Physik und Elektrotechnik 1

I, 1–71 (2012)
c 2012
Physik und Elektrotechnik 1
Dr. Jürgen Bolik
Georg-Simon-Ohm-Hochschule
Nürnberg
I
r
z
y
x
Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg
2
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
Elektrizität
1.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Elektrische Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Energieinhalt eines homogenen elektrischen Feldes
1.1.7 Der Piezoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . .
1.2 Gleichströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Der Ohmsche Widerstand . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Leistung elektrischer Ströme . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
7
9
13
14
14
16
16
18
22
Grundbegriffe der Elektrodynamik
2.1 Kräfte im Magnetfeld . . . . . .
2.2 Das Gesetz von Biot-Savart . . .
2.3 Elektromagnetische Induktion .
2.4 Magnetisierung . . . . . . . . .
2.5 Wechselströme . . . . . . . . .
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33
36
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Halbleiter als elektronische Bauelemente
3.1 Energiebänder . . . . . . . . . . . . .
3.2 Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Eigenleitung . . . . . . . . .
3.2.2 Störstellenleitung . . . . . . .
3.3 Halbleiter-Elektronik . . . . . . . . .
3.3.1 Halbleiterdiode . . . . . . . .
3.3.2 Bipolartransistoren . . . . . .
3.3.3 Feldeffekttransistoren . . . .
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40
40
42
42
42
44
44
48
52
Einführung in die Halbleiterschaltungstechnik
4.1 Emitterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Logische Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Komplementäre MOS-Logik (CMOS) . . . . . . . . . . . . .
4.5 Der Halbaddierer als Beispiel einer digitalen Rechenschaltung
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59
59
60
62
66
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1
Elektrizität
1.1
1.1.1
Elektrostatik
Elektrische Ladungen
• Es gibt zwei Arten der Ladung. Wir sprechen von positiven und negativen
Ladungen. Die Gesamtladung ist der Unterschied der Beträge der positiven
und negativen Ladungen. Ist die Gesamtladung eines Körpers gleich Null,
so ist er insgesamt elektrisch neutral.
• In abgeschlossenen Systemen bleibt die Ladungsmenge erhalten.
• Ladung kommt nur als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung
e = 1, 602 · 10−19 C (Coulomb)
vor, ist also gequantelt. Ein Elektron hat die Ladung −e, ein Proton hat die Ladung +e.
• Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab, ungleichnamige Ladungen ziehen
einander an.
Historische Anmerkung
Benjamin Franklin (∗ 17.01.1706, † 17.04.1790)
• Luftelektrizität
• Prinzip der Ladungserhaltung
• Erfindung des Blitzableiters
Das Coulombsche Gesetz
Zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 wirkt die Kraft
F~ =
1 Q1 Q2
~er .
4π0 r2
Dabei bezeichnet 0 die Influenzkonstante
0 = 8, 859 · 10−12 C 2 J −1 m−1
und
~er :=
~r
.
|~r|
3
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1.1.2
4
Das elektrische Feld
Elektrische Kräfte, die auch auftreten, wenn der Körper ruht, werden Coulomb-Kräfte genannt.
Neben der Coulomb-Kräften werden wir die Lorentz-Kraft kennenlernen.
Diese Kräfte sind proprtional zur Ladung Q des Probekörpers. Daher ist die Definition
~
~ =F
E
Q
der elektrischen Feldstärke sinnvoll.
x
E (x , y)
y
Abbildung 1.1 Elektrisches Feld einer Punktladung
Die Felder zweier Punktladungen erzeugen Dipolfelder. Dabei lässt sich die Kraft auf eine
Probeladung als Summe der vektoriellen Coulomb-Kräfte hervorgerufen durch die einzelnen
Punktladungen berechnen.
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5
Im Falle zweier gleichnamiger Punktladungen Q erhalten wir ein Potential U folgender Form:
1
F⃗P ,2
F⃗P
P
F⃗P ,1
U ( x , y)
2
Abbildung 1.2 Potential zweier gleichnamiger Punktladungen
Sind die Punktladungen ungleichnamig und gleich ±Q, so ergibt sich ein Potential U der Form:
1
P
F⃗P ,1
U ( x , y)
F⃗P ,2
F⃗P
2
Abbildung 1.3 Potential zweier ungleichnamiger Punktladungen
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6
~ tritt häufig die Verschiebungsdichte D
~ auf. Im Vakuum
Neben der elektrischen Feldstärke E
gilt
~ = 0 E
~
D
und in linearen, isotropen Medien
~ = 0 E
~.
D
Dabei ist
• : Dielektrizitätskonstante
• 0 : elektrische Feldkonstante, Influenzkonstante; 0 = 8, 8542 · 10−12 CV −1 m−1
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1.1.3
7
Spannung und Potential
Bewegt sich eine Ladung Q zwischen zwei Punkten, zwischen denen die Spannung U herrscht,
so wird dabei die Energie
W =Q·U
frei.
In einem elektrischen Feld wirkt auf eine Punktladung Q eine Kraft F . Der Abstand zweier
Punkte 1 und 2 betrage s. Ist F konstant, so bezeichnen wir die Größe
U=
F
·s
Q
als (Betrag der) Spannung zwischen den Punkten 1 und 2.
Die SI-Einheit von U ist 1 V (Volt).
Ferner gilt: 1 J = 1 C · V .
Um die Arbeit, die gegen eine nicht-konstante und nicht in Bewegungsrichtung wirkend Kraft
aufgebracht werden muss, zu berechnen, verwenden wir
Zr2
W12 = −
F~ · d~r = −Q
r1
Zr2
~ · d~r .
E
r1
Als Spannung zwischen den Punkten 1 und 2 bezeichnen wir
Zr2
U12 = −
~ · d~r .
E
r1
Ist das Kraftfeld F~ konservativ, so existiert ein Potential U = U (x, y, z), so dass
U12 = U2 − U1 , wobei Ui = U (xi , yi , zi ) .
Ein Kraftfeld F~ heißt konservativ, wenn F~ nur von den Ortskoordinaten abhängt und zu
F~ = F~ (x, y, z) eine Funktion V = V (x, y, z) existiert, so dass
∂V ∂V ∂V
,
,
)
F~ = −grad V = −(
∂x ∂y ∂z
gilt.
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8
Berechnen wir beispielsweise die Arbeit W berechnen, die bei beliebigen Verschiebungen einer
Ladung q im Coulomb-Feld F einer Ladung Q verrichtet wird, so erhalten wir
Zr2
W12 = −
qQ
F (r) dr = −
4π0
Zr2
1
qQ 1
1
qQ 1 r2
·
=
(
−
).
dr
=
r2
4π0 r r1
4π0 r2 r1
r1
r1
Daher setzen wir dann
U (r) =
Q
.
4π0 r
Abbildung 1.4
Punktladung
Kreisförmige Höhenlinien des Potentials U einer
Die Innenwand eines metallischen Hohlkörpers ist eine Äquipotentialfläche. Gibt es im Inneren
dieses Hohlkörpers keine Ladungen, so ist dort U = const. und daher E = 0. Dieser Abschirmeffekt wird bei dem sogenannten Faraday-Käfig eindrucksvoll deutlich.
