3.Schularbeit , am 14.3.2009 7C (zweistündig) Gruppe A 1a) b) Name: Die Punkte P(6/-2) und Q(3/4) liegen auf einer Ellipse in 1.Hauptlage. Berechne den Winkel, den die Brennstrecke F1P [ F1(x<0/0)] mit der Tangente tP in P einschließt! Von einer Ellipse in 1.Hauptlage kennt man eine Tangente t: 7x + 3y = 52 mit dem Berührpunkt T(7/y). Berechne die Gleichungen der Tangenten t1 und t2 , die man aus dem Punkt P(-14/-2) an die Ellipse legen kann und überprüfe, ob die durch die beiden Berührpunkte gehende Gerade parallel zur gegebenen Tangente t ist! 2 2 2) Der Ellipse x + 3y = 36 ist das flächengrößte Fünfeck PQRSB, das aus einem achsenparallelen Rechteck mit aufgesetztem Dreieck besteht, einzuschreiben ( siehe Skizze). Für welchen Punkt P ist dieses Fünfeck möglichst groß? Berechne diesen maximalen Flächeninhalt! 3a) Wie viele normierte Gleichungen 5.Grades mit der Lösungsmenge { 0, 5 – 2i, 5 + 2i } gibt es? Gib sie alle an! b) Was kann man über das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen aussagen? 4) Mit welchem Winkel ϕ und welchen Streckfaktor λ muss man den Eckpunkt A des Dreiecks ABC [ A(5/0), B(8/7), C(-1/11)] um seinen Schwerpunkt S drehstrecken, um den Eckpunkt B zu erhalten? Auf welchen Punkt C1 wird der Eckpunkt C bei dieser Drehstreckung abgebildet? 5) Von einer rationalen Funktion f(x) kennt man die beiden senkrechten und die schräge Asymptote sowie einen Wendepunkt im Ursprung ( siehe Skizze). Nimm p( x ) f(x) = q( x) so an, dass der Grad von q(x) möglichst klein ist. Bestimme den Term von f und ergänze in der Skizze den Graphen von f ! 6) x3 − 2x2 + 8 Diskutiere die Funktion f: y = und zeichne ihren Graphen! 8 − 4x Verwende das Koordinatensystem auf der Rückseite! Überzeuge dich davon, dass die bereits gezeichnete Kurve y = − 1 x2 eine asymptotische 4 Funktion von f(x) ist! Zeichne – falls vorhanden – ein: alle weiteren Asymptoten, Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte mit Wendetangenten! Punkteverteilung möglich: erreicht: 1 2 3 4 5 6 zusammen 14 8 4 6 8 8 48 zu 6) 3.Schularbeit , am 14.3.2009 7C (zweistündig) Gruppe B 1a) b) Name: Die Punkte P(-6/-2) und Q(3/ 13 ) liegen auf einer Ellipse in 1.Hauptlage. Berechne den Abstand des Brennpunktes F1(x>0/0) von der Ellipsentangente in P! Eine Ellipse in 1.Hauptlage wird im Punkt T(-2/y) von der Geraden t: x + 6y + 26 = 0 berührt. Gemeinsam mit den Berührpunkten T1 und T2 der aus P(4/8) an die Ellipse gelegten Tangenten t1 und t2 bildet der Punkt T ein der Ellipse eingeschriebenes Dreieck! Berechne dessen Flächeninhalt! 2 2 2) Der Ellipse 5x + 8y = 320 ist das flächengrößte Fünfeck PQARS, das aus einem achsenparallelen Rechteck mit aufgesetztem Dreieck besteht, einzuschreiben ( siehe Skizze). Für welchen Punkt P ist dieses Fünfeck möglichst groß? Berechne diesen maximalen Flächeninhalt! 3a) Wie viele normierte Gleichungen 6.Grades mit der Lösungsmenge { 0, 2 – i, 2 + i } gibt es? Gib sie alle an! b) Was kann man über die Differenz zweier konjugiert komplexer Zahlen aussagen? 4) Mit welchem Winkel ϕ und welchen Streckfaktor λ muss man den Eckpunkt B des Dreiecks ABC [ A(5/0), B(7/8), C(-3/10)] um den Eckpunkt A drehstrecken, um seinen Schwerpunkt S zu erhalten? Auf welchen Punkt C1 wird der Eckpunkt C bei dieser Drehstreckung abgebildet? 5) Von einer rationalen Funktion f(x) kennt man die beiden senkrechten und die schräge Asymptote sowie einen Extremwert im Ursprung ( siehe Skizze). Nimm p( x ) f(x) = q( x) so an, dass der Grad von q(x) möglichst klein ist. Bestimme den Term von f und ergänze in der Skizze den Graphen von f ! 6) Diskutiere die Funktion f: y= x3 − 3x2 + 8 und zeichne ihren Graphen! 6x − 18 Verwende das Koordinatensystem auf der Rückseite! Überzeuge dich davon, dass die bereits gezeichnete Kurve y = 1 x2 eine asymptotische Funktion 6 von f(x) ist! Zeichne – falls vorhanden – ein: alle weiteren Asymptoten, Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte mit Wendetangenten! Punkteverteilung möglich: erreicht: 1 2 3 4 5 6 zusammen 14 8 4 6 8 8 48 zu 6)