Analysis 1 - Mathematik, TU Dortmund

Analysis 1
SS 2008
Übung 8
20.05.2008
Aufgabe 1 (Approximierbarkeit und Irrationalität von e )
n
X
1
1
≤
für die Approximation der
a) Beweisen Sie die Fehlerabschätzung 0 < e −
k!
n · n!
k=0
Eulerschen Zahl e .
n+p
X 1
Hinweis: Schätzen Sie zunächst
für p ∈ N ab.
k!
k=n+1
b) Folgern Sie aus a), dass e keine rationale Zahl ist.
p
Hinweis: Setzen Sie den Ansatz e =
mit p, q ∈ N in die Fehlerabschätzung aus a) mit
q
n = q ein. Multiplizieren Sie mit q! und interpretieren Sie die resultierende Ungleichung.
Aufgabe 2 (Beispiele zu Limes superior und Limes inferior)
Bestimmen Sie für die Folgen (an ) alle Häufungswerte sowie im Falle der Existenz Limes superior
und Limes inferior.
3
n
n
c) an = (−1)n n
a) an = 1 + (−1)
b) an = (−1) 2 +
n
q
n + (−1)n (2n + 1)
d) an =
e) an = n (1 + (−1)n )n + 1
f) an = |1 + in |
n
Aufgabe 3 (Rechenregeln für Limes superior und Limes inferior)
Die Folgen (fn ) und (gn ) seien beschränkt. Beweisen Sie
a) lim sup(fn + gn ) ≤ lim sup fn + lim sup gn .
b) Falls es ein n0 ∈ N mit fn ≥ 0 für alle n ≥ n0 gibt, gilt
lim sup(fn · gn ) ≤ lim sup fn · lim sup gn .
Nennen Sie zu a) und b) Beispiele, in denen eine strikte Ungleichheit gilt.
Aufgabe 4 (Geometrisches Wachstum)
an+1
Gegeben sei eine Folge (an ) reeler Zahlen mit an > 0 für n ∈ N . Weiter existieren lim inf
an
an+1
und lim sup
.
an
√
√
a) Beweisen Sie die Existenz von lim inf n an und lim sup n an sowie die Ungleichung
√
√
an+1
an+1
lim inf
≤ lim inf n an ≤ lim sup n an ≤ lim sup
.
an
an
an+1
Hinweis: Folgern Sie aus lim sup
= q ∈ R zunächst für beliebiges ε > 0 die Existenz
an
von n0 ∈ N und von C > 0 mit an ≤ C(q + ε)n für alle n ≥ n0
( lim inf “ analog).
”
n
√
n
b) Wenden Sie a) an zur Berechnung von lim n an für an =
.
n→∞
n!
Abgabe, 29.05.2008 in der Vorlesung . Besprechung am 06.06.2008 in der Übung.