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1.1.4
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Kapazität
Die Proportionalität zwischen Spannung U und Ladungsmenge Q gilt nicht nur für Punktladungen, sondern für beliebige Ladungsverteilungen. Wir schreiben daher
Q = CU
mit einer Konstante C. Diese wird Kapazität genannt.
Die SI-Einheit von C ist
1 F (F arad) = 1
C
.
V
Eine gleichmäßig geladene und unendlich ausgedehnte ebene Platte mit der Flächenladungsdichte σ erzeugt ein homogenes elektrische Feld der Stärke
E=
σ
.
20
Die elektrische Feldstärke zwischen den Platten eines Plattenkondensators beträgt daher näherungsweise
E=
Q
,
A0
wobei A der Flächeninhalt einer Kondensatorplatte ist.
+Q
−Q
Abbildung 1.5 Feldkomponenten eines Plattenkondensators
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10
Mit
U = Ed
und
C=
Q
U
erhalten wir für die Kapazität eines Plattenkondensators
C = 0
A
.
d
Das elektrische Feld eine Plattenkondensators ist näherungsweise homogen. Insbesondere in
den Randbereichen der Platten weicht es davon allerdings ab.
+Q
−Q
Abbildung 1.6 Feld eines Plattenkondensators
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11
Das Feld eines Plattenkondensator ist hingegen radialsysmmetrisch.
−Q
+Q
Abbildung 1.7 Feld eines Kugelkondensators
Historische Anmerkung
Allesandro Volta (∗ 18.02.1745, † 05.03.1827)
• Erfindung der Batterie
• Q ∼ U im Kondensator
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12
Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
Die Kapazität parallel geschalter Kondensatoren addiert sich, so dass
C = C1 + C2 ,
da Q = Q1 + Q2 = C1 U + C2 U = CU .
C1
C2
Abbildung 1.8 Parallelschaltung von Kondensatoren
Für in Serie geschalteter Kondensatoren gilt
C −1 = C1−1 + C2−1 ,
da U = U1 + U2 = Q(C1−1 + C2−1 ).
C1
C2
Abbildung 1.9 Reihenschaltung von Kondensatoren
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1.1.5
13
Influenz
Wird eine Punktladung vor eine im Ganzen ungeladene Metallplatte gebracht, so stehen die
Feldlinien der Punktladung auf der Platte senkrecht, d.h. die für die Tangentialkomponente gilt
~t = 0 .
E
Influenzladungen an der Oberfläche des Metalls verursachen einen Feldstärkesprung, so dass
im Inneren des Metalls E = 0 ist.
Die Kraftwirkung und die Feldlinien entsprechen dem Feld, das aus zwei Punktladungen besteht, wobei die Metallplatte die Symmetrieachse darstellt.
-
+
Abbildung 1.10 Feld einer Punktladung vor einer Metallplatte
Wird ein ungeladener Metallkörper einem elektrischen Feld ausgesetzt, so verzerrt sie dieses
durch die Influenzladungen.
-
+
+
+
+
+
Abbildung 1.11 Influenzladungen auf einer Metallkugel
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14
Berühren sich zwei zunächst ungeladene Metallkugeln wie dargestellt in einem elektrischen
Feld und werden dann getrennt, so tragen sie danach entgegengesetzt gleiche Ladungen.
-
+
+
+
+
+
Abbildung 1.12 Influenzladungen auf sich beührenden
Metallkugeln
1.1.6
Energieinhalt eines homogenen elektrischen Feldes
Die gesamte Arbeit für den Transport der Ladung Q beträgt
ZQ
W =
0
1
U dq =
C
ZQ
q dq =
1 Q2
1
= QU ,
2C
2
0
wobei dq als infinitesimal kleine Ladung vorausgesetzt wird.
1.1.7
Der Piezoelektrische Effekt
Wird ein Isolator einem elektrischen Feld ausgesetzt, so verschieben sich die Ladungen und es
entsteht eine mechanische Verschiebung.
Umgekehrt kann eine mechanische Verschiebung Ladungen des Isolators so verschieben, dass
ein elektrisches Feld entsteht. Das ist der Fall, wenn der Isolator eine polare Achse besitzt.
Zu den wichtigen Piezokristallen zählen Quarz, Turmalin, Bariumtitanat BaT iO3 in tetragonaler Kristallform, Piezokeramiken mit Ti-Ionenverbindungen und NaK-Tartrat.
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15
Eine notwendige Voraussetzung für das Auftreten des piezoelektrischen Effekts ist die Existenz
polarer Achsen.
A3
x
A1
y
A2
Abbildung 1.13 Kristallquerschnitt mit den drei polaren
Achsen A1 , A2 , A3
In der Gleichgewichtslage gilt hier
d~ := d~1 + d~2 + d~3 = 0 .
Dabei sind di , i = 1, 2, 3, die eingezeichneten Abstandsvektoren.
Eine Kompression des Kristalls führt zu d~ 6= 0.
A3
A3
d3
d3
A1
d1
d =0
A1
d2
d1
d
A2
d2
A2
Abbildung 1.14 Piezoelektrische Verschiebung im Kristall
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1.2
1.2.1
16
Gleichströme
Stromstärke
Fließt während einer Zeit 4t eine Ladungsmenge 4Q durch den Querschnitt eines Leiters, so
sprechen wir davon, dass ein elektrischer Strom I fließt. Ist dieser zeitlich konstant, so definieren
wir
I=
4Q
.
4t
Allgemein gilt
I=
dQ
.
dt
Im SI-System ist die Einheit der Stromstärke:
1 A (Ampère) = 1
C
.
s
Die Kirchhoffschen Regeln
Kirchhoffs Knotenregel: Pro Zeiteinheit muss an jedem Knoten muss die Summe der zugeflossenen Ladung gleich der Summe der abgeflossenen Ladung sein, d.h.
X
Ii = 0 .
i
Kirchhoffs Maschenregel: Bei fester Umlaufrichtung ist die Summe aller Spannungsabfälle einer Masche gleich Null, d.h.
X
Ui = 0 .
Begründung: Wegunabhängigkeit der Potentialdifferenz
Historische Anmerkung
Gustav Robert Kirchhoff (∗ 12.03.1824, † 17.10.1827)
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17
Beispiel
Um die Stromstärke in den Verzweigungspunkten eines Netzwerks zu bestimmen, betrachten
wir Kirchhoffs Knoten- und Maschenregel.
I3
R3
I1
I2
R1
R2
I5
R5
U1
I4
R4
U2
R6
I6
Abbildung 1.15 Die Kirchhoffschen Regeln
Mit Hilfe des Maschenregel erhalten wir
U1 − U2 = I1 R1 − I2 R2 ,
U2 = I2 R2 + I3 R3 + I5 R5 + I6 R6 ,
0 = −I5 R5 + I4 R4
und mittels der Knotenregel
−I1 − I2 + I3 = 0 ,
I4 + I5 − I3 = 0 ,
−I5 − I4 + I6 = 0 .
