2. Runde - Willibald-Gymnasium Eichstätt

Dreiundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 5
Die Aufgaben der 2. Runde
Aufgabe 1
Das magische H
Anja möchte sechs verschiedene natürliche Zahlen so in die Kreise
einsetzen, dass jede Summe der Zahlen, die auf einer geraden Linie
liegen, den selben Wert s hat.
a) Anja findet eine Lösung, bei der s minimal ist. Gib eine solche Lösung
an und zeige, dass es kein kleineres s gibt.
b) Bestimme eine Lösung mit möglichst kleinem s, in der die Zahlen 2014
2015 vorkommen.
Aufgabe 2
2
7
3
und
Schlangenmuster
6
4
5
Simon schreibt die Zahlen 1, 2, 3, … der Reihe nach in das Schlangenmuster der grauen Felder, alle rest-lichen
Felder füllt er mit der 1. Dabei ist links von unten nach oben die Zeilennummer 1 bis 4 und unten
von links
nach rechts die Spaltennummer angegeben.
So hat z.B.
die Zahl 23 die Zeilennummer 3 und die Spaltennummer 13:
8
1
1
1
18
19
20
21
22
1
1
1
32
33
…
1
9
1
1
1
17
1
1
1
23
1
1
1
31
1
…
1
10
1
1
1
16
1
1
1
24
1
1
1
30
1
…
1
1
11
12
13
14
15
1
1
1
25
26
27
28
29
1
…
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...
4
4
5
6
7
3
3
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
…
a) Bestimme die Zeilen- und Spaltennummer der Zahl 2015.
b) Bestimme die Summe aller Zahlen in den Zeilen von 1 bis 4 und den Spalten von 1 bis 2015.
Hinweis: 1 + 2 + 3 + … + n = n∙(n+1):2
Aufgabe 3
Coole Zahlen
Marco nennt eine Zahl "cool", wenn alle Ziffern der Zahl verschieden sind und von je zwei benachbarten Ziffern
immer eine der beiden ein Vielfaches der anderen ist. Die Ziffer 0 kommt dabei nicht vor.
Beispiel: 51284 ist eine coole Zahl, da alle Ziffern verschieden sind, 5 ein Vielfaches von 1, 2 ein Vielfaches von
1, 8 ein Vielfaches von 2 und 8 ein Vielfaches von 4 ist.
Begründe, warum es keine neunstellige coole Zahl geben kann und bestimme die größte und die kleinste coole
Zahl, die acht Stellen hat.
Letzter Abgabetermin für die 2. Runde ist der 21.4.2015
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 2. Runde der 23. Fürther Mathematik-Olympiade (2014/2015)
in Eichstätt für die 5. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: ________
Schule/Ort: ______________________________________________________________________
Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
Unterschrift(en):____________________________________________________________
Dreiundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 6
Die Aufgaben der 2. Runde
Aufgabe 1
Keine Ziffer zweimal
Iris denkt sich alle natürlichen Zahlen, die keine gleichen Ziffern enthalten, der Größe nach aufgeschrieben:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, ….
1,
a) An welcher Stelle steht die Zahl 2015?
b) Bestimme diejenige Zahl, die an 2015-ter Stelle steht.
Aufgabe 2
Dreizimalzahlen
Fümoaner rechnen manchmal auch im Dreiersystem mit Kommazahlen, bei denen die Stellen nach dem
Komma der Reihe nach für die Bruchwerte
1 1 1
, ,
, … stehen.
3 9 27
1
3
1
9
Zum Beispiel beschreibt die Dreizimalzahl (0,221)3 den Bruch 2   2   1
1
18 6
1
25
.




27 27 27 27 27
a) Schreibe (0,1212)3 als vollständig gekürzten Bruch.
b) Bestimme die Kommadarstellung von
116
im Dreiersystem.
162
c) Auch im Dreiersystem gibt es unendliche Kommazahlen.
Welche Zahl versteckt sich wohl hinter (0,2222…)3 ?
Forsche weiter (ohne Wertung): Für welche Bruchzahlen ist eine Dreizimalzahl endlich?
