(4.2.2013) Hinweis: Als Hilfsmittel sind nur Taschenre

Klausur Wahrscheinlichkeitstheorie für Informatiker und Grundschullehrer
(4.2.2013)
Hinweis: Als Hilfsmittel sind nur Taschenrechner zugelassen. Die Lösungsschritte sind deutlich darzulegen. Bei alleiniger Ergebnisangabe o.ä. kann Punktabzug erfolgen. Mobiltelefone bitte abschalten und nicht auf dem Arbeitsplatz
ablegen.
1. Wieviel verschiedene achtstellige Zahlen gibt es, bei denen
a) nur die drei Ziffern 1, 3 oder 4 (in beliebiger Anzahl) vorkommen,
b) jede der acht Ziffern von 1 bis 8 vorkommt,
c) die Ziffer 1 und die Ziffer 3 jeweils genau dreimal und die Ziffer 4
genau zweimal vorkommen?
2. Eine ideale Münze werde n mal geworfen, n ∈ N. Wir betrachten die
folgenden Ereignisse:
An - es tritt höchstens einmal Wappen auf.
Bn - es tritt mindestens einmal Wappen und mindestens einmal Zahl auf.
a) Beweisen Sie, daß die Ereignisse A1 und B1 stochastisch unabhängig
sind.
b) Es sei n ≥ 2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
An und Bn .
c) Für welche Zahlen n sind An und Bn stochastisch unabhängig?
3. In einer Urne befinden sich 10 rote und 20 schwarze Kugeln. In einer
zweiten Urne befinden sich 30 rote und 20 schwarze Kugeln. Aus der ersten
Urne wird zufällig eine Kugel entnommen und in die zweite Urne gelegt.
Danach wird aus der zweiten Urne zufällig eine Kugel entnommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die aus der zweiten Urne
entnommene Kugel rot ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die aus der ersten Urne entnommene Kugel rot war, wenn die aus der zweiten Urne entnommene
Kugel schwarz ist?
4. Eine diskrete Zufallsgröße X nehme genau die drei Werte 0, 1, 2 an. Die
Wahrscheinlichkeit, mit der der Wert 1 angenommen wird, sei doppelt so
groß wie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Wert 0 angenommen wird.
Der Erwartungswert von X sei gleich 32 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Zufallsgröße X die Werte 0, 1 bzw. 2 annimmt.
5. Ein Vertreter für ein gewisses Produkt weiß aus Erfahrung, daß die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Kunde dieses Produkt kauft, bei 10% liegt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß unter 5 Kunden genau 3
dieses Produkt kaufen?
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b) Wieviel Kunden müßte der Vertreter mindestens aufsuchen, damit
mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einer dieser
Kunden das Produkt kauft?
6. Die Dauer von telefonischen Anfragen bei einer Auskunft werde als exponentialverteilt mit dem Parameter α = 51 min−1 angesehen. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, daß eine solche Anfrage
a) zwischen 3 und 6 Minuten dauert,
b) insgesamt nicht mehr als 6 Minuten dauert, wenn sie bereits drei
Minuten läuft?
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