Vorlesung 14.12.2016

Einführung in die Didaktik
der Mathematik
Andrea Hoffkamp
WS 2016/17
1
Mittwoch, 14. Dezember 16
9.Vorlesung:
Fortsetzung der Einführung in die Bruchrechnung.
Das Permanenzprinzip als wichtigstes didaktisches
Prinzip bei Zahlbereichserweiterungen.
Erweitern/Kürzen,Vergleichen von Brüchen,
Rechenoperationen mit Schwerpunkt Multiplikation
und Division
2
Mittwoch, 14. Dezember 16
Erweitern und Kürzen
3
Mittwoch, 14. Dezember 16
Erweitern und Kürzen
Aufbau der Grundvorstellungen durch enaktive und ikonische Repräsentation
Padberg, F.: Didaktik der Bruchrechnung, BI Wissenschaftsverlag, 1989
4
Mittwoch, 14. Dezember 16
Vorlesung 3: Kürzen/Erweitern von Brüchen
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/didaktik/material_download/Skript%20-%20Algebra%20und%20Analysis.pdf
5
Mittwoch, 14. Dezember 16
Vorlesung 3: Kürzen/Erweitern von Brüchen
Arbeiten mit dem Bruchmodell: Umstecken und Höhenvergleich
Hier: enaktiv und symbolisch gemeinsam
6
Mittwoch, 14. Dezember 16
Grundvorstellungen auch in der Klassenarbeit
7
Mittwoch, 14. Dezember 16
Intelligentes Üben beinhaltet verschiedene Aufgabentypen!
Padberg, F.: Didaktik der Bruchrechnung, BI Wissenschaftsverlag, 1989
8
Mittwoch, 14. Dezember 16
Intelligentes Üben beinhaltet verschiedene Aufgabentypen!
Padberg, F.: Didaktik der Bruchrechnung, BI Wissenschaftsverlag, 1989
9
Mittwoch, 14. Dezember 16
Erweitern und Kürzen - Einige Bemerkungen zu
Erkenntnishürden
•
Jede Bruchzahl kann einem Punkt am Zahlenstrahl zugeordnet werden
und durch beliebig viele verschiedene Brüche angegeben werden:
Äquivalenzklassenkonzept!
Abb. von J. Roth, Universität Koblenz-Landau
•
Alltägliche Bedeutungen: „Erweitern“=„Vergrößern“,
„Kürzen“=„Verkleinern“ passen nicht mehr!
•
Unterschied Kürzen - Erweitern: Erweitern geht immer, kürzen nur bei
gemeinsamem Teiler (explizit machen!)
10
Mittwoch, 14. Dezember 16
Anordnung von Bruchzahlen
11
Mittwoch, 14. Dezember 16
Ordnung und Dichte
Bruchzahlen
Wie lösenvon
Sie diese
Aufgabe?
Worin besteht die
Schwierigkeit für Schüler/innen?
Bruch
Gibt es einen Bruch, der größer
als und kleiner als ist?
Getränkepackung
Einen Firma stellt
Einwegverpackungen für
Erfrischungsgetränke in zwei
verschiedenen Größen her.
Um das Angebot abzurunden
soll eine weitere Verpackung
angeboten werden.
Das Volumen der neuen
Packung soll größer sein als
das der Dose und kleiner als
das der Flasche.
Jürgen Roth
Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
12
Mittwoch, 14. Dezember 16
4.17
Ordnung von Bruchzahlen - Verschiedene
Strategien im fachlichen Aufbau einbinden
•
Ausgangspunkt und Bezugspunkt: Größenvergleich am
Bruchstreifen: Stammbrüche!
•
Spezialfälle:
•
Flächenvergleiche bei einfachen Brüchen:
13
Mittwoch, 14. Dezember 16
•
Vergleich mit der Eins bzw. mit ganzen Zahlen:
•
Vergleich mit 1/2 bzw. mit besonders markanten Brüchen:
•
Verallgemeinerung: Suche gemeinsamen Nenner, erweitere
und vergleiche anschließend!
Ideal wäre: Die Kinder sollen wissen, dass es verschiedene Strategien
gibt und bewusst zwischen den Strategien auswählen können.
