Aufgaben - Fachbereich Mathematik

Fachbereich Mathematik
Dr. J. Türk
Tag der Mathematik 2006
8. Juli 2006
Aufgaben für die Sekundarstufe Ib
9. und 10. Klasse
Hinweis: Bei der Bewertung der Aufgaben kommt es auch auf die Darstellung des
Lösungsweges an.
Aufgabe 1:
Wie viele Lösungen in ganzen Zahlen hat die Ungleichung
x + y < 100 ?
Hinweis: Wenn x ≠ y ist, sollen die Lösungspaare ( x, y ) und ( y, x) als verschieden gelten.
Aufgabe 2:
Die Ebene ist durch ein kongruentes Quadratnetz bedeckt (kariertes Papier).
Zeige: Es gibt kein gleichseitiges Dreieck, dessen Ecken Gitterpunkte des Netzes sind.
Aufgabe 3:
Von einer natürlichen Zahl x wird gefordert, dass sie die folgenden Bedingungen (1)-(5)
erfüllt.
(1) Die Zahl x hat, im Zweiersystem (Stellenwertsystem mit der Basis 2, Stellen werden von
links gezählt) geschrieben, genau zehn Stellen.
(2) Schreibt man x im Dreiersystem, so steht an der zweiten Stelle die Ziffer 1.
(3) Schreibt man x im Vierersystem, so steht an der zweiten Stelle die Ziffer 0.
(4) Die Zahl x hat im Fünfersystem geschrieben genau vier Stellen.
(5) Schreibt man x im Zehnersystem, so steht an der letzten Stelle die Ziffer 2.
Zeige, dass es genau eine natürliche Zahl x gibt, die diese Bedingungen erfüllt, und ermittle
diese Zahl.