1 3 6 3 6 3 ···
8 8
1 2 0
8 8
3 2 0
2 6 4
5 6 0
5 2 8
3 2 0
2 6 4
5 6 0
5 2 8
3 2 0
2 6 4
5 2
Die Zifferngruppe 36 wiederholt sich im Ergebnis immer wieder, da auch die
Reste 32 und 56 immer wieder auftreten. Die Zifferngruppe 36 nennen wir Periode.
Dezimalbrüche mit einer Periode heißen periodische Dezimalbrüche
Statt 1,1363636363636... schreiben wir kürzer 1, 136
Der Strich zeigt die erste vollständige Periode nach dem Komma an.
Gelesen wird so: Eins Komma eins Periode drei sechs“
”
Entstehen der Periode
Wir wissen schon, dass sich Bruchzahlen, in deren Nenner - nach ggf. erfolgtem
Kürzen - nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, in endliche Dezimalbrüche
umwandeln lassen.
Alle anderen Bruchzahlen führen auf periodische Brüche.
Weshalb tritt eine Periode auf?
Wir betrachten die Reste, die auftreten, wenn alle im Dividenden vorhandenen Ziffern bereits berücksichtigt wurden. D.h., wir müssen nun immer eine ’0’
herunterholen“ und an den jeweiligen Rest anhängen“.
”
”
Tritt nun ein Rest ein weiteres mal auf, wiederholt sich der ganze Rechenweg
dazwischen immer wieder.
31
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Regelheft
Im obigen Beispiel ergab sich:
Dann folgte:
Und dann wieder:
Dies kann nie aufhören.
16. September 2007
320 : 88 =3 Rest 56;
560 : 88 =6 Rest 32;
320 : 88 =3 Rest 56; usw. usw.
Periodenlänge
Im folgende sind einige periodische Dezimalbrüche (nur Stammbrüche) aufgeführt:
1
= 0, 3
3
1
= 0, 16
6
1
= 0, 142857
7
1
= 0, 1
9
1
= 0, 09
11
1
= 0, 083
12
1
= 0, 076923
13
1
= 0, 0588235294117647
17
1
= 0, 047619
21
1
= 0, 0344827586206896551724137931
29
1
= 0, 027
37
1
= 0, 02439
41
1
= 0, 01639344262295081967213114754098360655737049180327868852459
61
Es lässt sich zwar nicht einfach beantworten, wie lang die Periode eines beliebigen Bruchs wird. Wir können aber ganz einfach ermitteln, wie lang sie höchstens
sein kann:
Der Grund für das Auftreten der Periode liegt im wiederholten Auftreten der
Reste. Nun können aber nicht beliebig viele verschiedene Reste auftreten.
Bei der Division 1/17 sind z.B. nur die Zahlen 1,2,...,15,16 als Rest möglich.
Damit kann die Periode von 1/17 nicht länger als 16 sein.
Entsprechendes gilt für andere Brüche, wobei die Periode auch deutlich kürzer
sein kann. Bei 1/37 z.B. kann sie nicht länger als 36 sein; sie ist sogar nur 3
Stellen lang.
Dagegen hat 1/61 mit 60 Stellen eine Periode mit maximaler Länge
6.1.30
Brüche und (periodische) Dezimalzahlen
Die Umwandlungen eines Bruchs in eine (periodische) Dezimalzahl
Nun können wir jeden Bruch als Dezimalbruch darstellen; dabei müssen wir nur
- nach dem Verfahren für die Division durch Dezimalbrüche - den Zähler durch
den Nenner teilen.
Jeder Bruch lässt sich damit als endlicher Dezimalbruch oder als periodischer
Dezimalbruch schreiben.
Die Umwandlung einer nicht-periodischen Dezimalzahl in einen Bruch
Wir schreiben die Dezimalzahl in den Zähler eines Bruchs mit dem Nenner 1.
Dann erweitern wir diesen Bruch mit der Zehnerpotenz, die dazu führt, dass im
Zähler gerade keine Ziffer mehr hinter dem Komma steht.