14
Mittwoch, 14. Dezember 16
Rechnen mit Bruchzahlen: Multiplikation und Division
15
Mittwoch, 14. Dezember 16
Operatorkonzept und die „Von“-Vorstellung der Multiplikation
Ikonische und symbolische Darstellung!
Julia
·3
:4
1
8
Jan
Grundvorstellung: Division als Aufteilen
16
Mittwoch, 14. Dezember 16
Elemente der Mathematik, BaWü
Aufgabe: Welche Bruchmultiplikation ist hier dargestellt? Erläutern Sie.
2
5
von
3
7
https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/
Skripte_Krauter/FD_Bruchrechnen_Rationale_Zahlen.pdf
Gegeben zwei Brüche
m
n
k
und l
:
m k
·
n l
bedeutet,
in n gleich
große Teile aufgeteilt wird und m von
diesen Teilen zusammengenommen
werden.
17
Mittwoch, 14. Dezember 16
k
dass l
Bemerkungen
•
Achtung: Multiplikation und Erweitern muss explizit
unterschieden werden:Verwechslungsgefahr
•
Erweitern=Formänderung des Bruchs bzw. andere
Benennung, aber es bleibt dieselbe Bruchzahl
•
Multiplikation ändert den Wert des Bruchs und zwar bei
Multiplikation mit einem Wert <1 erfolgt eine Verkleinerung
und bei Multiplkation mit einem Wert > 1eine Vergrößerung
18
Mittwoch, 14. Dezember 16
Exkurs: Das Permanenzprinzip - ein wesentliches
didaktisches Prinzip im Kontext der
Zahlbereichserweiterungen
19
Mittwoch, 14. Dezember 16
Erarbeitung der Potenzgesetze und der Potenzen mit natürlichem Exponenten
Lehrplan Sachsen, Gymnasium, Klasse 9
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Mittwoch, 14. Dezember 16
Erarbeitung der Potenzgesetze und der Potenzen mit natürlichem Exponenten
http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/Manuskripte/PermSig.pdf
21
Mittwoch, 14. Dezember 16
Erarbeitung der Potenzgesetze und der Potenzen mit natürlichem Exponenten
Welches Bild von Mathematik vermittelt der
Fachphilosophische
Lehrer
hier
seinen
Schüler/innen?
Dimension
Finden Sie Alternativen!
http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/Manuskripte/PermSig.pdf
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Mittwoch, 14. Dezember 16
a =?
0
Permanenz der Potenzgesetze bei Erweiterung
8m 2 N \ {0} : a
m
Und in der
Schule?
=a
0+m
=a ·a
0
m
)a =1
0
Paradigmatische Begründung mit Permanenzreihen
Tabelle aus J. Ziegenbalg: http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/Manuskripte/PermSig.pdf
Mittwoch, 14. Dezember 16
n
a
8n 2 N : a · a
n
n
=a
=? (n 2 N)
n n
=a =1)a
0
n
1
= n (a 6= 0)
a
Permanenz der Potenzgesetze bei Erweiterung
Paradigmatische Begründung mit Permanenzreihen
(aus: Mathematik Sekundo, Lehrbuch für differenzierende Schulformen, Klasse 9, 2011)
Mittwoch, 14. Dezember 16
Erinnerung aus Vorlesung 5
Permanenzreihen sorgen für konsistente Fortsetzung
aus einem Skript von A. Filler
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Mittwoch, 14. Dezember 16
Das Permanenzprinzip („Nützlichkeitsidee“)
• Heuristisches mathematisches Prinzip:
„Konsistente“ begriffliche Erweiterung innerhalb mathematischer Theorien,
„Nützlichkeitsidee“
• Methodologie des Faches
• Intellektuelle Ehrlichkeit, Erziehung zu kritischer Vernunft wider die Expertengläubigkeit
Mittwoch, 14. Dezember 16
Fachphilosophische
Dimension
Pädagogische
Dimension
Division von Brüchen
27
Mittwoch, 14. Dezember 16
Vorstellungsbrüche bei der Division
Was würden Sie ihr sagen?