Nehmen wir an, dass Ui , i = 1, 2, und Ri , i = 1, 2, ..., 6, gegeben sind, so bilden diese Gleichungen insgesamt ein lineares Gleichungssystem für die Variablen Ii ,i = 1, 2, ..., 6.
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1.2.2
18
Der Ohmsche Widerstand
Bei vielen Leitern, wie Metalldrähten oder Elektrolytlösungen, lässt sich eine Proportionalität
zwischen dem Strom I, der durch den Leiter fließt, und der angelegten Spannung U feststellen.
Der entsprechende Proportionalitätsfaktor heißt Leitwert. Dessen Kehrwert heißt Widerstand R.
Das Ohmsche Gesetz lautet:
R=
U
.
I
Die SI-Einheit von R ist
1Ω (Ohm) = 1
V
.
A
Ist der Ohmsche Widerstand homogen mit konstantem Querschnitt A und Länge l, so gilt
R=
ρl
.
A
Die Größe ρ heißt spezifischer Widerstand des Materials. Dessen Kehrwert
σ=
1
ρ
heißt elektrische Leitfähigkeit.
Jedoch gilt das Ohmsche Gesetz nicht für alle Leiter. Das zeigt sich bei Gesentladungsstrecken,
wie Bogenlampen, Leuchtstoff- und Vakuumröhren, und bei vielen Halbleiterbauteilen.
Spezifischer Widerstand ρ in 10−6 Ωm
bei 18◦ C
Silber
Kupfer
Aluminium
Eisen
Quecksilber
Konstantan
Quarzglas
Porzellan
Bernstein
0, 016
0, 017
0, 028
0, 098
0, 958
0, 50
5 · 1022
≈ 1018
> 1022
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Die Stromdichte ~j ist mittels
ZZ
~
~j dA
I=
~ = ~n dA und ~n die äußere Einheitsnormale der Fläche A.
definiert. Dabei ist dA
Historische Anmerkung
André-Marie Ampère (∗ 20.01.1775, † 10.06.1836)
• Begriff der elektrischen Spannung und des elektrischen Stomes
• elektrische Ströme erzeugen Magnetfelder
Georg Simon Ohm (∗ 16.03.1789, † 06.07.1854)
19
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20
Serien- und Parallelschaltung
Serien- oder Reihenschaltung
• Durch in Reihe geschaltete Ohmsche Widerstände fließt der gleiche Strom I.
• Die Spannungen Ui an den Einzelwiderständen addieren sich zu der
Gesamtspannung
U = U1 + U2 + .... + Un .
• Daher beträgt der Gesamtwiderstand
n
R=
X
U
=
Ri .
I
i=1
R1
R2
Abbildung 1.16 Reihenschaltung Ohmscher Widerstände
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21
Parallelschaltung
• An parallelgeschalteten Widerständen liegt die gleiche Spannung U .
• Der Strom durch den Widerstand i beträgt
Ii =
U
.
Ri
• Daher fließt insgesamt der Strom
I = I1 + I2 + ... + In =
U
U
U
+
+ ... +
R1 R2
Rn
• und der Gesamtwiderstand der Schaltung beträgt
n
X
1 −1
U
=(
R=
) .
I
Ri
i
R1
R2
Abbildung 1.17 Parallelschaltung Ohmscher Widerstände
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1.2.3
22
Leistung elektrischer Ströme
Verschiebt sich eine Ladung Q zwischen zwei Orten mit Potentialdifferenz U , so wird dabei die
Energie
W = QU
frei.
Wird elektrische Energie in Wärmeenergie umgewandelt, so beträgt die Wärmeleistung
P =
dW
dQ
=U·
= UI .
dt
dt
Die SI-Einheit von P ist
1 W (Watt) = 1 V · A .
Tritt der Ladungstransport zudem in einem Ohmschen Leiter auf, so gilt
P = U I = I 2R =
U2
.
R
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2
2.1
23
Grundbegriffe der Elektrodynamik
Kräfte im Magnetfeld
Während im elektrischen Feld auf eine Ladung q immer eine Kraft wirkt, wirkt im Magnetfeld
auf die Ladung nur dann eine Kraft, wenn sich die Ladung bewegt. Diese Kraft wird als LorentzKraft bezeichnet. Sie beträgt
~.
F~ = q~v × B
~ die magnetische Flussdichte. Ihre SI-Einheit lautet:
Dabei bezeichnet B
Vs
N
= 1 2 = 1 T (T esla)
−1
Cms
m
Die Feldlinien des B-Feldes sind geschlossen.
1
B
N
or
d
Sü
d
B
Abbildung 2.1 Einstellung einer Magnetnadel
Ein Draht der Länge l mit dem Querschnitt A enthält nlA Elektronen. Dabei bezeichnet n die
Teilchenzahldichte. Daher wirkt auf den Draht im Magnetfeld die Kraft
~.
F~ = −enlA~v × B
Da für den Strom
I = −envA
gilt, lässt sich die Kraft auch folgendermaßen schreiben:
~.
F~ = I~l × B
Dabei kennzeichne ~l neben der Länge des Drahtes auch die Richtung von ~v .
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24
Die Kraftwirkung auf eine stromdurchflossene Leiterschleife lässt sich folgendermaßen veranschaulichen:
I
⃗
B
I
⃗
F
I
z
x
y
Abbildung 2.2 Stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld
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2.2
25
Das Gesetz von Biot-Savart
Nach dem Gesetz von Biot-Savart
~
~ = Idl × ~r
H
4πr3
ist das Magnetfeld orthogonal zur Ebene, die von den Vektoren ~r und d~l aufgespannt wird.
Beispiele
a) Magnetfeld eines geraden Leiters
I
r
z
y
x
Abbildung 2.3 Magnetfeldlinien um einen geraden
stromdurchflossenen Leiter
Die Feldstärke eines geraden Leiters beträgt
H(r) =
I
.
2rπ
H ( r)
0
r
Abbildung 2.4 Die radiale Abhängigkeit des H-Feldes
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26
b) Magnetfeld eines Kreisstroms
z
y
x
I
Abbildung 2.5 Magnetfeldlinien um einen Kreisstrom
Die Feldstärke einer kreisförmigen Leiterschleife beträgt
H(r) =
I
.
2r
c) Feldstärke im Inneren einer langen Spule
I
Abbildung 2.6 Magnetfeldlinien um eine Spule
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Die Feldstärke im Inneren einer langen Spule beträgt
H = In , wobei n : Anzahl der Drahtwindungen/Meter
wobei
n=
N
l
die Windungsdichte, N die Windungszahl und l die Länge der Spule bezeichnet.
Im Vakuum gilt
~ = µ0 H
~
B
und in linearen, isotropen Medien
~ = µµ0 H
~.
B
Dabei ist
• µ: Permeabilität
• µ0 : magnetische Feldkonstante, Induktionskonstante; µ0 = 1, 2566 · 10−6 V sA−1 m−1
27
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2.3
28
Elektromagnetische Induktion
Mit dem magnetischen Fluss
ZZ
~ · ~n dA ,
φ :=
B
S
wobei ~n die äußere Einheitsnormale der Fläche A ist, lässt sich das Induktionsgesetz folgendermaßen schreiben:
I
~ d~s = − ∂φ .
