Mathematik für Wirtschafts
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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Von Professor Dr. Wolfgang Luh und Akadem. Oberrätin Dr. Karin Stadtmüller R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis Vorwort IX 1. 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.7 1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.8.4 1.9 Grundlagen Mengen Begriff der Menge Teilmengen Mengenoperationen Reelle Zahlen Natürliche Zahlen ,. Ganze Zahlen Brüche, rationale Zahlen Unvollständigkeit von Q Dezimalbrüche, irrationale Zahlen, reelle Zahlen Rechengesetze für reelle Zahlen Das Summenzeichen Anordnung reeller Zahlen, Ungleichungen, Beträge Die Ordnung in IR Betrag einer Zahl Mathematische Beweismethoden Direkter Beweis Indirekter Beweis Vollständige Induktion Binomialkoeffizienten, binomischer Satz Fakultäten, Binomialkoeffizienten Das PASCALsche Dreieck Der binomische Lehrsatz Folgen Grundlegende Eigenschaften von Folgen Das Rechnen mit Grenzwerten Kriterien für die Konvergenz von Folgen Die EULERsche Zahl e Arithmetische und geometrische Folgen Reihen Potenzen und Logarithmen Potenzen mit der Grundzahl e Logarithrhen zur Basis e Allgemeine Potenzen Allgemeine Logarithmen Einiges aus der Trigonometrie 1 1 1 2 3 5 5 5 6 7 9 11 12 15 15 17 20 20 21 21 23 23 26 27 30 30 35 38 42 44 51 52 53 58 58 60 64 2. 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 Funktionen Funktionen in der Ökonomie Definitionen, Beispiele, Veranschaulichung von Funktionen Der allgemeine Funktionsbegriff Veranschaulichung von Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Grenzwerte von Funktionen :•-.... 71 71 73 73 74 81 81 VI Inhaltsverzeichnis 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 Stetigkeit von Funktionen Arithmetische Operationen mit stetigen Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen Monotone Funktionen, Umkehrfunktionen Funktionen mit mehreren Variablen Der Raum [Rn Funktionen mit n Variablen Stetigkeit von Funktionen mit mehreren Variablen Homogene Funktionen 84 85 88 93 98 99 100 103 104 3. 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.7 Differentialrechnung Der Begriff der Ableitung einer Funktion Motivierung, Tangentenproblem Definition der Ableitung, Beispiele Ableitungsregeln Die Ableitungen einiger wichtiger Funktionen Die Ableitungen von ax, logax, xb Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Wachstumsrate und Elastizität einer Funktion Motivierung und Definition Eigenschaften der Wachstumsrate und Elastizität Preiselastizität und die AMOROSO-ROBINSON-Formel Die geometrische Bedeutung der Ableitung Notwendige Bedingung für Extremstellen Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Konstante und monotone Funktionen Die Differentialgleichung y'(x) = a • y(x) Kurvendiskussion Hinreichende Kriterien für Extremstellen Krümmung Anwendungen in der Ökonomie Die Regeln von DE L'HOSPITAL 109 109 109 111 114 120 120 123 126 126 127 130 131 131 134 137 140 143 143 147 153 161 3.7.1 Der Fall „ - " 162 3.7.2 Der Fall „—" 'oo Andere unbestimmte Ausdrücke Partielle Ableitungen Funktionen mit zwei Variablen Funktionen mit n Variablen Homogene Funktionen Extremstellen von Funktionen mehrerer Variablen Notwendige Bedingungen für Extremstellen Hinreichende Bedingungen für Extremstellen Extremstellen mit Nebenbedingungen Die Einsetzmethode Die LAGRANGE-Methode Ausgleichen von Fehlern; Methode der kleinsten Quadrate 164 3.7.3 3.8 3.8.1 3.8.2 3.8.3 3.9 3.9.1 3.9.2 3.10 3.10.1 3.10.2 3.11 165 ~ . . . . 167 168 172 174 176 177 179 181 181 186 191 Inhaltsverzeichnis VII 4. 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 Integralrechnung Der Begriff des bestimmten Integrals Einleitung Das Flächenproblem Das bestimmte Integral.. •. Eigenschaften des Integrals Elementare Eigenschaften Der Mittelwertsatz Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung Das bestimme Integral als Funktion der oberen Grenze Berechnung bestimmter Integrale Ökonomische Anwendungen Methoden zur Berechnung von Integralen Integration durch Substitution Partielle Integration Uneigentliche Integrale Tabelle der wichtigsten Grundintegrale Rationale algebraische Integranden Irrationale algebraische Integranden Transzendente Integranden Tabelle einiger uneigentlicher Integrale 195 195 195 197 198 201 201 203 205 205 206 209 212 212 215 218 224 224 225 227 228 5. 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.6 5.6.1 5.6.2 Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Definitionen und einfache Eigenschaften Motivierungen Definitionen Operationen mit Matrizen Gleichheit von Matrizen Addition, skalare Multiplikation von Matrizen Multiplikation von Matrizen Das Schema von FALK zur Matrixmultiplikation Transposition von Matrizen Eigenschaften von Vektoren Zeilen- und Spaltenvektoren Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit von Vektoren Das Skalarprodukt von Vektoren Der Rang einer Matrix Inversion von Matrizen Definition, Beispiele Rechengesetze für Inverse von Matrizen Ein Verfahren zur Inversion von Matrizen Determinanten Zweireihige Determinanten Dreireihige Determinanten n-reihige Determinanten Eigenschaften von Determinanten Lineare Gleichungssysteme Allgemeine Bemerkungen über lineare Gleichungssysteme Lösung vermittels Matrixinversion 229 229 229 231 232 232 233 235 243 245 247 247 248 252 254 255 256 260 261 266 267 268 271 273 277 279 281 VIII Inhaltsverzeichnis 5.6.3 Die CRAMERsche Regel 5.6.4 Der GAUSSsche Algorithmus 282 285 6. 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 Grundbegriffe der linearen Optimierung Beispiele linearer Optimierungsprobleme Lineare Optimierung in zwei Variablen Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme Lineare Optimierung bei zwei Variablen Das Simplexverfahren Allgemeine Formulierung linearer Optimierungsprobleme, Standardform 6.3.2 Ecken und Basislösungen 6.3.3 Das Simplexverfahren 295 295 299 299 304 308 Sachverzeichnis 327 308 312 316
