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E6 Magnetisches Dipolmoment
Physikalische Grundlagen
Auf die sich in einem stromdurchflossenen Leiter mit der mittleren Geschwindigkeit v bewegenden Ladungsträger q, bzw. auf den Leiter selbst wirken auf Grund der Lorentzkraft
r
r r
F = q× v ´B
(
)
(1)
in einem Magnetfeld B Kräfte ein.
Die Stromstärke I hängt mit der Geschwindigkeit der Ladungsträger über
r
dq dq × d r r dq
I=
=
r =v r
dt
dt × d r
dr
(2)
r
zusammen, wobei d r entlang des Leiters verläuft. Für die Lorentzkraft gilt damit
r
r r
dF = I × d r ´ B .
(
)
(3)
Die Gesamtkraft ergibt sich durch Integration entlang des Leiters. Die gesamte auf eine
geschlossene Leiterschleife wirkende Kraft
r
r r
F = I × ò dr ´B
(4)
verschwindet wegen
r
r
B ´ ò dr = 0 .
(5)
im homogenen Magnetfeld. Auf die Leiterschleife wirkt lediglich ein Drehmoment
r
r
r r
M = I × ò r ´ dr ´ B .
(
)
(6)
Die Auswertung des doppelten Kreuzproduktes liefert
r
r r r r r r
M = I × ò (r × B) d r - (r × d r ) B .
(
)
(7)
Für eine kreisförmige, parallel zum Magnetfeld ausgerichtete Leiterschleife mit dem Flä-
r
chenvektor A senkrecht zum in x-Richtung verlaufenden Magnetfeld (siehe Abb. 1) lassen
sich die Vektorbeziehungen und das Linienintegral relativ einfach auswerten.
E6, 2/04, S.1
B
r
r
ey
dr
j
ex
Abb. 1 Leiterschleife im Magnetfeld
Die Integration liefert
r r
M = ey ×I × A × B
(8)
r
r
Wird mit m = I × A das magnetische Dipolmoment bezeichnet, kann für das Drehmoment
im speziellen Fall auch
r
r r
M = m´ B
(9)
geschrieben werden. Die Auswertung von (7) für den allgemeinen Fall ist relativ
kompliziert und soll hier nicht durchgeführt werden. Als Ergebnis erhält man auch ganz
allgemeingültig
r
r r
rö r
r r
æ1 r
M = I × ç ò r ´ dr ÷ ´ B = I × A ´ B = m ´ B ,
è2
ø
(10)
Dieses Drehmoment bewirkt eine Ausrichtung der Leiterschleife senkrecht zum Magnetfeld
r
r
( m parallel B ).
Bei der Drehung der Leiterschleife um den Winkel dj wird die Energie
r r
W = ò M dj = ò m × B × sin j dj = -m × B
(11)
aus dem Magnetfeld aufgenommen.
Das magnetische Moment einer Zylinderspule der Länge l beträgt
m = N×I × A .
(12)
Wird das Magnetfeld der Spule
B = m0
N×I
l
(13)
E6, 2/04, S.2
eingesetzt, erhält man mit dem Volumen V = l × A der Spule
m=
B
×V .
m0
(14)
Dieses Ergebnis lässt sich auch auf magnetisierte Körper (Stabmagnete) übertragen. Das
auf das Volumen bezogene Dipolmoment
m0
m
= B = m 0M
V
(15)
ist bis auf den Faktor µ0 gleich der Magnetisierung (manchmal auch als Polarisation bezeichnet) m 0 M des Körpers.
Das Magnetfeld im Innern des Stabmagneten ist also gleich seiner Magnetisierung, gleich
m 0 -mal der magnetischen Dipoldichte.
Obwohl es keine magnetischen Ladungen gibt, ist es manchmal aus formalen Gründen
zweckmäßig, die so genannte magnetische Polstärke f* einzuführen. Mit dieser kann die
Kraft auf einen "magnetischen Pol" mit
r
r
F = f* × B
(16)
bzw. das magnetische Moment eines Dipols mit
r
r
m = f* × l
(17)
bestimmt werden. Dabei ist l der fiktive Abstand zwischen den magnetischen Polen, beim
Stabmagneten seine Länge. Das Produkt
f = m 0 f*
(18)
ist der magnetische Fluss, der von den Polen ausgeht. Das Magnetfeld im Abstand r von
den Polen beträgt
B=
f
4pr 2
.
(19)
E6, 2/04, S.3
Versuchsvorbereitung
-
Wie groß ist die mittlere Driftgeschwindigkeit der Elektronen in einem Kupferdraht mit
einem Querschnitt von 2mm2, der von einem Strom der Stärke 1 A durchflossen wird?
Je Kupferatom steht genau ein Leitungselektron zur Verfügung.
-
Zeigen Sie, dass die Beziehung (8) aus (7) für die dort beschriebenen Geometrie
(Abb.1) folgt! Nehmen Sie die Integration des ersten Terms in Parameterdarstellung
vor!
-
Erstellen Sie eine Übersicht der Maßeinheiten aller hier benutzten Größen.
Aufgaben
-
Bestimmen Sie das Magnetfeld der Helmholtzspulenanordnung in Abhängigkeit der
Stromstärke.
-
Messen Sie das Drehmoment, welches eine Leiterschleife im homogenen Feld der
Helmholtzspulenanordnung
erfährt
in
Abhängigkeit
der
Stromstärke
und
des
Magnetfeldes. Berechnen Sie daraus das magnetische Moment der Spule. Stellen Sie
Ihre Messergebnisse geeignet grafisch dar. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den aus
den Spulenparametern ermittelten Werten.
-
Bestimmen
Sie
das
magnetische
Moment
und
die
Magnetisierung
eines
Stabmagneten aus dem Drehmoment in der Helmholtzspulenanordnung.
-
Messen Sie das Magnetfeld in der Nähe der Pole eines Stabmagneten. Berechnen Sie
sein Dipolmoment mit (17).
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