U= E
∂t
C
⃗
B
n
⃗
φ
A
Abbildung 2.7 Magnetischer Fluss durch eine Fläche
Die Induktivität L des Leiters ist definiert als
φ = LI .
Bei einer langen, leeren Spule tritt durch jede Windung der Fluss µ0 HA und durch die N
Windungen der Fluss
φ = µ0 N HA = µ0
N2
AI .
l
Daher hat die Spule die Induktivität
L = µ0
N2
A.
l
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29
Die SI-Einheit der Induktivität lautet:
1H = 1
Vs
.
A
Variiert der magnetische Fluss φ zeitlich, so wird eine Spannung induziert. Das kann beispielsweise
• durch Änderung des Magnetfeldes
• oder durch eine Drehung der Fläche
geschehen.
Induktion durch Änderung des Magnetfeldes
U
B
Nord
Süd
Abbildung 2.8 Verschiebung eines Stabmagneten, Teil 1
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30
U
B
Nord
Süd
Abbildung 2.9 Verschiebung eines Stabmagneten, Teil 2
Induktion durch Drehung einer Leiterschleife
U
⃗
B
v
⃗
v
⃗
Abbildung 2.10 Drehung einer Leiterschleife im Magnetfeld, Teil 1
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31
⃗
B
U
I
v
⃗
z
x
y
v
⃗
I
Abbildung 2.11 Drehung einer Leiterschleife im Magnetfeld, Teil 2
Lenzsche Regel, (H. F. E. Lenz, 1855)
Der induzierte Strom ist immer so gerichtet, dass sein Magnetfeld der Induktionsursache entgegenwirkt.
So verursacht sie Bewegung eines Stabmagneten in einer Leiterschleife einen induzierten Strom,
dessen Magnetfeld dem Magnetfeld des Stabmagneten entgegenwirkt.
B
I
Nord
Süd
Abbildung 2.12 Verschiebung eines Stabmagneten
Auch die Veränderung der Fläche A eines Leiters in einem Magnetfeld kann zu einer induzierten
Spannung führen.
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32
⃗
B
v
⃗
z
-
e
I
x
y
Abbildung 2.13 Induzierte Spannung in einem Draht
Historische Anmerkung
Hans Christian Ørsted (∗ 14.08.1777, † 09.03.1851)
• magnetische Wirkung des elektrischen Stroms
Michael Faraday (∗ 22.09.1791, † 25.08.1867)
• Drehung eines stromdurchflossenen Leiters im Magnetfeld
• Elektromagnetische Induktion
Joseph Henry (∗ 17.12.1797, † 13.05.1878)
Nikola Tesla (∗ 10.07.1856, † 07.01.1943)
• Mehrphasenwechselstrom
• Funktechnik
• Energieübertragung
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2.4
33
Magnetisierung
Ströme sind die Quellen der Flussdichte B. Die Magnetisierung von Kristallen und Molekülen
wird durch mikroskopische Kreisströme verursacht. Zwar sind diese auch Quellen von B, jedoch keine Quellen der magnetischen Feldstärke H.
Im magnetisierbaren Material gilt
~ = µ0 (H
~ + J~ ) ,
B
mit der Magnetisierung J.
Da die magnetische Suszeptibilität χ mittels
~
J~ = χH
definiert ist, folgt daher
~ = µ0 (1 + χ)H
~,
B
Setzen wir ein isotropes Medium voraus, so können wir
~ = µµ0 H
~
B
schreiben, wobei µ hier nicht notwendigerweise konstant ist.
Somit gilt
µ = 1 + χ.
Diamagnetismus
Materialien, für deren Suszeptibiltät χ
χ < 0 und |χ| 1
gilt, werden als diamagnetisch bezeichnet. Solche Stoffe erfahren in Magnetfeldern eine abstoßende Wirkung, d.h. eine Kraftwirkung in Richtung abnehmender Feldstärke.
Magnetische Suszeptibilität χ in 10−6
Wismut Bi
Gold Au
Silber Ag
Kupfer Cu
Quecksilber Hg
Wasser H2 O
Stickstoff N2
−170
−30
−25
−10
−19
−9
−0, 06
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34
Paramagnetismus
Materialien, für deren Suszeptibiltät χ
χ>0
gilt, werden als paramagnetisch bezeichnet. Im Gegensatz zu diamagnetischen Stoffen, werden
paramagnetische Materialien in Richtung zunehmender Magnetfeldstärke gezogen.
Magnetische Suszeptibilität χ in 10−6
Aluminium Al
Platin P t
Palladium P d
Mangan M n
Sauerstoff O2
flüssiger Sauerstoff
Luft
20
260
690
1000
1, 8
3600
0, 5
Ferromagnetismus
Bei ferromagnetischen Materialien ist die Magnetisierung J und damit die Suszeptibilität χ
sehr groß. Außerdem ist χ eine Funktion von der Feldstärke H und von der Vorgeschichte des
Materials abhängig.
J
JS
JR
Hc
Hc
H
Abbildung 2.14 Hysterese der Magnetisierung
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35
Während bei paramagnetischen Materialien die Wärmebewegung die Ordnung der ElementarSpinmomente über große Temperaturbereiche stark stört, kann die Wärmebewegung bei ferromagnetischen Stoffen die Ordnung dieser magnetischen Momente unterhalb einer bestimmten,
relativ hohen Temperatur, der Curie-Temperatur TC , nicht in einem solchen Umfang aufheben.
Beispielsweise beträgt die Curie-Temperatur für Eisen TC = 1017 K.
Durch ein äußeres Magnetfeld bilden sich einheitlich magnetisierte Gebiete, die Weiss-Bereiche.
Abbildung 2.15 Schematische Darstellung der spontanen Magnetisierung
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2.5
36
Wechselströme
Erzeugung von Wechselströmen
Die Drehung einer Leiterschleife innerhalb eines Magnetfeldes induziert in der Leiterschleife
eine Spannung U .
U
I
B
Abbildung 2.16 Drehspulgenerator
Durch die Leiterschleife der Fläche A tritt der magnetische Fluss
~ ·A
~ = BA cos ϕ(t) ,
φ=B
~ ~n) ist.
wobei ϕ = ](B,
B
φ
n
φ
Abbildung 2.17 Leiterschleife im Magnetfeld
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37
Dreht sich die Leiterschleife mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω und gilt ϕ(t = 0) = 0,
so wird in der Leiterschleife die Spannung
U =−
∂φ
= U0 sin(ωt) , wobei U0 := BAω ,
∂t
induziert, wenn kein Kommutator verwendet wird. Wird an die Leiterschleife des Generators
ein Kommutator angebracht, so ist es möglich, die Spannung
U = U0 | sin(ωt)|
zu erzeugen. So wird pulsierender Gleichstrom, statt Wechselstrom erzeugt.
U
U0
0
T
2
T
3
T
2
2T
5
T
2
t
−U 0
Abbildung 2.18 Induzierte Spannung mit bzw. ohne
Kommutator
Ist ω = const., so gilt
ω=
2π
= 2πν ,
T
wobei T für die Schwingungsdauer und ν für die Drehfrequenz steht.
