Metrische Probleme im Raum als pdf file

Übungsmaterial
8
1
Metrische Probleme im R3
Wir wenden uns jetzt der metrischen Geometrie zu, dem Teil der analytischen Geometrie zu, der
sich mit der Berechnung von Längen und Winkeln befasst. Das wichtigste Hilfsmittel in der metrischen
Geometrie ist das Skalarprodukt.
8.1
Die Länge eines Vektors
Die Länge eines Vektors ~v bezeichnet man mit |~v | oder kurz mit v.
|~v | heiÿt auch Betrag von ~v .
Es ist
 
v1 q
 
|~v | = v2  = v12 + v22 + v32 .
v3 Ein Vektor der Länge 1 heiÿt Einheitsvektor. Dies ist uns bereits bei den Basisvektoren des R3
begegnet.
Den Einheitsvektor in Richtung ~v bezeichnet man mit v~0 .
v~0 ergibt sich aus ~v , indem man ~v durch seine Länge teilt.
Beispiele


3
√
√

1) Der Vektor ~v = 
−2 hat die Länge v = 9 + 4 + 36 = 49 = 7.
−6
 
 
3
6
 
1
2) Der Einheitvektor in Richtung ~v = −2 ist v~0 = 7 −2
.
6
3
Entfernung zweier Punkte
Mit der Formeln für die Vektorlänge kann man auch die Entfernung zweier Punkte oder die Länge
einer Strecke
Beispielsweise haben die Punkte P(3/0/2) und Q (3/-4/-1) die Entfernung
 berechnen.
0   √
P Q = −4 = 0 + 16 + 9 = 5.
−3 Übungsmaterial
8.2
2
Skalarprodukt von Vektoren
Denition
Die reelle Zahl

  
u1
v1
   
~u ◦ ~v = u2  ◦ v2  := u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
u3
v3
heiÿt Skalarprodukt der Vektoren ~u und ~v .
Es gilt:
~u ◦ ~v = 0 ⇔ ~u ⊥ ~v
Das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren ist Null. Zwei Vektoren, die aufeinander senkrecht
stehen, nennt man auch orthogonal.
Beispiele
 
 
1
−7
 
 
1) Das Skalarprodukt der Vektoren 2 und  3  ist
 
 
3
−5
1
−7
 
 
2 ◦  3  = 1 · (−7) + 2 · 3 + 3 · (−5) = −7 + 6 − 15 = −16.
3
−5
2) Das Skalarprodukt zweier Basisvektoren muss Null ergeben, denn sie stehen senkrecht aufeinander. Tatsächlich ist
 
 
1
0
 
 
0 ◦ 1 = 0 + 0 + 0 = 0.
0
0
 
1
 
3) Gib einen zu 3 senkrecht stehenden Vektor an (einen solchen nennt man auch Normalen2
vektor ).

  
 
0
3
−2
   
 
Mögliche Lösungen wären beispielsweise  2 , −1 oder  2 .
−3
0
−2
Übungsmaterial
8.3
3
Winkelberechnungen
Winkel zwischen zwei Vektoren
Sind ~u und ~v zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, so ist ihr Zwischenwinkel ϕ gegeben durch
~u ◦ ~v
cos ϕ =
.
|~u| · |~v |
u
φ
v
Beispiel
 
 
1
−7
 
 
Der Kosinus des Winkels ϕ zwischen den Vektoren 2 und  3  ist
 
 
3
−5
1
−7
 
 
2 ◦  3 
3
−5
−16
√
= −0, 469...
cos ϕ =     = √
1 −7 14 · 83
   
2 ·  3 
3 −5 und dann ϕ ≈ 131◦ .
Winkel zwischen zwei Geraden
Als Schnittwinkel ϕ zweier Geraden mit Richtungsvektoren ~u und ~v deniert man den spitzen Winkel
der Geradenkreuzung:
~u ◦ ~v .
cos ϕ = |~u| · |~v | Beispiel
Der Winkel α zwischen den Geraden

 
 √ 
 
−2
0
−4
− 3

 
 
 

~
~
g : X =  2  + λ  3  und h : X =  3  + µ  2 
−1
0
5
1

Übungsmaterial
4
ergibt sich aus
    −4
−2
     3 ◦ 2  0
1
14
14
√ =
cos α =     = √
−4 −2 15
25 · 9
     3  ·  2  0 1 und wir erhalten ϕ ≈ 23◦ .
8.4
Abstandsberechnungen
Abstand eines Punktes von einer Gerade
Der Abstand d eines Punktes P von einer Gerade g ist deniert als die kleinste Entfernung zwischen
einem Geradenpunkt und P. Diese Entfernung ist gerade die Länge des Lotes von P auf g. Das Lot
steht senkrecht auf der Gerade g und schneidet sie in einem Punkt, den wir Lotfuÿpunkt F nennen
wollen (siehe Abbildung 1).
g
F
·
P
Abbildung 1: Der Abstand eines Punktes von einer Gerade
Die Bestimmung des Abstands d zwischen P und g wollen wir an einem Beispiel näher erläutern.
 