Beispiel:
1, 234 = 1,234
= 1234
1
1000
32
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Regelheft
16. September 2007
Erweitert wurde mit 1000.
Die Umwandlungen einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch
Zuerst als Beispiel, wie sich die Umwandlung des periodischen Dezimalbruchs
1, 184 in einen Bruch durchführen lässt:
1000 · 1, 184 = 1184, 84
10 · 1, 184 =
11, 84
990 · 1, 184 = 1173, 00
391
61
Damit gilt: 1, 184 = 1173
990 = 330 = 1 330
Das Verfahren läuft so:
ˆ Wir multiplizieren die periodische Dezimalzahl mit der Zehnerpotenz
Z1 , so dass das Komma hinter der ersten Periode steht.
ˆ Dann multiplizieren wir die Zahl mit der Zehnerpotenz Z2 , so dass das
Komma vor der Periode steht
ˆ Die Differenz der Ergebnisse bildet den Zähler, die Differenz der Zehnerpotenzen den Nenner des zugehörigen Bruchs.
ˆ Der Bruch muss dann eventuell noch gekürzt und in eine gemischte Zahl
umgewandelt werden.
33
Kapitel 7
Klasse 7
34
Kapitel 8
Klasse 8
8.1
Variablen und Terme; Termumformungen
Terme
Ein Term ist eine sinnolle Zusammenstellung ( ein Rechenausdruck ) aus Zahlen,
Variablen, Klammern und Rechenzeichen.
Die üblichen“Regeln für das Aufstellen solcher Rechenausdrück sind zu beach”
ten.
Beispiele für
Terme:
37 + 48
3 + 4 ; 7 − 3 · ( 27
−
12345
:
5)
+
− 235
1
31
23
Keine Terme sind dagegen:
3 + −4; weil nicht zwei Rechenzeichen direkt hinter einader kommen dürfen;
richtig könnte hier z.B. sein: 3 + (−4) = −1
13 − (4 + 5 · 2; die Klammer ist nicht geschlossen. Hier könnte z.B. sowohl
13 − (4 + 5) · 2 = −5 als auch 13 − (4 + 5 · 2) = −1 gemeint sein.
Variablen
Variable sind Zeichen (Symbole), die als Platzhalter für beliebige Elemente
einer Grundmenge stehen.
Es ist üblich, zu benutzen:
für Zahlen : Kleinbuchtaben
für Mengen : Großbuchstaben
für Winkel : kleine griechische Buchstaben
für Punkte : Großbuchstaben
für Strecken : Kleinbuchstaben
...
Terme mit Variablen
Terme mit Variablen erhalten erst dann einen Wert, wenn man für die Variablen
Elemente aus der Grundmenge G eingesetzt werden
Beispiel :
T (x) = 1 + 2 · x; G = Z
T (3) = 1 + 2 · 3 = 7
35
Mathematik Klasse 5/6
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Regelheft
16. September 2007
T (−3) = 1 + 2 · (−3) = −5
Äquivalente Terme
Zwei Terme T1 und T2 heissen äquivalent, wenn sie bei jeder Belegung ihrer
Variablen jeweils den gleichen Wert besitzen.
Man schreibt dann : T1 = T2
Beispiele:
T1 = x2 − 2x + 1; T2 = (x − 1)2 ; G1 = G2 = {−2; 1, 5}
T1 (−2) = 4 + 4 + 1 = 9; T2 (−2) = (−2 − 1)2 = (−3)2 9
T1 (1) = 1 − 2 + 1 = 0; T2 (1) = (1 − 1)2 = 02 = 0
T1 (5) = 25 − 10 + 1 = 16; T2 (5) = (5 − 1)2 = 42 = 16
Äquivalenzumformungen
Formt man einen Term mithilfe der gültigen Rechengesetze um, so geht er in
einen äquivalenten Term über. Meist wird man versuchen einen Term durch
solche Äquivalenzumformungen zu vereinfachen.