Deren Mittelwert Ū beträgt
1
Ū =
T
ZT
0
=
T
2U0
U0 | sin(ωt)| dt =
T
Z2
T
2U0 1
2
sin(ωt) dt =
(− cos(ωt))
T
ω
0
0
2U0
T
2U0
2U0
(− cos(ω ) + 1) =
·2=
.
ωT
2
2π
π
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38
Elektromotoren
Der prinzipielle Aufbau eines Elektromotors entspricht dem eines Generators. Während aber
Generatoren einen Teil der Bewegungsenergie in elektrische Energie umwandeln, nutzen Elektromotoren elektrische Energie zur Erzeugung von Bewegungsenergie. Auf die bewegten Ladungsträger wirkt im Magnetfeld die Lorentzkraft
~.
F~ = q~v × B
B
I
+
-
Abbildung 2.19 Gleichstrommotor
Mit Hilfe eines sich mit dem Rotator drehenden Kommutators wird die Stromrichtung umgepolt.
Auf die Leiterschleifen wird jeweils ein Drehmoment
~ = IA~n × B
~
M
ausgeübt. Deher gilt
~ | = φI sin ϕ .
M = |M
Da sich die mechanische Leistung durch
Pmech = M ω
und die elektrische Leistung durch
Pel = U I
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39
berechnen lässt, erhalten wir für den Wirkungsgrad η eines Elektromotors
η=
Mω
.
UI
Mittels der Bewegungsgleichung des Rotors
θ
dω
= M − ML
dt
und den Kennlinien M = M (ω) lässt sich das Laufverhalten des Motors unter Last beschreiben.
Dabei bezeichnet θ das Trägheitsmoment des Rotors und ML das Lastmoment.
Gleichstrommotoren
Der Spannungsabfall am Rotor ist gegeben als folgende Summe aus einem ohmschen und einem
induktiven Spannungsabfall:
Ur = Ir Rr + ωLIs ,
wobei die Indizes r und s für Rotor und Stator stehen.
Rotor und Stator können in Reihe (Reihenschluss- oder Hauptschlussmotor) oder parallel (Nebenschlussmotor) geschaltet werden.
I
Ir
Rr
Rr
Is
L
Rs
L
Rs
Abbildung 2.20 Reihenschluss und Nebenschluss
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3
40
Halbleiter als elektronische Bauelemente
3.1
Energiebänder
Da Elektronen, als Fermionen, nicht alle die gleiche Energie besitzen können, ergibt sich ein
Energieband der freien Elektronen.
Dabei besteht eine Wechselwirkung zwischen Elektronen und Ionengitter.
Das verursacht eine Aufspaltung der Energieniveaus in Energiebänder.
Die Besetzung der Energieniveaus in den Bändern mit Elektronen erfolgt so, dass die Gesamtenergie minimal ist.
Das höchste vollbesetzte Band heißt Valenzband. Elektrische Leitfähigkeit erfordert bewegliche Ladungsträger. Daher müssen Elektronen ein unbesetztes und erreichbares Energieniveau
finden.
In voll besetzten Energiebändern ist hingegen kein Ladungstransport möglich.
Auf das Valenzband folgt ein nicht vollbesetztes Band, das Leitungsband.
Dazwischen kann eine verbotene Zone, eine sogenannte Energielücke sein, in der keine Energieniveaus für Elektronen existieren.
Die Anzahl der zur Verfügung stehenden frei beweglichen Ladungsträger ist abhängig von der
Temperatur.
Die Beweglichkeit hängt ab von
• Gitterschwingungen
• Störungen im Gitteraufbau
• Wechselwirkung der Ladungsträger
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41
Metalle sind durch ein teilweise gefülltes Leitungsband und eine hohe Konzentration frei beweglicher Ladungsträger gekennzeichnet.
a)
b)
c)
d)
Abbildung 3.1 Bänderschemata
a) Metall mit einem Valenzelektron (Alkalimetalle)
b) Metall mit zwei Valenzelektronen (Erdalkalimetalle)
c) Halbleiter
d) Isolator
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3.2
42
Halbleiter
Halbleiter besitzen ein voll besetztes Valenzband und, bei tiefen Temperaturen, ein leeres Leitungsband. Dazwischen liegt die Energielücke.
Bei tiefen Temperaturen sind Halbleiter Isolatoren.
Bei hoher Temperatur können die Valenzelektronen durch die thermische Energie die Energielücke überwinden.
Beispiele: Si, Ge, ZnS, GaAs, SiC, Cu2 O
3.2.1
Eigenleitung
Es befinden sich frei bewegliche Elektronen im Leitungsband und daher frei bewegliche Elektronenlücken im Valenzband.
Die Anzahldichte n der Leitungselektronen beträgt
n = n(T ) = n0 e−
WG −µ
kT
.
Dabei ist
3
n0 = n0 (T ) ∼ T 2 ,
T : absolute Temperatur
µ : chemisches Potential, Fermigrenze
k : Boltzmannkonstante
WG : Energieunterschied (Bandabstand) zwischen Leitungs- und Valenzband.
Elektronen können thermisch, durch Phonon-Elektron-Wechselwirkung, oder optisch, durch
Photon-Elektron-Wechselwirkung (manchmal unter Beteiligung von Phononen), angeregt werden und das Leitungsband erreichen.
3.2.2
Störstellenleitung
Werden Fremdatome aus einer Nachbargruppe des Periodensystems in das Kristallgitter eingebaut, so können sich Energieniveaus, die in der verbotenen Zone nahe am Leitungs- bzw. nahe
am Valenzband liegen, ergeben.
Weitere Störungen des Idealgitters ergeben sich durch
• nichtstöchiometrische Zusammensetzungen
• unbesetzte Gitterplätze
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43
• Zwischengitterteilchen und Versetzungen
• Kristallgrenzen
• Abweichungen von der Kristallordnung (bis zum amorphen Zustand)
leeres
Leitungsband
Donatoren
Akzeptoren
volles
Valenzband
Abbildung 3.2 Bänderschemata von Halbleitern mit
Donator- und Akzeptorniveaus
Donatoren
Fremdatome mit Elektronenüberschuss, in Hinblick auf das Wirtsatom, haben Energieniveaus
nahe dem Leitungsband. Daher können Elektronen leicht in das Leitungsband übergehen.
Akzeptoren
Fremdatome mit Elektronenmangel haben Energieniveaus nahe dem Valenzband. Daher können
Elektronen leicht aus dem Valenzband eingefangen werden.
Die Temperaturabhängigkeit des Halbleiterwiderstandes wird durch
• die Ladungsträgerkonzentration
• die Beweglichkeit der Ladungsträger
bestimmt.
Die Beweglichkeit wird oft durch die Gitterschwingungen beschränkt. Bei Halbleitern weisen
diese eine sehr viel geringere Temperaturabhängigkeit als die Ladungsträgerkonzentration auf.
Halbleiter mit Donatoren weisen einen Elektronenüberschuss auf, Halbleiter mit Akzeptoren
einen Elektronenmangel. Bei hinreichender Störstellendotierung wird die elektrische Leitfähigkeit des gestörten Halbleiters, bei Donator-Dotierung, durch Elektronen oder, bei AkzeptorDotierung, durch Löcher bestimmt. Die jeweilige elektrische Leitung wird als n-Leitung oder
p-Leitung bezeichnet.
