AB Wahrscheinlichkeit II-1 - LÖS Erwartungswerte (AHR 13

Berufskolleg Marienschule
Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit
gymnasialer Oberstufe
Übungsaufgaben
(Zufallsvariablen und
Erwartungswerte)
Berufskolleg Marienschule
Lippstadt
Schuljahr 2015/2016
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Aufgabe 1
Schule der Sekundarstufe II mit
gymnasialer Oberstufe
Übungsaufgaben
(Zufallsvariablen und
Erwartungswerte)
Schuljahr 2015/2016
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
c) W6 ist ein sechsseitiger Würfel, der {2, 4, 4, 6, 6, 6} als Augenzahlen hat
Bei der Flugplatz-Party haben Sie die Wahl ob Sie 3 Euro Eintritt bezahlen oder den
Eintrittspreis mit einem normalen Würfel würfeln.
Entscheiden Sie anhand des Erwartungswertes, welche Variante Sie wählen würden.
Aufgabe 3
In einer Urne befinden sich Kugeln mit der Aufschrift + 2 €, +5 € und -7 €.
Jeweils 30 % der Kugeln haben die Aufschrift + 2 € und +5 €.
Ein Spieler zieht zweimal hintereinander eine Kugel mit Zurücklegen und notiert jeweils
ihre Zahl. Die Summe dieser beiden Zahlen (unter Berücksichtigung des Vorzeichens)
geben an, wie viel Euro der Spieler ausbezahlt bekommt (bei positivem Vorzeichen) bzw.
Aufgabe 2
Tom ist ein begeisterter Fantasy-Abenteuer Spieler. Bei diesen Spielen werden auch
was der Spieler bezahlen muss (bei negativem Vorzeichen).
a)
Würfel benützt, aber diese unterscheiden sich deutlich von normalen Würfeln. Berechnen
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei einem Spiel Geld
gewinnt.
Sie die jeweiligen Erwartungswerte.
a) W7 ist ein siebenseitiger Würfel, wobei die Augenzahlen aus der 1 und den ersten
sechs Primzahlen bestehen.
b)
b) W12 ist ein zwölfseitiger Würfel, wobei die Augenzahlen die ersten zwölf
ungeraden Zahlen sind.
Weisen Sie nach, dass dieses Spiel nicht fair ist. Wie viele Spiele müssen
gespielt werden, damit der Spielanbieter mit Einnahmen von 1000 € rechnen
kann?
Berufskolleg Marienschule
Lippstadt
Berufskolleg Marienschule
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Schuljahr 2015/2016
Übungsaufgaben
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
(Zufallsvariablen und
Erwartungswerte)
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Aufgabe 4
Schuljahr 2015/2016
Übungsaufgaben
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
(Zufallsvariablen und
Erwartungswerte)
Schule der Sekundarstufe II mit
gymnasialer Oberstufe
c) Welchen Betrag muss der Spieler bei einer Null zahlen (ohne Eintritt), damit das
Spiel fair ist?
Ein symmetrisches Glücksrad enthält die ersten vier Primzahlen und die Null.
E ( X ) = 17,4 − K ⋅ 0,2 = 0
Erscheint eine Primzahl, so erhält der Spieler das Quadrat der Zahl in €, erscheint die
Null, so zahlt er 50 €. Die Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis den Gewinn des
Spielers zu.
⇒
17,4 − K ⋅ 0,2 = 0
+ K ⋅ 0,2
⇒
17,4 = K ⋅ 0,2
: 0,2
⇒
87 = K
a) Fertigen sie hierzu die zugehörige Tabelle an und berechnen sie den
Erwartungswert (und die Varianz) dieser Zufallsvariablen.