Aufgabe 3
Dreiecksmuster
In das nebenstehende Dreiecksmuster sollen die
Zahlen 4 bis 15 in die noch freien Rechtecke so
eingetragen werden, dass in jedem Feld der
Unterschied der beiden direkt darunter liegenden
Zahlen steht.
A
2
1
B
a) Zeige, dass sich in jedem Fall die Zahlen in den
unterlegten Feldern A und B um mindestens 4 unterscheiden.
3
grau
b) Fülle das Muster vollständig aus, wenn rechts unter der 1 die Zahl 14 steht.
Letzter Abgabetermin für die 2. Runde ist der 21.4.2015
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 2. Runde der 23. Fürther Mathematik-Olympiade (2014/2015)
in Eichstätt für die 6. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: ________
Schule/Ort: ______________________________________________________________________
Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
Unterschrift(en):____________________________________________________________
Dreiundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 7
Die Aufgaben der 2. Runde
Aufgabe 1
2015 verprimelt
Ermittle alle Primzahlen p, q und r mit q > r, welche die Gleichung p∙(q + r) = 2015 erfüllen.
Hinweis: 1 ist keine Primzahl.
Aufgabe 2
C
Dreieck dreigeteilt
D
Das gleichseitige Dreieck ABC hat den
Flächeninhalt 1.
Welchen Wert haben die Flächeninhalte der Dreiecke
ACD und ADE?
Begründe, ohne zu messen!
Aufgabe 3
E
A
B
Figuren legen
Maria hat zu Weihnachten 2014 gleich große, gleichseitige Dreiecke bekommen.
a) Könnte Maria alle Dreiecke so ohne Lücken und Überlappungen zusammenlegen, dass ein großes
Dreieck entsteht?
Maria überlegt, ob sie aus allen Dreiecken ein Viereck ohne Lücken und Überlappungen legen kann.
b) Warum kann Maria kein gleichschenkliges Trapez legen?
c) Welche Parallelogramme kann sie legen?
Hinweis: a2 - b2 = (a+b)∙(a-b)
Letzter Abgabetermin für die 2. Runde ist der 21.4.2015
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 2. Runde der 23. Fürther Mathematik-Olympiade (2014/2015)
in Eichstätt für die 7. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: ________
Schule/Ort: ______________________________________________________________________
Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
Unterschrift(en):____________________________________________________________
Dreiundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 8
Die Aufgaben der 2. Runde
Aufgabe 1
11 und 13
Wie viele Zahlen z kleiner als 2015 gibt es, die sich als Summe z = 11m + 13n mit natürlichen
(positiven) Zahlen m und n schreiben lassen.
Aufgabe 2
OXY im Quadrat
Wie in der Abbildung angedeutet liegen 2015 Quadrate mit Seitenlänge 1 lückenlos nebeneinander.
Der Punkt O ist der linke untere Eckpunkt des 1. Quadrats, die Punkte P und Q sind entsprechend
die rechten oberen Eckpunkte des vorletzten und letzten Quadrats.
Die Punkte O und Q bzw. O und P werden durch je eine Strecke verbunden. Diese schneiden die
rechte Seite des 1. Quadrats in den Punkten X und Y.
Welchen Flächeninhalt besitzt das Dreieck OXY?
P
Q
Y
X
O
Aufgabe 3
Folgsame Zahlen mit Unterschied
Marco nennt eine positive ganze Zahl folgsam, wenn sie sich als Produkt zweier aufeinander
folgender Zahlen schreiben lässt. Beispiel: Die Zahl 20 ist folgsam, da 20 = 4∙5.
Bestimme die größte folgsame Zahl, die man auch als Produkt zweier natürlicher Zahlen
darstellen kann, die sich um 2015 unterscheiden.
Letzter Abgabetermin für die 2. Runde ist der 21.4.2015
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 2. Runde der 23. Fürther Mathematik-Olympiade (2014/2015)
in Eichstätt für die 8. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: ________
Schule/Ort: ______________________________________________________________________
Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
Unterschrift(en):____________________________________________________________