Ubungsblatt 4 - Daniel Roggenkamp

Universität Mannheim
Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
Lineare Algebra IIb
12.05.2017
Übungsblatt 4
Aufgabe 1 (50 Punkte) (SO3 und SU2 )
(a) Argumentieren Sie, dass die Menge
V := {A ∈ Mat(2, 2; C) | A∗ = −A ∧ tr(A) = 0}
der spurfreien, antihermiteschen 2 × 2-Matrizen ein R-Vektorraum ist.
(b) Zeigen Sie, dass
i 0
0 1
0 i
A := A1 :=
, A2 :=
, A3 :=
0 −i
−1 0
i 0
eine geordnete Basis von V ist.
(c) Zeigen Sie ferner, dass
1
β(A, B) := tr(A∗ · B) , für A, B ∈ V
2
eine symmetrische Bilinearform auf V definiert.
(d) Rechnen Sie nach, dass A bzgl. β eine Orthonormalbasis ist, und folgern Sie,
dass (V, β) Euklidischer Vektorraum ist.
(e) Zeigen Sie, dass für alle U ∈ SU2 (C) die Vorschrift
fU (A) = U · A · U ∗ für A ∈ V
eine Lineare Abbildung V → V definiert.
(f) Beweisen Sie, dass fU überdies bzgl. β orthogonal ist.
(g) Zeigen Sie, dass die Abbildung SU2 (C) 3 U 7→ fU ∈ O(V, β) ein Gruppenhomomorphismus in die Gruppe der orthogonalen Automorphismen von (V, β) ist.
(h) Argumentieren Sie, dass ϕ(U ) := MatA A (fU ) einen Gruppenhomomorphismus
ϕ : SU2 (C) → O3 (R) definiert.
(i) Begründen Sie, dass das Bild von ϕ in SO3 (R) enthalten ist. (In der Tat ist ϕ :
SU2 (C) → SO3 (R) surjektiv.)
(j) Berechnen Sie den Kern von ϕ.
(k) Berechnen Sie ϕ(U ) für
a −b̄
U=
für a, b ∈ C mit |a|2 + |b|2 = 1 .
b ā
Aufgabe 2 (25 Punkte) Beweisen Sie, dass die Vorschrift


0
A

0
A 7→ 
0 0 det(A)
einen Gruppenhomomorphismus ϕ : O2 (R) → SO3 (R) definiert. Begründen Sie ferner:
Universität Mannheim
Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
Lineare Algebra IIb
12.05.2017
• Ist A ∈ O2 (R) eine Drehung um einen Winkel α, so ist ϕ(A) eine Drehung in
Mat(3, 1; R) um die Drehachse R e3 mit Drehwinkel α.
• Ist A ∈ O2 (R) eine Spiegelung an einer Achse R (a e1 + b e2 ) ⊂ Mat(2, 1; R),
so ist ϕ(A) eine Drehung um den Winkel α = π an der Achse R (a e1 + b e2 ) ⊂
Mat(3, 1; R).
Aufgabe 3 (15 Punkte) Die Oberfläche eines Fußballs besteht aus schwarzen Fünfecken und weissen Sechsecken, die so angeordnet sind, dass an jedes Fünfeck nur
Sechsecke angrenzen, während an die Kanten der Sechsecke abwechselnd Fünf- und
Sechsecke stoßen. Bestimmen Sie die Anzahl der Fünf- und Sechsecke aus denen die
Fußballoberfläche zusammengesetzt ist. (Tipp: Eulersche Polyederformel.)
Aufgabe 4 (10 Punkte) Berechnen Sie die Höhe einer Pyramide, deren Grundfläche
ein regelmäßiges n-Eck ist, und deren Seiten regelmäßige Dreiecke sind in Abhängigkeit von n. Für welche n ∈ N ist diese Pyramide der Rand eines konvexen Polytops.
Abgabe 19.05.2017*
*
Lösungen bitte bis 12:00 Uhr in entspr. Kasten im Eingangsbereich des C-Teils von A5 einwerfen.