 
9
3
 
 
~
Gegeben seien der Punkt P (−1/ − 2/0) und die Gerade g : X = 0 + λ −2.
7
2
Es ist

   

9 + 3λ
−1
10 + 3λ
−−→ 
   

P F =  −2λ  − −2 =  2 + 3λ 
7 + 2λ
0
7 + 2λ


3
−−→

und auÿerdem P F ◦ 
−2 = 0.
2
Übungsmaterial
5
Also

  
10 + 3λ
3

  
 2 + 3λ  ◦ −2 = 0,
7 + 2λ
2
das führt zu
3(10 + 3λ) − 2(2 + 3λ) + 2(7 + 2λ) = 0
⇔ 30 + 3λ − 4 − 6λ + 14 + 4λ = 0
⇔ 40 + λ = 0
⇔ λ = −40
Es ist dann

 

10 + 3 · 40 130 √
−−→

 

d = |P F | =  2 + 3 · 40  = 122 = 39353 ≈ 198.
7 + 2 · 40 87 Abstand zweier paralleler Geraden
Um den Abstand zweier paralleler Geraden zu berechnen, führt man das Problem auf die im letzten
Beispiel behandelte Aufgabe zurück und berechnet den Abstand zwischen einem Punkt der einen
Gerade (z.B. dem Aufpunkt) und der anderen Gerade.
Abstand zweier windschiefer Geraden
Der Abstand d zweier windschiefer Geraden g und h ist die Länge der kürzesten Strecke, die einen
Punkt von g mit einem Punkt von h verbindet.
Zu den zwei windschiefen Geraden g und h gibt es genau eine Gerade n, die beide senkrecht schneidet.
Die Entfernung der beiden Schnittpunkte ist der gesuchte Abstand von g und h. Die Gerade n heiÿt
Normale oder gemeinsames Lot von g und h.
Beispiel


 
−3
4
 
 
~
g : X =  9  + λ −1 ,
0
8
 
 
8
4
 
 
~
h : X = 4 + µ 3
4
4


−3 + 4λ

Ein Punkt auf g hat den Ortsvektor X~g = 
 9 − λ  , ein Punkt auf h hat den Ortsvektor
8λ
Übungsmaterial
6


8 + 4λ


X~h = 4 + 3λ.
4 + 4λ
Der allgemeine Verbindungsvektor zweier Punkte auf g und h lautet dann


11 + 4µ − 4λ
−−−→ 

Xg Xh =  −5 + 3µ + λ  .
4 + 4µ − 8λ
−−−→
Nun müssen λ und µ so gewählt werden, dass Xg Xh auf den Richtungsvektoren von g und h senkrecht
steht:
−−−→
• Xg Xh ◦ ~u = 0 ⇔ 4(11 + 4µ − 4λ) − (−5 + 3µ + λ) + 8(4 + 4µ − 8λ) = 0
−−−→
• Xg Xh ◦ ~v = 0 ⇔ 4(11 + 4µ − 4λ) + 3(−5 + 3µ + λ) + 4(4 + 4µ − 8λ) = 0
Das Gleichungssystem
81 + 45µ − 81λ = 0
45 + 41µ − 45λ = 0
hat die Lösungen λ = 1 und µ = 0.
Wir setzen diese Lösungen in g ein und erhalten die Schnittpunkte U(1/8/8) auf g und V(8/4/4) auf
h.
Die Länge des Verbindungsvektors ist
 
7 −−→
  √
|U V | = −4 = 81 = 9.
−4 8.5
Aufgabe 1


 
1
−4



~ = 20 + µ  1 
1) Gegeben ist die Gerade g : X
. Berechne ihren Abstand vom Ursprung.
12
3
 
 
 
2
1
−1
 
 
 
~
~
2) Gegeben seien die Geraden g : X = µ 2 und h : X = 2 + λ  5 . Berechne den
Abstand der beiden Geraden.
2
3
5
Übungsmaterial
Lösung

 
1
−4
 
 
~
1) g : X = 20 + µ  1 .
12
3
7



1 − 4µ
−−→

Der Richtungsvektor zwischen dem Ursprung und einem Punkt der Gerade ist OX = 
 20 + µ .
12 + 3µ
Der kürzeste dieser Vektoren steht senkrecht auf die Gerade, also

  
1 − 4µ
−4

  
 20 + µ  ◦  1  = 0.
12 + 3µ
3
Wir lösen die daraus resultierende Gleichung nach µ auf:
−4(1 − 4µ) + 20 + µ + 3(12 + 3µ) = 0
⇔ −4 + 16µ + 20 + µ + 36 + 9µ = 0
⇔ 52 + 26µ = 0
⇔ µ = −2
Wir erhalten den Abstand d der Gerade zum Ursprung