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3.3
3.3.1
44
Halbleiter-Elektronik
Halbleiterdiode
Eine np-Diode ist ein Halbleiterkristall, der aus zwei verschieden dotierten Anteilen besteht,
wobei der eine Anteil n-leitend und der andere p-leitend ist. Im Übergangsbereich beider Anteile ist der Betrag des Konzentrationsgradient der Elektronen und Löcher sehr hoch. Daher tritt
ein Diffusionsstrom auf, der das Konzentrationsgefälle auszugleichen sucht. Dabei baut sich ein
elektrisches Feld auf, das der Diffusion entgegenwirkt.
W
Leitungsband
Valenzband
+
+
+ +
-
-
-
-
+
+
+ +
-
-
-
-
+
+
+ +
-
-
-
-
Halbleitergitter
p
n
Abbildung 3.3 Gitterionen, Elektronen und Löcher einer Halbleiterdiode ohne Kontakt
W
Leitungsband
Valenzband
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
n
Halbleitergitter
p
Abbildung 3.4 Gitterionen, Elektronen und Löcher einer Halbleiterdiode mit Kontakt
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45
Wird eine Spannung so angelegt, dass weitere bewegliche Ladungsträger aus dem Bereich der
Grenzfläche abgezogen werden, so wird der elektrische Widerstand des Halbleiters größer.
W
Leitungsband
Valenzband
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
-
Halbleitergitter
p
n
Abbildung 3.5 Gitterionen, Elektronen und Löcher einer Halbleiterdiode mit Kontakt und äußerem Feld
Nach Umpolung der äußeren Spannung, sinkt der elektrische Widerstand.
W
Leitungsband
Valenzband
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
n
+
Halbleitergitter
p
Abbildung 3.6 Gitterionen, Elektronen und Löcher einer Halbleiterdiode mit Kontakt und äußerem Feld
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46
Die pn-Diode wirkt also als Gleichrichter.
-
+
n
p
Abbildung 3.7 Fluss- und Sperrrichtung der np-Diode
Wird an eine np-Diode eine Spannung U angelegt, so verschiebt sich die Feldstromdichte jf
gegenüber der nahezu konstanten Diffusionsstromdichte jd . Ist U = 0, so gilt jf = jd = j0 .
Wird die Spannung U angelegt, so verändert sich die Wahrscheinlichkeit die Potentialdifferenz
±U zu überwinden um den Faktor
exp(±
eU
).
kT
Daher gilt
jf = j0 exp(±
eU
).
kT
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47
Zeigt das äußere Feld in Flussrichtung, d.h. von der p- zu n-Seite, so beträgt die Gesamtstromdichte
j = jf − j0 = j0 (exp(
eU
) − 1) .
kT
Weist das Feld hingegen in Sperrrichtung, so beträgt die Gesamtstromdichte
j = jf − j0 = j0 (exp(−
eU
) − 1) .
kT
2
j
mA
cm 2
1
−20
−10
0
j0
10
20
U
mV
−1
Abbildung 3.8 Strom-Spannung-Kennlinie einer np-Diode
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3.3.2
48
Bipolartransistoren
Ein Transistor ist ein steuerbares Halbleiterbauelement, das über drei Elektroden verfügt und
zum Verstärken oder Schalten eines Signals eingesetzt wird.
In der Regel wird die Emitter-Basis-Strecke in Durchlassrichtung und die Kollektor-BasisStrecke in Sperrrichtung betrieben. Entsprechend sind die Spannungsquellen für die folgende,
am Emitteranschluss verbundene Schaltung gepolt.
E
n
p
n
C
B
U BE
IB
IC
U CE
Abbildung 3.9 Schema eines npn-Transistors und der Emittergrundschaltung
C
C
n
p
B
B
n
E
E
Abbildung 3.10 Schaltsymbole eines npn-Transistors und einer äquivalenten Diodenschaltung
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49
C
C
p
n
B
B
p
E
E
Abbildung 3.11 Schaltsymbole eines pnp-Transistors und einer
äquivalenten Diodenschaltung
Analog zur Emittergrundschaltung eines npn-Transistors, lässt sich eine Emittergrundschaltung
für den pnp-Transistor aufbauen. Beide Grundschaltungen sind hier abgebildet:
IC
IB
U BE
+
-
+
-
U CE
Abbildung 3.12 Emittergrundschaltung eines npn-Transistors
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50
IC
IB
U BE
+
+
U CE
Abbildung 3.13 Emittergrundschaltung eines pnp-Transistors
In Abhängigkeit von der Eingangsspannung UBE wird der Ausgangsstrom IC als Funktion der
Ausgangsspannung UCE gemessen.
IC
mA
25
20
15
10
5
0
200
400
600
800
U BE
mV
Abbildung 3.14 Übertragungskennlinie IC = IC (UBE )
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51
IC
mA
40
35
30
U BE =700 mV
ΔIC
25
Δ U CE
20
U BE =680 mV
15
Δ I C = S Δ U BE
10
U BE =660 mV
5
0
U BE =640 mV
U BE =620 mV
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
U CE
V
Abbildung 3.15 Ausgangskennlinien IC = IC (UCE )
für verschiedene Werte von UBE
Das Verhältnis
B :=
IC
IB
der Kollektorstromstärke IC zur Basisstromstärke IB heißt statische Stromverstärkung.
Unter der (differentiellen) Stromverstärkung wird die Größe
∂IC β :=
∂IB UCE =const.
verstanden.
Die Änderung des Kollektorstroms IC im Verhältnis zur Änderung der Spannung UBE wird
durch die Steilheit S beschrieben. Diese ist durch
∂IC S :=
∂UBE UCE =const.
definiert.
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3.3.3
52
Feldeffekttransistoren
Bei einem Feldefeffekttransistor (FET) erfolgt die Steuerung, anders als bei einem bipolaren
Transistor, durch ein elektrisches Querfeld, das die Ausdehnung der Verarmungszone und damit
den Querschnitt des Stromkanals beeinflusst. Da der Sromfluss fast ausschließlich von einer Art
der Ladungsträger verursacht wird, wird der FET als unipolarer Transistor bezeichnet.
Die äußeren Anschlüsse heißen Drain D und Source S. Gate G wird die Steuerelektrode zwischen D und S genannt.
Die Trennung der Gate-Elektrode vom Stromkanal DS kann durch einen pn- bzw. np-Übergang, wie bei Sperrschicht-FETs, oder durch eine Isolierschicht, wie bei MOS- (Metal Oxide
Semiconductor) FETs erfolgen.
Da bei Sperrschicht-FETs der Strom an D im Falle verschwindender Spannung UGS am größten
ist, werden Sperrschicht-FETs als selbstleitend bezeichnet.
Bei MOS-FETs kann sich, durch Verbindung der Raumladungszonen (Verarmungszonen) und
der aus der Eigenleitung stammenden Elektronen (hier der Minoritätsladungsträger), im pdotierten Halbleitermaterial ein Inversionskanal aus freien Elektronen bilden.