Methodische
Perspektive
(Prediger 2004)
Vorstellungsbrüche bei der Division
➡ tief verankerte Überzeugungen:
syntaktisch
‣ Division ist nicht immer restlos
möglich
‣ kleinere Zahl durch größere Zahl
geht nie
‣ das Ergebnis ist kleiner als die
geteilte Zahl (Dividend)
semantisch
Mittwoch, 14. Dezember 16
Vorstellungen zur Division und Erweiterbarkeit
Was bedeutet 36:9=4?
36 l Wasser werden gleichmäßig auf
9 Eimer verteilt.
Verteilen: Der Divisor 9 repräsentiert
die Anzahl der Teilmengen.
36 l Wasser werden auf 9 l-Eimer
aufgeteilt.
Aufteilen/passen in/Messen: Der
Divisor 9 repräsentiert die Anzahl der
Elemente einer Teilmenge, bzw. 36 l
werden mit dem (Fassungs-)Maß
eines Eimers gemessen.
Beide Rechnungen führen auf 4, da 36 = 9·4 = 4·9 = 9+9+9+9 (Kommutativität)
Anders formuliert: Der Quotient q ist die Zahl, so dass q (Kopien) von 9 gerade
36 sind. Symbolisch heißt das: q erfüllt 36=q·9.
Nochmals anders formuliert: Das Verstehen der Division beruht letztlich auf dem
Verstehen der Multiplikation.
Mittwoch, 14. Dezember 16
Vorstellungen zur Division und Erweiterbarkeit
Was bedeutet 36:9=4?
Was bedeutet
Aufteilen/passen in/
Messen
Verteilen
3 2
:
4 5
= q?
Aufteilen/passen in/
Messen
Der Quotient q ist die Zahl, so dass
2
3
Der Quotient q ist die Zahl, so dass
q von 5 gerade 4 ist.
Permanenz3
2
q von 9 gerade 36 sind.
Symbolisch: q erfüllt 4 =q· 5
3
prinzip
2
Symbolisch: q erfüllt 36=q·9
z.B. Fülle 4 l in Gläser der Größe 5 l
ab.
Wie viele Kopien von 9 passen in
36?
(N, +, ·)
Division mit Rest
Mittwoch, 14. Dezember 16
Welcher/s Anteil/Vielfache von
3
passt in 4 ?
(Q , +, ·)
2
5
+
Neuerung
A, C Brüche und C≠0, dann gibt
es einen Bruch B mit A=B·C
Fachlich aufbauendes Lernen
Die Ableitung der Divisionsregel für Bruchzahlen gilt [..] als eines der schwierigsten
Gebiete im Unterricht der Orientierungsstufe. (Padberg)
Jg. 7
Jg. 1-4
Jg. 9
Jg. 9?
Jg. 7
Jg. 5/6
Leitgedanken:
‣ Division von Brüchen erfordert „radikale“ Vorstellungswechsel.
Grundvorstellungen mit Sorgfalt erarbeiten!
‣ Sach- und Handlungszusammenhang
‣ Anschauliche Erarbeitung der Rechenregel
Mittwoch, 14. Dezember 16
Bruch durch natürliche Zahl - Anschluss an vorhandene Vorstellungen
„Den dritten Teil von
6 Sechzehntel nehmen.“
Quasikardinalaspekt
Verteilsituation
1
4 in
„
4 gleich große Teile
aufteilen. Die Größe eines Teils
1
ist dann gerade 4 · 4 . Drei
dieser Teile zusammen
1
1
1
+
+
ergeben 4 · 4 4 · 4 4 · 4 .“
n
1
A : n = A : = A · , A Bruch
1
n
Mittwoch, 14. Dezember 16
Retrospektiv!
Bruch durch natürliche Zahl - Anschluss an vorhandene Vorstellungen
Aufgaben in
verschiedenen
Sachzusammenhängen und
Darstellungen
(Padberg: Didaktik
der Bruchrechnung)
Mittwoch, 14. Dezember 16
Natürliche Zahl durch Stammbruch - Die Idee des Messens
Visualisierung am Bruchstreifen
Typische Aufgaben in verschiedenen Größenbereichen (Längen, Gewichte, Zeitspannen,
Geld, Flächenanteile)
m 2 N, n 2 N \ {0} :
1
n
m: =m·n=m·
n
1
Retrospektiv!