1+8 √


d = 20 − 2 = 441 = 21.
12 − 6  
 
 
2
1
−1
 
 
 
~
~
2) g : X = µ 2 , h : X = 2 + λ  5 .
2
3
5
Man erkennt, dass die Geraden nicht parallel sind. Da wir einen Abstand bestimmen sollen,
haben wir es wohl mit windschiefen Geraden zu tun.
Punkte auf g bzw. h sind gegeben durch
 


2µ
1−λ



~g = 
X
2µ , X~h = 2 + 5λ ,
2µ
3 + 5λ


1 − λ − 2µ
−−−→

ihr Abstand ist Xg Xh = 
2 + 5λ − 2µ.
3 + 5λ − 2µ
−−−→
Da Xg Xh senkrecht auf g stehen muss, folgt

  
1 − λ − 2µ
2

  
2 + 5λ − 2µ ◦ 2 = 0,
3 + 5λ − 2µ
2
Übungsmaterial
8
also 2 − 2λ − 4µ + 4 + 10λ − 4µ + 6 + 10λ − 4µ = 0 ⇒ 12 + 18λ − 12µ = 0.
−−−→
Da Xg Xh auch senkrecht auf h stehen muss, folgt

  
1 − λ − 2µ
−1

  
2 + 5λ − 2µ ◦  5  = 0,
3 + 5λ − 2µ
5
also −1 + λ + 2µ + 10 + 25λ − 10µ + 15 + 25λ − 10µ = 0 ⇒ 24 + 51λ − 18µ = 0.
Das Gleichungssystem
12 + 18λ − 12µ = 0
24 + 51λ − 18µ = 0
hat die Lösung λ = − 14 und µ = 85 .
Der Abstand d der Geraden g und h ist dann

 

1 − λ − 2µ 0 −−−→
1


 
d = |Xg Xh | = 2 + 5λ − 2µ = − 21  = √ .
1 2
3 + 5λ − 2µ 2
8.6
Aufgabe 2


 
3
4
 
 
~
1) Gib die Gleichung einer Ursprungsgerade an, die h : X =  1  +µ −1 senkrecht schneidet.
−2
2
 
 
1
−2



~ = 7 + µ  1 
2) Gegeben sei die Parallelenschar gk : X
, k ∈ Z.
k
0
a) Welchen Abstand haben benachbarte Schargeraden?
b) Welche Schargeraden haben vom Ursprung den Abstand 7?
Lösung


 
3
4
 
 
~
1) h : X =  1  + µ −1.
−2
2
Der Richtungsvektor der gesuchten Gerade n steht senkrecht auf h und geht durch den Punkt
(0/0/0). Also z.B.
 
 
 
0
1
1
 
 
 
~
n : X = 0 + λ −4 = λ −4 .
0
4
4
Übungsmaterial
9
 
 
1
−2



~ = 7 + µ  1 
2) gk : X
, k ∈ Z
k
0
a) Zwei benachbarte Schargeraden sind
 
 


 
1
−2
1
−2
 
 


 
~
~
gk : X = 7 + µ  1  und gk+1 : X =  7  + µ  1  .
k
0
k+1
0
Der Richtungsvektor zwischen einem Punkt A auf gk und einem Punkt B auf gk+1 ist dann
gegeben durch

 

1 − 2µ − 1
−2µ
−−→ 
 

AB =  7 + µ − 7  =  µ  .
k+1−k
1
Er muss senkrecht auf den Geraden der Schar stehen, also

  
−2µ
−2

  
 µ  ◦  1  = 0.
1
0
Wir erhalten die Gleichung 4µ + µ = 0, also µ = 0.
Der Abstand zweier benachbarter Geraden beträgt
 
0  
d = 0 = 1.
1 b) Der Richtungsvektor vom Ursprung zu einem Punkt auf der Gerade gk ist


1 − 2µ
−→ 

0X =  7 + µ  .
k
Der kürzeste dieser Vektoren steh auf der Gerade senkrecht, also

  
1 − 2µ
−2

  
 7 + µ  ◦  1  = 0.
k
0
Wir erhalten die Gleichung −2 + 4µ + 7 + µ = 0 mit Lösung µ = −1.
Der Abstand der Gerade gk zum Ursprung ist

  
1+2 3 −→

   p
|0X| = 7 − 1 = 6 = 9 + 36 + k 2 .
k k
Übungsmaterial
Nun ist k so gesucht, dass der Abstand der Gerade zum Ursprung 7 beträgt:
p
9 + 36 + k 2 = 7
⇔ 45 + k 2 = 49
⇔ k2 = 4
⇔ k = ±2
10