U GS
- +
S
G
n
D
n
p
Inversionskanal
Raumladungszone
B
Abbildung 3.16 Entstehung eines Inversionskanals
Der Anschluss B bei MOS-FETs ist die Elektrode des Substrats (Bulk).
Zumal der beschriebene Transistor ohne Gate-Spannung UGS nicht leitet, wird er als selbstsperrend bezeichnet. Ein solches MOS-FET wird Enhancement MOS-FET genannt.
Depletion MOS-FETs hingegen zeigen einen Verlauf der Kennlinien, der qualitativ dem der
Sperrschicht-FETs entspricht. Sie sind selbstleitend.
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53
In folgender Übersicht sind die Feldeffekttransistoren in Sperrschicht-FETs und MOS-FETs
eingeteilt. Dabei wird unterschieden, ob es sich um n- oder p-Kanal-FETs handelt und bei
MOS-FETs zusätzlich, ob sie selbstleitend oder selbstsperrend sind.
Klassifikation von Feldeffekttransistoren
1) Sperrschicht-FET
a) n-Kanal
D
G
S
Abbildung 3.17 n-Kanal Sperrschicht-FET
Kennlinien ID (UDS ) und ID (UGS )
ID
U DS
Abbildung 3.18 Kennlinie ID = ID (UDS )
ID
Up
U GS
Abbildung 3.19 Kennlinie ID = ID (UGS )
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54
b) p-Kanal
D
G
S
Abbildung 3.20 p-Kanal Sperrschicht-FET
Kennlinien ID (UDS ) und ID (UGS )
ID
U DS
Abbildung 3.21 Kennlinie ID = ID (UDS )
ID
Up
U GS
Abbildung 3.22 Kennlinie ID = ID (UGS )
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55
2) MOS-FET
2.1 Depletion MOS-FET (selbstleitend)
a) n-Kanal
D
B
G
S
Abbildung 3.23 n-Kanal MOS-FET
Kennlinien ID (UDS ) und ID (UGS )
ID
U DS
Abbildung 3.24 Kennlinie ID = ID (UDS )
ID
Up
U GS
Abbildung 3.25 Kennlinie ID = ID (UGS )
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56
b) p-Kanal
D
B
G
S
Abbildung 3.26 p-Kanal MOS-FET
Kennlinien ID (UDS ) und ID (UGS )
ID
U DS
Abbildung 3.27 Kennlinie ID = ID (UDS )
ID
Up
U GS
Abbildung 3.28 Kennlinie ID = ID (UGS )
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57
2.2 Enhancement MOS-FET (selbstsperrend)
a) n-Kanal
D
B
G
S
Abbildung 3.29 n-Kanal MOS-FET
Kennlinien ID (UDS ) und ID (UGS )
ID
U DS
Abbildung 3.30 Kennlinie ID = ID (UDS )
ID
Up
U GS
Abbildung 3.31 Kennlinie ID = ID (UGS )
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58
b) p-Kanal
D
B
G
S
Abbildung 3.32 p-Kanal MOS-FET
Kennlinien ID (UDS ) und ID (UGS )
ID
U DS
Abbildung 3.33 Kennlinie ID = ID (UDS )
Up
ID
U GS
Abbildung 3.34 Kennlinie ID = ID (UGS )
Der Wert Up auf der UGS -Achse bezeichnet die Schwellenspannung (pinch-off voltage). Das ist
die Gatespannung, bei der ID , bis auf einen kleinen Wert des Sperrstroms, verschwindet.
Die beschriebenen Kennlinien des n-Kanal-Sperrschicht-FETs ähneln jenen des npn-Bipolartransistors. Dabei wird die Drainelektrode dem Kollektor, die Sourceelektrode dem Emitter
und die Gateelektrode der Basis zugeordnet. Der Arbeitsbereich der Spannung UGS liegt, im
Unterschied zu dem Arbeitsbereich UBE des npn-Transistors, bei negativen Werten.
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4
4.1
59
Einführung in die Halbleiterschaltungstechnik
Emitterschaltung
Es gibt drei grundlegende Schaltungsarten, einen Transistors als Verstärker einzusetzen. Dabei
ist entweder das Emitter-, Kollektor- oder das Basispotential konstant. Entsprechend werden
diese Schaltungen als Emitter-, Kollektor- oder Basisschaltung bezeichnet.
+
RC
Ia
IC
Rg
Ie
Ua
Ue
Ug
Abbildung 4.1 Emitterschaltung
Nehmen wir an, dass IC nur von UBE , nicht aber von UCE , abhängt, so gilt
4IC ≈ S4UBE = S4Ue
und
4Ua = −4IC RC ≈ −SRC 4Ue .
Die Spannungsverstärkung beträgt dann
A=
4Ua
≈ −SRC .
4Ue
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4.2
Aussagenlogik
Mengenlehre
A, B und C seien Mengen.
• Durchschnitt und Vereinigung zweier Mengen
A ∩ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} , A ∪ B := {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Kommutativität
A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
• Assoziativität
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) , (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Distributivität
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Aussagen und Wahrheitsfunktionen
A und B seien Aussagen.
• Die Aussage ¬A (nicht A oder Negation von A) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist.
• Die Aussage A ∧ B (A und B) ist genau dann wahr,
wenn A und zugleich B wahr ist.
• Die Aussage A ∨ B (A oder B) ist genau dann wahr,
wenn A oder B (d.h. mindestens eine der beiden Aussagen) wahr ist.
• Die Aussage A ⇒ B (A impliziert B) ist genau dann falsch,
wenn A wahr ist und B falsch.
• Die Aussage A ⇔ B (A äquivalent zu B) ist genau dann wahr,
wenn A und B den gleichen Wahrheitswert haben.
Wahrheitstafel
60
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A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
A⇒B
w
f
w
w
Einige Aussageregeln
A, B und C seien Aussagen.
• Regeln von de Morgan:
¬(A ∨ B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B) und ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B)
• (A ⇒ B) ⇔ (¬A) ∧ B
• ¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ (¬B)
61
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4.3
62
Logische Grundschaltungen
Bei Digitalschaltungen werden anhand der Spannungswerte UH und UL mit UL < UH zwei
Betriebszustände H und L definiert. Ist U ≥ UH bzw. U ≤ UL , so ist das System im Zustand
H bzw. L.
Dem Zustand H wird die 1 und dem Zustand L die 0 eineindeutig zugeordnet. Außerdem wird
hier wahren Aussagen die 1 und falschen Aussagen die 0 eineindeutig zugeordnet.
Die Funktionsweise folgender Schaltungen lässt sich nun sehr einfach mit Hilfe der Wahrheitstafeln beschreiben.
UND
x1
x2
Äquivalenz
NAND
&
x1
y
x1
x2
&
>
=1
x2
Exlusives ODER (XOR),
Antivalenz
NOR
y
x1
1
>
=1
x2
Negation
x
y
Abbildung 4.2 Logische Schaltungen
Es gilt
• für die UND-Funktion
x1
x2
y
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
y
y
ODER
x1
=
x2
x1
x2
y
=1
y
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63
• für die ODER-Funktion
x1
x2
y
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
• für die Exklusiv-ODER-Funktion (XOR)
x1
x2
y
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
Anmerkung
– Das exklusive Oder verküpft zwei Aussagen A und B mittels
(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) .
