¨Ubungen zur T2p Quantenmechanik Blatt 3

LMU München / Fakultät für Physik WS 2010/11
Übungen zur T2p Quantenmechanik
Blatt 3
29.10.2010
3.1 Wiederholung/Kurzfragen
1.) Warum ist es keine essentielle Einschränkung der Allgemeinheit, dass die Schrödinger
Gleichung aus dem Ansatz einer ebenen Welle für die Wellenfunktion ’hergeleitet’ wurde?
2.) Warum kann man die Wellenfunktion nicht als Dichtefunktion für die Materie interpretieren?
3.) Welche Normierungsbedingung folgt aus der Wahrscheinlichkeitsinterpretation?
3.2 Kurzaufgaben
1.) Die Lagrange-Funktion für ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld ist L = m
x˙ 2 +
2~
~ das ED Vektor- und φ das Skalarpotential bezeichnen. Berechnen
~ · ~x˙ − φ), wobei A
e( 1c A
Sie die Hamiltonfunktion H. Welche Unbestimmtheiten gibt es bei der ’Herleitung’ des
Hamilton-Operators Ĥ aus den Ersetzungsregeln?
2.) a) Gegeben ist ein Laplace Würfel. Berechnen Sie den Erwartungswert hN i und die Varianz
(∆N )2 = hN 2 i − hN i2 des Wurfergebnisses.
b) Gegeben sind zwei weitere Würfel; auf dem ersten (zweiten) steht auf 3 Seiten die Zahl
3 (1) auf den anderen die Zahl 4 (6). Berechnen Sie den EW und die Varianz.
c) Auf einem weiteren Würfel steht auf 5 Seiten die Zahl 1. Welche Zahl muss auf der letzten
Seite stehen damit man i) den EW oder ii) die Varianz des Laplace Würfels erhält?
d) Auf einem weiteren Würfel steht auf 4 Seiten die Zahl 1. Kann man die beiden übrigen
Seiten so beschriften, dass man EW und Varianz des Laplace Würfels erhält? Wenn ja,
wie, und durch welche Größe könnte man den so erhaltenen Würfel vom Laplace-Würfel
unterscheiden?
3.) Ein Stein wird aus einer Höhe h fallengelassen (keine Reibung, senkrechte Koordinate
z = h bei t = 0). Während des Falls wird in einem zufälligen Moment fotografiert und der
Wert von z festgestellt. Berechnen Sie den Erwartungswert hzi und die Wahrscheinlichkeitsdichten ρ(z) und ρ(t). Was ist der wahrscheinlichste für z gemessene Wert?
3.3 Aufgaben
1.) Die 1-dim. Wellenfunktion eines Teilchens zum Zeitpunkt t = 0 sei 0 ausserhalb des Intervalls x ∈ [a, b] und habe innerhalb des Intervalls die Form:
ψ(x, 0) = Ax/a, 0 ≤ x ≤ a;
a)
b)
c)
d)
e)
ψ(x, 0) = A(b − x)/(b − a), a ≤ x ≤ b .
Skizzieren Sie ψ(x, 0) und die Dichte ρ(x, 0).
Normieren Sie ψ(x, 0).
Was ist der wahrscheinlichste Ort, das Teilchen zu finden?
Berechnen Sie hxi und ∆x.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich x ≤ a zu finden? Diskutieren Sie die Fälle b = a und b = 2a.