ˆ Umformungen mithilfe der Klammerregeln, des Kommutativ-, des Assoziativ und des Distributivgesetzes sind Äquivalenzumformungen
ˆ Summne kann man vereinfachen, indem man gleichartige Summanden
zusammenfasst.
ˆ Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer weggelassen werden.; steht vor ihr ein Minuszeichen, so müssen vorher die Vorzeichen aller Gleider in der Klammer umgedreht werden.
36
Index
Überschlagsrechnungen, 7
Division
Bruchzahlen, 21
Dezimalbruch, 28
Divisor, 5
Eratosthenes, Sieb des, 14
Erweitern, 17
Euklidischer Algorithmus, 13
Exponent, 7
Quotient, 5
Abrunden, 3
abrunden, 24
addieren, 4
Addition, 5
Bruchzahlen, 19
Dezimalbruch, 25
Algorithmus, Euklidischer, 13
Anordnung
Bruchzahlen, 18
Assoziativgesetz, 6
Aufrunden, 3
aufrunden, 24
Aussageformen, 7
Aussagen, 7
Faktor, 5
gekürzt
vollständig, 17
Geldwerte, 4
geltende Ziffern, 25
gemischte Zahl, 17
Geometrie, 8
ggT, 11
Bestimmung des, 12, 13
Gleichung, 8
allgemeingültig, 8
erfullen, 8
Größe
Teile einer, 16
Vielfache einer, 16
Größen, 4
Grundzahl, 7
Basis, 7
Binarsystem, 7
Bruch, 17
Bruchrechnung, 9
Bruchteil
eines Bruchteils, 20
Bruchteile, 16
Bruchzahlen, 16
Anordnung, 18
Hauptnenner, 18
Hexadezimalsystem, 7
Hochzahl, 7
Dezimalbruch
Division, 28
Multiplikation, 26
periodisch, 29
Dezimalschreibweise, 22, 23
Dezimalsystem, 7
dicht angeordnet, 18
Differenz, 5
Distributivgesetz, 6
Dividend, 5
Division, 5, 6
Kürzen, 17
kürzen, 20
Kehrwert, 17, 22
kgV, 12, 18
Bestimmung des, 12
Kommutativgesetz, 6
Kubikzahlen, 7
Längen, 4
Lösungsmenge, 8
37
Mathematik Klasse 5/6
(ht)
Maßeinheit, 4
Maßzahl, 4
Massen, 4
Minuend, 5
Multiplikation, 5
Bruchzahlen, 20
Dezimalbruc, 26
multiplizieren, 4
Regelheft
16. September 2007
teilbar, 9
Teilbarkeitsregeln, 10
Teiler, 9
gemeinsamer, 11
komplementärer, 9
teilerfremd, 11
Teilermenge, 9
teilerverwandt, 11
teilt, 9
Nenner, 17
Ungleichung, 8
Oktalsystem, 7
Ordnung
dicht, 24
Periodenlänge, 30
Periodische Dezimalbruch, 29
Permanenzprinzip, 21
Platzhalter, 7
Potenz, 7
Primfaktoren, 11
Primteiler, 11
Primzahlen, 11
Primzahlzerlegung, 11
Produkt, 5
Quadratzahlen, 7
Rechenarten
entgegengesetzte, 5
Rechengesetze, 6
Rechengesetze , 20
Rest, 9
Runden, 3
Dezimalbruch, 24
Variable, 7
Vielfaches, 9
eines Bruchteil es, 19
kleinstes gemeinsames, 12
Vorrang-regeln, 5
Zähler, 17
Zahlen, 3
Bruch-, 3, 6
gemischte, 17
Komma-, 3
natürliche, 3
rationale, 6
Zahlwörter, 3
Zeitspannen, 4
Ziffern
geltende, 25
Schreibweise
gemischte, 17
Stellenwertsystem, 7
Stellenwertsysteme, 22
Stufenzahl, 7
Subtrahend, 5
subtrahieren, 4
Subtraktion, 5, 6
Bruchzahlen, 19
Dezimalbruch, 25
Summand, 5
Summe, 5
Teil
eines Bruchteil es, 19
38