Mathematik für Informatiker II

Dr. C. Hog-Angeloni
Dipl.-Phys. Ch. Hundt
MathematikSommersemester
für Informatiker
II
2011
zweites Tutorium
1 Dezimalbruchentwicklung
Berechnen Sie e 2 bis zur n-ten Stelle (exemplarisch n = 2). Bis zu welcher Stelle müssen Sie e kennen,
damit Sie sicherstellen können, dass Sie keinen Fehler machen.
Lösung
Zunächst betrachtet man die Dezimalbruchentwicklungen der Zahlen e und e 2 :
e = 2, 71828183 . . .
e 2 = 7, 3890561 . . .
.
Weiter machen wir uns klar, dass folgende Abschätzung für die Abschneidung von e 2 gilt:
(e[n])2 < e 2 < (e[n] + 10−n )2 = (e[n])2 + 2e[n]10−n + 10−2n
< (e[n])2 + 10−n (2(e[0] + 1) + 1) < (e[n])2 + 10−n+1
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
.
<10
Die (n − 1)-te Nachkommastelle von e 2 ist also die von (e[n])2 oder höchstens eins größer. Sofern
die (n − 1)-te Nachkommastelle von (e[n])2 verschieden von 9 ist, stimmt für m < n − 1 die m-te
Nachkommastelle von (e[n])2 mit der von e 2 überein.
Sei nun m = 2 wie in unserem Beispiel, so ergeben sich folgende Ergebnisse für die Abschneidungen:
(e[0])2 = 4 (e[1])2 = 7, 29
(e[2])2 = 7 , 3441
(e[3])2 = 7, 3 87524 (e[4])2 = 7, 38 86112
Infolgedessen könnte die dritte Nachkommastelle 8 oder 9 sein, d. h. bis zur zweiten Stelle stimmen die
Stellen mit denen von (e[4])2 sicher überein.
2 Additive Eigenschaft des Supremums
Zeigen Sie für die beschränkten Mengen A, B ⊆ R, dass folgende Gleichung für das Supremum gilt:
sup(A) + sup(B) = sup(A + B)
,
wobei A + B ∶= {a + b ∶ a ∈ A, b ∈ B} die Menge aller möglichen Summen von a ∈ A und b ∈ B ist.
(i) Machen Sie sich zunächst klar, dass sup(A) + sup(B) eine obere Schranke von A + B ist.
(ii) Zeigen Sie anschließend, dass es keine kleinere Schranke als sup(A) + sup(B) geben kann.
Lösung
(i) Da a ≤ sup(A) und b ≤ sup(B) für alle a ∈ A, b ∈ B, folgt sofort, dass a + b ≤ sup(A) + sup(B)
für alle a ∈ A, b ∈ B. Darum ist sup(A) + sup(B) eine obere Schranke von A + B.
(ii) Setze s = sup(A) + sup(B). Angenommen es existiert eine kleinere obere Schranke M ∶= s − ε für
ein ε > 0 ⇒ a + b ≤ s − ε für alle a ∈ A, b ∈ B. Wähle nun a > sup(A) − 2ε und b > sup(B) − 2ε ⇒
a + b > s − ε = M. Widerspruch!
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3 b-adische Darstellung natürlicher Zahlen
Es ist bekannt, dass man jede natürliche Zahl x ∈ N0 der Länge n in einer Basis b ∈ {2, 3, 4, . . . } mithilfe
der folgenden Gleichung entwickeln kann:
n−1
x = ∑ αk bk
.
k=0
Für b = 2 handelt es sich z. B. um die Binärdarstellung und für b = 10 um die Dezimaldarstellung der
Zahl x. Die Koeffizienten α k ∈ {0, 1, . . . , b − 1} entsprechen den Ziffern der Zahl.
(i) Zeigen Sie mithilfe eines Widerspruchbeweises, dass für die Zahl 0 alle Koeffizienten α k unabhängig von der Wahl der Basis stets verschwinden. Wählen Sie dazu ein α k verschieden von 0.
(ii) Zeigen Sie, dass für eine feste Wahl der Basis b die Koeffizienten eindeutig bestimmt sind.
(iii) Gilt dasselbe für x ∈ R, wenn man auch negative Exponenten für die Basis b zulässt?
Lösung
(i) Sei x = 0 und (mindestens) ein Koeffizient α m echt größer 0, so folgt direkt:
n−1
0 < αm bm ≤ ∑ αk b k = 0
,
k=0
denn alle b k sind strikt größer 0. Widerspruch!
(ii) Angenommen die Darstellung von x zu fester Basis b sei nicht eindeutig, d. h. es gäbe zwei Folgen
von Koeffizienten α ∶= (α 0 , . . . , α n−1 ) respektive α̃ ∶= (α̃ 0 , . . . , α̃ n−1 ). Es folgt mit (i) und
n−1
n−1
0 = x − x = ∑ (α k − α̃ k )b k =∶ ∑ β k b k
k=0
,
k=0
dass alle Koeffizienten β k = α k − α̃ k verschwinden müssen. Infolgedessen gilt aber α k = α̃ k für
alle k ∈ {0, . . . , n − 1}, d. h. die Koeffizienten sind eindeutig.
(iii) Sei x ∈ R+0 und habe eine b-adische Entwicklung der Form
n−1
n−1
x = ∑ αk bk =
∑ αk b
k=−∞
−1
+
k
k
∑ αk b
k=0
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
,
k=−∞
Vorkommastellen
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
Nachkommastellen
so ist die Folge der Koeffizienten nicht mehr eindeutig. Als Gegenbeispiel wähle man x = 1.0 = 0.9
aus dem ersten Tutorium. Die Unendlichkeit der Summe ermöglicht diese Mehrdeutigkeit.
4 Periodische Darstellung rationaler Zahlen
Sei x = 0, p 1 p 2 p 3 . . . p N eine Zahl mit periodischer Dezimalbruchentwicklung, deren erste N Nachkommastellen sich ständig wiederholen. Zeigen Sie, dass x sich als Bruch schreiben lässt und damit eine
rationale Zahl ist.
Lösung
Verschiebt man das Komma in der Zahl x um N Stellen, so gilt offensichtlich folgende Gleichung
10 N x = p 1 p 2 p 3 . . . p N + x
⇐⇒
x=
p1 p2 p3 . . . p N
10 N − 1
.
Es folgt, dass sich x als Bruch der natürlichen Zahlen p 1 p 2 p 3 . . . p N und 10 N − 1 schreiben lässt.
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