– Die logischen Funktionen Antivalenz und das exklusive Oder sind gleich.
– Die Antivalenz lässt sich als Negation der Äquivalenz beschreiben.
Die Negation lässt sich folgendermaßen durch NAND bzw. NOR-Gatter darstellen:
Negation
NAND
x
1
y
1.)
2.)
x
&
x
y
&
y
>
=1
y
1
NOR
1.)
2.)
x
>
=1
x
y
0
Abbildung 4.3 Darstellung der Negation durch NAND- bzw. NOR-Gatter
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64
Die jeweils unter 1.) genannten Darstellungen können mittels
¬x = ¬(x ∧ x) = ¬(x ∨ x)
begründet werden.
Die UND-Funktion lässt sich folgendermaßen durch NAND bzw. NOR-Gatter darstellen:
UND
x1
x2
&
y
NAND
x1
x2
&
&
y
NOR
x1
>
=1
>
=1
y
x2
>
=1
Abbildung 4.4 Darstellung der UND-Funktion durch NAND- bzw. NOR-Gatter
Diese Darstellungen lassen sich für die NAND-Gatter durch
¬¬(x1 ∧ x2 ) = x1 ∧ x2
und für die NOR-Gatter durch
¬(¬x1 ∨ ¬x2 ) = ¬¬x1 ∧ ¬¬x2 = x1 ∧ x2
begründen.
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65
Die ODER-Funktion lässt sich folgendermaßen durch NAND bzw. NOR-Gatter darstellen:
ODER
x1
>
=1
y
x2
NAND
x1
&
&
y
>
=1
y
&
x2
NOR
x1
>
=1
x2
Abbildung 4.5 Darstellung der ODER-Funktion durch NAND- bzw. NOR-Gatter
Für NAND-Gatter sei auf die Eigenschaft
¬(¬x1 ∧ ¬x2 ) = x1 ∨ x2
und für NOR-Gatter auf die Eigenschaft
¬¬(x1 ∨ x2 ) = x1 ∨ x2
verwiesen.
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4.4
66
Komplementäre MOS-Logik (CMOS)
Mit zwei selbstsperrenden MOS-FETs lässt sich eine Inverterschaltung aufbauen. Dabei ist die Source-Elektrode des n-Kanal-FETs mit der Masse verbunden. Die SourceElektrode des p-Kanal-FETs hat den Wert der Betriebsspannung, VDD .
V DD
T2
Ua
Ue
T1
Abbildung 4.6 CMOS-Inverter
Da der Betrag der Schwellenspannungen beider MOS-FETs bei ca. 1, 5V liegt, ist bei der
Betriebsspannung von VDD = 5V mindestens ein MOS-FET leitend.
– Ist Ue = 0, so leitet der p-Kanal-FET, während der n-Kanal-FET sperrt. Demnach
liegt am Ausgang die Spannung Ua = VDD .
– Ist Ue = VDD , so sperrt der p-Kanal-FET, während der n-Kanal-FET leitet. Demnach liegt am Ausgang die Spannung Ua = 0.
Im stationären Zustand fließt kein Strom. Allerdings fließt während des Umschaltens ein
Querstrom, falls die Eingangsspannung in dem Bereich
|Up | < Ue < VDD − |Up |
liegt.
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67
Die folgende Abbildung zeigt die Übertragungskennlinie und den qualitative Verlauf des Querstroms für den CMOS-Inverter mit einer Betriebsspannung von VDD = 5V :
I DD
Ua
V
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Ue
V
Abbildung 4.7 Übertragungskennlinie und Querstrom eines CMOS-Inverters
CMOS-NOR-Gatter
Abgebildet ist ein CMOS-NOR-Gatter mit zwei selbstsperrenden n-Kanal- und zwei selbstsperrenden p-Kanal-MOS-FETs.
V DD
T 1'
U1
T 2'
U2
T1
T2
Abbildung 4.8 CMOS-NOR-Gatter
Ua
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4.5
68
Der Halbaddierer als Beispiel einer digitalen Rechenschaltung
Rechenoperationen lassen sich mit Hilfe
• eines Mikrocomputerprogramms
• mit einem Arithmetikprozessor
• parallel mit Hardware-Rechenbausteinen
durchführen.
Addierer heißen Schaltungen zur Addition zweier Binärzahlen. Die Addition einstelliger Binärzahlen ist bereits durch Halbaddierer möglich.
Werden zwei einstellige Binärzahlen addiert, so können folgende Fälle auftreten:
0
0
1
1
+
+
+
+
0
1
0
1
=
=
=
=
0
1
1
10
Kennzeichnen wir den Übertrag durch den Werte einer Variablen c1 und übersetzen die Addition
in eine Wahrheitstafel, so lässt sich schreiben:
a0
b0
s0
c1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
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69
Diese Zuordnung kann durch die abgebildete Schaltung mit einem Antivalenz- und einem
UND-Gatter erreicht werden.
a0
=1
&
b0
s0
c1
Abbildung 4.9 Halbaddierer
Mit Hilfe der Boolschen Funktionen
c 1 = a0 b 0 ,
d.h. der UND-Verknüpfung von a0 und b0 , und
s0 = a0 ⊕ b0 = ¬a0 b0 + a0 ¬b0 ,
d.h. der Antivalenz-Verknüpfung von a0 und b0 , zeigt sich, dass die abgebildete Schaltung die
gesuchte Ausgabe für die Addition einstelliger Binärzahlen liefert.
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Notation und Konstanten
E: elektrische Feldstärke
D: Verschiebungsdichte
H: magnetische Feldstärke
B: magnetische Flussdichte
:
Dielektrizitätskonstante
0 : elektrische Feldkonstante, Influenzkonstante; 0 = 8, 8542 · 10−12 CV −1 m−1
µ: Permeabilität
µ0 : magnetische Feldkonstante, Induktionskonstante; µ0 = 1, 2566 · 10−6 V sA−1 m−1
χ: magnetische Suszeptibilität
k: Boltzmann-Konstante; k = 1, 38 · 10−23 JK −1
70
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71
Quellen und
Literatur
[1] C. Gerthsen, H. O. Kneser, H. Vogel, Physik, Springer-Verlag
[2] S. Goßner, Grundlagen der Elektronik, Halbleiter, Baulemente und Schaltungen, Shaker
Verlag
[3] H. F. Grave, Grundlagen der Elektrotechnik I, II, Akademische Verlagsgesellschaft
[4] A. Hammer, K. Hammer, Taschenbuch der Physik, J. Lindauer Verlag
[5] K.-H. Hellwege, Einführung in die Festkörperphysik, Springer-Verlag
[6] E. Hering, R. Martin, M. Stohrer, Physik für Ingenieure, Springer-Verlag
[7] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons
[8] F. Reinhardt, H. Soeder, dtv-Atlas zur Mathematik, Deutscher Taschenbuch Verlag
[9] U. Tietze, Ch. Schenk, Halbleiterschaltungstechnik, Springer-Verlag