d) Würden sie das Spiel machen, wenn es sich um ein Glücksrad mit den ersten 5
Zahlen
2
3
5
7
0
xi
4
9
25
49
− 50
P ( X = xi )
1
5
= 0,2
1
5
= 0,2
1
5
= 0,2
1
5
= 0,2
1
5
Primzahlen und drei Nullen handeln würde? (Kein Eintritt)
= 0,2
Zahlen
2
3
5
7
11
0
xi
4
9
25
49
121
− 50
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
3
8
E ( X ) = 4 ⋅ 0,2 + 9 ⋅ 0,2 + 25 ⋅ 0,2 + 49 ⋅ 0,2 − 50 ⋅ 0,2 = 7,4
P ( X = xi )
V ( X ) = (4 − 7,4 ) + (9 − 7,4 ) + (25 − 7,4 ) + (49 − 7,4 ) + (− 50 − 7,4 ) = 5349,2
2
s(X ) =
2
2
2
2
E (X ) = 4 ⋅ 1 + 9 ⋅ 1 + 25 ⋅ 1 + 49 ⋅ 1 + 121 ⋅ 1 − 50 ⋅ 3 = 7 ,25
5349,2 = 73,14
8
8
8
8
8
8
Wie viele Nullen müssen (zu den ersten 5 Primzahlen) hinzugefügt werden, damit sich das
b) Welchen Betrag müssten sie als Spieler vor Beginn des Spieles (als Eintritt)
Spiel für den Anbieter lohnt?
einzahlen, damit das Spiel fair ist?
Bei 4 Nullen gilt: E (X ) = 4 ⋅ 1 + 9 ⋅ 1 + 25 ⋅ 1 + 49 ⋅ 1 + 121 ⋅ 1 − 50 ⋅ 4 ≈ 0 ,89 .
9
Der langfristig zu erwartende Auszahlungsbetrag muss durch den „Eintritt“
9
9
9
9
9
Bei 5 Nullen gilt: E (X ) = 4 ⋅ 1 + 9 ⋅ 1 + 25 ⋅ 1 + 49 ⋅ 1 + 121 ⋅ 1 − 50 ⋅ 5
ausgeglichen werden. Da E (X ) = 7,4 müssten 7,4 € gezahlt werden.
10
10
10
10
10
10
≈ − 4 ,2 .
ALTERNATIV
Aufgabe 5
Sei k der zu zahlende Einsatz:
E ( X ) = ( 4 − k ) ⋅ 0,2 + (9 − k ) ⋅ 0,2 + (25 − k ) ⋅ 0,2 + ( 49 − k ) ⋅ 0,2 − (50 − k ) ⋅ 0,2 = 0
: 0,2
Herr Hünermann wirbt an seinem Stand auf dem Markt in Marienstadt mit einer besonderen Aktion.
⇒
( 4 − k ) + (9 − k ) + (25 − k ) + ( 49 − k ) − (50 − k ) = 0
Er verspricht dem Käufer eine Prämie von 5 € für jedes Ei in einer 10er-Schachtel, das
⇔
4 − k + 9 − k + 25 − k + 49 − k − 50 − k = 0
angeschlagen oder ausgelaufen ist.
⇔
37 − 5k = 0
+ 5k
⇔
37 = 5k
:5
⇔
7,4 = k
a) Lohnt es sich bei Hünermann zu kaufen, wenn er die 10er-Schachtel 0,50 € teurer verkauft
als die Konkurrenz am Nachbarstand? Die Zufallsvariable sei der Vorteil für den Käufer.
Aus Erfahrung weiß Hünermann, dass in 7% der Schachteln ein Ei angeschlagen ist, in 2%
der Schachteln 2 Eier und in 0,25% der Schachteln 3 Eier. (Mehr defekte Eier kommen
nicht vor).
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Lippstadt
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
0
1
2
3
-0,5
4,5
9,5
14,5
0,9075
0,07
0,02
0,0025
angeschlagenen Eier
(Vorteil in €)
P ( X = xi )
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(Zufallsvariablen und
Erwartungswerte)
Schule der Sekundarstufe II mit
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b)
Zahl der
xi
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Übungsaufgaben
(Zufallsvariablen und
Erwartungswerte)
Schule der Sekundarstufe II mit
gymnasialer Oberstufe
Fertigen Sie eine Verteilungstabelle zu X an und berechnen Sie E(X) für: X: Gewinn am
Wochenende bei 6 bestellten Torten.