Mittwoch, 14. Dezember 16
Krauter: Fachdidaktische Beiträge zum Thema Bruchrechnung
Überraschendes (?) Ergebnis:
Das Ergebnis kann größer als der Dividend sein!
Natürliche Zahl durch Stammbruch - Die Idee des Messens
Das Ergebnis kann größer als der Dividend sein!
Permanenz
Schnittpunkt 6, Mathematik für Realschulen, NRW
Mittwoch, 14. Dezember 16
Bruch durch Bruch - Der allgemeine Fall und die Rechenregel
Sind A, B, C Brüche und C≠0, dann ist A:C=B gleichbedeutend mit A=B·C.
„Welcher Anteil/Vielfache von C passt genau in A?“ - Idee des Messens
Anschluss an vorhandene Vorstellungen durch Schätzungen (Plausibilität!):
Ungefähr wie oft passt
2
5
in
3
4?
Arbeite mit Bruchstreifen.
3
4
ist ungefähr das Doppelte
2
von 5
Fokus Mathematik, Klasse 6, NRW
Ungefähr wie oft passt
3
4
1
in ?
3
1
3
ist ungefähr die Hälfte von 4
3
Mittwoch, 14. Dezember 16
Bruch durch Bruch - Der allgemeine Fall und die Rechenregel
Sind A, B, C Brüche und C≠0, dann ist A:C=B gleichbedeutend mit A=B·C.
„Welcher Anteil/Vielfache von C passt genau in A?“ - Idee des Messens
2
5
Welchen Anteil von muss man
3
nehmen, um 4 zu erhalten?
Zerlegung in
Teilaufgaben
Multiplikatives
Inverses
Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem
Reziproken des zweiten Bruches multipliziert.
Mittwoch, 14. Dezember 16
Bruch durch Bruch - Der allgemeine Fall und die Rechenregel
Möglichkeit 1 – Mit Permanenzprinzip zur Rechenregel
3
2
3
2
3
2
I
I
I
I
3
: 500 =
1000
3
: 100 =
200
3
: 20 =
40
3
2
3
2
:4
4
:
5
3
=
8
=?
Jedesmal: Divisor gefünftelt
Ergebnis verfünffacht.
Deutbar im Sinne des Aufteilens: Fünfmal so feine
Aufteilung gibt fünfmal so viele Stücke.
Soll diese Gesetzmäßigkeit weiter gelten, so müssen wir
festsetzen:
3 4
3
3 5
: = :4·5= · .
2 5
2
2 4
Behandlung weiterer Gleichungsketten: Aus dem
Permanenzprinzip ergibt sich zwangsläufig die
Divisionsregel.
13
aus: Vorlesungsfolien von Thorsten Rohwedder, HU Berlin
Mittwoch, 14. Dezember 16
Bruch durch Bruch - Der allgemeine Fall und die Rechenregel
Möglichkeit 2 – Permanenzprinzip zur Rechenregel
Welche der Rechnungen ist im Bild rechts veranschaulicht?
I
6:2
I
12:4
I
1:
1
3
I
18: 6
I 1
2
:
1
6
Die Rechenregel a : b = (a · n) : (b · n) ist auch für Divisionen
mit ganzzahligem Ergebnis sinnvoll –
Forderung: Gültigkeit des Gesetzes für beliebige Brüche
(Permanenz dieses Gesetzes)
I für Division durch Stammbruch
2 1
2
1
2·4
2·4
2 4
: = ( · 4) : ( · 4) = (
):1=
= ·
5 4
5
4
5
5·1
5 1
I für beliebigen Divisor
2 3
2
3
2·4
2·4
2 4
: = ( · 4) : ( · 4) = (
):3=
= ·
5 4
5
4
5
5·3
5 3
Division durch Bruch =
b Multiplikation mit Kehrwert
aus: Vorlesungsfolien von Thorsten Rohwedder, HU Berlin
Mittwoch, 14. Dezember 16
14
Bruch durch Bruch - Der allgemeine Fall und die Rechenregel
Möglichkeit 1 – Mit Permanenzprinzip zur Rechenregel
3
2
3
2
3
2
I
I
I
I
3
1000
3
: 100 =
200
3
: 20 =
40
: 500 =
3
2
3
2
:4
:
4
5
=
3
8
Möglichkeit 2 – Permanenzprinzip zur Rechenregel
Welche der Rechnungen ist im Bild rechts veranschaulicht?