Anzahl
verkaufter
Torten
xi
(Gewinn
E (X ) = (− 0,5 ) ⋅ 0 ,9075 + 4 ,5 ⋅ 0 ,07 + 9 ,5 ⋅ 0 ,02 + 14 ,5 ⋅ 0 ,0025 = 0 ,0875
in €)
Die Käufer haben also im langfristigen Mittel einen Preisvorteil von 8,75 Cent.
P ( X = xi )
b) Variieren Sie die Prämie so, dass das Spiel fair wird.
1
2
3
4
5
6
1 ⋅ 12 − 6 ⋅ 8
= − 36
2 ⋅ 12 − 6 ⋅ 8
= − 24
3 ⋅ 12 − 6 ⋅ 8
= − 12
4 ⋅ 12 − 6 ⋅ 8
= 0
5 ⋅ 12 − 6 ⋅ 8
= 12
6 ⋅ 12 − 6 ⋅ 8
= 24
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
E (X ) = (− 36 ) ⋅ 0,1 + (− 24 ) ⋅ 0 ,2 + (− 12 ) ⋅ 0,3 + 0 ⋅ 0 ,2 + 12 ⋅ 0 ,1 + 24 ⋅ 0 ,1 =
− 8 ,4
E (X ) = (− 0,5 ) ⋅ 0,9075 + (1 ⋅ p − 0,5 ) ⋅ 0,07 + (2 ⋅ p − 0,5 ) ⋅ 0,02 + (3 ⋅ p − 0,5 ) ⋅ 0,0025 = 0
Bei 6 bestellten Torten wird im langfristigen Mittel ein Verlust von 8,4 € gemacht.
⇔
− 0,45375 + 0,07p − 0,035 + 0,04 p − 0,01 + 0,0075p − 0,00125 =
⇔
− 0,5 + 0,1175p =
⇔
0,1175p = 0,5
⇔
p ≈ 4,26
0
+ 0,5
0
Wie groß ist der zu erwartende Gewinn, wenn man dem Vorschlag des Verkäufers Bender
folgt und nur noch 4 Torten an jeden Wochenende bestellt?
: 0,1175
(X* : Gewinn bei 4 bestellten Torten; Verteilungstabelle entsprechend ändern)
c) Variieren Sie den Preisaufschlag so, dass das Spiel fair wird.
Anzahl verkaufter
Torten
Der in a) berechnete Erwartungswert muss ausgeglichen werden, somit muss der
Preisaufschlag 0,5875 € betragen (gerundet 0,59 € oder 59 Cent).
P ( X = xi )
1
2
3
4
4 (5)
4 (6)
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
Aufgabe 6
Anzahl verkaufter
Herr Ein Lebensmittelgeschäft kauft an jedem Wochenende 6 Käse-Sahne-Torten zu je 8€
Torten
1
2
3
4
1 ⋅ 12 − 4 ⋅ 8
= − 20
2 ⋅ 12 − 32
= −8
3 ⋅ 12 − 32
= 4
4 ⋅ 12 − 32
= 8
0,1
0,2
0,3
0,4
und verkauft sie zu je 12€ gemäß folgender Verteilungstabelle:
xi
Anzahl verkaufter Torten
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeit
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
(Gewinn
in € bei 4 Torten)
P ( X = xi )
a) Berechnen Sie E(Y) mit Y: Zahl der verkauften Torten
E (Y ) = 1 ⋅ 0 ,1 + 2 ⋅ 0 ,2 + 3 ⋅ 0 ,3 + 4 ⋅ 0 ,2 + 5 ⋅ 0 ,1 + 6 ⋅ 0 ,1 =
3 ,3
E (X ) = (− 20 ) ⋅ 0 ,1 + (− 8 ) ⋅ 0 ,2 + 4 ⋅ 0 ,3 + 8 ⋅ 0 ,4 =
0 ,8
Bei 4 bestellten Torten wird im langfristigen Mittel ein Gewinn von 0,8 € gemacht.