=?
Jedesmal: Divisor gefünftelt
Ergebnis verfünffacht.
Deutbar im Sinne des Aufteilens: Fünfmal so feine
Aufteilung gibt fünfmal so viele Stücke.
Soll diese Gesetzmäßigkeit weiter gelten, so müssen wir
festsetzen:
3 4
3
3 5
: = :4·5= · .
2 5
2
2 4
I
6:2
I
12:4
I
1
3
1:
I
18: 6
I 1
2
:
1
6
Die Rechenregel a : b = (a · n) : (b · n) ist auch für Divisionen
mit ganzzahligem Ergebnis sinnvoll –
Forderung: Gültigkeit des Gesetzes für beliebige Brüche
(Permanenz dieses Gesetzes)
I für Division durch Stammbruch
2 1
2
1
2·4
2·4
2 4
Behandlung weiterer Gleichungsketten: Aus dem
: = ( · 4) : ( · 4) = (
):1=
= ·
Bruch durch
Bruch
- Der
allgemeine
Fall und
5 4
5
4
5
5·1
5 1
Permanenzprinzip
ergibt
sich
zwangsl
äufig
diedie Rechenregel
I für beliebigen Divisor
Divisionsregel.
Sind A, B, C Brüche und C≠0, dann ist A:C=B gleichbedeutend mit A=B·C.
13
2 3
2
3
2·4
2·4
2 4
: = ( · 4) : ( · 4) = (
):3=
= ·
5 4
5
4
5
5·3
5 3
„Welcher Anteil/Vielfache von C passt genau in A?“ - Idee des Messens
2
Division durch Bruch =
b Multiplikation mit Kehrwert
Welchen Anteil von 5 muss man
3
nehmen, um 4 zu erhalten?
Zerlegung in
Teilaufgaben
Sie haben die Wahl!
Multiplikatives
Inverses
Ein Bruch
Mittwoch, 14. Dezember
16 wird durch einen Bruch dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem
14
„Die Ableitung der Divisionsregel ist mühsam und zeitaufwändig. Diese Zeit sollte man
besser in das Üben der Regel investieren.“ (Meinung vieler Mathematiklehrer/innen?)
Unterricht im Sinne von „Verstehen
lehren“:
‣ Fachphilosophisch:
„Bild von Mathematik“
‣ Schülerorientierung: Kinder in
ihrem Erkenntnisinteresse ernst
nehmen
‣ Sinnvolle Regelableitung sorgt
langfristig für bessere Ergebnisse
‣ Bruchrechnung als Thema für die
gesamte Schulzeit - nicht nur
isoliert auf Klasse 6
‣ Klare fachliche Struktur
(Kernideen, Vereinfachung und
Erweiterbarkeit)
‣ Üben ist wichtiger Bestandteil
eines solchen Unterrichts!
Mittwoch, 14. Dezember 16
Literatur zum Weiterlesen
• Padberg, F. (2009): Didaktik der Bruchrechnung, Springer Spektrum.
• Winter, H. (1999): Mehr Sinnstiftung, mehr Einsicht, mehr Leistungsfähigkeit im Mathematikunterricht – dargestellt am Beispiel der
Bruchrechnung.
http://www.matha.rwth-aachen.de/de/lehre/ss09/sfd/Bruchrechnen.pdf
• Krauter, S. (2008): Fachdidaktische Beiträge zum Thema Bruchrechnung und
Rationale Zahlen. PH Ludwigsburg.
https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/
Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/
FD_Bruchrechnen_Rationale_Zahlen.pdf
Mittwoch, 14. Dezember 16